复数的性质

单位根的基本性质

x^n=1的根εk=cos(2kπ/n)+i*sin(2kπ/n)，k=0,1,...,n-1,称为n次单位根

性质一：n次单位根的模为1，即|εk|=1

性质二：两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k

推论1：εj -1=ε-j

推论2：εk m =εmk

推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr

注：它说明εk等价于r=0

推论4：任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1k

说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n 次原根。从而所有n次单位根还可以写作

ε1,ε12,…,ε1n(ε0=1)

推论5：一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即

εk'=εn-k('表示共轭)

因为εk'εk=|εk|2，εk'=1/εk=ε-k=εn-k (由推论3)

注：由上证明看到1/εk=εk'，说明所有虚的n次单位根都成

对共轭

推论6：对任意整数k,h，有εk h=εh k

性质三：A=1+ε1m+ε2m+…+εn-1m

当n|m时，A=n，否则A=0

证明：由性质二推论4有

A=1+ε1m+(ε12)m+…+(ε1n-1)m

=1+ε1m+(ε1m)2+…+(ε1m)n-1

=[1-(ε1m)n]/( 1-ε1m)=[1-(ε1n)m]/ (1-ε1m)=(1-1)/ (1 -ε1m)=0 推论1：∑(i从0到n-1) εi=0

推论2：设εk≠1，则∑(i从0到n-1) εk i=0

证明：由εk≠1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，∑(i从0到n-1) εk i=∑(i从0到n-1) εi k=0

性质四：全部单位根将复平面上单位圆n等分。

练习：求1+C n3+C n6+C n9+…+C n3h-3+C n3h

其中3h是不大于n的最大的3的倍数。（[2n+2cos(nπ/3)]/3）

单位根的性质的应用

把1的每一个n(n∈N)次方根叫做n次单位根，简称单位根．1的n个单位根表示

数学问题时，可以大大地简化解证题过程．

下面仅把下文中用到的单位根的性质列举如下：

性质1 1＋ε＋ε2＋…＋εn-1＝0，进而可推广为若Z n＝1、且z≠1，则z的任意连续n个整数次幂的和为0，本结论可表示为：Z m ＋Z m+1＋Z m+2＋…＋z m+n+1＝0(m∈Z)

性质2 εmn+k＝εk(m，k∈Z)

下面简要说明单位根性质的应用．

一、在复数计算中的应用

2．计算：1＋2i＋3i2＋2000i1999

(答案：－1000(1＋i))

二、在复数证明中的应用

例2 求证：二项方程x n＝z(z∈C，z≠0，n∈N，n＞1)的n个根的和为零．

(注：本题如应用韦达定理证，也较为简单)

三、在求三角函数式的值方面的应用

练习题：

四、在恒等式证明中的应用

证明：∵ε是1的七次方根，则ε7＝1．

(2＋ε＋ε2)(1＋ε4)＝2＋ε＋ε2＋ε4＋ε5＋ε6＝(1＋ε＋ε2＋ε3＋ε4＋ε5＋ε6)＋1－ε3＋ε4＝0＋1－ε3＋ε4＝1－ε3＋ε4．

∴原式得证．

练习题：