向量中的奔驰定理作业

向量中的”奔驰定理”

一、奔驰定理

图1

如图1，已知P 为ABC ∆内一点，则0BPC APC APB PA S PB S PC S ∆∆∆⋅+⋅+⋅=

或者已知P 为ABC ∆内一点，γ

βαγβα::::,0==++∆∆∆APB APC BPC S S S PC PB PA 则若

由奔驰定理可得以下结论： 若P 为三角形的重心，则0=++PC PB PA

若P 为三角形的内心，则0=•+•+•PC c PB b PA a

或0sin sin sin =•+•+•PC C PB B PA A

若P 为三角形的外心，则02sin 2sin 2sin =•+•+•PC C PB B PA A

若P 为三角形的垂心，则0tan tan tan =•+•+•PC C PB B PA A

1、为

6、若ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3450

++=,则该ABC

OA OB OC

的面积为。

的值

求且为内心，中，、已知△y x AC y AB x AI AB BC AC I ABC ++====,,4,3,213

16、

=

=+=∠m AO

C B m AC B C AB C B A ABC O 则且的垂心，为△已知sin sin 2cos sin cos sin 6

π

17、

的最大值

求的外心，是三角形若ABC S CB t CA t CO AB ABC O ∆-+==,

)4

3

21(,4|| 18、

{}=

=++-=≠=+S ABC PC a PB PA a a P ABC S a a a a S n a n n n n n n 的面积则△的圆，且为圆心，半径为内接于以若△为常数），项和为的前已知等差数列

0(1,0,1,32411λλλ