线性映射与线性变换
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为:(kA) ()=kA()，任意的 V1
➢线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘 法适合结合律。
➢对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到V2的 所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记 为L(V1,V2)。
3. 线性映射的矩阵表示
设T :V1 V2 是线性映射，1, 2 ,L , n
不是线性映射。
线性映射的性质
定理1 设A 是线性空间V1到V2的线性映射，则 (1) A (0)=0, (2) A (-)=-A ()
(3)若1, 2… m 是V1的一组向量，k1, k2,…kmP,有
A (k11+ k22 …+km m)=k1A (1)+ k2A (2)+…+km A (m) (4)若1, 2… m 是V1的一组线性相关向量，则A (1),A (2),
D( 1)=0= 01+0 2+ …+0 n-1 D( 2)=1= 1+0 2+ …+0 n-1 D( 3)=2x= 01+2 2+ …+0 n-1
……
D( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ …+(n-1) n-1
即
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
➢单位变换(恒等变换)：I :VV:I ()= ,V ➢零变换： O :VV:O ()=0 ,V
➢由数k决定的数乘变换：K:VV:K()= k ,V
事实上， , V , m P,
K k( ) k k K K , K m km mk mK .
2. 线性映射的运算
(1)设 A,B 都是V1到V2的线性映射,A,B的和A+B为:
(A+B)()= A()+B()，任意的 V1。
(2)设 A是V1到V2的线性映射,B 是V2到V3的线性映射
定义A,B的乘法BA为:(BA)()= B(A())，任意的 V1.
(3)设 A是V1到V2的线性映射, kP，定义k与A的数量乘积kA
[1,2 ,L
,
n
]
a2
M
an
a1
T(x)
[
1,
2
,L
,
m
]
a2
M
am
则:
a1
a1
a2
A
a2
称为线性映射在基
am
an
1, 2,
,
n
与基
1
,
2
,
,
m
下的坐标变换公式
例1 设V1=R[x]n，V2=R[x]n-1，取线性映射T：V1→V2
T( f (x))=f’ (x) , f (x) R [x] n， 求T 在R[x]n的一组基1,x,…xn-1与R[x]n-1的基1,x,…xn-2下的 矩阵D
解 在R [x] n中取基1=1， 2=x, … n=xn-1 ,在R[x]n-1中取基 1=1， 2=x, … n-1=xn-2，则
D( 1, 2 ,… n)=(1, 2 … n-1)
0
0
0
n
2
0
0 0 0 0 n 1(n1)n
于是D在基1，x, … xn-1与1，x, … xn-2下的矩阵为
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
D=
是 V1的基, 1 ,2 , m 是 V2的基.
记: T (1, 2 , , n (T (1 ),T ( 2 ), ,T ( n ))
则存在唯一的 A P mn , 使得:
T (1, 2 , , n ) (1,2 , m )A
称矩阵A为线性映射T在基
…, A (m)在V2中线性相关，当且仅当A是一一映射时， V1中线
性无关向量组的像在V2中也线性无关。
定理2 设A ,B 是线性空间V1到V2的两个线性映射，若1，
2，… n是V1的一组基，并且A (i)=B (i)(i=1,2…n),
则A = B.
注：定理2说明线性映射由基像组唯一确定
定义1 设V1，V2是数域P的两个线性空间，A 是V1到V2
的一个映射，如果对V1中任意两个向量,和任意数kP
，都有
A(+)= A ()+ A () A (k)=k A () 则称A是V1到V2的线性映射或线性算子。 若V1=V2=V，则称A是V上的线性变换。
线性映射与变换的举例
线性映射与变换的举例
➢线性空间P[x]n的微分运算 I (f(x))=f’(x)，f(x) P[x]n
是线性变换.
➢线性空间C[a，b] 的积分运算 是线性变换.
➢作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度 讲都是线性变换 ➢当然，非线性映射也是大量存在的，
I (A)=detA，A P nn
线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中 元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者 “直观的”视角。
借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应 关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著 线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。
2维空间的线性变换
3维空间的线性变换
§2.1 线性映射及其矩阵表示
0
0
0
n
2
0
Байду номын сангаас 0 0 0 0 n 1(n1)n
另：若在R[x]n-1中取基1=1， 2=2x, … n-1=(n-1)xn-2
则D在基1，x, … xn-1与1，2x, … (n-1)xn-2下的矩阵为
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1 , 2 ,
,
与基
n
1,
2
,
m
下的矩阵
注：
➢矩阵和线性映射互相唯一确定； ➢在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与mn 矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。 ➢L(V1,V2)与Pmn同构。
定理7 设T为V1到V2的线性映射，x V1,
a1
x
➢线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘 法适合结合律。
➢对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到V2的 所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记 为L(V1,V2)。
3. 线性映射的矩阵表示
设T :V1 V2 是线性映射，1, 2 ,L , n
不是线性映射。
线性映射的性质
定理1 设A 是线性空间V1到V2的线性映射，则 (1) A (0)=0, (2) A (-)=-A ()
(3)若1, 2… m 是V1的一组向量，k1, k2,…kmP,有
A (k11+ k22 …+km m)=k1A (1)+ k2A (2)+…+km A (m) (4)若1, 2… m 是V1的一组线性相关向量，则A (1),A (2),
D( 1)=0= 01+0 2+ …+0 n-1 D( 2)=1= 1+0 2+ …+0 n-1 D( 3)=2x= 01+2 2+ …+0 n-1
……
D( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ …+(n-1) n-1
即
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
➢单位变换(恒等变换)：I :VV:I ()= ,V ➢零变换： O :VV:O ()=0 ,V
➢由数k决定的数乘变换：K:VV:K()= k ,V
事实上， , V , m P,
K k( ) k k K K , K m km mk mK .
2. 线性映射的运算
(1)设 A,B 都是V1到V2的线性映射,A,B的和A+B为:
(A+B)()= A()+B()，任意的 V1。
(2)设 A是V1到V2的线性映射,B 是V2到V3的线性映射
定义A,B的乘法BA为:(BA)()= B(A())，任意的 V1.
(3)设 A是V1到V2的线性映射, kP，定义k与A的数量乘积kA
[1,2 ,L
,
n
]
a2
M
an
a1
T(x)
[
1,
2
,L
,
m
]
a2
M
am
则:
a1
a1
a2
A
a2
称为线性映射在基
am
an
1, 2,
,
n
与基
1
,
2
,
,
m
下的坐标变换公式
例1 设V1=R[x]n，V2=R[x]n-1，取线性映射T：V1→V2
T( f (x))=f’ (x) , f (x) R [x] n， 求T 在R[x]n的一组基1,x,…xn-1与R[x]n-1的基1,x,…xn-2下的 矩阵D
解 在R [x] n中取基1=1， 2=x, … n=xn-1 ,在R[x]n-1中取基 1=1， 2=x, … n-1=xn-2，则
D( 1, 2 ,… n)=(1, 2 … n-1)
0
0
0
n
2
0
0 0 0 0 n 1(n1)n
于是D在基1，x, … xn-1与1，x, … xn-2下的矩阵为
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
D=
是 V1的基, 1 ,2 , m 是 V2的基.
记: T (1, 2 , , n (T (1 ),T ( 2 ), ,T ( n ))
则存在唯一的 A P mn , 使得:
T (1, 2 , , n ) (1,2 , m )A
称矩阵A为线性映射T在基
…, A (m)在V2中线性相关，当且仅当A是一一映射时， V1中线
性无关向量组的像在V2中也线性无关。
定理2 设A ,B 是线性空间V1到V2的两个线性映射，若1，
2，… n是V1的一组基，并且A (i)=B (i)(i=1,2…n),
则A = B.
注：定理2说明线性映射由基像组唯一确定
定义1 设V1，V2是数域P的两个线性空间，A 是V1到V2
的一个映射，如果对V1中任意两个向量,和任意数kP
，都有
A(+)= A ()+ A () A (k)=k A () 则称A是V1到V2的线性映射或线性算子。 若V1=V2=V，则称A是V上的线性变换。
线性映射与变换的举例
线性映射与变换的举例
➢线性空间P[x]n的微分运算 I (f(x))=f’(x)，f(x) P[x]n
是线性变换.
➢线性空间C[a，b] 的积分运算 是线性变换.
➢作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度 讲都是线性变换 ➢当然，非线性映射也是大量存在的，
I (A)=detA，A P nn
线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中 元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者 “直观的”视角。
借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应 关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著 线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。
2维空间的线性变换
3维空间的线性变换
§2.1 线性映射及其矩阵表示
0
0
0
n
2
0
Байду номын сангаас 0 0 0 0 n 1(n1)n
另：若在R[x]n-1中取基1=1， 2=2x, … n-1=(n-1)xn-2
则D在基1，x, … xn-1与1，2x, … (n-1)xn-2下的矩阵为
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1 , 2 ,
,
与基
n
1,
2
,
m
下的矩阵
注：
➢矩阵和线性映射互相唯一确定； ➢在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与mn 矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。 ➢L(V1,V2)与Pmn同构。
定理7 设T为V1到V2的线性映射，x V1,
a1
x