全国初中数学竞赛山东赛区预赛暨山东省初中数学竞赛试题含答案

2008年全国初中数学竞赛山东赛区 预赛暨2007年山东省初中数学竞赛试题

一、选择题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内． 1.已知函数y = x 2 + 1

– x

，点P (x ，y )在该函数的图象上. 那么，点P (x ，y )应在直角坐标平面的 ( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2．一只盒子中有红球m 个，白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是 ( ) (A) m + n = 10 (B) m + n = 5 (C) m = n = 10 (D) m = 2，n = 3

3．我省规定：每年11月的最后一个星期日举行初中数学竞赛，明年举行初中数学竞赛的日期是 ( )

(A)11月26日 (B)11月27日 (C)11月29日 (D)11月30日

4.在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有 ( )

(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)6个

5．如图，在正三角形ABC 的边BC ，CA 上分别有点E 、F ，且满足 BE = CF = a ，EC = F A = b (a > b ). 当BF 平分AE 时，则 a

b 的值为 （ ）

(A)

5 – 12 (B) 5 – 22 (C) 5 + 12 (D) 5 + 2

2

6．某单位在一快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为8元、5元、3元．那么可能的不同订餐方案有 ( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

7．已知 a > 0，b > 0且 a ( a + 4 b ) = 3 b ( a + 2 b ). 则 a + 6ab – 8b

2a – 3ab + 2b

的值为

( )

(A)1 (B)2 (C) 19

11

(D) 2

8．如图，在梯形ABCD 中，∠D = 90°，M 是AB 的中点，若

CM = 6.5，BC + CD + DA = 17，则梯形ABCD 的面积为 ( ) (A)20 (B)30 (C)40 (D)50

二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案

M

D

C

B

A

D

A F

E

C

B

A

直接填写在对应题目中的横线上．

9．如图，在菱形ABCD 中，∠A = 100°，M ，N 分别是AB 和BC 的中点，MP ⊥CD 于P ，则∠NPC 的度数为 ． 10．若实数a 满足a 3

+ a 2

– 3a + 2 = 3a – 1a2 – 1a3

，

则 a + 1

a

= ．

11．如图，在△ABC 中∠BAC = 45°，AD ⊥BC 于D ，若BD = 3， CD = 2，则S ⊿ABC = . 12．一次函数 y = –

3

3

x + 1 与 x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD (

如

图)．在第二象限内有一点P (a ，1

2

)，满足S △ABP =

S

正方形

ABCD ，则

a = ．

三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60

分)

13，如图，点A l ，B l ，C 1分别在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上，且AA1AB = BB1BC = CC1CA = k ( k < 1

2 )．若△ABC

的周长为p ，△A 1B 1C 1的周长为p 1，求证：p 1 < (1 – k )p .

C 1

B 1

C

A 1

A

B

14．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺

卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．

A

B

C

D

A

B C

D P (a,

12

)

x

y >^O

15．若a1，a2，…，a n均为正整数，且a1< a2< …< a n≤2007．为保证这些整数中总存在四个互不相同的数a i，a j，a k，a l，使得a i + a j = a k + a l = a n，那么n的最小值是多少?并说明理由．

参考答案：

一．BADDC CBB 二. 9. 50° 10. 2或– 3 11. 15 12. 3

2– 8．

三．13. 略 14. 6位学生 15. 略.