001第1讲 _共轭复数

证
z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
i 8 i 4 i 4 1;
一般地，如果n是正整数, 则
i 4 n 1, i 4 n 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , i 4 n 2 1,
i 4 n 3 i .
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2 实数 m 取何值时 , 复数 ( m 3m 4) 例
(m 2 5m 6)i 是(1)实数; ( 2)纯虚数.
3
4)共轭复数
共轭的定义是以某轴为对称。 例如，复平面上的两点以实数轴为对称，则称这两点共轭。 再例如，复平面上的A点有共轭点A',B点有共轭点B' 向量AB与向量A'B'称共轭向量。 轭来自车轭，牛轭。牛马毛驴驮的东西以垂直轴为对称， 驮的一东一西的东西就是共轭的东西呀。
4
4)共轭复数 共轭复数是什么?
或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
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思考题答案
观察复数 i 和 0, 由复数的定义可知 i 0,
(1) 若 i 0, 则 i i 0 i , 即 1 0, 矛盾; ( 2) 若 i 0, 则 i i 0 i , 同样有 1 0, 矛盾.
n
1 n
在几何上, n z的n个值就是以原点为中心 , n r为半径 的圆的内接正n边形的n个顶点.
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5.复球面与扩充复平面
(1) 复球面 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z 0 的球面, 球面上一点 S 与原点重合,
N P
通过 S 作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一 点 N,
计算
i2
.
2 i 6i 3i 2 1 i . 2 2 ( 2 ) i
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z1 z1 例5 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
(5 5i )( 3 4i ) z1 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
3 1 Re( z ) , Im( z ) , 2 2
3 1 5 . 2 2 z z Re( z ) Im( z ) 2 2 2
2
2
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共轭复数的性质
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
6
3.复数的其它表示法
（1）几何表示法 复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面.
解
令 x m 3m 4,
2
y m 2 5m 6,
(1) 如果复数是实数 , 则y 0,
由m 2 5m 6 0知m 6或m 1.
( 2) 如果复数是纯虚数 , 则x 0且y 0,
由m 2 3m 4 0知m 4或m 1.
但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
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（3）三角表示法
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) （4）指数表示法 利用欧拉公式 e i cos i sin ,
复数可以表示成
z re i
称为复数 z 的指数表示式.
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两
个复数叫做互为共轭复数.
互为共轭复数的两个复数在复平面上的对应点关
于实轴对称。
5
4)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy.
共轭复数的性质
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z )2 Im( z )2 ;
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几何意义
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , z 先把 z1 按逆时针方向 y

旋转一个角 2 ,
r

o

z1

再把它的模扩大到r2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .
r1
1 2
r2
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
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两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
y y
z x iy
( x, y)
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
o
x
x
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（2）向量表示法
在复平面上, 复数 z 与从原点指向点z x iy 的 平面向量成一一对应 ,因此, 复数z也可用向量OP 来表示.
y
y
z x iy
P( x, y)
我们称 N 为北极, S 为南极.
x
S O
y
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虚数单位的特性:
i 1 i;
4 2 2
i 2 1;
i 3 i i 2 i; i 5 i 4 i 1 i; i 7 i 4 i 3 i;
……
i i i 1; i 6 i 4 i 2 1;
若
则有
z1 r1 (cos1 i sin1） , z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
z2 z2 z2 , Arg Argz2 Argz1 . z1 z1 z1
z2 r2 i ( 2 1 ) . z2 r2e , 则 e z1 r1
( 15 20) (15 20)i 7 1 i. 25 5 5
z1 7 1 i. 5 5 z2
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1 3i , 求 Re( z ), Im( z ) 与z z . 例6 设 z i 1 i
解
i 3i (1 i ) 3 1 1 3i i, z i i (1 i )(1 i ) 2 2 i 1 i
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0 时, z 0, 而辐角不确定 .
任何一个复数 z 0有无穷多个辐角 . 如果 1 是其中一个辐角 , 那么 z 的全部辐角为 Arg z 1 2kπ ( k为任意整数).
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辐角的主值 在 z( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0
n 为负整数时, 有z
n
1 n. z
因而有 z z ,
n
n
Arg z n Arg z .
n
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(b)棣莫佛公式
(cos i sin )n cos n i sin n .
(c) 计算方程 w z 的根 w , 其中 z 为已知复数.
n
2kπ 2kπ w z r cos i sin n n ( k 0,1,2,, n 1)
1.复数的概念
对于任意两实数 x , y , 我们称 z x yi 或 z x iy 为复数.
其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x Re( z ), y Im( z ).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x . 当 x 0, y 0时, z 0.
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4.复数的乘幂与方根
1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z1 r1 (cos1 i sin1） ,
z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
2
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1) 两复数的和 z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2) 两复数的积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3)两复数的商 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
3 1 ( 1 2i )(1 i ) i. 2 2 2
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7
例4
i 1 i i 1 i2 ( i 2)( i 1) 解 i ( 1 i )( i 1 ) i 1 i i 1 (1 3i )( 2 i ) i 2 i 2i 2 1 3 i 2 2 i ( 2 i )( 2 i ) i 1 i
称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z . y arctan , x z0 , 辐角的主值arg z 2 y arctan , x ,
(其中 y arctan ) 2 x 2
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0 , y 0.
z r
o

x
x
复数的模(或绝对值) 向量的长度称为 z 的模或绝对值,
记为 z r x 2 y 2 .
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模的性质 2 x z , y z , z x y , z z z z2 . 三角不等式 (1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 . 复数的辐角 在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示
i 2
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 r1e ,
i 1
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2) 幂与根 (a) n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 z n ,
zn z z z.
n个
对于任何正整数n, 有 z n r n (cos n i sin n ).
( 2) z z;
( 3) z z Re( z ) Im( z ) ;
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
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例7 设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
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例3 将下列复数表示为x iy 的形式. 7 1 i i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , 解 (1) 2 1 i (1 i )(1 i )
1 i 7 i. ( i ) 1 i 2 2 i ( 1 i ) i 1 i 1 2i ( 2) (1 i )i 1 i i 1 i