复数的模及共轭复数 答案
《复数的模与共轭复数》 讲义
《复数的模与共轭复数》讲义一、复数的基本概念在数学中，我们为了解决一些实际问题，引入了复数的概念。
复数通常可以表示为＄a ＋ bi$ 的形式，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
实数＄a$ 被称为复数的实部，记作＄Re(z)＄；实数＄b$ 被称为复数的虚部，记作＄Im(z)＄。
例如，＄3 ＋ 2i$ 就是一个复数，其中实部为＄3$，虚部为＄2$。
二、复数的模对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，它的模记作＄｜z|＄，定义为：＼｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
例如，对于复数＄z ＝ 2 ＋ 3i$，其模为：＼｜z| ＝＼sqrt{2^2 ＋ 3^2} ＝＼sqrt{13}＼复数模的性质：1、非负性：对于任意复数＄z$，有＄｜z| ＼geq 0$，当且仅当＄z ＝ 0$ 时，＄｜z| ＝ 0$。
2、三角不等式：对于任意两个复数＄z_1$ 和＄z_2$，有＄｜z_1 ＋ z_2| ＼leq ｜z_1| ＋｜z_2|＄。
3、乘法性质：若＄z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i$，＄z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i$，则＄｜z_1z_2| ＝｜z_1|｜z_2|＄。
三、共轭复数对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其共轭复数记作＄＼overline{z}＄，定义为＄＼overline{z} ＝ a bi$。
也就是说，共轭复数的实部相同，虚部互为相反数。
例如，复数＄3 ＋ 2i$ 的共轭复数是＄3 2i$。
共轭复数的性质：1、＄z ＋＼overline{z} ＝ 2a$，即复数与其共轭复数的和为实部的两倍。
2、＄z ＼overline{z} ＝ 2bi$，即复数与其共轭复数的差为虚部的两倍乘以＄i$ 。
3、若＄z$ 是实数，则＄z ＝＼overline{z}＄；若＄z$ 是纯虚数，则＄z ＝＼overline{z}＄。
四、复数的模与共轭复数的关系1、对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，有＄｜z|＾2 ＝ z\overline{z}＄。
高二数学复数综合运算试题答案及解析
高二数学复数综合运算试题答案及解析1.已知，其中、为实数，则 .【答案】3【解析】由题意可得：，所以.【考点】复数的运算.2.是虚数单位，复数的共轭复数是A．2＋B．2－C．－1＋2D．－1－2【解析】,共轭复数为.【考点】复数的四则运算和共轭复数.3.已知复数z＝，则|z|＝________．【答案】【解析】∵z＝===，所以|z|==.考点:复数的运算，复数的模4.“a = 1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由复数(,i为虚数单位)是纯虚数得，解得=1，故是充要条件，故选C.【考点】纯虚数的概念，充要条件5.已知i为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B【解析】由复数的除法运算得==，所以=，在复平面上的对应点为（，位于第三象限，故选B【考点】复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的点表示6.若则|z|=A．3B．4C．5D．7【答案】C【解析】复数的模长为,所以，故选C【考点】复数模长计算.7.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，则复数的虚部是。
【考点】复数的除法运算复数的基本概念。
8.已知复数，则 .【答案】5【解析】.【考点】复数的模.9.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1【答案】B【解析】当，时，复数为纯虚数，由解得或，又，所以．【考点】复数的分类．10.复数z满足是虚数单位)，若复数的实部与虚部相等，则等于（）A．12B．4C．D．l2【答案】D.【解析】∵，∴，∵复数的实部与虚部相等，∴.【考点】复数的计算.11.已知是方程的一个根(为实数)．（1）求的值；（2）试说明也是方程的根.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）依题意将代入方程化简整理即可得到，然后根据复数相等的条件得到，进而求出即可；（2）根据（1）中确定的方程，将代入方程的左边，化简得到0，即可说明也是方程的一个根.（其实作为实系数的二次方程，若有虚根，则该二次方程的两根必互为共轭复数.）（1）因为是方程的根∴即∴，得∴的值为 5分（2）因为方程为把代入方程左边得，显然方程成立∴也是方程的一个根 10分【考点】1.复数的四则运算；2.两复数相等的条件.12.是虚数单位,复数在复平面上的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】对于在复平面中对应的点为，,可知在平面上的对应点为，在第四象限．【考点】复数的四则运算，复数的几何意义．13.已知是复数，且，则的最大值为．【答案】6【解析】,在复平面中表示的是单位圆，为表示的点与表示的点距离，结合图象可知最大值为6．【考点】复数的几何意义，数形结合的数学思想．14.复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以复数的虚部为1，故选A.【考点】1.复数的运算；2.复数的基本概念.15.已知复数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意【考点】复数的运算16.若是纯虚数，则实数的值是【答案】2【解析】因为是纯虚数，所以，解得【考点】纯虚数概念17.若复数满足，则等于【答案】【解析】设z=a+bi（a，b∈R），由得，，∴，解得a=3，b=4，故选B．【考点】1.复数相等的充要条件；2.复数求模．18.（本小题满分12分）已知复数.（1）实数为何值时，复数为纯虚数？（2）若，计算复数.【答案】（1）m=0；（2）.【解析】（1）若z为纯虚数，则z的实部不为0，虚部为0从而可以建立与m有关的方程与不等式，进而求得m的值；（2）当m=2时，z=2+i，代入计算即可求得.（1）复数z为纯虚数，则， 5分解得m=0 6分（2）若m=2，则z=2+i 7分∴ 12分．【考点】 1、纯虚数的概念；2、复数的计算.19.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是 .【答案】【解析】因为，所以若复数为纯虚数，则有.【考点】1.复数的基本概念；2.复数的四则运算.20.已知复数（为虚数单位），则 .【答案】【解析】因为，所以所以本题也可利用复数模的性质进行求解，即【考点】复数的模21.在复平面内，设(是虚数单位)，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为，所以，该复数对应点的坐标为，落在第一象限，所以选A.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的几何意义.22.若复数 (为虚数单位，)是纯虚数，则复数的模是________．【答案】【解析】因为，由复数(为虚数单位，)是纯虚数可得，所以复数的模为.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的基本概念.23. 已知a ，b ∈R ，a ＋bi ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ． 【答案】4【解析】根据复数乘法法则，将化为，再由两复数相等，它们实部与虚部分别相等得【考点】复数乘法法则，复数相等概念24. 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2. 【答案】或【解析】∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i. 而(a ＋2z )2＝[(a ＋2)＋2i]2＝(a ＋2)2＋4(a ＋2)i ＋4i 2 ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵az ＋2b ＝(a ＋2z )2，∴解得或25. 已知复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i 对应的向量分别为＝a ，＝b ，求向量a 与b 的夹角．【答案】【解析】设a ，b 的夹角为α，a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)， 则cos α＝，∵0≤α≤π，∴α＝.26. 复数的共轭复数为 ( )．A ．－iB ．iC ．－iD ．i【答案】C 【解析】＝i ，其共轭复数为－i.27. 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚 部为2，且z 1z 2为实数，求z 2及|z 2|. 【答案】 【解析】z 1＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i ，设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， 由于z 1z 2为实数， ∴4－a ＝0.∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i |z 2|＝. 28.＝( )．A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C【解析】＝＝－2＋i.29.当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于()．A．1B．－1C．i D．－i【答案】D【解析】根据题意，当z＝－时，z100＋z50＋1=的值等于-i，故选D.【考点】导数研究函数的单调性点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题30.在复数范围内解方程.(i为虚数单位)【答案】z=-±i.【解析】本试题主要考查了复数的运算的问题。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
高中《复数》经典练习题1(含答案)
高中《复数》经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、复数i i ++12的共扼复数是 。
2．设复数z=1+i （i 是虚数单位），则|+z|= 。
3、若复数Z 满足Z （1-i ）=2+4i （i 为虚数单位），则Z= 。
4、若复数Z 满足Z+2i =i2i 55++（i 为虚数单位），则Z= 。
5、z=（m ²-4）+（2-m ）i 为纯虚数，则实数m 的值为 。
6、已知m ∈R ，i 是虚数单位，若z=a-2i ，z •z =6，则m= 。
7、已知z =(x+1)+(x -3)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 。
8、若复数Z 满足2-3i= 3+2Zi （i 为虚数单位），则Z= 。
9、复数Z=i+i ²在复平面对应的点在第 象限。
10、复数Z 满足（Z-1）i=2+i ，则Z 的模为 。
11、若复数Z 满足Z （1-i ）= 2+2i （i 为虚数单位），则Z= 。
12、复数Z=i1i 32++,则Z •(z -1)= . 13、若复数i 2ia +的实部与虚部相等，则实数a = 。
14、复数的虚部 。
15、2．若复数（α∈R ）是纯虚数，则复数2a+2i 在复平面内对应的点在第 象限。
16、设复数z 满足（z+i ）（2+i ）=5（i 为虚数单位），则z=______。
17、如果复数z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______18、复数z=﹣2i+ 3-i i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在第 象限。
19、设复数z 满足i i z i (23)4(+=-⋅是虚数单位），则z 的实部为 。
20、设复数121,1z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则Z1Z2的模为 。
二、选择题1、设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若（a+bi ）•i=2﹣5i ，则ab 的值为（ ）。
A 、-5B 、5C 、-10D 、102、若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．A 、 12B 、 13C 、 14D 、 163、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为（ ）A 、 4 2B 、 3 2C 、 2 2D 、 24、i 是虚数单位，复数等于（ ） A 、﹣2﹣2i B 、2﹣2iC 、﹣2+2iD 、2+2i5、若复数()()ai i z -+=11是实数，则实数a 的值是（ ）A 、1±B 、1-C 、0D 、16、设i 为虚数单位，已知复数ii z -=1，则z 的共轭复数在复平面内表示的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限7、i 是虚数单位， 的值是（ ）。
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)
高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
复数的模的一些公式
复数的模的一些公式咱今天来唠唠复数的模的那些公式。
复数这玩意儿，在数学里可有着独特的地位。
就说这复数的模吧，它可是解决不少问题的关键。
先来说说啥是复数的模。
想象一下，在一个平面上，一个复数就像是一个有方向有长度的箭头。
那这个箭头的长度就是复数的模。
比如说，对于复数 z ＝ a ＋ bi，它的模就是｜z| ＝√（a²＋ b²) 。
给大家讲个我上学时候的事儿。
有一次数学考试，就考到了复数的模。
当时有一道题，给出了一个复数 z ＝ 3 ＋ 4i ，让求它的模。
我那会啊，脑子突然就有点懵，心里想着这公式到底咋用啊。
后来静下心来，一想，不就是｜z| ＝√（3²＋ 4²) 嘛，算出来就是 5 。
那次考试因为这道题，我可算是长了记性，以后再遇到复数的模的问题，我都格外小心。
再来说几个和复数的模有关的公式。
比如，两个复数 z₁＝ a₁＋b₁i 和 z₂＝ a₂＋ b₂i ，它们的乘积 z₁z₂的模等于它们模的乘积，也就是｜z₁z₂| ＝｜z₁|×｜z₂| 。
还有啊，如果复数 z 的共轭复数是z＝ a bi ，那么｜z| ＝｜z｜。
这就好比一个人，不管正面看还是反面看，他的“长度”是不变的。
咱们来做几道题巩固一下。
比如说，已知复数 z₁＝ 2 ＋ 3i ，z₂＝ 4 i ，求｜z₁＋ z₂| 。
那咱先把 z₁＋ z₂算出来，等于 6 ＋ 2i ，然后再用模的公式，｜z₁＋ z₂| ＝√（6²＋ 2²) ＝√40 ＝2√10 。
在实际应用中，复数的模也很有用处。
比如说在物理学里，交流电路中的电压和电流有时候就可以用复数来表示，这时候复数的模就能帮助我们计算出电压或者电流的大小。
再比如在工程学中，信号处理的时候也会用到复数，复数的模就能告诉我们信号的强度。
总之，复数的模的这些公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多做几道题，就会发现其实也没那么难。
复数经典试题(含答案)百度文库
一、复数选择题1．在复平面内，复数534ii-（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4B ．()4,3-C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭2．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 3．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．54．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知复数512z i=+，则z =（ ）A ．1B C D ．56．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i --C ．3i +D ．3i -+7．设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数z 的共轭复数212iz i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2C ．10D10．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2C ．0D ．1-11．设21iz i+=-，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-12．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BC D ．313．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi -的模等于（ ）A BC D14．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1-B ．12-C ．13D ．115．题目文件丢失！二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-18．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =19．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+ B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -20．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =21．设复数z 满足1z iz+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =22．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12-23．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 24．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥25．已知复数122,2z i z i =-=则（ ） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =26．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数27．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y == B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1 28．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限29．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模30．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】 因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为. 故选：D 解析：D 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可. 【详解】 因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+， 所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D2．C 【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可. 【详解】 解：所以的虚部为9. 故选：C.解析：C 【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可. 【详解】解：()()()32351223469i i i i +=-++=-+ 所以()323i +的虚部为9. 故选：C.3．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅． 【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．4．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限， 故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A 5．C 【分析】根据模的运算可得选项.【详解】 . 故选:C.解析：C 【分析】根据模的运算可得选项. 【详解】512z i ====+故选:C.6．A 【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为， 所以，复数的共扼复数是， 故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133iz i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-， 故选：A7．D 【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点 【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D解析：D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点 【详解】因为211i z i i==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限.故选：D8．A 【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部. 【详解】 ，所以，则的虚部为. 故选：A解析：A 【分析】先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-， 所以zi ，则z 的虚部为1.故选：A9．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.10．A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a，b 的值，求出a+b ． 【详解】 ， 故选：A解析：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+ 3,1a b ==，4a b +=故选：A11．C 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】 因为， 所以其虚部为. 故选：C.解析：C 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】 因为()()()()21223113111222i i i i z i i i i ++++-====+--+， 所以其虚部为32. 故选：C.12．C 【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得，所以的共轭复数是，所以. 故选：C.解析：C 【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得22(2)12121i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =. 故选：C.13．C 【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可. 【详解】 因为，所以，. 所以. 故选：C解析：C 【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可. 【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C14．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B 15．无二、多选题 16．AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0ab ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AC 【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】 令，代入， 得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．18．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 20．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.21．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.22．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.23．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 25．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.26．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.27．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 28．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC【点睛】 本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.。
复数试题及答案
一、复数选择题1．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5B C ．D ．5i3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +4．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 5．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．56．已知i 为虚数单位，复数12i1iz +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．设()2211z i i=+++，则||z =（ ）A B ．1C ．2D8．若复数1z i =-，则1zz=-（ ）A B ．2C ．D ．49．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．510．设21iz i+=-，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-11．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．812．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．713．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BC D ．314．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1-B ．12-C ．13D ．115．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则zi=（ ） A ．1i - B ．1i --C ．1i -+D ．1i +二、多选题16．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 17．若复数351iz i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-19．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -20．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件21．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >22．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z23．已知复数122,2z i z i =-=则（ ）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =24．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根26．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限27．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --28．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=29．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B 解析：B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B2．B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】=+=-，所以|z|=z i i i(2)21故选：B3．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2=--=-+=-，76248676z i i i i i∴=+.z i故选：D.4．D【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】∵，，∴，，∴，，∴，故选：D.解析：D【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.5．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅． 【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．6．C 【分析】利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果. 【详解】 因为 ， 所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限， 故选：C.解析：C利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果. 【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i +++==-- 1322i =-+，所以1322z i =--， 所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限， 故选：C.7．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】 因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．8．A 【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】则， 故选：A.解析：A 【分析】 将1z i =-代入1zz-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】由1z i =-，得2111z i i ii z i i---===---，则11zi z=--==-，故选：A.9．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】 ， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i++===-，∴z ==故选：B ．10．C 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】 因为， 所以其虚部为. 故选：C.解析：C根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】 因为()()()()21223113111222i i i i z i i i i ++++-====+--+， 所以其虚部为32. 故选：C.11．D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】 ，故 则 故选：D解析：D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D12．D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得． 【详解】 解：，解得. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则， 模的性质：，，．解析：D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ． 【详解】解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai++++====+--，解得7a =. 故选：D ．本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)nnz z n N =∈，1122z z z z =． 13．C 【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得，所以的共轭复数是，所以. 故选：C.解析：C 【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得22(2)12121i i i iz i i i ++-+====--， 所以z 的共轭复数是12i +，所以z =. 故选：C.14．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B 15．A【分析】根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解. 【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是， 所以, 所以, 故选：A解析：A 【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解. 【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)， 所以1z i =+,所以11i i i z i +==-, 故选：A二、多选题 16．BC 【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC 【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】 对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确； 对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.17．AD 【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】 解：， ，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD 【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】 解：()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.18．AC 【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】 令，代入， 得，解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案． 【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩，所以0z =，或2i z =，或2i z =-. 故选：AC 【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．19．BC 【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】 根据题意，中， 时，； 时， ；时，； 时，， .选项A 中，； 选项B 中，； 选项C 中，； 选项D 中，.解析：BC 【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】根据题意，{},nM m m i n N ==∈中，()4n k k N =∈时，1n i =； ()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i ii i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i ii i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉. 故选：BC. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.20．AD 【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若，则，故A 正确； 设， 由，可得则，而不一定为0，故B 错误； 当时解析：AD 【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD 【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.21．BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确； 故选：BCD. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.22．AB 【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误． 【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB 【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误． 【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误；对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．23．AD 【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确. 【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确； 对于B 选项，对应的解析：AD 【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确. 【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD 【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.24．AC 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=+，则122z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】 因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【详解】因为（1﹣i）z＝2i，所以21izi=-2(1)221(1)(1)2i i iii i+-+===-+-+，所以||z==A正确；所以1iz=--，故B正确；由1z i=-+知，复数z对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C正确；因为2(1)2(1)2i i-++-++22220i i=--++=，所以D正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.26．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A选项正确；，虚部为，所以B选项正确；，所以C选项错误；，对应点为，在第三象限，故D选项错误.故选解析：AB【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=--⎪⎪⎝⎭，虚部为，所以B选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+=⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C选项错误；221111222212ω---====--⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB 【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.27．ABC 【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为，对于A ：的虚部为，正确； 对于B ：模长，正确； 对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC 【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i iz i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确； 对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.28．AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠， 所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x xx ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.29．AC 【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC 【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案之巴公井开创作1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-， （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin 22ii i e πππ=+= （2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式暗示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 5． 解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）z i += 由此25k i z i e i π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z ==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则z x y ≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；其次，因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=\frac{1}{1-i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）。
A。
$\frac{1+i}{2}$ B。
$\frac{1-i}{2}$ C。
$\frac{-1+i}{2}$ D。
$\frac{-1-i}{2}$2.已知复数 $z=\frac{11+22i}{1-i(m-m^2i)}$ 为纯虚数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$ B。
$-1$ C。
$i$ D。
$-i$3.若复数 $z=(2+i)i$（其中 $i$ 为虚数单位），则复数$z$ 的模为（）。
A。
$5$4.复数 $z=\frac{3i}{5-2i}$ 的虚部是（）。
A。
$\frac{15}{29}$ B。
$\frac{3}{29}$ C。
$-\frac{3}{29}$ D。
$-\frac{15}{29}$5.已知 $2i+1=z\cdot5\left(5-\frac{1}{z}\right)$，则$z=$（）。
A。
$1$ B。
$3$ C。
$2$ D。
$-2$6.复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1-2i$，$z$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot z=$（）。
A。
$5$ B。
$-5$ C。
$5i$ D。
$-5i$7.已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4i}{1+i}$ 在复平面内对应的点在（）。
A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限8.已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z=5+3i$，则$\frac{z}{i}=$（）。
A。
$-3+5i$ B。
$5-3i$ C。
$-5+3i$ D。
$3+5i$9.若复数 $z=\frac{a+i}{1-i}$，$a\in R$，为纯虚数，则$z+a=$（）。
A。
$1+2i$ B。
$2i-1$ C。
$2+2i$ D。
$-2i+1$10.已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2+i}=2-i$，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）。
复数求模(含答案)
-1-
11.设复数
z
满足Ⳁሙ
Ⳁ
=i，则|z|=(
)
A. 1
B. 往
C.
D. 2
12.已知 鲠ሬ ，复数 泚 ሬɯ ，则 往 泚 （ ）
A. 往 ሙ ሬ往 往 ሬɯ
B. 往 ሬ往 往 ሬɯ
C. 往 ሬ往
D. 往 ሙ ሬ往
13.若复数 z 满足 z2=﹣4，则| |=（ ）
Ⳁሙ
A.
B. 3
C.
D. 5
A. 往
B.
C. 2
D.
18.在复平面内，复数 z=cos 3+isin 3（i 为虚数单位），则|z|为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
19.设复数 z 满足 z+3i=3﹣i，则|z|=（ ）
A. 3﹣4i
B. 3+4i
C.
D. 5
20.设复数 满足
Ⳁ i 泚 往 ，则 的最大值为（ ）．
A. 往
B. 2
C. 往 往
D. 4
21.若复数 满足 躠Ⳁ ሙ i 泚 Ⳁ ሙ i ，则复数 的共轭复数的模为（ ）
A. 1
B. 往
C. 2
D. 往 往
-2-
22.设复数 z 满足 z（1+i）=4，则| |等于（ ）
A. 2 往
B. 8
C. 2﹣2i
D. 2+2i
23.若复数 的实部为 Ⳁ，且 泚 往，则复数 的虚部是（ ）
C. 2
27.设 a，b 为实数，若Ⳁሙሙ往ሬɯɯ=1+i，则|a+bi|=（
A.
B. 2
往
） C. Ⳁ
复变函数习题答案习题详解
第一章习题详解1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)i231+ 解：()()()132349232323231231ii i i i i -=+-=-+-=+实部：133231=⎪⎭⎫⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭⎫⎝⎛+i Im共轭复数：1323231ii +=⎪⎭⎫⎝⎛+ 模：1311323231222=+=+i辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 23221331322231231+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2) ii i --131 解：()()()2532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：23131=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Im共轭复数：253131i i i i +=⎪⎭⎫⎝⎛-- 模：234434253131222==+=--iii 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg3)()()ii i 25243-+解：()()()22672267272625243ii ii ii i --=-+=--=-+ 实部：()()2725243-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Re虚部：()()1322625243-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243ii i i +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+ 模：()()2925226272524322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ii i辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 4) i ii +-2184解：i i i i ii 31414218-=+-=+-实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()34218-=+-i ii Im共轭复数：()i i i i 314218+=+- 模：1031422218=+=+-i ii辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i ii Arg 23213244218218+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=+-arg2． 当x 、y 等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。
复变函数(第四版)课后习题答案
y
1
−z
z
z
o
x
-z
z
−1
1
z
z
18．已知两点 z1 与 z2 （或已知三点 z1, z2 , z3 ）问下列各点位于何处？
（1）
z
=
1 2
(z1
+
z2
)
（2） z = λz1 + (1 − λ )z2 （其中 λ 为实数）；
（3）
z
=
1 3
=|
z
|
ei Arg z
⋅
−i π
e2
i⎜⎛ Arg z− π
= |z|e ⎝ 2
⎟⎞ ⎠
，可知复数的模不变，
辐角减少 π 。 2
11．证明：| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) ，并说明其几何意义。
证明： | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z2 )
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？
( ) 解：设复数 z =| z | eiArgz ，则 z − i
34
= 1 [5x + 3y − 4]+ i(− 3x + 5y −18) = 1 + i
复数的运算和复数的模
共轭复数的四则运算法则
和差的共轭复数等于共轭复数
z1 z2 z1 z2 的和差.
z1 z2 z1 z2 积的共轭复数等于共轭复数的积.
z1 z2
z1 z2
(z2
0)
商的共轭复数等于共轭复数的商.
zn (z)n
乘方的共轭复数等于共轭复数 的乘方.
例题 例1.下列命题中 (1)若b为实数,且Z bi,则 z b. (2)若Z为纯虚数,且 Z b,则Z bi. (3)若 Z1 Z2 ,则Z1 Z2.
求证：3z1-z2为实数。
例8.复数z1、z2 ，满足10z12+5z22=2z1z2, 且z1+2z2为纯虚数，
求证：3z1-z2为实数。 证明：10z12+5z22=2z1z2
（z12+4z1z2+4z22)+(9z12-6z1z2+z22)=0 （z1+2z2)2+（3z1-z2)2=0 （3z1-z2)2=-(z1+2z2)2 ∵z1+2z2是纯虚数，∴(z1+2z2)2<0, 即（3z1-z2)2>0，∴3z1-z2∈R
一．复数的模
复平面上复数表示的点到原点 的距离。而实数的绝对值是数
y
Z(a,b)
轴上的点到原点的距离，所以
复数的模是实数绝对值概念的 o
x
扩充。|z|=|OZ|=|OZ |
对复数的模有:|z|=|a+bi|= a2 b2 ≥0;
|z|2=|z2|=| z |2=z·z =a2+b2
两个复数差的模|z1-z2|可以理解 为平面上两点间的距离。
证明:由复数模的性质,
|
z| 1 |z|
复数的模及共轭复数 答案
复数的模及共轭复数（答案）1、有关复数的模你知道哪些？（1）2||||||z a bi OZ a =+== （2）22Z Z Z Z == （注意22||z z ≠）（3）1212Z Z Z Z =⋅ 11222(0)ZZ Z Z Z =≠ n n Z Z =如；22(3)(1)(1)i i i i -++=- （3）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|如；若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 [1,3] .2、有关共轭复数你知道哪些？ 若(,),z a bi a b R =+∈则z a bi =-如：复数43z i =-的共轭复数为 43i -- 1212z z z z ±=± 1212z z z z ⋅=⋅ 11222()(0)z zz z z =≠ 11()()n n z z = z z = 如：12z i +=，1122z i z i +=-3、设41123(12),,(3)2z i z z i i+==--则2||z = 44、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？ （1）a b a c b c >⇔+>+ （2）20a ≥（3）2200a b a b +=⇔==（4）22a a = a = 虚数的模永远去不掉！ （5）a b a b =⇔=± 22a b a b =⇔=±（6）100a a a≠⇒+≠ 5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？ （1）222()2a b a ab b +=++ （2）22()()a b a b a b +-=-（3）200a ab a ora b -=⇔== （4）00a b a b +=⇔==6、判断下列是非，错误举出反例。
（1）已知12,Z Z C ∈，若120Z Z ->，则12Z Z > （错）(2)若222(3)(43)10m m m i m m i --<-++, 则(m ∈(错) （3）Z C ∈，若21Z <，则11Z -<< （错） （4）设12,Z Z C ∈ 若12Z Z = 则12Z Z =± （错） （5）22z i z i +=- （ 对 ）7、判断下列是非，错就举出反例。
复数的运算和复数的模
一．复数的模
复平面上复数表示的点到原点 的距离。而实数的绝对值是数
y
Z(a,b)
轴上的点到原点的距离，所以
复数的模是实数绝对值概念的 o
x
扩充。|z|=|OZ|=|OZ |
对复数的模有:|z|=|a+bi|= a2 b2 ≥0;
= | z a | =1.
| z || a z |
评析：运用复数模的性质计算，能简捷.
(2)中由已知条件|z|=1,巧妙用了z· z
代换1。
例题
例5.已知Z是复数, z 1 1 , z
求证: 1 5 | z | 1 5
2
2
例题
例5.已知Z是复数, z 1
z
1,求证: 1
2
5 | z | 1 5 2
=2(z1 z1 +z2 z2 )=2(|z1|2+|z2|2)
（2）∵|zk|=r，∴
1 zk
zk r2
∴原式=
| z1 z2 1
zn |
r 2 | z1 z2 zn |
= r2
z1 z2 z1 z2
zn zn =r2.
例10.若Z为虚数,且|Z|=1,求证:z 1
是纯虚数.
z 1
例11:已知|Z|=1,求|Z2-Z+1|的最大值和最 小值.
例12.已知a,b∈R,且|a|≠|b|, |Z|=1
u a bz b az
,求证:|u|=1
例13.设z为虚数,求 z2 4 为实数的充要条件 z
解：若z2 4 为实数，则z2 4 ( z2 4)
高中数学第七章复数典型例题(带答案)
高中数学第七章复数典型例题单选题1、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C解析：用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，根据题意，可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.2、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D3、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）A ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，0)C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)D ．OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-2) 答案：C分析：结合纯虚数概念判断即可向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)对应的复数为23i ，是纯虚数. 故选：C4、已知a,b ∈R ，a 1+i +b 1−i =1，则a +2b =（ ）A ．3B ．√3C ．√2D ．1答案：A分析：等式两边同乘(1+i)(1−i)，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值因为a 1+i +b 1−i =1 ，所以a(1−i)+b(1+i)=(1+i)(1−i)=1−i 2=2即(a +b)+(b −a)i =2所以{a +b =2b −a =0 解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3故选：A5、设π<θ<5π4，则复数cos2θ+isin2θcosθ−isinθ的辐角主值为（ ）A ．2π−3θB ．3θ−2πC ．3θD ．3θ−π答案：B分析：根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．解：cos2θ+isin2θcosθ−isinθ=cos2θ+isin2θcos(−θ)+isin(−θ)=cos3θ+isin3θ，因为π<θ<5π4，所以3π<3θ<15π4，所以π<3θ−2π<7π4，所以该复数的辐角主值为3θ−2π．故选：B.6、复数z =−2+i 2049的共轭复数z =（ ）A ．12+i 2B ．12−i 2C ．−2−iD ．−2+i答案：C分析：先由复数的运算可得z =−2+i ，然后求其共轭复数即可.解：因为z =−2+i 2049=−2+(i 4)512⋅i =−2+i ，则z =−2−i ，故选：C.7、设(1+i)x =1+yi ，其中i 为虚数单位，x,y 是实数，则|x +yi |=（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2答案：B分析：先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解.因为(1+i)x =1+yi ，所以{x =1y =x ，解得{x =1y =1，所以|x+yi|=√x2+y2=√2.故选：B.8、已知i是虚数单位，则复数z=2−i20202+i2021对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D分析：先化简i2020,i2021，再利用复数的除法化简得解.z=2−i20202+i2021=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.多选题9、下列说法中正确的有（）A．若a∈R，则(a+1)i是纯虚数B．若x2−1+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1C．若a≤0，则z=a2−b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数D．若a,b∈R，且a>b，则bi2>ai2答案：CD分析：根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.对于A中，当a=−1，可得的(a+1)i=0不是纯虚数，故A错误；对于B中，当x=−1，可得x2+3x+2=0，此时x2−1+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数，所以B错误；对于C中，当a≤0时，可得|a|+a=0，所以z=a2−b2为实数，所以C正确；对于D中，由i2=−1，且a>b，所以bi2>ai2，所以D正确．故选：CD10、设复数z=1a+2i(a∈R)，当a变化时，下列结论正确的是（）A ．|z |=|z |恒成立B ．z 可能是纯虚数C ．z +1z 可能是实数D ．|z |的最大值为12 答案：ABD分析：首先根据题意得到z =a a 2+4−2a 2+4i ，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.z =1a+2i =a−2i (a+2i )(a−2i )=a a 2+4−2a 2+4i ， 对选项A ，z =a a 2+4+2a 2+4i ，|z |=|z |=√a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2，故A 正确.对选项B ，z =aa 2+4−2a 2+4i ， 当a =0时，z =−12i 为纯虚数，故B 正确.对选项C ，z +1z =a a 2+4−2a 2+4i +a +2i =(a a 2+4+a)+(2−2a 2+4)i令2−2a 2+4=0，即a 2+3=0无解，故C 错误.对选项D ，|z |2=a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2=1a 2+4≤14，当且仅当a =0时取等号.所以|z |的最大值为12，故D 正确.故选：ABD11、下列命题中正确的有（ ）A ．若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；C ．若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2；D ．若复数z ∈R ，则z ∈R ．答案：AD分析：根据复数的运算性质，即可判定A 正确；取z =i ，可判定B 不正确；取z 1=1+i,z 2=2−2i ，可判断C 不正确；根据复数的运算法则，可判定D 正确.对于A 中，设复数z =a +bi,(a,b ∈R)，可得1z=a−bi (a+bi )(a−bi )=a a 2+b 2−b a 2+b 2i ， 因为1z ∈R ，可得b =0，所以z =a ∈R ，所以A 正确；对于B中，取z=i，可得z2=−1，所以B不正确；对于C中，例如：z1=1+i,z2=2−2i，则z1z2=(1+i)×2(1−i)=4∈R，此时z1≠z2，所以C不正确；对于D中，设z=a+bi,(a,b∈R)，由z∈R，可得b=0，即z=a，可得z=a∈R，所以D正确.故选：AD12、已知复数z1=6a+2+(a2−2)i,z2=1−ai(a∈R)，若z1+z2为实数，则（）A．a=1B．z1z1=√5C．z26为纯虚数D．z1z2对应的点位于第二象限答案：AC分析：先求出z1+z2，再由其为实数可求出a的值，然后逐个分析判断即可因为z1=6a+2+(a2−2)i,z2=1−ai(a∈R)，所以z1+z2=6a+2+(a2−2)i+1+ai=a+8a+2+(a2+a−2)i，因为z1+z2为实数，所以{a 2+a−2=0a+2≠0，解得a=1，所以A正确，z1=2−i,z2=1−i，所以z1z1=(2−i)(2+i)=5，所以B错误，z26=(1−i)6=[(1−i)2]3=(−2i)3=8i为纯虚数，所以C正确，z1 z2=2−i1−i=(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+2i−i−i22=32+12i，其在复平面内对应的点在第一象限，所以D错误，故选：AC13、若z−z=−14i,|z|=5√2，则z可能为（）A．1−7i B．1+7i C．−1−7i D．−1+7i答案：AC分析：待定系数法设复数，列方程组后求解设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，由题意可得{z−z=2bi=−14i, |z|=√a2+b2=5√2,解得{b =−7,a =1或{b =−7,a =−1,所以z =1−7i 或−1−7i ． 故选：AC填空题14、已知|z −1−i |=1，则|z +i |的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z +i |表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z +i |表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z +i |的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z =x +yi ，则|z −a −bi |表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，|z −a −bi |=r 表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点.15、复数z 1,z 2满足：|z 1|=3，|z 2|=4，|z 1+z 2|=5，则|z 1−z 2|=______．答案：5分析：根据给定条件，结合复数模公式计算作答.设复数z 1=a +bi,z 2=c +di,a,b,c,d ∈R ，z 1+z 2=(a +c)+(b +d)i ，z 1−z 2=(a −c)+(b −d)i ， 由|z 1|=3得a 2+b 2=9，由|z 2|=4得c 2+d 2=16，由|z 1+z 2|=5得(a +c)2+(b +d)2=25，因此ac +bd =0，所以|z 1−z 2|=√(a −c)2+(b −d)2=√a 2+b 2−2(ac +bd)+c 2+d 2=5所以答案是：516、已知a 为实数，若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 为纯虚数，则a =________．答案：−1分析：根据纯虚数的定义列出方程，解得，即可得出答案.解：若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 是纯虚数，则{a 2−3a −4=0a −4≠0，解得a =−1. 所以答案是：−1.解答题17、已知复数z 1=2−5i ，z 2=1+(2cosθ)i .(1)求z 1⋅z 1；(2)复数z 1，z 2对应的向量分别是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，当θ=π3时，求OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出z 1，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数z 1=2−5i ，则z 1=2+5i ，所以z 1⋅z 1=(2−5i)(2+5i)=29.(2)依题意，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5)，当θ=π3时，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)=(1,1)， 所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(−5)×1=−3.18、对任意的复数z =x +yi(x 、y ∈R)，定义运算P (z )=x 2[cos (yπ)+isin (yπ)]．则直线l ：x −y −9=0上是否存在整点(x,y )（x 、y 均为整数的点），使得复数z =x +yi(x 、y ∈R)经运算P 后，P (z )对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．答案：存在满足条件的整点(3,−6)、(−3,−12)．分析：写出P(z)对应点坐标为(x 2cos(yπ)，x 2sin(yπ))，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．解：P(z)对应点坐标为(x 2cos(yπ)，x 2sin(yπ))由题意{y=x−9x2sinyπ=x2cosyπ−9x,y∈Z，得x2sin(xπ−9π)=x2cos(xπ−9π)−9∴x2sinxπ=x2cosxπ+9，∵x∈Z，∴①当x=2k，k∈Z时，得x2+9=0不成立；②当x=2k+1，k∈Z时，得x2−9=0，∴x=±3成立，此时{x=3y=−6或{x=−3y=−12，故存在满足条件的整点(3,−6)、(−3,−12)．。
高考数学复数习题及答案 百度文库
10．B
【分析】
可得，即得.
【详解】
由，得a＝1.
故选：B．
解析：B
【分析】
可得 ，即得 .
【详解】
由 ，得a＝1.
故选：B．
11．D
【分析】
设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.
【详解】
设，
则复数对应的向量，
因为向量与共线，
所以，
又，
所以，
解得或，
因为复数对应的点在第三象限，
所以，
故选：B
二、多选题
16．AC
【分析】
根据复数的运算及复数的概念即可求解.
【详解】
因为复数，
所以z的虚部为1，，
故AC错误，BD正确.
故选：AC
解析：AC
【分析】
根据复数的运算及复数的概念即可求解.
【详解】
因为复数 ，
所以z的虚部为1， ，
故AC错误，BD正确.
故选：AC
17．BC
【分析】
分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误.
先求 和 的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故选：D.
4．A
【分析】
根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得
【详解】
由复数为纯虚数，则，解得
则 ，所以，所以
故选：A
解析：A
【分析】
根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得 ，.进而求得复数 ,再根据模的定义即可求得
复变函数课后习题答案（全）第四版
习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+22sin [cossin]2sin 2222ii e πθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）51,z i+= 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则2x y z x y +≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。
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复数的模及共轭复数（答案）1、有关复数的模你知道哪些？（1）2||||||z a bi OZ a =+== （2）22Z Z Z Z == （注意22||z z ≠）（3）1212Z Z Z Z =⋅ 11222(0)ZZ Z Z Z =≠ n n Z Z =如；22(3)(1)(1)i i i i -++=- （3）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|如；若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 [1,3] .2、有关共轭复数你知道哪些？ 若(,),z a bi a b R =+∈则z a bi =-如：复数43z i =-的共轭复数为 43i -- 1212z z z z ±=± 1212z z z z ⋅=⋅ 11222()(0)z zz z z =≠ 11()()n n z z = z z = 如：12z i +=，1122z i z i +=-3、设41123(12),,(3)2z i z z i i+==--则2||z = 44、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？ （1）a b a c b c >⇔+>+ （2）20a ≥（3）2200a b a b +=⇔==（4）22a a = a = 虚数的模永远去不掉！ （5）a b a b =⇔=± 22a b a b =⇔=±（6）100a a a≠⇒+≠ 5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？ （1）222()2a b a ab b +=++ （2）22()()a b a b a b +-=-（3）200a ab a ora b -=⇔== （4）00a b a b +=⇔==6、判断下列是非，错误举出反例。
（1）已知12,Z Z C ∈，若120Z Z ->，则12Z Z > （错）(2)若222(3)(43)10m m m i m m i --<-++, 则(m ∈(错) （3）Z C ∈，若21Z <，则11Z -<< （错） （4）设12,Z Z C ∈ 若12Z Z = 则12Z Z =± （错） （5）22z i z i +=- （ 对 ）7、判断下列是非，错就举出反例。
（6）12,Z Z C ∈，若120Z Z ⋅= 则1200Z Z ==或 （对） （7||z = （ 错 ） （8）若20Z C Z ∈⇒≥ （ 错 ）（9）12,Z Z C ∈，若22120Z Z +=，则120Z Z == （错）（10）10101033311=[](1)122-+-+=-=（）（） （错） 解：（1）反例：若121,Z i Z i =+=，120Z Z ->（2）22222210(3)(43)10303430m m m m i m m i m m m m m ⎧<⎪--<-++⇒-=⇒=⎨⎪-+=⎩（3）反例：Z i = （4）反例：121,Z Z i == （7）反例：Z i =（8）反例：Z i = （9）反例：121,Z Z i ==（10）在实数集中，有幂的运算性质()m n mn a a =，而这个性质在复数集是不存立的。
但当z C ∈，且,m n N ∈时，结论成立。
当,m n 中有分数时，结论就不成立的。
如：1124221()()11i i -==== 8、设cos sin Z i ββ=+，且02βπ≤≤，则1i Z ++的最大值为1__ 9、（模的含义）设复平面上三点,,A B C 对应的复数分别是123,,z z z ，若2131413z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边之比为 ；5:4:310、已知复数Z 满足1Z i Z +-=，则1Z i ++的最小值为；11、设(,)Z x yi x y R =+∈，且|4|2,z -=求y x的最小值；33-12、已知复数Z 满足不等式0Z Z iZ iZ +-≤，求Z 的取值范围。
解：设Z x yi =+，得 ()()()()0x yi x yi i x yi i x yi +-++--≤ 得22(1)1x y +-≤所以，Z 表示复平面内到（0,1）的距离小于等于1的点，而Z 表示Z 到原点的距离，由图知；[0,2]Z ∈13、已知复数1(,,)2Z x yi x y R x =+∈≥, 满足1Z x -=, 那么Z 在复平面上对应的点(,)x y 的轨迹方程是 122-=x y[解析]: 已知复数1(,,)2Z x yi x y R x =+∈≥， 满足|z-1|= x ,222)1(x y x =+-即122-=x y 那么z 在复平面上对应的点(x,y)的轨迹是抛物线14、试求满足20021122|1|4|1|log ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+>+---i z z 的复数z 在复平面上所表示的区域的面积.2001001110022|1|421log 1log |1|21(2)2z z i i ⎛⎫-->=== ⎪ ⎪-++⎝⎭|1|4104|1|10|1|22z z z --⇒<<⇒<-<-+所以复数z 在复平面上所表示的区域是原点为圆心半径为10和4的圆环的内部， 即 1001684S πππ=-=15已知z i z i +=-，则33z i z i -+--的最小值是 5 ；16、若复数z 的轨迹是为椭圆，满足0|2|||4z i z z -+-=，则0||z 的取值范围是 [0,6) ；解：有椭圆的定义知：复数z 到两定点0z ，与2i 的距离和为4，两定点0z ，与2i 的距离为0|2|z i - 即0|2|4z i -<，17、复数z 的轨迹是为线段，满足0|2|||4z i z z -+-=，则0z表示的点的轨迹是 园18、若复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，则它在复平面中对应的点的轨迹是 ；直线19若复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，求||z 的最小值；复数的模及共轭复数1、有关复数的模你知道哪些？并求下列题目。
（1）22(3)(1)(1)i i i i -++=- ； 2）若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 ；2、有关共轭复数你知道哪些？并求下列题目。
（1）复数43z i =-的共轭复数为 （2）12z i +=，3、设41123(12),,(3)2z i z z i i+==--则2||z =4、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？6、判断下列是非，错就举出反例。
（1）已知12,Z Z C ∈，若120Z Z ->，则12Z Z > （ ）(2)若222(3)(43)10m m m i m m i --<-++, 则(m ∈ ( ) （3）Z C ∈，若21Z <，则11Z -<< （ ） （4）设12,Z Z C ∈ 若12Z Z = 则12Z Z =± （ ） （5）22z i z i +=- （ ）7、判断下列是非，错就举出反例。
（6）12,Z Z C ∈，若120Z Z ⋅= 则1200Z Z ==或 （ ）（7||z = （ ）（8）若20Z C Z ∈⇒≥ （ ）（9）12,Z Z C ∈，若22120Z Z +=，则120Z Z == （ ）（10）10101033311=[](1)12222-+-+=-=（）（） （ ）8、设cos sin Z i ββ=+，且02βπ≤≤，则1i Z ++的最大值为_______9、设复平面上三点,,A B C 对应的复数分别是123,,z z z ，若2131413z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边之比为 ；10、已知复数Z 满足1Z i Z +-=，则1Z i ++的最小值为 。
11、设(,)Z x yi x y R =+∈，且xyz 则,2|4|=-的最小值是12、已知复数Z 满足不等式0Z Z iZ iZ +-≤，求Z 的取值范围。
13、已知复数1(,,)2Z x yi x y R x =+∈≥, 满足1Z x -=, 那么Z 在复平面上对应的点(,)x y 的轨迹方程是14、试求满足20021122|1|4|1|log ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+>+---i z z 的复数z 在复平面上所表示的区域的面积为 .15、已知z i z i +=-，则33z i z i -+--的最小值是 ；16、若复数z 的轨迹是为椭圆，满足0|2|||4z i z z -+-=，则0||z 的取值范围是 ；17、复数z 的轨迹是为线段，满足0|2|||4z i z z -+-=，则0z表示的点的轨迹是18、若复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，则它在复平面中对应的点的轨迹是 ；19、若复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，求||z 的最小值；。