复数的模及共轭复数 答案

复数的模及共轭复数（答案）

1、有关复数的模你知道哪些？

（1）

2||||||z a bi OZ a =+== （2）2

2

Z Z Z Z == （注意22||z z ≠）

（3）1212Z Z Z Z =⋅ 11222

(0)Z

Z Z Z Z =≠ n n Z Z =

如；

2

2(3)(1)

(1)

i i i i -++=- （3）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|

如；若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 [1,3] .

2、有关共轭复数你知道哪些？ 若(,),z a bi a b R =+∈则z a bi =-

如：复数43z i =-的共轭复数为 43i -- 1212z z z z ±=± 1212z z z z ⋅=⋅ 11222

()(0)z z

z z z =≠ 11()()n n z z = z z = 如：12z i +=，1122z i z i +=-

3、设4

112

3(12),,(3)2z i z z i i

+==--则2||z = 4

4、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？ （1）a b a c b c >⇔+>+ （2）20a ≥

（3）2200a b a b +=⇔==

（4）2

2a a = a = 虚数的模永远去不掉！ （5）a b a b =⇔=± 22a b a b =⇔=±

（6）1

00a a a

≠⇒+

≠ 5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？ （1）222()2a b a ab b +=++ （2）22()()a b a b a b +-=-

（3）200a ab a ora b -=⇔== （4）00a b a b +=⇔==

6、判断下列是非，错误举出反例。

（1）已知12,Z Z C ∈，若120Z Z ->，则12Z Z > （错）

(2)若222(3)(43)10m m m i m m i --<-++, 则(m ∈(错) （3）Z C ∈，若21Z <，则11Z -<< （错） （4）设12,Z Z C ∈ 若12Z Z = 则12Z Z =± （错） （5）22z i z i +=- （ 对 ）

7、判断下列是非，错就举出反例。

（6）12,Z Z C ∈，若120Z Z ⋅= 则1200Z Z ==或 （对） （7

||z = （ 错 ） （8）若20Z C Z ∈⇒≥ （ 错 ）

（9）12,Z Z C ∈，若22120Z Z +=，则120Z Z == （错）

（10

）

10

10

1033

311=[](1)122-+-+=-=（）（） （错） 解：（1）反例：若121,Z i Z i =+=，120Z Z ->

（2）22222210

(3)(43)10303430m m m m i m m i m m m m m ⎧<⎪

--<-++⇒-=⇒=⎨⎪-+=⎩

（3）反例：Z i = （4）反例：121,Z Z i == （7）反例：Z i =

（8）反例：Z i = （9）反例：121,Z Z i ==

（10）在实数集中，有幂的运算性质()m n mn a a =，而这个性质在复数集是不存立的。但当z C ∈，且,m n N ∈时，结论成立。当,m n 中有分数时，结论就不成立的。如：1

12

42

2

1()()11i i -==== 8、设cos sin Z i ββ=+，且02βπ≤≤，则1i Z ++的最大值为

1__ 9、（模的含义）设复平面上三点,,A B C 对应的复数分别是123,,z z z ，若

21314

13z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边之比为 ；5:4:3

10、已知复数Z 满足1Z i Z +-=，则1Z i ++的最小值为

；

11、设(,)Z x yi x y R =+∈，且|4|2,z -=求

y x

的最小值；33-

12、已知复数Z 满足不等式0Z Z iZ iZ +-≤，求Z 的取值范围。 解：设Z x yi =+，得 ()()()()0x yi x yi i x yi i x yi +-++--≤ 得22(1)1x y +-≤

所以，Z 表示复平面内到（0,1）的距离小于等于1的点，而Z 表示Z 到原点的距离，由图知；[0,2]Z ∈

13、已知复数1

(,,)2Z x yi x y R x =+∈≥, 满足1Z x -=, 那么Z 在复平

面

上对应的点(,)x y 的轨迹方程是 122-=x y

[解析]: 已知复数1

(,,)2

Z x yi x y R x =+∈≥， 满足|z-1|= x ,

222)1(x y x =+-

即122-=x y 那么z 在复平面上对应的点(x,y)的轨迹是抛物线

14、试求满足200

21

122|1|4|1|log ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+>+---i z z 的复数z 在复平面上所表示的区

域的面积.

200

1001

110022|1|421

log 1log |1|21(2)2

z z i i ⎛⎫

-->=== ⎪ ⎪-++⎝⎭

|1|41

04|1|10|1|22

z z z --⇒<

<⇒<-<-+

所以复数z 在复平面上所表示的区域是原点为圆心半径为10和4的圆环的内部， 即 1001684S πππ=-=

15已知z i z i +=-，则33z i z i -+--的最小值是 5 ；

16、若复数z 的轨迹是为椭圆，满足0|2|||4z i z z -+-=，则0||z 的取值范围是 [0,6) ；

解：有椭圆的定义知：复数z 到两定点0z ，与2i 的距离和为4，两定点

0z ，与2i 的距离为0|2|

z i - 即0|2|4z i -<，

17、复数z 的轨迹是为线段，满足0|2|||4z i z z -+-=，则0z

表示的点的轨迹是 园

18、若复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，则它在复平面中对应的点的轨

迹是 ；直线

19若复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，求||z 的最小值；