数学中的对称美

数学中的对称美

摘要：对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。
关键词：对称图形、数学、对称美
大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等等，对称本身就是一种和谐、一种美。在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形等等，其实根据对称原理在小学数学中各知识领域，均可发现这一规律的应用。如何让学生掌握对称这一基本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一即简单，又蕴涵深刻哲理的原理，这需要我们深层了解隐藏在问题后面的本质特征，现根据笔者在教学中发现的一些案例，来阐述如何发现数学中的对称美。
一、从回文数中得到启发，巧解等差数列
回文数有许多如0：2002年就是一个回文数，下一个回文数就要等到2112年，整数乘法中最有趣的一个回文数就是：1×1=1，11×11=121，111×111=12321。根据这一规律可以巧算出：111111111×111111111=12345678987654321，学生对于回文数这一特殊结果，大都觉得非常惊讶，对此产生浓厚的兴趣，感叹数的对称美。对称作为一种美,在宇宙万物中成为一个永恒的定理，就象有阴就有阳，有黑就有白一样，说的更玄乎一些，像现代物理学理论中所推论的那样有正物质就有反物质，如，我们生活中所看到感受到的一切客观事物都是正物质，同样宇宙中也存在我们看不见的能量和正物质一样相等的反物质，这样宇宙才均衡，就像宇宙中有你，同样也存在着“反你”，如果有一天“你们”一握手，那么你和“反你”就顿时消失，就像5+（-5）=0一样，说来有些荒唐，可是这种设想在解答一些难题时，却显得巧妙、易懂。
如在小学对程度比较好的学生上等差数列求和时，大都用公式：（首项+末项）×项数÷2来教学，可对于小学生要掌握和理解有一定困难。如一道“有女不善织”的古代算术题：有位妇女不善织布，她每天织的布都比上一天要减少一些，减少的数量是相等的，她第一天织了五尺，最后一天织了一尺，一共织了三十天，她一共织了多少尺布？这题的难点在于除了第一天和最后一天，中间每天织的布不是整数，而且每天比上一天少织多少布也不易求。可运用对称的思想是这样解答的：假设还有另一位姑娘也和这位妇女一样织布，

只不过她与这位妇女织布的情况刚好相反：姑娘每天织的布都比上一天要增加一些，增加的数量是相等的，她第一天织一尺，最后一天织五尺，也织了三十天，由此可知，姑娘和妇女所织布的总长度是相等的，妇女所织的布每天减少的数量与姑娘织布每天增加的布的数量是相等的，因此每天两人共织的布为六尺，三十天共织6×30=180尺，每人织90尺。
这题的巧妙之处在于将抽象的一组等差数列求和转化为形象生动的形似回文数一般的对称求和方法，也和物理学中所说的正物质和反物质有异曲同工之妙。其实做为等差数列求和都可以用这种思路解答，运用对称的思维来理解等差数列比单纯讲求和公式要形象、生动的多。
二、从轴对称图形中发现对称原理的运用
根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”
这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。
类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。
用对称图形表示对偶。数学的对称美

自然地表现在数学元素的“对偶”和数学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。
例1　在欧氏平面几何中,对命题“过两点可以作一条直线”。我们把其中“点”换成“直线”,“直线”换成“点”,再适当改变关系词,则命题变为“两直线交于一点”。而这个命题显然是错误的,因为两直线平行时就没有交点。这说明在这个命题中,点与直线的关系不是对称的。设想两平行直线在无穷远点相交,这时点与直线就形成对称关系。狄沙格正是在此设想下初步建立了射影几何理论。我们把例1中的对偶关系用下面的图直观的表现出来:上行表示过两点可以确定一条直线,箭头的含义是“确定”。左、右两个箭头表示交换点与直线的位置。下行表示“两直线交于一点”,箭头的含义是“相交”,这是根据设想做出的,这个设想使图(1)成为完美的矩形,并且点与直线的对偶关系转化为了
几何上的对称。数学中的对称美为数学研究提供了一种独特的方法,即对称法。简单的说,对称法就是运用对称性的思维方法。例1中所做的“设想”就是使用了对称法。数学家利用这一方法,揭示和发现了很多的数学奥秘,得到非常有用的理论和结论。也正是对称法,启发我们将“对偶”转化为“对称”。除了射影几何外,现代代数学中也有此类应用。
例2[ 1 ] 设k是域, A 是一个k - 空间。称A 是一个k - 代数,如果A 中元素有乘法运算和单位元, 并且乘法运算满足结合律。我们用映射μ∶A á A →A表示乘法运算,用映射ε: A →k表示A 中单位元,则结合律和单位元分别可表述为下面的交换图: 将所有出现的箭头反向,并且用替换, 用替换,得和,并且有交换图:其中的Δ称为余乘法,η称为余单位,交换图( 3)称为余乘法的余结合律。这里,“乘法与余乘法”,“结合律与余结合律”都是对偶元素。余代数是现代数学的分支,在量子物理学中有着重要的作用。
三、在方程解题中渗透对称思想，帮助学生从算术思维到代数思维的转变
大家都知道算术思维是逆向思维，而方程思维是顺向思维。用方程的思维可以解答一些算术方法较难解决的问题。可小学生对算术的解法根深蒂固，可对方程的解法却始终有排斥的心理。如六年级下册的正反比例应用题，许多学生用算术解都做的出来，可是用比例解却总是搞不清正反比例，原因在于他们受算术解法知识的负迁移影响，努力去找问题的答案而不是去找不变的量，对方程缺乏深层的理解，没有认识到方程本身就是运用对称的原理，不论正反

比例关键是要找到不变的量，方程的左边和右边就像轴对称图形的左右两边虽然不完全一样但是大小一样。左边和右边找到了不变的量也就找到了方程。
同样的在解方程中也可运用对称的原理使得问题简单的多，如：解方程：5x+6=3x+11这题方程的左右两边都有x时如果用初中的知识移项很好解答，可在小学用方程对称的原理也很容易解答：如果方程的左右两边同时拿走3 x，方程左右两边还成立吗？显然依然相等，因此这题就简化为：2 x+6=11，这样的思维方法每个学生都明白，同时也加深了对方程的理解。“对偶”是数学对称美的自然表现,是对称概念的拓广。我们再以平面几何中的例子说明“对偶”。在平面几何里,我们说“一点在一直线上。”这件事也可以换成另外一种说法:“一直线通过一点。”这里, “点”与“直线”两个名词相互交换了一下地位。这样的两个命题,在几何学上就称为“自行对偶”命题,“点”与“直线”称为对偶元素。在几何学里,关于位置关系的命题还有很多,例如:“两点在一直线上”与“两直线交于一点”。这是两种不同的位置关系,只要把“点”换成“直线”,“直线”换成“点”,再把关系词适当改变一下,就可以由前面一种关系得出后面一种关系。这样的两个命题,几何学中就称为“互为对偶”命题。因此,选定数学命题中的两个或两个以上数学元素,交换或轮换它们的位置,再改变关系词, 就得到新的命题, 称为原命题的对偶命题。
“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。我们做为新课程理念指导下的教师不仅要传授学生知识，更重要的是要培养学生发现美、创造美的能力，让学生在学数学的过程中发现数学的美，深深的被数学的魅力感动，进一步提高了数学素养，努力去探索世界的真、善、美，就像一位物理学家所说的那样：如果一个理论它是美的，那它一定是个真理。
参考文献:
[ 1 ]常庚哲,李炯生. 高中数学竞赛教程[M ]. 江苏教育出版
社, 1989.
[ 2 ]张禾瑞,郝炳新. 高等代数[M ]. 高等教育出版社, 1983.