03第三章刚体力学

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第一节 刚体运动的描述
二、描述定轴转动的物理量
定轴(fixed-axis)转动：转轴固定不动的转动
用角量来描写转动：
z
定轴处O点与刚体上任一点
P之间的位置矢量 O P 处于
处，经过t时间后，该矢
径转过 角度：
O P Q
x
角坐标 , 角位移
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第一节 刚体运动的描述
角速度(Angular Velocity)
它与刚体对给定转轴的质量分布有关。 特别要注意： 转动惯量与转轴的位置有关。
转动惯量具有可相加性。
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第二节 刚体定轴转动定律
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第二节 刚体定轴转动定律
例例2 计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴
的转动惯量。
解
z
J r2dm
dm
dmdx mdx
l
o x dx
x
J lx2mdx1mx3l
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第二节 刚体定轴转动定律
r iF isini r ifisini m iri2
质点mi的外力矩
质点mi所受内力矩
对所有质点求和，可以得到：
riF isini rifisini m iri2
i1
i1
i1
合内力矩 ri fi sini 为零，则：
riFi sini miri2
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第一节 刚体运动的描述
刚体(rigid body)： 在运动过程中形状和大小都不变的物体。 研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中， 任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系。
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第一节 刚体运动的描述
一、平动和转动 平动(translation)： 刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终 保持平行。
根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求
（1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离。 （2）绳子的张力。
解
m
mgTma
R
TRJ1mR2
T'
2
T
a R
m
mg
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第二节 刚体定轴转动定律
a mg 8105ms-2 mM2 88
h1at215122.5m 22
T116540N 2
m R
T'
0l
3l 0
J 1 ml2 3
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第二节 刚体定轴转动定律
例例3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并
与盘面垂直的轴的转动惯量。
解 dm2rdr
J r2dm 2r3dr J 2 Rr3dr
0
R4 1 mR2
22
r dr
Ro
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第二节 刚体定轴转动定律
例例4 质量 m = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮,一
解 （1）由匀变速转动运动方程：
1 0 1 0 0 5 0 5 (ra d /s2)
t
1 0
（2）10s内，飞轮的角位移：
0t
1t2
2
750(rad)
N/2 375(r)
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第一节 刚体运动的描述
（3）t = 5s时，0t75
飞轮边缘上一点P的速度大小：
vr235.6(m /s)
该点的切向加速度和法向加速度
二、转动定律
把刚体看作一个质点系，对其上P处的 第 i 个质点mi，分析其受力：
Fi fi miai
切线方向分量为：
o fi
ri
F is ini fis ini m ir i
两边同时乘以ri：
r iF isini r ifisini m iri2
i i
P
Fisini
Fi fisini
T
m
mg
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第三节 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
d dA F cos dr
F cos rd F sin rd Md
i1
i1
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第二节 刚体定轴转动定律
riFi sini miri2
i1
i1
刚体的合外力矩
miri2=J，J 为转动惯量
转动定律： M J
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第二节 刚体定轴转动定律
三、转动惯量(moment of inertia)
Jmiri2
通常刚体均为连续体，则：
J r2dm m
J 的单位：kg·m2。
at r 15.7(m/s2) an r2 5.55104(m/ s2)
a at2 an2 5.55104(m/s2)
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第二节 刚体定轴转动定律
要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向 和作用点都有关。
一、力矩(moment offorce)
MFdFrsin
M
力矩是矢量 MrF
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
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第一节 刚体运动的描述
转动(rotation)： 刚体上所有质点都绕同一直 线作圆周运动。这种运动称 为刚体的转动。这条直线称 为转轴。转动又分定轴转动 和非定轴转动。 刚体的平面运动
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第一节 刚体运动的描述
刚体的一般运动：质心的平动+绕质心转动
对于定轴转动：
at r an r 2
刚体作匀变速转动时，有以下的运动方程：
0 t
0 0t
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1 2
t2
2
2 0
2
0
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第一节 刚体运动的描述
例例1 某发动机飞轮半径为1m，在10s内由1500r/min增加到
3000r/min。假设转动是匀加速转动，求（1）角加速度大小。 （2）在此时间内，飞轮转了多少转。（3） t = 5s时，飞轮边 缘上一点的速度与加速度。
单位：N·m
F
r
dP
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第二节 刚体定轴转动定律
1、如果力的方向不在转动平面 内，可以沿两个方向分解。 力矩方向沿定轴，可用正、负 表示方向。
M
z
F
F r
//
F
d
2、一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。
3、几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩 的矢量和或代数和。
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第二节 刚体定轴转动定律
大学物理
学
College Physics 陈 曙 韩永胜 杜锦丽 何正大 蒋岩玲
李亚玲 马 军 杨宏新 杨闽南
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2011年02月
大学物理学 College Physics
第三章 刚体力学
Chapter 03 Rigid Body Mechanics
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第三章 刚体力学
本章要 点
➢ 刚体运动的描述 ➢ 定轴转动定律 ➢转动动能 力矩的功 ➢ 角动量守恒定律
角速度的大小： lim d
t0 t dt
角速度的方向：由右手螺旋法则确定。 右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的 大拇指即为角速度的方向。
zk,
d k dt
P点线速度与角速度的关系：
P
O
x
v r
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第一节 刚体运动的描述
刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。