第五章Bezier曲面与B样条曲面
Bezier曲线曲面
由于几何外形设计的要求越来越高,在采用传统的 曲线曲面表示方法时,曲线曲面形状不易控制，且修 改任意一个型值点都会影响整个曲线曲面，且变化难 以预测。已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了 一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并 用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
（4）对称性
Bi ,n (t ) = Bn −i ,n (t )
因为
n Bn −i ,n (t ) = Cn −i [1 − (1 − t )]n −i ⋅ (1 − t ) n −( n −i )
=C t
i n −i n
(1 − t ) = Bi ,n (1 − t )
i
(5）递推性。
Bi ,n (t ) = (1 − t ) Bi ,n −1 (t ) + tBi −1,n −1 (t ), (i = 0,1,..., n)
c.）二阶导矢 P' ' (t ) = n(n − 1)∑ ( Pi + 2 − 2 Pi +1 + Pi ) Bi,n−2 (t ) i =0 P 当t=0时， (0) = n(n − 1)( P − 2 P + P ) P 当t=1时，(1) = n(n −1)(P − 2P + P ) 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实 上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无 关。 P (t ) × P (t ) " 将P ' (0) 、P (0) 及 P ' (1) 、P (1) 代入曲率公式 k (t ) = P (t ) ， 可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
计算机图形学第五章曲线与曲面
2015/9/25
20
第五章：曲线与曲面
2015/9/25
21
第五章：曲线与曲面
2015/9/25
22
第五章：曲线与曲面
2015/9/25
23
第五章：曲线与曲面
双三次参数曲面的代数形式
双三次参数曲面片: 由两个三次参数变量(u, w)定义的曲面片，最常用。
其代数形式、矩阵表示分别是:
最简单的参数曲线，P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 端点为P1、P2
圆
第一象限内的单位圆弧的非参数方程表示为：
y 1 x2
其参数形式可表示为：
0 x 1
1 t2 x (t ) , 2 1 t
y (t )
2t 1 t 2
2015/9/25
推导略
2015/9/25
18
第五章：曲线与曲面
参数曲面的定义
一张矩形域上的参数曲面片
一张矩形域上由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的
单值函数表示式为：x=x(u, w), y=y(u, w), z=z(u, w) u,w€[0,1] u,w为参 数。并可记为：p(u, w)=[x(u, w), y(u, w), z(u, w)]
2015/9/25
7
第五章：曲线与曲面
位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
参数表示的三维曲线
有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数x=x(t)，
y=y(t)，z=z(t)，0≤t≤1
位置矢量
图5.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；其
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
b样条曲线和bezier曲线区别
b样条曲线和bezier曲线区别他们的区别主要有以下4点：
1、Bezier曲线的基函数次数等于控制顶点数减1。
B样条曲线基函数次数与控制顶点数无关；
2、Bezier曲线的基函数是Beinstein基函数，它是个多项式函数。
B样条曲线的基函数是多项式样条。
3、Bezier曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线。
B样条曲线则是一种特殊表示形式的参数样条曲线。
4、Bezier曲线缺乏局部性质，即修改任意一个控制顶点都会对曲线整体产生影响。
B样条曲线具有性质，即修改一个控制顶点只会对几段曲线产生影响。
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（2）通过控制点即顶点直观而方便地调整曲线的形状， （3）仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
三 贝塞尔曲线举例 曲线仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
四 贝塞尔曲线的性质：
1 该曲线由一组多边形折线的多个顶点唯一地定义出来。
多边形折线又称特征多边形，顶点又称为控制点。
2 在多边折线的各个顶点中，只有第1点和最后1点在曲线上。
1 n!
nk j0
(1)
j
j (t n k j)n (0 t 1, k 0,1, n)
n1
P’(0) B2
2 例：n=3,m=1,
B1
P’(1)
表示有5个顶点， 能画出两段3次曲线
B02
B3
B0
P’’(0) P’’(1)
B4
3 n次B样条曲线
连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。
j 0
j (t 2 j)2 1 (t 1)2
3
2
F1,2 (t)
1 2
(2t
2
2t
1)
t F2,2 (t)
1 2
2
因此，二次 B 样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式：
Pi (t) F0,2 (t)Pi F1,2 (t)Pi1 F2,2 (t)Pi2
Bezier曲线B样条曲线
是一种特殊情况
Y
0 X
5.1 曲线的参数表 示
• 向量P与时间t有关: P=P(t),就是说P是时 间t的函数。用坐标表示为 :
• 若把参数t 换成一个普通意义的参数u， 则曲线的参数形式为:
• 例如:
是一条空
• 间曲线的参数形式。
• 注: 这是一条以点(0,1,3)为起点，
(3,2,5)为终点的线段
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
• 3）三次Bezier曲线 • 当n=3时为三次Bezier曲线，此时P(t)为三
次多项式，有四个控制点，由于三次Bezier 曲线是用3根折线定义的3阶曲线，则有:
用矩阵表示为:
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最
后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处
的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形
的n+1个顶点定义一个n次多项式，即给定空
间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，
n），则Bezier参数曲线上各点坐标的参数方
程其式中参(插数t的值取值公范式围为)[是 0,1]: ,i是有序集0~n中的一个整数值，表示 顶点顺序号。
但从计算机图形学和计算几何的角度来看, 还
是使用参数表示较好, 因为采用参数方法表示
曲线和曲面, 可以将其形状从特定坐标系的依
附性中解脱出来, 很容易借助计算机得以实现。
• 一个动点的u轨1 迹可以用位置向量P来描述，
如• 注下:图这所里示讨: 论的动点轨u2 迹是
Z
u
在三维空间中所表示的 曲线, 平面轨迹曲线只
是一个Bezier曲线特征多边形顶点的
B样条曲线----曲线曲面
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线 •
相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
•
角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。
• 贝塞尔曲面表达式如下：
n m
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v)
i=0 j=0
0≤u,v≤1
• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
一般称 Pij为 P(u , v) 的控制顶点，把由 Pi 0 , Pi1 , , Pim (i 0,1, , n) 和 P0 j , P , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 1j , 称为 P(u , v) 的控制网格，记为{Pij } ,如图9.15所示。
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
在以上表达式中： Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) Cn1 (t n k j ) n! j 0
n! C 式中： ０≤t ≤ 1 r ! ( n r )! k = 0, 1, 2, …, n
Q1
Q0
P0
Q2
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四 角点共线的方法。 Q5 Q1 Q2 P0 P2 P3
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
Bezier&BSpline_曲线
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶 次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的 控制明显减弱。 3、 由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲 线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变 任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线 做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、 变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
新-第5章之一-三维图形生成和变换技术-1
计 机图 机图
学
(i=0 如果用一系列直线段将相邻的点 Pi0，Pi1…Pim(i=0，1…n) n) 和 P0j，P1j…Pnj(j=0，l，…m)—一连接起来组成一张空间网格 (j=0 一连接起来组成一张空间网格 称这张网络为m 次曲面特征网格，如图所示。 ，称这张网络为m×n次曲面特征网格，如图所示。 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P( Bezier曲线情况 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P(u,v)的大致形 是对特征网格的逼近。 状；P(u,v)是对特征网格的逼近。 p33 p03 p13 p23 3*3次的特 3*3次的特 征曲面网格 p02 p32 p12 p22 p01 p31 p11 p
计 机图 机图
学
第五章
三维图形生成和变换技术
5.1 第五章 三维图形的概念 三维图形生成和变换技术 5.1在计算机图形学中最重要的部分还是三维图形生 三维图形的概念 成与变换， 不仅人们对它感兴趣， 成与变换 ， 不仅人们对它感兴趣 ， 而且在实际应用中 5.2 自由曲面的生成 更加广泛。 更加广泛 。 三维图形生成比起二维图形生成要复杂得 5.3 三维图形变换 多 ， 其根本原因在于我们的图形输入设备和输出设备 5.4 三维图形剪裁和消隐技术 基本上都是二维的， 基本上都是二维的 ， 用这些二维的图形设备去表现空
r (u, v ) = r1 u) + av （
式中a是沿母线方向的常矢量。 式中a是沿母线方向的常矢量。
(o <= u, v <= 1)
图5.4 柱面
计 机图 机图 学
Bezier(贝塞尔 贝塞尔） 二、Bezier(贝塞尔）曲面
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
B样条曲线曲面
p02 ?
p12
??M
T B
W
T
?? p2 ?w???
?? p20 p21 p22 ??
。
简记为
S
yz
?u,
w??
UM
B
PM
T B
W
T
2．均匀双三次B样条曲面
? ? 已知曲面的控制点 pij (i, j ? 0,1,2,3，) 参数u,w且 u, w ? 0,1 ,
构造双三次B样条曲面的步骤同上述。
⑴沿w(或u)向构造均匀二次B样条曲线，即有：
? 1 ? 2 1?? p00 ?
? p00 ?
? ? P0 (w) ? w2 w 1 ??? 2
2
0????
p01
? ?
?
WM
B
? ?
p 01
? ?
?? 1 1 0???? p02 ??
?? p02 ??
经转置后
? ? ? ? p0 w ? p00
p 01
? ? ? 1 (t ? 3)3 ? 4(t ? 2)3 ? 6(t ? 1)3 ? 4(t)3 6 1
= 6 (–t3 + 3t2 – 3t + 1)
? F1,3 (t) ?
1 3!
2 j? 0
(? 1)
j
C
j 4
(t
?
3
?
1?
j)3
? ? ?
1 6
C
0 4
(t
?
2) 3
?
C
1 4
(t
?
1) 3
?
? 2t 2 ? 2t ? 1 Pi?1 ?
1 2
t
实验五01 Bezier曲线和样条曲线的生成算法
计算机图形学实验指导书陈华光、陈多、刘长松编专业班级计算机0902_姓名田鹏_学号200903010225 _湖南工程学院二○一二年六月计算机图形学实验报告五实验名称Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分＿实验日期2012 年 6 月13 日指导教师刘长松＿姓名朱福兵专业班级计算机0902 学号200903010211＿一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。
2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。
3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。
4、用三次B样条函数绘制曲线。
二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
3、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。
4、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。
5、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。
三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。
2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
B样条曲线曲面解析课件
两端插值的标准节点矢量是什么；
2 de Boor求值算法推导：
n
j
P(t) Pi Ni,k (t) Pi Ni,k (t)
i0
i jk 1
i
j
j k
图3.1.28 B样条曲线的deBoor算
法的几何意义
3.3.4 节点插入算法
通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部 性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可 以实现对曲线的分割等。
插入一个节点
在定义域某个节点区间 ti ,ti1 内插入一个节点t，得到
新的节点矢量：
T 1
重新编号成为
Pj1 Pj ,
Pj1 (1 j )Pj1 j Pj ,
Pj1 Pj1,
j 0,1,,i k 1 j i k 2,,i r j i r 1,, n 1
j
t tj t jk 1 t j
r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。
Pik 1 Pik 2 Pik 3
de Boor-Cox递推定义
1 Ni,1(t) 0
ti x ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
并约定
0 0
0
t0, t1 ,, tk1, tk ,, tn , tn1,, tnk , t 几1 个问n题k
i0
t [tk1, tn1]
Ni,k (t)
k 1 tik 1 ti
第五章Bezier曲面与B样条曲面
❖ 性质3：端点的切平面 ➢ 由计算可知，三角
P00
P10
P01、P0m
P1m
P0,m
、
1
Pnm Pn1,m Pn,m1、
和Pn0 Pn1,0 Pn,1、 中打上斜线的三角形）
P30 P20 P31
所在的平面分别在点
P00、P0m、Pn0和Pnm与 曲面P(u, v)相切。
图 Bezier曲面端点的切平面和边界
P10
Pn0
P01 P11
P0m B0,m (v)
P1m
B1,m
(v
)
Pn1
Pnm
Bm
,m
(v
)
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
15
（2） Bezier曲面的性质
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
❖ Bezier曲面有类似于Bezier曲线的性质。
的交点则是r(ui , v j )。事
r(u, v) [ x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
也得到曲面上同一点位置矢量 r(ui , v j ) ，即：
r(ui , v j ) [ x(ui , v j ), y(ui , v j ), z(ui , v j )]
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
7
5.3 曲面的参数表示
❖ 当u ui 时，代入式子r(u, v) [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
得：
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线
，即一条v线。
值的曲面上 的线。
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖当 v v j 时，代入式子 r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
B样条曲线
在以上表达式中： Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) Cn1 (t n k j ) n! j 0
n! C 式中： ０≤t ≤ 1 r ! ( n r )! k = 0, 1, 2, …, n
P3 P1
P2 P0
P4
F282.c
二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2 +F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲 线在连接处达到二阶连续。
二次Ｂ样条曲线的性质 先对 P(t)求导得：
与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1 P(1/2) P(0) P'(1/2) P(1)
M
B0
是什么曲线？ 与Bezier曲线有 何差别？
B2
结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
B样条曲线
142020026 吴兵
一、B样条曲线 １.从 Bezier 曲线到Ｂ样条曲线 (1) Bezier 曲线在应用中的不足： 缺乏灵活性 一旦确定了特征多 边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改； 控制性差当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
西安工程大学数学系
5
5.3 曲面的参数表示
❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
v
u
图 曲面片
r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u, v)]
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
6
5.3 曲面的参数表示
r(u, v) [x(u, v), y(u,v), z(u, v)]
(0 u, v 1)
上式中 a是沿母线方向的常矢量。
a
直线段
v
u
空间曲线 r1(u)
柱面
r(u, v )
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
11
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲面和B样条曲面
一、Bezier（贝塞尔）曲面
西安工程大学数学系
7
5.3 曲面的参数表示
❖ 当u ui 时，代入式子r(u, v) [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
得：
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线
，即一条v线。
值的曲面上 的线。
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖当 v v j 时，代入式子 r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 曲面的参数表示 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、B样条曲面的生成
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
1
曲线与曲面的生成与计算
❖ 曲面和曲线一样，是计算机图形学中研究的重要内容 之一，它们在实际工作中有着广泛的应用。在工程应用中， 常用的自由曲面有很多，例如：Bezier曲面、 B样条曲面、 Coons曲面等。
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
4
❖ 对于不在网格上的点，若用离该点最近的一条网格线上 的一点来近似表示，这会使得本来精度不很高的近似曲面 在这一点的精度更低，所以用这种方法来产生曲面只能适 合一部分精度不很高的场合。我们可以把平面里自由曲线 生成方法加以推广到曲面的生成问题上，借助于曲面的解 析表达式来处理有关曲面问题。
Z r0
ua
O
Y
平面片
X
2020年5月18日星期一
eg: 当u=1/3,v=1/2时对应平 面片中一点：
r(1/3,1/2)=r0+a/3+b/2
西安工程大学数学系
10
5.3 曲面的参数表示
❖ 又如下图所示，以固定方向长度为a 的直线段作为母线沿
给定一条空间曲线移动生成一个柱面，其方程为：
r(u, v) r1(u) av
得：
r r(u,v) 上式则是曲面上另一条参数曲
线
，即一条u线。
即参数v为定值的曲面 上的线。
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
8
5.3 曲面的参数表示
r(ui ,v)
v
r(u, v j )
r(ui , v j )
r r(u,v)u图 Nhomakorabea参数曲面
❖ 上述两条参数曲线
和
实上，用u ui , v v j 代入式子
西安工程大学数学系
9
5.3 曲面的参数表示
❖ 例如：如下图的平面片方程为：
r(u, v) r0 au bv (0 u, v 1)
❖ 上式中矢量 r0为平面上
一点的位置矢量，a 和 b
为常矢量，且a 不平行
b r(1 , 1)
于b ，该平面片是由矢
v
32
量 a 和 b 张成的四边形。
r(u, v )
A B
图 曲面的网格
注：那么我们如何确定这张曲面 上任意一点的位置呢？ ➢1.若这点恰好落在某一条网格 线上，如右图中的A点，则就可 以根据这条网格线的函数表示来 计算这一点的位置（坐标）； ➢2.若这点不在任何网格线上， 如右图中的B点，则无法计算该 点的精确位置，只能用离该点最 近的一条网格线上的点来近似表 示。
的交点则是r(ui , v j )。事
r(u, v) [ x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
也得到曲面上同一点位置矢量 r(ui , v j ) ，即：
r(ui , v j ) [ x(ui , v j ), y(ui , v j ), z(ui , v j )]
2020年5月18日星期一
❖ 如前所述， Bezier曲线是一条与控制多边形顶点位置有严 格关联关系的曲线， Bezier曲线形状趋向于特征多边形的形 状，而且阶数由控制多边形顶点的个数决定。 ❖ Bezier 曲 面 是 由 Bezier 曲 线 拓 广 而 来 ， 它 也 是 以 Bernstein函数作为基函数，是由Bernstein基函数构造空间 点阵列的位置来控制的。 ❖ Bezier曲线是由特征多边形控制的； Bezier曲面则是由特 征网格顶点控制的。二者在表达式上也十分相似。
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
2
❖ 又例如：地面则是用一组水平面截得一组等高线表示的， 这实际上是把曲面问题转化为曲线问题。这种处理办法称 为曲线网格表示法，正是利用这些曲线网格来近似地表示 自由曲面。如下所示：
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
3
❖ 因此，在产生一张曲面时，我们可以利用一系列的纵横交 错且相互平行的样条曲线来构造曲面，如下图所示。
曲面的种类繁多，为了便于讨论，将曲面分为两类：
➢ 一类是规则曲面，如柱、锥、椭球、环、双曲面、抛物面 等，它可用参数方程解析地描述；
➢ 另一类是不规则曲面，如Coons曲面、Bezier曲面、B样条 曲面等，这是构造某种曲面的方程问题。本节我们主要讨 论Bezier曲面、B样条曲面的生成与计算。
2020年5月18日星期一
x x(u, v) 或 y y(u, v)
z z(u, v)
u0 u u1
v0
v
v1
式 中u, v为 参 数
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖ 三维空间任意曲面的 图形如左图所示，曲面 有两族参数曲线，或称
r r(u, v) 为坐标曲线，通常简称 u线和v线。
2020年5月18日星期一
❖ 在计算机出现之前以及在计算几何没有很好地发展之 前，对于一些工程实际中应用的复杂自由曲面，如飞机、 轮船、汽车等几何外形的描述以及地形形状的表示，传统 的处理办法是用一组或几组平行平面去截这个曲面，画出 几组截交线来表示这个曲面。
❖ 例如：船体就是用相互正交的三组平面截得的纵剖线、横 剖线和水平线表示的；