用变限积分函数证明不等式

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用变限积分函数证明不等式

用变限积分函数证明不等式院系：数学与计算科学学院班级：应数5班姓名：谭晶晶学号：201040510534【摘要】证明不等式，方法多种多样。

构造变限积分来证明不等式是非常巧妙的方法之一。

本文介绍了利用变限积分和被积函数的不等式的方法解决不等式的证明。

【关键字】变限积分；辅助函数；不等式；被积函数的不等式提出问题：变限积分是一类重要的函数，在微积分领域应用广泛。

本文我们探讨：如何运用变限积分函数证明不等式。

分析问题：对于形如的积分，我们可以写成，的形式；对于简单函数也可表示为的积分形式。

由此可以看出不管是积分表达式还是一般表达式都可以用变限积分表示出来那么我们便可将证明不等式问题转化为研究变限积分函数的问题中来，再结合具体情况根据函数的性质最终证出不等式。

解决问题：在解决此类问题关键是构造变限积分形式的辅助函数。

大致步骤可分三步：构造辅助函数根据所构造的辅助函数性质结合题目进一步处理，多数采用求导的方法；还原到原来形式，不等式得证。

一．变限积分的定义设f（x）在，上可积，根据定积分性质，对任意x∈，，f在，上也可积。

于是，由定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。

类似地，又可以定义变下限的定积分与统称为变限积分。

注意，在变限积分中，不可再把积分变量写成x。

二﹑变限积分函数的应用一通过变限积分函数构造辅助函数证明不等式在解题中构造辅助函数后，要对函数求导，我们简单介绍一下变限积分函数的求导问题。

设定义在，上，注：若被积函数中含x,不能直接用公式求导,应先作变代换使被积函数不含 x,再求导。

在构造辅助函数时，又可根据不等式的特征分为两类构造方法将不等式两边相减的方法，即:要证形如的不等式，可设。

例一：设f（x）是，上的单调递增函数，且f（x）在，上连续，求证：分析：在此证明不等式题中，可以先运用变限积分构造辅助函数F（x），由于f（x）在，上连续，得知F（x）可导，求出F（x）的导函数，再由f（x）是，上的单调递增函数推出F（x）的单调性，从而证出不等式。

用变限积分函数证明积分不等式

方法。
’
证明将等变得ｂ，）＞ｆ（作积：不式形（（ｘｎ，）ｘｄｘ，变限
分函数，（＝ｆ（ｔｆ（ ∈ ，，令１）一，））ｔ日ｆｄ，【】ｏ１
已知＝，由己知，积分中值定理，（（）０限定ａｘｂ） ≤ ≤ ，
因ｆｘ在［，］（）ａｂ连续，故Ｆ（）ｘ可导，由定积分性质：
证明作积数令Ｆ）÷ ），（】由：变限分函，（Ｉ（ｘ ∈ ，ｒＩｄｆｏ，＝ｘｌ
已知及积分中值定理
，）一ｊ（＋，）・）＋，＝【，，）ｏ， ’＝，）（一，・（，一】１，１ｆ，（＝）） ≤
原不等式得证。
【，））］ｃ（ｇｘｅ（ｇ出，ｘ）。（ｆ２ｄ（
证明：作变限积分函数Ｆ）【，），】Ｉ（ｔｇｔ（：ｆ（（Ｏｆ（ｔｆ）一，ａ）ｇｄ
ｅ｛剀显然，Ｆ（）Ｏａ＝，由已知条件及积分性质，有
理，有
‘
Ｉ一１）。（ｌ（）出出２
证明：先进行等价变形，得
ｆ，）≥，）（构变积函令（ｆ（）（ｆ出ｆ）出，造限分数，
Ｆ）（ｔ１ｔ— ／ｔ（ｔ【（：Ｏ・）ｒ３ｄｔ，。ａｒ２ｄ（ｔ），（ｔ）ｄ由已得Ｆ（ｒ（ｔ１）ｔ一）ｔ知， ’＝，Ｏ＋２ｒ），（ｔ（））ａ（ｔ（ｒ）（ｄｄ
例６设ｆｘ在［，］（）０１连续、单调增加，证明：

“变限法”证明积分不等式的方法初探

是高等数学中比较难证明的一类不等式，往往具有较高
证明：作积分变限函数
的技巧性。一般来说，对于这类题目，学生往往难于下
x
x
x
∫ ∫ ∫ = F (x) f (t)dt g(t)dt − (x − a) f (t)g(t)dt ，
手。其实积分不等式的证明有很多思路，比如利用单调
a
a
a
性、最值，微分中值定理、定积分性质、二重积分等。本
dx b(x)
(a > 0,b > 0) ，所以
∫ x)
d
a(x)
= f (t)dt
dx b(x)
f [a(x)]a′(x) − f [b(x)]b′(x) 。
二、“变限法”例证积分证明不等式
所谓“变限法”，就是根据命题不等式，构造适当的
辅助函数，辅助函数为积分变限函数，再利用积分变限
f (x) − f (t) > 0, g(x) − g(t) > 0 ，从而 F′(x) < 0 ，
f ′(t ) + f (t ) dt 。
证明由积分中值定理得,
1
∫0
f
(t )dt =
f
(ξ )
0≤ξ
≤1
,
且= 有 f ( x )
2019 年第 10 期
SCIENCE FANS
教育教学 2
“变限法”证明积分不等式的方法初探
邹全春（成都大学信息科学与工程学院，四川成都 610106）
【摘要】积分变限函数是一种特殊形式的函数，它和普通函数一样同样具有各种运算性质及其运算，如极限、导数、极值、积分等。利用积分变限函数的性质和运算证明积分不等式是非常好的一种方法，本文通过若干例题探讨证明积分不等式一种有力的方法——“变限法”。

积分不等式证明技巧解析

∫
2 f ( x ) dx ≤
∫
0
b a
1
f(
1) 1 ( ) d x + f′ 3 3
(x ∫
0
1
2
-
1) 1 dx = f ( ) . 3 3
6 借助于参数表达式来证明积分不等式
引入参数 t , 构造辅助函数
[ f ( x) ∫
- tg ( x ) ] d x ≥ 0 , 得到关于 t 的二次多项式 , 利用判别
n- 1 n- 2
+ … + 6 cn- 3 x + …
例 4 求 ( x 4 - x3 + 2 x 2 - x + 1) co s x d x. 解列竖式计算 :
x x
4 4 3
∫
- x - x
+ 2x
2 2 2
- x - 6x + 5x
+1 - 20 + 21
3 2
12 x
3
- 10 x
∫
第 12 卷第 6 期
杨和稳 : 积分不等式证明技巧解析
27
1 ( ξ ) < 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] , 所以 , 其中ξ介于与 x 之间 . 因为 f ″ 3
f ( x) < f (
1 0
1) 1 1) 1 1 1) 2 ( ) (x ( ) ( x2 + f′ , f ( x ) < f ( ) + f ′ , 3 3 3 3 3 3
a x
例 4 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上有连续导数 , 且 f ( a) = f ( b) = 0 , 证明 : b 4 ( x) | ≥ max | f ′ | f ( x ) | d x. 2

考研——积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。

注意点：一、在求导时，是关于x 求导，用讲义上的求导公式直接计算。

二、在求积分时，那么把x 看做常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变更。

（即在积分内的x 作为常数，能够提到积分之外。

）关于积分上限函数的理论定理1若是)(x f 在],[b a 上持续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，那么⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上持续。

定理2若是)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个中断点，那么)(x f 在（a ，b ）上可积。

定理3若是)(x f 在],[b a 上持续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后取得的函数，性质比原先的函数改良了一步：可积改良为持续；持续改良为可导。

这是积分上限函数的良好性质。

而咱们明白，可导函数)(x f 通过求导后，其导函数)(x f '乃至不必然是持续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。

它说明：持续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。

咱们明白，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。

定理（3）把二者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。

> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情形求导。

积分不等式的证明方法探究

Ｊ（，Ｊ（０（・毕。（。（ ≥ ）１证・ｇ）），））ｇ）
二、助于几何直观证明不等式借例２设尸（），明不等式：＜０证
．
分『，）：ｙ（分积变的号析』（ｆ）积与分量记ｆ，（
Ｄ。
无关）
证』）］』）Ｉｙ）＝明［ｄｆ（＝ｘｂ
—
ｂ
≤ 』）≤ 半）ｃ击ｄ＿２ｘ，
分析将要证的不等式变形为：
≤
ｆｘ）ｙ其中Ｄ＝［，］０ｂ）（ｄ（。ｂＸ［，］
ｆａ，１
（ａｂ半＋）・＋半丁ｂａｂ半）ａ … ＋＋２．
其中 ∈［，］・。６，在与盟
边不等式．
Ｊ（，ｘ。ｘ） ≥ ）１。Ｔ）Ｊ（ｇｘｘ０（）ｇｌｄｆ）（ｄ（ｇ・
单调减．
ｆ１ｆ１
是。一删 ≤鲁“ “ 删）鲁ａｏａ（ｕ，Ｄ、＋一一ｕ一
这正是（）３左边的不等式．
将（式在『ｂ１ｔ积分．３）ａ．即可得：
≤
Ｆ１Ｊ（（ｄＪ（ｇｔｔ，１（・（。ｔｔｔ。ｔ）一（ｇ１）ｇ））ｆ）（ｄ））ｆ
』ｆ）ｄ＝－（．毕』（＋（］ｙ（ａｂ）证｝）ｙｄｂ）ｌｘ
ｄｘ
—
（０６）＿
二
≤ ）≤ ，）ｆｘ（（ｂｄ６半，（

积分不等式

§3 积分不等式主要知识点：Neton-Leibunitz 公式，变上限积分性质，积分中值定理，分部积分公式。

范例：1、设f （x ）在[a ，b]连续可微且f （a ）= 0 ，求证：⎰⎰'⋅-≤baba dx x f ab dx x f 222)(2)()( 。

证：⎰'=xadt t f x f )()( ，所以b x a dt t f a x dt t f dt dt t f x f baxa x a xa ≤≤'-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛'≤⎰⎰⎰⎰,)()()()()(2222。

两边对x 积分即证。

2、设g （x ）在[0，a]连续可微且g （0）=0，求证：dx x g a dxx g x g aa⎰⎰'⋅≤'02)(2)()( 。

证：)()(,)()()()(0x g x h x h dt t g dt t g x g xx'='='≤'=⎰⎰且记，于是有dx x g a dx x g a h dx x h x h dx x g x g a a a a⎰⎰⎰⎰'⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛'=='≤'022020)(2)(21)(21)()()()( 。

3、设 ⎰-≤≤''≥badx x f a b x f x f x f )(2)(,0)(,0)(求证：。

证：设t ∈[a ，b]，在点t 处将f （x ）展开成泰勒公式：))(()())((21))(()()(2t x t f t f t x f t x t f t f x f t -'+≤-''+-'+=ξ ，对t 积分得.)0)()(,0)()((,)(2)()()()()(2)()()()()(≤-≤-≤-+-+='-+≤-⎰⎰⎰⎰a f x a x f b x dt t f a f x a b f b x dt t f dt t f t x dt t f x f a b babababa4、设f （x ）在[a ，b]连续且单调增加，求证：⎰⎰⋅+≥ba badx x f b a dx x xf )(2)( 。

积分不等式的证明及应用

衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分不等式的证明及应用所在系：数学与计算科学系专业：数学与应用数学学号：08090233作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟2012年4 月27 日积分不等式的证明及应用数学与计算科学系数学与应用数学专业学号:08090233 姓名:盛军宇指导老师:肖娟摘要本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词积分不等式；中值定理；函数0. 引言积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz 不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1. 积分不等式的证明方法1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式积分第一中值定理(定理1) 若()x f 在][b a ,上连续, 则至少存在一点ζ∈][b a ,,使得()()()a b f dx x f b a-=⎰ζ.积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设()x f 在][1,0上可微,而且对于任意)(1,0∈x ,有()M x f ≤'||, 求证:对任意正整数n 有()nMn i f n dx x f n i ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=111,其中M 是一个与x 无关的常数. 分析由于目标式中一个式子为∑=⎪⎭⎫⎝⎛n i n i f n 11,另一个式子为()dx x f ⎰10,故把()dx x f ⎰10按区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证由定积分的性质及积分中值定理,有()()⎰∑⎰=-=111ni n ini dx x f dx x f ()∑==ni i n f 11ζ,⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈n i n i i ,1ζ,.,,2,1n i =又因为()x f 在][1,0上可微,所以由微分中值定理可知,存在 ⎝⎛⎪⎭⎫∈n i i i ,ζη,使得,()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛i i i n i f f n i f ζηζ,.,,2,1n i = 因此()()∑∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i n i i n i n i f n f n n i f n dx x f 1111111ζ()()()nM n M n n i f n f n i f n f n i f n n i i n i i n i i n i i =≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=-⎪⎭⎫⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑====111111111ζηζζ.在抽象函数()x f 的积分不等式中,若出现和号∑、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间][b a ,n 等分,点i ζ也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f 满足如下条件:()i f 在][b a ,上连续；()ii f 在)(b a ,内可导, 则在)(b a ,内至少存在一点ζ,使得()()()ab a f b f f --='ζ. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()f x 和区间[],a b ,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设()x f '在][b a ,上连续.证明:若()a f =()b f 0=,则()⎰badx x f ≤()M a b 42-,][()x f Max Mb a x '=∈,.分析由条件()a f =()b f 0=,及()x f '与()x f ,故想到利用拉格朗日中值定理.证由拉格朗日中值定理得: 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+2,b a a , ()()()a f x f x f -=()()x a a x f <<-=11,ζζ.对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+b b a ,2,()()()b f x f x f -=()()b x b x f <<-=22,ζζ.()()()()⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⇒b b a x x b M x f b a a x a x M x f ,2,,2,,, 故()()()⎰⎰⎰+++=b b a b a ab adx x f dx x f dx x f 22()()⎰⎰+++≤bb a b a adx x f dx x f 22()()⎰⎰++-+-≤bb a b a adxx b M dx a x M 22()M a b 42-=.注意到M 是()x f '在][b a ,上的最大值,所以解题的关键是如何使()x f 与()x f '联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x ,式中相同的字母也换成x ,移项,使得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.例3 设函数()x f 在][1,0上连续,证明不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .分析此例若令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxdt t fdt t f x F 0220,则()x F '的正负不易判断,需进一步的改进.证由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t fx dt t f x F 0220显然,()00=F ,且()x F 可导,有()()x f x F 2='()dt t f x⎰0()()t xf dt t fx202--⎰()()[]⎰≤--=xdt t f x f 020,则()x F 在0≥x 时单调减小,即有()()0,00≥=≤x F x F ,特别地,(),01≤F 即证得不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .例4 设函数()x f 在][1,0上可微,且当)(1,0∈x 时,()10<'<x f ,()00=f ,试证 ()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f .证问题在于证明()()0103210>-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰dx x f dx x f , 令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t f dt t f x F 0320,因为()00=F ,()()()()()()(){}x fdt t f x f x f dt t f x f x F xx23022-=='⎰-⎰,已知()00=f ,()10<'<x f ,故当)(1,0∈x 时,()0>x f , 记()=x g ()()x fdt t f x22-⎰,则()00=g ,()()()()x f x f x f x g '-='22=()()[]012>'-x f x f ,)(1,0∈x , 于是()=x g ()()>-⎰x fdt t f x 22()00=g ,)(1,0∈x ,故(),0>'x F )(1,0∈x ,所以()()001=>F F ,即()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f .通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数()x f ,()x p ,()x g 在][b a ,上连续,()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,则()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .该不等式称为切贝谢夫不等式.分析只要证()()()()()()()()0≥-=∆⎰⎰⎰⎰babababadx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证因定积分的值与积分变量无关,故()()⎰⎰=babady y p dx x p ,()()()()⎰⎰=babady y g y p dx x g x p .()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰-=∆babababady y g y p dx x f x p dx x g x f x p dy y p()()()()()()()()[]dxdy y g x f y p x p x g x f x p y p D⎰⎰-=()()()()()[]dxdy y g x g x f y p x p D⎰⎰-= ()1其中,积分区域()b y a b x a D ≤≤≤≤;.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x 与y 的位置,得到()()()()()[]dxdy x g y g y f x p y p D⎰⎰-=∆ ()2将()1式与()2式相加,得()()()()[]()()[]dxdy y g x g y f x f y p x p D--=∆⎰⎰21,由已知, 可知()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,从而()()[]y f x f -与()()[]y g x g -同号, 于是在D 上()()y p x p ()()[]y f x f -()()[]y g x g -0≥,从而,0≥∆. 即()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .例6 若函数()x f 在][1,0上不恒为零且连续增加,则()()()()⎰⎰⎰⎰≤1210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f . 证由于在][1,0上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于()()⎰⎰-=∆101032dx x xf dx x f()()0102103≥⎰⎰dx x xf dx x f ,而 ()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()⎰⎰102103dx x xf dx x f()()()()dxdy y xf x f dxdy y yf x f DD⎰⎰⎰⎰-=3232()()()dxdy x y y f x f D⎰⎰-=32 ()3其中,积分区域()10;10≤≤≤≤y x D 因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有()()()dxdy y x x f y f D⎰⎰-=∆32 ()4将()3式与()4式相加,得()()()()()[]dxdy y f x f x f y f y x D--=∆⎰⎰2221,由已知,函数()x f 在][1,0上连续增加,从而对任意的][1,0,∈y x ,有()()()()()[]022≥--y f x f x f y f y x ,故()()()()⎰⎰⎰⎰≤1213102103dx x xf dx x xf dx x f dx x f. 从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设()0>x f ,且在][b a ,上连续,试证()()()2a b x f dx dx x f bab a-≥⎰⎰. 分析可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式. 证由题设对任意的λ,考察函数()()x f x f λ+,因为()()02≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+x f x f λ,有 ()()022≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰dx x f x f ba λλ,即()()022≥++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx b a b a b a λλ, 不等式的左端可以看成λ的二次三项式,且对任意的λ上述不等式均成立, 故判别式()()()0422≤-⎰=∆⎰⎰b abab adx x f x f dx dx ,即()()()2a b x f dx dx x f b a b a -≥⎰⎰. 用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程()x g ,而()02≥x g ,于是我们构造()02≥⎰dx x g ba这样一个方程,再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式命题1 当积分区域关于直线x y =对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明. 例8 函数()x f 在][b a ,上取正值且()x f 在][b a ,上连续试证:()()()2a b dxdy y f x f h-≥⎰⎰,][b a b a h ,;,=.证因为][b a b a h ,;,=关于直线x y =对称,从而()()()()dxdy x f y f dxdy y f x f I hh⎰⎰⎰⎰==,所以()()dxdy y f x f I h⎰⎰=()()()()dxdy x f y f y f x f h ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21()21a b dxdy h-=≥⎰⎰. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式积分第二中值定理的推论:设函数f 在][b a ,上可积.若g 为单调函数,则存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x f b g dx x f a g dx x g x f ba ba ⎰⎰⎰+=ζζ.应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.例9 设函数()x f 在][b a ,上单调递增连续,则()()dx x f b a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 证假设函数()2ba x x g +-=,显然()x g 在][b a ,上可积,又函数()x f 在][b a ,上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f baba⎰⎰⎰+=ζζ()*且()*式又可变为()()()()[]()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f ba ba ⎰⎰⎰+--=ζζ.由定积分的几何意义知()()[]dx x g dx x g ba⎰⎰-=ζζ,][b a ,∈ζ,同时,()()b f a f ≤,于是,()()()()[]()0≥-=⎰⎰dx x g a f b f dx x g x f bbaζ,即()02≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎰dx x f b a x ba ,故()()dx x fb a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 2. 一些特殊积分不等式的应用2.1 Chebyshew 不等式及其应用Chebyshew 不等式设()()x g x f ,同为单调递减或当调递增函数,则有()()()()()⎰⎰⎰-≤⋅bab abadx x g x f a b dx x g dx x f .若()()x g x f ,中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为()()()()()⎰⎰⎰-≥⋅bab ab adx x g x f a b dx x g dx x f .Chebyshew 不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设()x g 是][1,1-上的下凸函数,()x f 为][1,1-上的偶函数且在][1,0上递增,则,()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .分析从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew 不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew 不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令()()()x g x g x -+=ϕ.证令()()()x g x g x -+=ϕ,显然()x ϕ也为][1,1-上的偶函数,由于()x g 是][1,1-上的下凸函数,故当1021≤≤≤x x ,()()()()()21212121x x x g x g x x x g x g --≤------, 即()()()()1221x g x g x g x g -≤---,即()()21x x ϕϕ≤,所以()x f ,()x ϕ在][1,0上为增函数, 由Chebyshew 不等式知,()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰≤1101ϕϕ()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔11111122121ϕϕ,可得()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .2.2 利用Schwarz 不等式证明积分不等式Schwarz 不等式若()()x g x f ,在][b a ,上可积,则()()()()()dx x g x fdxx g x f bab a222⎰≤⎰.Schwarz 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知()0≥x f ,在][b a ,上连续,()1=⎰b adx x f , k 为任意实数,求证:()()()()1sin cos 22≤⎰+⎰dx kx x f dx kx x f ba b a ()5证 ()5式左端第一项应用Schwarz 不等式得()()()()()[]22cos cos dx kx x f x f dx kx x f ba b a⎰=⎰()()dx kx x f dx x f baba⎰⎰⋅≤2cos ()dx kx x f ba⎰=2cos ()6同理()()()dx kx x f dxkx x f bab a⎰≤⎰22sin sin ()7()()()式即得576+.此题证明的关键在将()x f 写成()()x f x f ⋅的形式,以便应用Schwarz 不等式.2.3 Jensen 不等式定理3 设()x f 在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,又()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式()()()⎰⎰-≤⎪⎭⎫⎝⎛-b a b a dx x f a b dx x f a b ϕϕ11 ()8 注若()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数,则()8式中的不等式号反向.定理4 设()()x p x f ,在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,()()b x a x p ≤≤>0,()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数,则有()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b ababa b adxx p dx x f x p dx x p dx x f x p ϕϕ ()9注当()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数时,()9式中的不等号反向. 例12 设()x f 在][b a ,上连续,且()0>x f ,则对任意的自然数n ,有()()⎰⎰-≥⎪⎭⎫⎝⎛-b ab a dx x f n ab dx x f a b n ln 11ln .证令()t n t ln =ϕ,那么()t n t 1='ϕ,()012<-=''tn t ϕ,故()t ϕ为凹函数,显然()x f 在()t ϕ的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设()()x p x f ,是][b a ,上的正值连续函数,则对任意的自然数n ,有()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎰⎰⎰⎰b a b a babadx x p dx x f x p n dxx p dxx f x np ln ln .证令()t n t ln =ϕ由上例知()t ϕ为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young 不等式的应用Young 不等式设()x f 是单调递增的,连续于][a ,0上,()00=f ,0,≥b a ,()x f 1-表示()x f 的反函数,则()()dy y fdx x f ab ab⎰⎰-+≤01,其中等号成立当且仅当()b a f =.Young 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:1,≥b a 时,不等式b b e ab a ln 1+≤-成立. 证设()1-=x e x f ,则()x f 单调并连续,()()y y f +=-1ln 1,因为1,≥b a ,由Young 不等式有,()()()()⎰⎰----+--+=+≤--11111ln 11a b a b a b b e dy y fdx x f b a ,故b b e ab a ln 1+≤-. 2.5 Steffensen 不等式Steffensen 不等式设在区间][b a ,上,()x g 1 ,()x g 2连续,()x f 一阶可导,任给][b a x ,∈,成立不等式()()dt t g dt t g xaxa⎰⎰≤21,且()()dx x g dx x g baba⎰⎰=21.若()x f 在][b a ,上单调递减,则()()()()dx x g x f dx x g x f b aba21⎰⎰≤;若()x f 在上单调递增上述不等式变号.例15 证明dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 证对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π,因为x x sin 1cos ≤+-,所以有⎰⎰≤x x tdt tdt 00cos sin ;此外,显然有1cos sin 2020==⎰⎰ππxdx xdx 且函数211x +在⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π上单调递减,从而根据Steffensen 不等式,知dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 结论总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz 不等式和Jensen 不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:223.[2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2003,6(4):34-35. [3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉:华中科技大学出版社,2003. [5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102. [6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young ’s 不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108. [8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109. [9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequalityDepartment of Mathematics and Computational Science Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233 Name:ShengJunyu Instructor:XiaoJuanAbstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.Key word: integral inequality; theorem of mean; function。

积分证明不等式的方法

积分证明不等式的方法例1、证明不等式 n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 证：考虑函数, 2 , 1 , 1 , 1)(=+<≤=n n x n nx f ,) , 1[ , 1)(∞+∈=x xx g .易见对任何n , 在区间 ] 1 , 1 [+n 上)(x g 和)(x f 均单调, 因此可积,且有)(x g ≤)(x f , 注意到)(x g ≡/ )(x f , 就有⎰⎰++<1111)()(n n dx x f dx x g . 而∑⎰∑⎰∑⎰=+=+=+===n i i i n i i i ni n idx i dx x f dx x f 111111111)()(,⎰+=11)(n dx x g ⎰+++==1111)1ln(|ln n n n x xdx . 因此有 1211 1 )1ln(1n in ni +++=<+∑= .取, 2 , 1 , 1 , 11)(=+<≤+=n n x n n x f ,) , 1[ , 1)(∞+∈=x xx g .在区间] 1 , 1[+n 仿以上讨论, 有⎰⎰>nndx x f dx x g 11)()(. 而⎰=nn dx x g 1,ln )(n i i dx x f nn i n i i i 13121 1111)(111111+++=+=+=⎰∑∑⎰-=-=+ ，⇒ n nln 1 1211+<+++. 综上 , 有不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ .例2、求极限∞→n lim )21( 21333444n n n ++++++ .[3]P167 E19解：)21( 21333444n n n ++++++ =∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛n i ni n i n n n i n 133144=∑∑==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ni n n i n n i 131411.∞→n lim ∑⎰===⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni dx x n n i 11044511 ,∞→n lim ∑⎰=≠==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni dx x n n i 11330411 . 因此 , ∞→n lim )21( 21333444n n n ++++++ 54= .例3、试证明: 对任何+∈Z n , 有不等式nn n n ++++++12111 < 2ln .证：n n n n ++++++12111 =∑=⋅+nk n nk 1111是函数)(x f =x+11在区间[ 0 , 1 ] 上相应于n 等分分法n T 的小和)(n T s . 由函数)(x f =x+11在区间[ 0 , 1 ]上可积, 有∞→n 时, )(n T s ↗⎰⎰=+=112ln 1)(x dxdx x f . 又易见)(n T s ↗↗. ⇒对任何n, 有)(n T s <2ln , 即nn n n ++++++12111 < 2ln . 例4、证明：当x x xxx <+<+>)1ln(1,0. 分析：所证不等式中的函数)1ln(x +的导数为x+11，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理试之.由于01ln =，因此可构造函数的改变量1ln )1ln(-+x ，则相应自变量的改变量为x，原不等式等价于：11)1(11)1ln(11<-+-+<+x n x x ，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.证明：构造函数tt f ln )(=，因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续，在)1,1(x +上可导，)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使ξξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ，因1111),1ln(1ln )1ln()1()1(<<++=-+=-+ξx x x f x f ，所以1)1ln(11<+<+x x x . 即)0(,)1ln(1><+<+x x x xx. 例5、设20,π<<<>y x e a ，证明a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.分析：原不等式可等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--.可看出不等式左边可看成是函数t a t f =)(与t t g cos )(=在区间],[y x 上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.证明：原不等式等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--，可构造函数t a t f =)(，t t g cos )(=,因),(t f )(t g均在],[y x 上连续，在),(y x 上可导，且0ln )(≠='a a t f t ，由于20π<<<y x ，则y y g x x g t t g c o s)(c o s )(,0s i n )(=≠=≠-='，所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条件，于是存在),(y x ∈ξ，使得ξξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''aa x y a a x g y g x f y f g f x y ，又因),,(,y x e a∈>ξ,20π<<<y x 有1ln ,1sin 1,>><a a a x ξξ，得到ξξξξs i nln ln ,sin ln ln a a a a a a a a xx->-< ,因此 aa xy a a x xy ln cos cos -<--,即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.例6:当)1,0(∈x ，证明x e xx211>-+. 证明：因xe x2,11-分别可写成幂级数展开式，有：=++++++=-+)1)(1(112 n x x x x xx)1,0(,22212∈+++++x x x x n ．),(,!2!2221222+∞-∞∈+++++=x x n x x enn x．则左边的一般项为nx2，右边的一般项为!2n x nn ，因此当!22,3n n n>≥，所以)1,0(,112∈>-+x e xxx .。

变限积分的性质

变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。

本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。

通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词：变限积分；连续性；可微性；奇偶性；单调性；周期性；应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。

下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

1. 变限积分的概念与理解 1.1变限积分的定义设f 在[,]a b 上可积，根据定积分的性质，对任何[,]x a b ∈，f 在[,]a x 也可积，于是，由()(),[,]xa x f t dt x ab Φ=∈⎰ （1）定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上限函数.类似地，又可定义变下限的定积分：(),(),[,].bx x f t dt x a b ψ=∈⎰ （2）Φ与ψ统称为变限积分; 变量复合函数定义为：()()()()(),(),(),u x bu x av x v x f t dt f t dt f t dt ⎰⎰⎰其中()u x 、()v x 是定义在[,]αβ上的函数且()u x ，()v x [,]a b ∈.注：在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量写成x （例如()xa f x dx ⎰），以免与积分上、下限的x 混淆。

基于变限积分函数的cauchy-schwards不等式的证明

基于变限积分函数的cauchy-schwards不等式的证明Cauchy-Schwartz不等式是数学中著名的性质，它描述的是两个多元函数在定量之间的关系，可以应用于诸如概率论、矩阵理论、复数分析等领域。

在这里，我们将讨论基于变限积分函数的Cauchy-Schwartz不等式的证明。

首先，我们介绍梯度和变限积分函数。

梯度是多元函数f = (f1,…, fn) 的导数，表示为(∂fi/∂xi), i = 1,…, n. 变限积分函数是指一种将多元函数的分值投射到多维超平面上的一种积分函数。

根据Cauchy-Schwartz不等式的定义，我们可以推出以下表达式：\[\left|\left\langle \mathrm{f} \right\rangle \right| \leq \left\| \mathrm{f}\right\|\]其中，f是一个由数学函数φ组成的多元函数向量，表示为f=(f1,f2…fn)；∥f∥是f函数的最大变量限制；而〈f〉是f函数的梯度积分。

现在，我们应用变限积分函数来推导Cauchy-Schwartz不等式的证明：由于变限积分函数的特性，f的梯度积分可以写作：\[\left\langle\mathrm{f} \right\rangle=\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b} \frac{\partialf_{i}}{\partial x_{i}} dx_{i}\]根据f的最大变量限制的定义，以及f的梯度积分定义，我们可以将Cauchy-Schwartz不等式的证明推导为：\[|\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}} dx_{i}| \leq \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}} \right| \cdot (b-a)\]从上述结果可以看出，基于变限积分函数的Cauchy-Schwartz不等式明确规定了多元函数f被投射到多维超平面时的最大值，这对于诸如概率论、矩阵理论等领域都具有重要的意义。

微积分证明不等式方法

微积分证明不等式方法1.极限证明法极限证明法是一种常用的证明不等式的方法。

首先，我们可以取两边的极限，然后通过极限的性质进行推导。

例如，假设我们要证明不等式：$\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x)-g(x)) \geq 0$，那么我们可以取两边的极限，得到：$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) \geq\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)$，然后通过极限的性质，将不等式推广到更一般的情况。

2.导数证明法导数证明法是一种常用的证明不等式的方法。

我们可以通过计算函数的导数来研究函数的变化趋势，然后判断函数的变化趋势是否与不等式的方向相符。

例如，假设我们要证明不等式：$f(x) \geq g(x)$，那么我们可以计算$f(x)$和$g(x)$的导数，然后通过导数的符号判断函数的变化趋势是否与不等式的方向相符。

3.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法。

假设我们要证明不等式：$f(x) > g(x)$，我们可以假设存在一个$x_0$使得$f(x_0) \leq g(x_0)$，然后通过对$f(x)$和$g(x)$进行一些操作，推导出一个矛盾的结论。

这样就证明了原来的假设是错误的，从而得到了不等式的证明。

4.积分证明法积分证明法是一种常用的证明不等式的方法。

我们可以通过计算函数的积分来研究函数的变化情况，然后判断函数的变化情况是否与不等式的方向相符。

例如，假设我们要证明不等式：$\int_{a}^{b} f(x) dx \geq \int_{a}^{b} g(x) dx$，我们首先通过求积分，得到$\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] dx \geq 0$，然后通过对$f(x)-g(x)$的性质进行分析，判断积分结果的符号是否为非负。

以上介绍的是微积分证明不等式的几种常用方法，每种方法都有其适用的范围和优缺点。

定积分不等式的证明方法

定积分不等式的证明方法【摘要】高等数学中定积分不等式的证明,难度都比较大,涉及的知识面广泛,计巧性比较强,但又十分的重要。

因而它是学习“高等数学”的重点和难点。

本文介绍了定积分不等式的十二种常用证明方法,加深对定积分不等式证明的理解。

【关键词】分部积分法积分中值定理凹凸性变限积分变量代换法1.利用分部积分法。

析:分部积分证题法就是通过运用分部积分法公式(分部积分法公式:),并结合运用其他方法以达到证明的目的。

例题1:设在上具有非负连续导数,求证对任意的自然数n有不等式因为,故是单调增函数,因而故而:小结:当见到积分不等式证明题时,首先考虑是否可以用分部积分法来简化积分,特别是当含有时,更要慎重。

利用积分中值定理证明例题2:设在上连续,证明:证:由积分中值定理可知:存在使得,然而,即对等式两边取绝对值得:3.利用泰勒公式证明。

析:当题设或者是题断中给出了被积函数二阶或者二阶以上导函数符号时,一般可以采用泰勒公式证明有关积分不等式。

例题3:在上有二次可导,并且,证明:证:将在处展为一阶泰勒公式,注意到,所以有:对上式两边同时求定积分可得:4.利用凹凸性证明。

析:当题中含有或者时,可以考虑是否可以利用图形的凹凸性来证明。

例题4:设在上有二阶导数,并且,证明:证:因为,故是单调增函数,进而可知在上是凹的,因在上,有。

故:对上式两边同时求积分可得:5.利用变限积分证明。

析:利用变限积分证明积分不等式是一种行之有效的方法,特别是在当已知了被积函数导数性质的积分不等式,为了能够借助求导法证明,常常引入变限积分来证明。

例题5:设证明证:先证明左边因为,故而当时有证明右边:引入变限积分,归结证明,事实上再由拉格朗日中值定理可以得到:因,故是单调增函数。

而,故。

因而,于是在上单调增函数,即所以:6.利用二次三项式的判别式的性质证明。

析:在做证明题的时候,对于非负(正)或者恒负(正)的实二次三项式,常常利用其判别式来证明积分不等式例题6:设在上连续,证:且等号仅当或时成立(c为常数)证:令,则:两边同时平方后,在同时对两边求积分,可得显然可知上式右边为一个关于的非负的实二次三项式,其判别式为,即:故:7.利用被积函数所满足的不等式证明。

变上限积分在积分不等式中的应用

变上限积分在积分不等式中的应用
摘要：近几年社会内卷现象日益严重，随着各类与高数有关考试考试难度变大，定积分的证明也是这几类考试中“常客”此类题目立足于高数基础而又构思巧妙关联性强大，往往得分不甚理想。

笔者试图找到一类这种问题证明的通法，使得这类问题从本质上得以顺利解决，这类问题往往依赖于两个基本的定积分定理。

定理一：设为任意固定一点，则有如下结论：若在上可积则变上限积分是上的连续函数
定理二：若在上连续则变上限积分是上的可导函数，且
由上述定理不难发现这类型的证明立意多半围绕利用变上限积分表示原函数即大体先设出问题大抵可以解决。

例1：
设区间上非负连续并且，则
分析：可设，则且，
则两边取定积分（）
方法的改进：若改设，，两边对
积分方法同上。

例2：
设函数在区间上非负连续，证明：，则
证明：令，两边对区间上积分得，
结论：利用改变上限积分方法证明定积分不等式，只需抓住原函数求导后与被积函数的数量关系即可。

参考书籍：1.《微积分》国防工业出版社刘景麟等编
2。

《高等数学》下册同济大学出版社
3 《微积分经典证明500例》知识出版社徐兵著。

变限积分的性质

通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式

利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式积分不等式在数学中有着非常重要的应用，其可以用来证明其他更加复杂的定理，同时也具有广泛的实际应用。

在本文中，我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式。

1. 变上限积分变上限积分，又称为广义积分，是指积分上限不确定的积分。

更具体地说，如果$f(x)$是在$[a,b)$上的可积函数，那么$f(x)$在$[a,b]$上的变上限积分定义为：$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx$$$t \to b^-$表示$t$从左侧逼近$b$，也就是说，$t$可以任意接近$b$但不等于$b$。

可以看出，如果$\int_a^t f(x)dx$无限趋近于一个确定的值，那么$\int_a^bf(x)dx$就存在。

反之，如果无限趋近于$\infty$或$-\infty$，那么$\int_a^b f(x)dx$就不存在。

2. 构造辅助函数下面我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数。

如果$f(x)$是一个连续可导的函数，那么我们可以通过构造辅助函数来研究$f(x)$的性质。

具体地说，我们定义函数$F(x)$如下：$a$是一个常数。

然后，我们利用$f(x)$和$F(x)$之间的关系，构造一个函数$g(x)$：我们可以通过对$g(x)$求导来研究$f(x)$的性质。

具体来说，我们有：于是，如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相同，那么$f(x)$就是单调递增或单调递减的。

如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相反，那么$f(x)$就在$x$处有极值。

这个结论非常有用，在证明一些积分不等式时经常会用到。

3. 应用举例下面我们将通过举例来演示如何使用上述方法证明一些积分不等式。

例1：证明斯特林公式：$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$证明：定义函数：$$f(x) = ln(x)$$函数的图像如下所示：然后，我们计算$F(x)$：$$g(x) = ln(x)e^{-\lambda((x-1)ln(x)-x+1)}$$我们要证明的是：$$\int_1^n ln(x)dx - \frac{1}{2}(ln(2\pi)+ln(n)+ln(1-\frac{1}{n^2})) \to 0$$我们现在对$f(x)$和$g(x)$分别使用上面的结论。

积分上限函数的性质及应用

积分上限函数的性质及应用积分上限函数（即变上限的定积分）揭示了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学中的一个重要概念.积分上限函数具有很多的性质，既具有普通函数相似的特征，由于它的上限是变化的，因而又有许多与积分有关的特殊性质.本文首先总结归纳出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的具体应用.1 积分上限函数1.1 积分上限函数的定义)220](1[P设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，对任何[,]x a b ∈,()f x 在[,]a x 上也可积.于是，由()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰,定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限的定积分.1.2 积分上限函数的几何意义)350](2[P如果[,]x a b ∀∈，有函数()0f x ≥，对区间[,]a b 上任意x ，积分上限函数()F x 是区间[,]a x 上曲边梯形的面积，如下图的阴影部分.图1.11.3 积分上限函数的性质1.3.1积分上限函数的连续性)221](1[P若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续. 证 [,]x a b ∀∈,且[,]x x a b +∆∈，有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰因为f 在[,]a b 上可积，所以f 在[,]a b 上有界，即存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∀∈，当0x ∆≥时，x M dt t f dt t f x F xx x xx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()( 当0x ∆<时，x M dt t f dt t f x F xx xxx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()(所以0lim ()0x F x ∆→∆=, 即积分上限函数()F x 在点x 连续，而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上连续.1.3.2积分上限函数的可导性[1](221)P若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可导，且()()F x f x '=. 证 [,]x a b ∀∈，且[,]x x a b +∆∈，(0)x ∆≠有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰由积分第一中值定理，有()1()()x xx F x f t dt f x x x xθ+∆∆==+∆∆∆⎰ (01)θ≤≤ 因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，所以00()()lim lim ()()x x F x F x f x x f x xθ∆→∆→∆'==+∆=∆即()F x 在点x 可导. 而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上可导.1.3.3积分上限函数的可积性若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可积.证已知函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在区间[,]a b 上可积，所以由1.3.1可推出积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续，则()F x 在区间[,]a b 上可积.1.3.4积分上限函数的单调性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负（正），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上单调递增（减）.证因为)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负，则()()0F x f x '=≥，所以)(x F 在区间[,]a b 上单调递增.同理可证另一种情况.特别地,若()f x 在[,]a b 上非负单调递增（减），则()F x 在[,]a b 上单调递增. 1.3.5积分上限函数的奇偶性[3](140)P若函数)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇（偶）函数时，则积分上限函数)(x F 为偶（奇）函数. 证设)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇函数，即)()(x f x f -=-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--===⎰⎰⎰，所以)(x F 为偶函数.同理当)(x f 在区间[,]a a -上连续且为偶函数，即)()(x f x f =-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--=-=-=-⎰⎰⎰所以)(x F 为奇函数.1.3.6积分上限函数的凹凸性[4](32)P若函数)(x f 在区间上[,]a b 单调递增（递减），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上是凸（凹）函数.证因为函数)(x f 在区间[,]a b 上单调递增，取123,,[,]x x x a b ∈，且123x x x <<，则123()()()f x f x f x <<.2121()()F x F x x x --2121()()x x aaf t dt f t dtx x -=-⎰⎰2121()x x f t dtx x =-⎰2()f x ≤≤3232()x x f t dtx x -⎰3232()()F x F x x x -=-所以()F x 在区间[,]a b 上是凸函数.同理可证明另一种情况.1.3.7积分上限函数的周期性[3](140)P若函数)(x f 在(,)-∞+∞上以T 为周期，对任意a b <, )(x f 在区间[,]a b 上可积，且()0Tf t dt =⎰,则积分上限函数()F x 也以T 为周期. 证 ()()x T a F x T f t dt ++=⎰()()()Tx TaTf t dt f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰0()0()x TaTf t dt f t dt +=++⎰⎰令t u T =+()()()()()xaF x T f u T d u T f u T d u T +=+++++⎰⎰()00()xaf u T du f u T du=+++⎰⎰00()()xaf u du f u du =+⎰⎰()()xaf t dt F x ==⎰所以()F x 是一个以T 为周期的函数.1.3.8积分上限函数的有界性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界. 证因为函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，所以由积分上限函数的可积性可知函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，即函数)(x f 在区间[,]a b 上有界. 所以存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∈ 则()F x ()xaf t dt ≤⎰()()xaf t dt M b a ≤≤-⎰,所以积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界.2 积分上限函数的应用给出积分上限函数在证明积分等式、不等式的问题中应用. 2.1 利用积分上限函数证明积分等式在证明积分等式时，根据题设条件设积分上限函数为()F x ，由拉格朗日中值定理的推论：如果在某个区间上恒有()0F x '=，则在该区间上()F x 恒等于一个常数，即可证明某些关于积分的等式.例1 若()f x 在区间[,]a b 上连续,则()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.证设()()xaF x f t dt =⎰,则()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰()()()bb aaf a b x dx f a b x d a b x +-=-+-+-⎰⎰()b aF a b x =-+-()()F a b b F a b a =-+-++-()()F b F a =-于是命题得证.例2 设()f x 是连续函数，证明0[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.证方法一令00()[()]()()x ux F x f t dt du x u f u du =--⎰⎰⎰()()()()()0xxF x f t dt f u du x f x xf x '=--+=⎰⎰()F x C ≡（C 为常数），因为(0)0F =，所以()0F x ≡，即[()]()()x uxf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.方法二记 10()()()()()xx xg x x u f u du x f u du uf u du =-=-⎰⎰⎰20()[()]xug x f t dt du =⎰⎰则由 10()()()()()xx g x f u du xf x xf x f u du '=+-=⎰⎰， 20()()xg x f u du '=⎰由此得到 12()()g x g x ''=，所以12()()g x g x C -≡，（C 为常数）12(0)(0)0g g ==，所以12()()g x g x =即[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则[,]x a b ∃∈，证明 ()()xbaxf t dt f t dt =⎰⎰.证令()()()ybayF y f t dt f t dt =-⎰⎰.由函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，可知()F y 区间[,]a b 上连续，且()(),()()b baaF a f t dt F b f t dt =-=⎰⎰.若()0baf t dt ≠⎰，则()()0F a F b <，由零点定理可知[,]x a b ∃∈,使得()()()0x b axF x f t dt f t dt =-=⎰⎰或()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰.若()0baf t dt =⎰，则取x a =或x b =，有()().x baxf t dt f t dt =⎰⎰于是命题得证.例4 设()f x 是连续函数，证明 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.证构造辅助函数232001()()()2a a F a x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数求导法则得32221()()()202F a a f a a f a a '=-⋅=，所以()F a C ≡（C 为常数）,又因为(0)0F =,所以()0F a =, 故2321()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.例5在区间(0,1)上连续，证明 ⎰⎰⎰⎰=1311])([61)()()(dt t f dz z f dy y f dx x f x y x .证令0()()xF x f t dt =⎰，则()()F x f x '=. 原等式左端11(){()[()()]}x f x f y F y F x dy dx =-⎰⎰12101(){[()()]}2x f x F y F x dx=-⎰1201()[(1)()]2f x F F x dx =-⎰ 3101[(1)()]6F F x =-=3)]1([61F==⎰13])([61dt t f 右端故所证等式成立.2.2 利用积分上限函数证明积分不等式在证明积分不等式时，根据题意构造积分上限函数，可适时选择常数变易法、辅助函数法等方法去解决问题.例1 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且单调增加，求证()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 证明构造辅助函数()F x ()xa t f t dt =⎰()2xaa x f t dt +-⎰，则()0F a =，对任意[,]x ab ∈，()F x 关于x 求导，有()F x '=1()()()22x a a xxf x f t dt f x +--⎰ 1()()22x a x a f x f t dt-=-⎰ 1[()()]2xaf x f t dt =-⎰ 因为()f x 单调递增，所以()0F x '≥.()F x 在区间[,]a b 上连续并且单调递增，则()()F b F a ≥0=,所以命题得证.例2设()f x 在区间],[b a 上单调增并且连续，证明 ()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.证构造辅助函数()()()2()x xaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰则 ()F x '=()xa f t dt ⎰+()()2()a x f x xf x +-()()()xaf t dt x a f x =--⎰()()()()0x a f x x a f x ≤---=由此可知,()F x 在区间[,]a b 上单调递减，所以()()F b F a ≤0=，即()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.例3 设()f x 在区间[,]a b 上正值连续,证明⎰badxx f )(1()badx f x ≥⎰2()b a -. 证构造辅助函数()F x =2()()()xxaadtf t dt x a f t --⎰⎰则()F x '=1()()xaf x dt f t ⎰+1()2()()xaf t dt x a f x --⎰ ()()[]2()()()xaf x f t dt x a f t f x =+--⎰ 因为()()2()()f x f t f t f x +≥, ()2()2()0F x x a x a '≥---= 所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增，而()0F a =，()0F x ≥ )(a x ≥，则()0F b ≥,即⎰badxx f )(≥⎰dx x f ba)(12)(a b -. 例4 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调递减，证明对任意(0,1]a ∈，均有()af x dx ⎰1()a f x dx ≥⎰.证方法1 设x at =,等式左端化为:11()()()af x dx a f at dt a f ax dx ==⎰⎰⎰因为()f x 单调递减,01a <≤,所以()()f ax f x ≥,于是11()()()af x dx a f ax dx a f x dx =≥⎰⎰⎰.方法21()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰等价于1()()1af x dx f x dx a≥⎰⎰ (0)a >设0()()xf x dx F x x=⎰,(01)x <≤,则02()()()x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰.因为()f x 连续,利用积分中值定理2()()()f x x f x F x x ξ⋅-⋅'=()()f x f xξ-= (0)x ξ<< 因为()f x 在[0,1]上单调递减，所以当x <<ξ0时,)()(ξf x f <,从而当10≤<x 时()0F x '≤，故()F x 在[0,1]上单调递减，于是对任意(0,1)a ∈，有()(1)F a F >，特别地当1a =时,原不等式中的等号成立，所以1001()()af x dx f x dx a≥⎰⎰，即1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.例5已知当b x a ≤≤时，()0,()0f x f x '''>>，证明()()()[()()]2bab ab a f a f x dx f a f b --<<+⎰. 证 ⑴令()()()()xaF x f t dt x a f a =--⎰()a x b ≤≤，则()()()F x f x f a '=-当b x a ≤≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间[,]a b 上单调递增,即 ()()f x f a ≥. 当且仅当a x =时，()0F x '=，所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增, 即 ()()0F b F a >=，则 ()()()ba b a f a f x dx -<⎰.⑵令()()[()()]2xax aG x f t dt f a f x -=-+⎰ ()a x b ≤≤，则 1()()[()()]()22x aG x f x f a f x f x -''=-+-()()()22f x f a x af x --'=-因为()f x 在],[x a )(b x a ≤<上满足拉格朗日中值定理，所以(,)a x ξ∃∈，得()()()()f x f a x a f ξ'-=-()[()()]2x aG x f f x ξ-'''=- ()a x ξ<< 当a x b ≤≤时，()0f x ''>,()f x '在[,]a b 上单调递增，则()()f f x ξ''< 故()0G x '< ()a x b <≤，所以可知,()G x 在a x =处连续.因为()G x 在[,]a b 上单调减,()()0G b G a -<. 则 ()[()()]02bab af x dx f a f b ---<⎰, 所以()[()()]2bab af x dx f a f b -<+⎰，结合⑴原不等式得证. 例6 证明若函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 可积，则[][]222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰（施瓦茨不等式）证构造辅助函数222()[()][()](()())xx xaaaF x f t dt g t dt f t g t dt =-⎰⎰⎰2222()()()()()2()()()()xxxaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=⋅+⋅-⎰⎰⎰2222[()()2()()()()()()]xaf xg t f x g x f t g t f t g x dt =-⋅+⎰2[()()()()]0xaf xg t f t g x dt =-≥⎰从而()F x 在区间[,]a b 上单调递增，故有()()0F b F a ≥= 则222(()())[()][()]bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰.例7 设()f x 在[0,1]上连续可微，且满足(0)0f =，0()1f x '<≤,证明11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.证作辅助函数230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰ [0,1]x ∈.由于(0)0F =，32()2()()()()[2()()]xxF x f x f t dt f x f x f t dt f x '=-=-⎰⎰ .令20()2()()xG x f t dt f x =-⎰，[0,1]x ∈.由于()f x 在区间[0,1]上连续可微，(0)0f =，0()1f x '<≤,所以()f x 单调递增. 故()0f x >,(0,1]x ∈.(0)0G =,则()2()2()()2()[1()]0G x f x f x f x f x f x '''=-=-≥,故()(0)0G x G ≥=，[0,1]x ∈.当(0,1)x ∈时，()0F x '≥，()F x 单调递增.特别当1123(1)(())()(0)0F f x dx f x dx F =-≥=⎰⎰,即得证11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.例8 设()f x 在区间[,]a b 上有连续的导数，且()0F a =，证明2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰证 2221()()[()]()2x x a a F x x a f t dt f t dt '=--⎰⎰22221()()[()]()[()]()2x a F x x a f x x a f t dt f x '''=-+--⎰ 22221()[()]()1[()]2x x a a x a f x f x dx f t dt''=--+⋅⎰⎰ 22221()[()]()(())2x a x a f x f x f t dt ''≥--+⎰（施瓦茨不等式）22221()[()]()()2x a f x f x f x '=--+ 221()[()]02x a f x '=-≥ 得出()F x 为单调递增函数，当a x >∀时，()()0F x F a ≥=特别地2221()()[()]()02b b a a F b b a f x dx f x dx '=--≥⎰⎰得证2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰.例9设函数()f x 在区间[,]a b 上连续并可微，且()0f a =，证明不等式22()[()]baM b a f x dx '≤-⎰，其中max ()a x bM f x ≤≤=证由施瓦茨不等式可知 222(()())()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰因为22()[()]1[()]xxx aaax a f x dx dx f x dx ''-=⎰⎰⎰22[()]()xaf x dx f x '≥=⎰ ([,])x a b ∀∈引入辅助函数2()()[()]xaF x x a f x dx '=-⎰,222()1[()][()]()xxx aaaF x dx f x dx f x dx f x ''=≥=⎰⎰⎰ ([,])x a b ∈所以22()()[()]()ba Fb b a f x dx f x '=-≥⎰.11 故由题设[,]x a b ∀∈，所以22()[()]b a M b a f x dx '≤-⎰.。