初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：排列组合及答案

华杯赛计数专题：排列组合基础知识：1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。

2.排列数的计算：约定：0!=1排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。

3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。

4.排列与组合的关系：。

5.组合数的计算：6.排列数与组合数的一些性质：例题：例1.4名男生和3名女生站成一排:（1）一共有多少种不同的站法?（2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种?（3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种?（4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法?（5）甲只能排头或排尾,有多少种排法?【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略【解答】例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？【答案】4186种【解答】至少有3件是次品，分两种情况第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中，，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。

其中，所以，3件是次品的抽法共种。

第二种情况：4件是次品的抽法共：种。

任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起，所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。

总结：有序是排列，无序是组合。

例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？【答案】540种【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为=3×2×1=6。

用乘法原理表示为3！=6。

六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。

所以，不同的分配方法共有种。

例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？【答案】819【解答】方法一：（1）出现一个数字的情况是9种；（2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况，（i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。

所以，这种情况总共有×9=54种。

（ii）首位确定之后，如果首位数总共出现2次，则从后面的4个数位中，选出一位，总共种情况，剩下的三个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。

所以，这种情况总共有×9=36种。

所以，出现两个数字的情况为（36+54）×9=810.综上，满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为9+810=819种。

方法二：（1）出现一个数字的情况是9种；（2）出现两个数字的情况：（i）可以考虑从9个数中选两个数，两个都不是0，有种情况，为什么是排列数呢？因为，有一个数字出现3次，有一个数字出现两次。

所以，可以理解为，两个是有顺序的。

然后从5个数位中，选出3个数位，总共有种。

所以，两个都不是0的情况为=720种。

（ii）如果两个数，有一个是0，再选出一个数放在首位，有9种情况，如果首位数字用两次，从后四位数中，选择一个数位有种。

所以，这种情况为9×=36种。

如果首位数字用三次，从后四位数中，选择两个数位有种。

所以，这种情况为9×=54种。

所以，两个数，有一个是0的情况总共有54+36=90种。

所以，出现两个数字的情况为720+90+810种。

综上，满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为9+810=819种。

例5（1）在10×15的棋盘上取两个方格，使它们既不同行也不同列，有多少种取法？（2）在n×n的方格表上取两个方格，使它们既不同行也不同列，有多少种取法？（3）在n×n的方格表上取n个方格，使任意两个棋子既不同行也不同列，有多少种取法？【答案】（1）9450；（2）；（3）n!【解答】（1）方法一：首先，从这些方格中，选第一个方格，总共有15×10=150种，接着选第二个方格，由于与第一个不同行也不同列，所以第二个方格的选法为14×9=126种。

但由于第一次选与第二次选，没有顺序之分，所以，这样选出的方格是重复的。

需要除以2。

故总共有150×126÷2=9450种。

方法二：从150个格子中选出两个格，总共有种，但有不符合要求的情况，就是属于同行同列的情况。

同一行的情况为：先选出一行，有10种情况，再在这一行中选出两个格，有种情况。

所以，同一行的情况为种。

同一列的情况为：先选出一列，有15种情况，再在这一列中选出两个格，有种情况。

所以，同一列的情况为种。

故总共有种。

（2）与第一问的方法相同，如果用第一种方法，选第一个方格，总共有n×n种，选第二个方格，总共有（n-1）×（n-1）种，由于有重复的情况。

所以，总共有种。

（3）在n×n的方格表上取n个方格，任意两个棋子不同列，相当于每列恰选一个方格，又因为不同行，所以，每行也恰选一个方格。

我们可以分步考虑，按列选：第1列选1个格，情况为n种；第2列选1个格，由于不能与第一列选的格同行，情况为（n－1）种……第n列选1个格，情况为1种。

所以，总共为n×（n－1）×……×2×1=n!种取法。

基础知识回顾：1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。

2.排列数的计算：约定：0!=13.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。

4.组合数的计算：小练习：请计算下列排列数和组合数：【答案】（1）35 （2）28 （3）10【解答】例6.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有多少个？【答案】300【解答】能被5整除，说明个位数是0或5.（一）当个位数是0时，运用乘法原理：第一步，还需从2,4,6,8中选一个数，有有种选法。

第二步，从1,3,5,7中选2个数，有种选法。

第三步，需要将所选的数字进行排列,总共排列数是个。

所以。

个位数是0的四位数总共有个。

（二）当个位数是5时，分两种情况考虑。

（1）没有选0，运用乘法原理：第一步，还需从1,3,7中选一个数，有种选法。

第二步，从2,4,6,8中选2个数，有种选法。

第三步，将所选的数字进行排列,总共是个。

这种情况的个数是：个。

（2）当选0时，运用乘法原理：第一步，还需从1,3,7中选一个数，有种选法。

第二步，从2,4,6,8中选1个数，有种选法。

第三步将所选的数字进行排列,首位不能是0.故有2种选择，百位有2种选择，十位有1种选择。

这种情况的个数是：个。

所以，个位数是5的四位数总共有：108+48=156个。

综上，能被5整除的四位数共有144+156=300个例7.从10个人中随意挑选出一些人，共有多少种不同的选法？【答案】1023【解答】解法1：随意挑选出一些人并没有确定是几个人，有可能是1人，2人，也有可能是所有人。

这样总共将所有的选法分为10类，第1类挑选1人；第2类挑选2人；第3类挑选3人；……；第10类挑选10人。

每一类的方法数分别为。

将这10类的方法数加到一起，。

所以一共有1023种选取的方法。

解法2：10步一共有种不同的选取方法。

这1024种方法中包含10个人全都不选的方法，不符合题意应该去掉，所以从10个人中随意挑选出一些人共有种不同的选法。

注意：本题主要是为了体现。

对于一般的情况有：。

用类似的方法研究组合数的性质例8.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班中且每班安排2名,则不同的安排方案有多少种？【答案】90【解答】运用乘法原理：第一步，确定哪两个班，有种选择。

第二步，选出的第一个班接收哪两名同学，有种选择。

自然剩下的两名同学去第二个班。

所以，不同的安排方案有种。

例9.将n+1个不同的小球放入n个不同的盒子中，要求没有空盒，那么有多少种放小球的方法？【答案】【解答】运用乘法原理：第一步，确定哪两个小球放到同一个盒子里，有种选择。

将选出的这两个小球看作一个整体。

第二步，将n个小球放入n个盒子里，有种情况。

所以，总共有种放小球的方法。

例10.9本书分给甲、乙、丙三人，（1）甲2本，乙3本，丙4本，有多少种分法？（2）甲、乙、丙各3本，有多少种分法？（3）分成三堆，分别有2本、3本、4本，有多少种分法？（4）分成三堆，每堆3本，有多少种分法？【答案】（1）1260 （2）1680 （3）1260 （4）280.【解答】（1）运用乘法原理：第一步，从9本书中选2本给甲，有种选法。

第二步从余下的7本书中选3本给乙，有种选法。

剩下的就是丙的。

所以，总共有种分法。

（2）运用乘法原理：第一步，从9本书中选3本给甲，有种选法。

第二步从余下的6本书中选3本给乙，有种选法。

剩下的就是丙的。

所以，总共有种分法。

（3）方法同（1）。

（4）从9本数中选3本，有种选法。

然后从剩下的6本书中选3本，有种选法。

所以，总共是种选法。

第一个3本书，有3个位置，第二个3本书，有2个位置。

第三个3本书，就剩1个位置。

由于分堆问题，不涉及顺序，而前面的分法已经考虑顺序。

所以，分成三堆，每堆3本，有种分法。