九数下学案37弧长及扇形的面积

合集下载

弧长与扇形的面积教案

弧长与扇形的面积教案一、教学目标1. 理解弧长的概念和计算方法。

2. 掌握扇形面积的计算方法。

3. 能够应用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。

二、教学内容1. 弧长的概念和计算方法。

2. 扇形面积的计算方法。

3. 弧长和扇形面积的应用。

三、教学过程1. 导入老师通过引入一道实际问题，如一个半径为10cm的圆的一条弧长为15cm，问这条弧长对应的圆心角是多少度，让学生思考并尝试解答。

2. 弧长的概念和计算方法（1）引导学生观察圆的弧形和其中一个弧长，进一步培养学生对弧的直观感受。

（2）让学生尝试用圆的半径和圆心角来计算弧长，通过实际测量验证计算结果的准确性。

（3）总结弧长的计算方法（弧长 = 半径×圆心角 / 360°），并让学生进行练习。

3. 扇形面积的计算方法（1）引导学生观察一个扇形和其对应的圆，进一步培养学生对扇形的直观感受。

（2）让学生尝试用圆的半径和圆心角来计算扇形的面积，通过实际测量验证计算结果的准确性。

（3）总结扇形面积的计算方法（扇形面积 = 1/2 ×半径×半径×圆心角 / 360°），并让学生进行练习。

4. 弧长和扇形面积的应用（1）导入一个实际问题：一个圆形花坛的周长为30米，花坛中心的喷泉水按每秒60毫升的速度喷出，问这个喷泉每分钟喷水多少升？（2）引导学生分析问题，并利用已学知识解答问题。

（3）通过解答问题，让学生认识到弧长和扇形面积在解决实际问题中的应用价值。

五、教学总结1. 弧长是圆的一部分长度，可以用圆的半径和圆心角来计算。

2. 扇形是圆的一部分面积，可以用圆的半径和圆心角来计算。

3. 弧长和扇形面积的计算方法是由圆的半径和圆心角决定的。

4. 弧长和扇形面积的知识在解决实际问题中有很大的应用价值。

六、教学延伸1. 可以引导学生查找更多弧长和扇形面积的实际应用例子，并进行讨论和分享。

2. 可以设计更多扩展题目和实践任务，让学生更加熟练运用弧长和扇形面积的知识。

九年级数学下册《弧长与扇形面积》教案、教学设计

b.设计阶段性的总结性评价，检查学生对弧长与扇形面积知识的掌握程度。
c.注重学生的自评与互评，培养学生自我反思和评价他人的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过一个生活实例引入新课，如“同学们，你们在生活中有见过或使用过扇子吗？扇子的形状和面积是如何计算的呢？”通过这个问题，引发学生对扇形面积计算的思考。
c.各组分享讨论成果，教师给予评价和指导。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有代表性的练习题，巩固学生对弧长与扇形面积计算方法的掌握。
2.教学方法：采用练习法，让学生在练习中巩固新知识，提高解题能力。
3.教学步骤：
a.教师发放练习题，学生独立完成。
b.教师巡回指导，解答学生的疑问。
c.选取部分学生的作业进行展示和讲解，共同分析解题思路和技巧。
a.设计多样化的实际问题，涵盖生活、科学等领域，引导学生运用所学知识解决问题。
b.引导学生进行小组讨论，分享解题思路，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
c.教师适时给予指导，针对学生的薄弱环节进行针对性辅导，提高学生的解题能力。
4.教学评价设想：
a.采用过程性评价，关注学生在学习过程中的表现，如课堂参与度、小组讨论、问题解决等。
1.抽象思维能力：学生对弧长与扇形面积的理解需要从具体的图形中提炼出数学模型，这需要较强的抽象思维能力。教师应引导学生从直观的图形中抽象出数学关系，培养学生的抽象思维能力。
2.知识迁移能力：学生在学习新知识时，需要将已有知识与新知识进行联系，形成知识体系。教师应帮助学生将圆的相关知识迁移到弧长与扇形面积的计算中，提高学生的知识迁移能力。
2.实践应用题：设计一道综合性的应用题，要求学生结合实际情境，运用弧长和扇形面积的计算方法解决问题。

九年级数学下册《弧长和扇形的面积》教案、教学设计

（二）教学设想
1.引入环节：
利用生活中的实例，如圆蛋糕、时钟等，引导学生观察并思考其中所包含的扇形元素，从而自然引入本章节的学习内容。
2.新课导入：
（1）通过复习圆的相关知识，如周长、面积等，为新课的学习做好铺垫。
（2）以问题驱动的形式，让学生自主探究扇形的定义、性质，培养学生的探究意识。
3.知识讲解：
鼓励学生发挥想象，设计一道具有创意的扇形相关问题，并尝试运用所学知识进行解答。
作业要求：
1.认真完成作业，注意书写规范，保持卷面整洁。
2.对于实践应用题和拓展提高题，要求学生详细阐述解题思路，展示解题过程。
3.小组合作题需充分发挥团队协作精神，共同完成任务。
4.作业完成后，及时进行自我检查，发现问题并及时改正。
3.拓展提高题：
（1）探究扇形的对称性质，并运用对称性质解决相关问题。
（2）研究扇形与三角形、矩形等图形的面积关系，推导相关公式。
4.小组合作题：
以小组为单位，共同探讨以下问题：
（1）扇形在生活中的应用，以及如何利用扇形优化设计。
（2）比较不同扇形面积与半径、圆心角的关系，总结规律。
5.创新思维题：
3.教师指导：
教师巡回指导，关注各小组的讨论进度，给予适当的提示和指导，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
设计具有层次性和挑战性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题类型：
（1）基础题：计算给定圆心角和半径的扇形的弧长和面积。
（2）提高题：解决实际问题，如计算河流的弯曲长度、不规则图形的面积等。
4.引导学生认识到数学在生活中的广泛应用，体会数学的价值，培养学生的数学素养。
二、学情分析

北师大版九年级下册数学3.9《弧长及扇形的面积》教案

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调弧长公式和扇形面积公式这两个重点。对于难点部分，我会通过图形示例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用软尺和圆规测量并计算一个给定圆心角的弧长。
举例：
难点1：当给出一个圆和其上的一个圆心角时，学生需要理解如何计算这个圆心角所对的弧长。
难点2：在计算扇形面积时，学生需要理解如何的计算公式。
难点3：在解决实际问题，如计算一段河流的弯曲长度或计算不规则图形的面积时，学生需要学会如何将问题简化为弧长或扇形面积的求解问题，并正确运用相关公式。
其次，在讲授弧长和扇形面积的计算公式时，我尽量用简洁明了的语言进行解释，并通过举例来帮助学生理解。但实践证明，仍有部分学生在运用这些公式时出现错误。我意识到，除了讲解公式推导过程外，还需要加强学生的实际操作练习，让他们在实际问题中反复运用这些公式，从而提高他们的计算准确性和解题能力。
此外，在课堂讨论环节，我发现学生们对于弧长和扇形面积在实际生活中的应用表现出浓厚的兴趣。他们积极思考，提出了很多有创意的想法。这说明学生们对于数学知识的应用有着很高的热情。在今后的教学中，我应多设置一些与实际生活紧密相关的题目，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学应用能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

3.9弧长及扇形的面积导学案北师大版九年级数学下册(1)

第三章圆3.9 弧长及扇形的面积学习目标：1．了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR 180和扇形面积S 扇＝n πR 2360的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)一、复习回顾问题1 你注意到了吗，在运动会的 4×100 米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？一、要点探究知识点一：弧长的计算探究一如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10 cm.（1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？（3）转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？归纳总结在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长的计算公式为_____________________. n 表示 1° 圆心角的倍数.典例精析例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧 AB 的长度（结果精确到 0.1 mm ）.链接中考知识点二：扇形面积的计算想一想在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长 3 m 的绳子，绳子的一端栓着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n° 角，那么它的最大活动区域有多大？合作探究探究二如何求圆的部分面积?自主学习合作探究问题一由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？归纳总结问题二圆心角是 n° 的扇形的面积呢？如果扇形的半径为 R ，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为S 扇形=________. 链接中考2.(兰州)如图 1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板；该展板的部分示意图如图 2 所示；它是以 O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角∠O =120° 形成的扇面，若 OA = 3m ，OB =1.5m ，则阴影部分的面积为 ( ) A. 4.25π m 2 B. 3.25π m 2 C. 3π m 2 D. 2.25π m 2 探究三圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系. 方法总结圆心角为 n° 的扇形的面积是:典例精析例2 扇形 AOB 的半径为 12 cm ，∠AOB = 120°，求的长（结果精确到 0.1 cm ）和扇形 AOB 的面积（结果精确到 0.1 cm2）.例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ，其中水面高 0.3 m ，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m 2).方法总结二、课堂小结1. 75° 的圆心角所对的弧长是2.5π cm ，则此弧所在圆的半径是_____cm.2.某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为 ( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3. 如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 ABD 的面积为______.4.(宜昌)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形如图以边长为 2 厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积是_____________________.5．一个扇形的弧长为 20π cm ，面积是 240π cm 2，则该扇形的圆心角为多少?参考答案二、小组合作，探究概念和性质知识点一：弧长的计算答案：（1）2πr== 20π cm（2）（3）当堂检测 πcm18=r ︒︒2π1360n ︒︒2πr 360n =πcm 18富强民主文明和谐自由平等公正法治爱国敬业诚信友善B C DO A在半径为R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长的计算公式为_____________________. n 表示1° 圆心角的倍数.典例精析例1链接中考答案：B知识点二：扇形面积的计算想一想答案：（1）半径为3 m 的圆的面积πr2 = 9π m2（2）链接中考2.答案：D探究三圆心角是n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系.方法总结圆心角为n° 的扇形的面积是:典例精析例2例3当堂检测1.答案：62.答案：B3.答案：254.S莱洛三角形= (S扇形BAC S△ABC)×3+S△ABC答案：5．。

弧长和扇形面积教学设计（共12篇）

弧长和扇形面积教学设计（共12篇）第1篇：《弧长和扇形面积》教学设计24.4 弧长和扇形面积第二课时一、教学目标（一）学习目标1．了解圆锥母线的概念，探索并理解圆锥侧面和全面积计算公式；2．会灵活应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题．（二）学习重点探究圆锥侧面积和全面积的计算公式.（三）学习难点应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题二、教学设计 1．自主学习（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾师问：上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？生答：弧长l＝半径）生答：扇形面积S＝（2）圆锥的再认识（教师出示一组生活中含圆锥形物体的图片）n⨯πR2，（其中n 表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）360nnπR⨯2πR＝，（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的360180 师问：上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？生答：圆锥体师问：非常好，它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？生答：圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面．师问：我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？生答：有无数条，它们是相等的．师问：为什么是相等的呢？生答：由勾股定理，每条母线l＝h2+r2，h表示圆锥的高，r表示底面半径，对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的．师：非常好！我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足：l2=h2+r2【设计意图】本节课探究的圆锥的侧面积和全面积，因此有必要重新认识圆锥，另外，本节课必须使用到上节课学习的弧长计算公式和扇形面积计算公式，因此也有必要回顾这两个公式，为本节课教学内容顺利进行做铺垫．二、合作交流师：大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为________；（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为________；（3）因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________l（学生先独立思考，再小组合作完成，并展示）归纳：①如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，根据上节课学习的扇形面积公式S 扇形=半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是S侧=1lR（其中l表示扇形的弧长，R表示扇形21⨯2πr⨯l=πrl；2②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：S全=S侧+S底＝πrl+πr2=πr(l+r)③通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积． 3．展示提升如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？（π取3.142）【知识点】圆锥侧面积在生活问题中的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm ∴一顶圣诞帽需要的材料是π⨯5⨯15=75πcm²∴生产这种帽身10000个，需要75π⨯10000=750000πcm²＝75πm²≈235.65 m²．∴玩具厂至少需235.65平方米的材料【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积公式即可，但实际问题需要注意单位问题．【答案】235.65m2四、课堂巩固1、在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=8，BC=6，将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（）A.30πB.40πC.50πD.60π2、已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_______，全面积是________.【知识点】圆锥侧面积的计算【解题过程】解：∵母线l＝4，底面半径r＝3 ∴由圆锥侧面积计算公式得：S侧=πrl＝π⨯3⨯4=12π由圆锥全面积计算公式得：S全=πr(l+r)＝π⨯3⨯(3+4)=21π【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得．【答案】12π21π练3、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_______，全面积是_______.4、已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm²，则这个圆锥的底面半径是________．【知识点】圆锥侧面积计算公式的逆用【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”．【解题过程】解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积S侧=20πcm2 ∴圆锥侧面积计算公式：S侧=πrl=π⨯r⨯5=20π解得：r=4 ∴底面半径为4cm 【答案】4cm5、圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______．【知识点】圆锥侧面积的计算，扇形面积的计算【解题过程】解法一：∵圆锥的底面半径是4，母线长是12 ∴圆锥侧面积＝S侧=πrl=π⨯4⨯12=48π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n 所以展开图的面积还可以表示为：∴nπ⨯122 360nπ⨯122＝48π解得：n＝120 3604 ∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°．解法二：∵圆锥的底面半径是4 ∴底面周长＝2π⨯4=8π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n ∵圆锥的母线长是12 ∴侧面展开图的弧长＝∴8π＝nπ⨯12 180nπ⨯12解得：n＝120 180∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°．【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求，即S=πrl；另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即S=解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角n=nnπl2，这样就得到πrl＝πl2，360360360r，其中r表示圆锥底面半径，l表示圆lnnπl，这样就得到πl＝180180锥母线．还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长2πr；另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于2πr，同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角n=360r． l【答案】120° 五．课堂小结（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥有无数条母线，它们的长度都相等，每条母线l＝h2+r2（h表示圆锥的高，r表示底面半径）.（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则该圆锥的侧面展开图的面积是1⨯2πr⨯l=πrl.2（3）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为S侧=r，则S全=S侧+S底＝πrl+πr2=πr(l+r).5第2篇：弧长和扇形的面积教学设计弧长和扇形的面积教学设计姜永娜教学目标知识与技能：1．会计算弧长及扇形的面积。

鲁教版数学九年级下册5.9《弧长及扇形的面积》教学设计

鲁教版数学九年级下册5.9《弧长及扇形的面积》教学设计一. 教材分析《弧长及扇形的面积》是鲁教版数学九年级下册第五章第九节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了圆的性质、弧长和扇形的基础上进行的，主要讲述了扇形的面积计算公式及应用。

通过本节内容的学习，使学生掌握扇形的面积计算方法，培养学生的空间想象能力和数学思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的性质、弧长和扇形有一定的了解。

但学生在计算扇形面积时，仍存在一定的困难，特别是在将实际问题转化为数学模型时，对扇形面积公式的应用容易出错。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解扇形面积的计算方法，并通过大量的练习，提高学生对扇形面积公式的应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握扇形的面积计算公式，能运用扇形面积公式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在解决实际问题中体验到数学的价值。

四. 教学重难点1.重点：扇形的面积计算公式及应用。

2.难点：将实际问题转化为数学模型，运用扇形面积公式进行计算。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识扇形面积，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生观察、思考、讨论，培养学生的独立解决问题的能力。

3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识。

4.练习法：通过大量的练习，提高学生对扇形面积公式的应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的图片、实例，用于导入和新课呈现。

2.准备PPT，用于展示教学内容和巩固知识。

3.准备练习题，用于课堂练习和家庭作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如圆形的操场、钟表等，引导学生认识扇形，引发学生对扇形面积的思考。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示扇形的面积计算公式，并进行讲解。

《弧长及扇形面积的计算》教案

《弧长及扇形面积的计算》教案第一章：弧长的概念1.1 引入：通过观察圆的周长和弧的关系，引导学生理解弧长的概念。

1.2 讲解：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母l 表示，弧长公式为l = (θ/360) ×2πr，其中θ为圆心角的度数，r 为圆的半径。

1.3 练习：让学生计算给定圆心角和半径的弧长，加深对弧长概念的理解。

第二章：弧长的计算2.1 引入：通过实例讲解弧长的计算方法。

2.2 讲解：利用圆的周长和圆心角的关系，推导出弧长计算公式。

2.3 练习：让学生运用公式计算不同圆心角和半径下的弧长，提高计算能力。

第三章：扇形的概念3.1 引入：通过观察扇形的特点，引导学生理解扇形的概念。

3.2 讲解：扇形是由圆心、圆弧和两条半径组成的图形，用字母S 表示。

扇形的面积公式为S = (θ/360) ×πr²，其中θ为圆心角的度数，r 为圆的半径。

3.3 练习：让学生计算给定圆心角和半径的扇形面积，加深对扇形面积概念的理解。

第四章：扇形面积的计算4.1 引入：通过实例讲解扇形面积的计算方法。

4.2 讲解：利用圆的面积和圆心角的关系，推导出扇形面积计算公式。

4.3 练习：让学生运用公式计算不同圆心角和半径下的扇形面积，提高计算能力。

第五章：弧长和扇形面积的实际应用5.1 引入：通过生活实例讲解弧长和扇形面积的实际应用。

5.2 讲解：举例说明弧长和扇形面积在实际问题中的应用，如计算圆周长、圆的面积等。

5.3 练习：让学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题，提高运用能力。

第六章：弧长与圆周长的关系6.1 引入：通过观察圆的周长和弧的关系，引导学生理解弧长与圆周长的关系。

6.2 讲解：圆周长是指整个圆的周长，用字母C 表示，圆周长公式为C = 2πr，其中r 为圆的半径。

弧长与圆周长的关系为l = (θ/360) ×C。

6.3 练习：让学生计算给定圆心角和半径的弧长，并求出对应的圆周长，加深对弧长与圆周长关系的理解。

3.9 弧长及扇形的面积(教案)-北师大版数学九下

第9节弧长及扇形的面积9弧长及扇形的面积1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程.2.了解弧长公式和扇形面积公式,并运用公式解决问题.1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程,培养学生的探索能力.2.了解弧长和扇形面积公式,并用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.1.经历计算过程,让学生体验数学活动充满探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.通过解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们学习的积极性.【重点】经历探索弧长及扇形面积公式的过程;了解弧长及扇形的面积公式;会利用公式解决问题.【难点】利用扇形面积公式解决问题.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习圆的周长和面积公式.2.圆规、直尺.导入一:同学们,你参加过田径运动会吗?为什么在田径200米比赛中,每位运动员的起跑位置不相同呢?学生分析:因为每个运动员所跑的弯道的路线是一条弧,而他们各自的半径不相等,所以他们的起跑位置不相同.【问题】那么怎么才能求出弧的长度呢?[设计意图]从学生熟悉的200米跑运动员的起跑位置引入本课,让学生体会生活中处处有数学,数学来源于生活这一事实.导入二:如图所示,在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2m的圆形喷水池,你能求出这五个喷水池占去的绿化园地的面积是多少吗?教师引导学生思考下面的问题并回答:1.五个阴影部分都是什么图形?2.五个图形的圆心角度数的和是多少?学生分析:五个阴影部分都是扇形,五个扇形的圆心角度数的和是540°.【问题】扇形的面积和圆的面积有什么关系?[设计意图]通过对扇形面积的探索,让学生初步感知扇形与圆的关系,为下面对其面积公式的探索打下了良好的基础.[过渡语]我们已经掌握了圆的周长和面积的计算方法,那么圆的一部分——扇形的周长和面积又该如何计算呢?课件出示:如图所示,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?教师引导学生思考下面的问题,并回答:1.转动轮转一周,传送带上的物品应被传送的实际距离是的周长.2.转动轮转1°,可以表示成360°的圆心角的,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的.3.转动轮转n°,可以表示成360°的圆心角的,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的.【师生活动】学生独立思考,然后小组相互交流,教师巡视并参与到学生的讨论中去,代表发言师生共同订正.解:(1)传送带上的物品A被传送的距离是:2π×10=20π(cm).(2)传送带上的物品A被传送的距离是:=(cm).(3)传送带上的物品A被传送的距离是:n×=(cm).【问题】根据上面的计算,你能探讨出在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流.【学生活动】学生类比刚才的探索,积极思考后,与同伴交流,统一答案.学生分析:360°的圆心角对应圆周长为2πR,那么1°的圆心角对应的弧长为=,n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍,即n×=.【教师点评】总结弧长的计算公式.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=.【教师强调】弧长的计算公式l=中的n表示的是1°的圆心角的倍数,所以没有单位.[设计意图]承接创设的问题情境,让学生回顾圆的有关知识,并利用圆的性质探索推导弧长公式,能用得出的结论进行说理,实质上是圆的有关性质的运用.并掌握用公式解决实际问题的一般思制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm).〔解析〕管道的展直长度即弧AB的长,已知R=40mm,n=110,根据弧长公式l=可求得的长解:∵R=40mm,n=110.∴的长=πR=×40π≈76.8(mm).因此,管道的展直长度约为76.8mm.[设计意图]让学生利用公式进行弧长的有关计算,明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切,熟练公式的应用.二、扇形的面积公式课件出示:在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.(1)这只狗的最大活动区域有多大?(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?【教师活动】教师出示示意图供学生分析.【学生活动】学生首先独立思考两个最大区域的区别,然后与同伴交流,解:(1)这只狗的最大活动区域是圆,它的面积为:32π=9π(m2).(2)狗的活动区域是扇形(如图(2)所示),扇形是圆的一部分,360°的圆心角对应的圆面积是9π,1°的圆心角对应圆面积的,即×9π=,n°的圆心角对应的圆面积为n×=.【教师点评】如果圆的半径为R,那么圆的面积为πR2,1°的圆心角对应的扇形面积为,n°的圆心角对应的扇形面积为n·=.扇形的面积公式:S=πR2.【学生活动】学生观察后,尝试推导l和S之间的关系.=πR2,解:∵l=πR,S扇形∴πR2=R·πR.∴S=lR.扇形=lR.【师生总结】扇形的面积公式:S扇形【观察发现】你发现扇形面积公式S=lR类似于哪种图形的计算公式?扇形学生分析:与三角形的面积公式类似.=lR.【教师提示】我们可以类比三角形的面积公式记忆扇形的面积公式S扇形【教师点评】扇形面积的计算公式:1.S=πR2;=lR.2.S扇形[设计意图]引导学生自己根据已有的知识推导公式,由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难,因此引导他们采用类比的方法进行探究,这样可以让部分学生恢复解题的自信.[知识拓展]扇形面积公式的选择:=πR2.1.若已知圆心角和半径,选择S扇形=lR.2.若知道弧长和半径,选择S扇形扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2).〔解析〕分别利用弧长公式l=πR和扇形的面积公式S=πR2,把已知数据代入即可求的长和扇形AOB的面积.等学生完成后,教师出示解题过程,规范他们的步骤.解:的长=π×12=8π≈25.1(cm).S=π×122≈150.7(cm2).扇形因此,的长约为25.1cm,扇形AOB的面积约为150.7cm2.[设计意图]通过例题的解答,使学生熟练运用弧长公式和扇形面积公式,提高学生解决问题的综合能力.1.弧长的计算公式及运用;2.扇形的面积公式及运用;3.弧长l及扇形的面积S之间的关系公式及运用.1.(2014·云南中考)已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为()A.B.2π C.3π D.12π解析:根据弧长公式可得l==3π.故选C.2.如图所示,半径为1的圆中,圆心角为120°的扇形面积为()A.B. C.π D.π解析:由扇形面积公式得S==.故选C.3.(呼伦贝尔中考)150°的圆心角所对的弧长是5πcm,则此弧所在圆的半径是cm.解析:设圆的半径为x cm,由题意得=5π,解得x=6.故填6.4.如图所示,一个圆心角为90°的扇形,半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为(结果保留π).解析:S扇形===π,S△AOB=×2×2=2,则S阴影=S扇形-S△AOB=π-2.故填π-2.5.如图(1)所示,AB是☉O的直径,且AB=4,AC是弦,∠CAB=40°,求劣弧BC和弦AC的长.(弧长计算结果保留π,弦长精确到0.01)解:连接OC,BC,如图(2)所示,∵∠CAB=40°,∴∠COB=80°,∴劣弧BC的长==,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,cos40°==,∴AC=4cos40°≈4×0.766≈3.06.9弧长及扇形的面积1.弧长的计算公式:l=πR.=πR2.2.扇形的面积公式:S扇形=lR.3.弧长l及扇形的面积S之间的关系:S扇形一、教材作业【必做题】1.教材第101页随堂练习第1,2题.2.教材第102页习题3.11第1,2题.【选做题】教材第102页习题3.11第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.若扇形的半径为6,圆心角为120°,则此扇形的弧长是()A.3πB.4πC.5πD.6π2.(2014·莱芜中考)如图所示,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则图中阴影部分的面积为()A.πB.2πC.D.4π3.(2014·自贡中考)一个扇形的半径为8cm,弧长为πcm,则扇形的圆心角为.4.(2015·重庆中考)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4.以A为圆心,AC长为半径作弧,交AB于点D,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)【能力提升】5.(2014·南充中考)如图所示,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是()A.πB.13πC.25πD.256.(2014·重庆中考)如图所示,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与☉O相切于点C,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)7.如图所示,☉O的半径等于1,弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积.(结果保留π)8.如图所示,已知图中☉O的半径为1,∠AOB=120°,求阴影部分的面积.9.如图所示,线段AB与☉O相切于点C,连接OA,OB,OB交☉O于点D,已知OA=OB=6,AB=6.(1)求☉O的半径;(2)求图中阴影部分的面积.【拓展探究】10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,若DA=2.(1)求线段EC的长;(2)求图中阴影部分的面积.【答案与解析】1.B (解析:∵扇形的半径为6,圆心角为120°,∴此扇形的弧长==4π.故选B .)2.B (解析:∵S 阴影=S 扇形ABA'+S 半圆-S 半圆=S 扇形ABA'==2π.故选B .)3.120°(解析:设扇形圆心角为n °,根据弧长公式可得=π,解得n =120.)4.8-2π(解析:∵在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,∴∠A =∠B =45°,∵AB =4,∴AC =BC =AB ×sin 45°=4,∴S △ACB =×AC ×BC =×4×4=8,S 扇形ACD ==2π,∴图中阴影部分的面积是8-2π.)5.A (解析:点B 所经过的路径如图所示,连接BD ,B'D ,∵AB =5,AD =12,∴BD ==13,∴的长==,∵的长==6π,∴点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是+6π=.故选A .)6.4-(解析:连接OC ,∵AB 与圆O 相切,∴OC ⊥AB ,∵OA =OB ,∴∠AOC =∠BOC ,∠A =∠B =30°,在Rt△AOC 中,∠A =30°,OA =4,∴OC =OA =2,∠AOC =60°,∴∠AOB =120°,AC ==2,∴AB =2AC =4,则S 阴影=S △AOB -S 扇形=×4×2-=4-.)7.解:∵弦AB 和半径OC 互相平分,∴OC ⊥AB ,OM =MC =OC =OA.在Rt△OAM 中,sin A ==,∴∠A =30°.又∵OA =OB ,∴∠B =∠A =30°,∴∠AOB =120°.∴S 扇形==.8.解:如图所示,过点O 作OC ⊥AB 于点C ,∵∠AOB =120°,OA =OB ,∴∠OAC =30°,在Rt△OAC 中,OC =OA =,AC =OC =,∴AB =2AC =,则S △AOB =AB ×OC =,S 扇形AOB ==,故S 阴影=S 扇形AOB -S △AOB =-.9.解:(1)连接OC ,则OC ⊥AB.∵OA =OB ,∴AC =BC =AB =×6=3.在Rt△AOC 中,OC ===3,∴☉O 的半径为3.(2)∵OC =OA ,∴∠A =30°,∠AOC =∠COD =60°.∴扇形OCD 的面积为S 扇形OCD ==π,∴阴影部分的面积为S 阴影=S Rt△OBC -S 扇形OCD =OC ·CB -π=-π.10.解:(1)∵在矩形ABCD 中,AB =2DA ,DA =2,∴AB =AE =4,∴DE ==2,∴EC =CD -DE =4-2.(2)∵sin∠DEA ==,∴∠DEA =30°,∴∠EAB =30°,∴图中阴影部分的面积为:S 扇形FAB -S △DAE -S 扇形EAB =-×2×2-=-2.本节课在教学中学生的“探究活动”贯穿整节课,探究过程教师引导学生自己根据已有的知识一步一步推导公式,这样既能使学生有成就感,又能培养他们的探索能力,还能使所学知识掌握得比较牢固,这样运用公式进行计算来解决问题就比较容易了.对于难度稍大的问题采取了小组合作方式,小组合作学习的实践活动让学生成了学习的主人,有效地提高了主动探索、解决问题的能力.本节课虽然应用直观形象的手段,让学生经历了知识的生成过程,但因学生水平的差异,在应用弧长和扇形面积公式时有部分人混淆方法.再教时,不再因为由于时间紧张而忽视对学生的积极表现给予评价,要多鼓励表扬,以提高学生学习的兴趣.随堂练习(教材第101页)1.解:如图所示,连接OA ,OB ,∵OD =12cm ,CD =6cm ,∴OC =OD -CD =12-6=6(cm ),∴cos∠AOC ===,∴∠AOC =60°,∴AC =OA ·sin∠AOC =12×=6,AB =2AC =12.∴∠AOB =2∠AOC =2×60°=120°,∴S 阴影=S 扇形OAB -S△OAB=-×6×12=(48π-36)cm 2.2.解:(1)设内圈半径为r m .由题意得200=2πr ,解得r ≈31.8.(2)设外圈半径为R.由题意得R =r +6=37.8.则一个外圈弯道的长=×2πR ≈118.7(m ),所以一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差118.7-100=18.7(m ).习题3.11(教材第102页)1.解:由弧长公式l =,可得4π=,解得R =7.2(cm ).2.解:设点P 旋转了n °,根据题意得10=,解得n ≈115.∴点P 大约旋转了115°.3.解:l ===2.5π≈7.85(cm ).故商标纸的长约为7.85cm .4.解:∵=,解得θ≈137.5°,∴S 纸=S 大扇形-S 小扇形≈(202-52)≈449.7(cm 2).故至少要用449.7×2=899.4cm 2的纸.复习题(教材第103页)1.解:图(4)既是轴对称图形又是中心对称图形.2.解:过O 作OC ⊥AB 于C ,则AC =BC =AB.∵∠AOB =120°,∴∠A =∠B =30°,∴OC =OA =×20=10(cm ).在Rt △AOC 中,AC ===10(cm ),∴AB =20cm .∴S △AOB =AB ·OC =×20×10=100(cm 2).3.解:如图所示,∵AB =0.72m ,∴BD =AB =0.36m .设圆的半径为R ,则OD =OC -CD =(R -0.25)m .在Rt△OBD 中,∵OD 2+DB 2=BO 2,∴(R -0.25)2+0.362=R 2,解得R ≈0.384.4.解:CD =CE.连接OC ,∵=,∴∠AOC =∠BOC.∵OA =OB ,D ,E 分别是OA ,OB 的中点,∴OD =OE.又∵OC =OC ,∴△OCD ≌△OCE ,∴CD =CE.5.解:OD∥AC.∵∠DAB =30°,∴∠DOB =60°.又∵∠COD =60°,∴∠AOC =60°.∵OA =OC ,∴∠ACO =60°.∴∠ACO =∠COD ,∴OD∥AC.6.解:∠ABE =∠ADE ,∠BAD =∠BED ,∠ACD =∠ABD ,∠CDA =∠CEA 等.7.解:∵=,∴+=+,即==180°,∴所对的圆周角等于90°.8.解:∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB =90°.又∵∠A +∠B =90°,∠B +∠BCD =90°,∴∠A =∠BCD ,∴△ACD ∽△CBD ,∴=,即=,解得AD =4cm 或AD =9cm .∵AD <BD ,∴AD =4cm .9.提示:由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点,可作△ABC 的任意两边的垂直平分线,它们的交点即为△ABC 的外接圆的圆心(设圆心为O ).以O 为圆心,OB 长为半径作圆,即可得出△ABC 的外接圆.图略.10.提示:分别作∠A ,∠B 的平分线交于O 点,以O 为圆心,O 到AB 的距离为半径作☉O ,则☉O 即为△ABC 的内切圆.图略.11.解:连接OC ,∵AB 切☉O 于C ,∴OC ⊥AB.∵OA =OB ,∴AC =BC =AB =5cm .∵☉O 的直径为8cm ,∴OC =4cm ,∴OA ===(cm ).12.解:从左往右依次填:第一行:120°2163第二行:90°90°284第三行:120°60°2212613.解:如图所示,过点O 作OH ⊥CD 交CD 于点H ,连接OC ,OD ,∴CH =CD ,∵☉O 的周长等于6πcm ,∴☉O 的半径为3cm ,∵正六边形的边长等于半径,∴△OCD 是等边三角形,∴CD =OC =3cm ,∴CH =cm ,∴OH ==(cm ),∴S 正六边形ABCDEF =6S △COD =6××3×=(cm 2).14.解:如图所示,连接OB ,∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠AOB ==60°,∴∠ADB =∠AOB =×60°=30°.15.解:△ABC 为等边三角形.∵OD ⊥BC ,OE ⊥AC ,OD =OE ,∴AC =BC.又∵=,∴AB =BC ,∴AB =BC =AC ,即△ABC 为等边三角形.16.解:1×÷2+×3=.17.解:弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积,利用垂径定理可知扇形所对的圆心角是120度,所以-×4×2=cm 2.18.解:(1)点P 在☉O 外.(2)点P 可能在☉O 外,也可能在☉O 内,还可能在☉O 上.19.提示:运动一圈,☉P 与△OBC 的边相切6次.☉P 与△OBC 的边相切时,点P 的位置分别是PO =2(点P 在OB 上或OC 上),PB =2(点P 在BC 上或OB 上),PC =2(点P 在BC 上或OC 上).20.提示:(1)分别以A ,C 为圆心,以AP 为半径作弧,两弧相交于点O ,再以点O 为圆心,以OA 为半径作弧.(2).21.解:(1)当直线l 与直线AB 不垂直时,只能作一个圆.(2)当直线l 与直线AB 垂直,但不经过AB 中点时,不能作圆.(3)当直线l 是线段AB 的垂直平分线时,可以作无数个圆.22.解:设AB ,BC ,AC 分别与☉O 切于点D ,E ,F ,连接OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OF.∵☉O 的半径是r ,∴OD =OE =OF =r ,∵☉O 是△ACB 的内切圆,∴OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,OD ⊥AB ,∵△ABC 的周长为l ,∴AC +BC +AB =l ,∴S △ABC =S △ACO +S △BCO +S △ABO =×AC ×r +×BC ×r +×AB ×r =(AC +BC +AB )×r =lr ,即△ABC 的面积是lr.23.答案不唯一.如测量、将纸片对折等.24.解:连接BD 交AC 于O ,则OA =OC =AC =1m ,∴S ☉O =πr 2=πm 2.∵AD =1m ,AC =2m ,∴∠ACD =30°,∠BOC =∠AOD =60°,CD ===(m ),∴S 矩形ABCD =AD ·CD =(m 2),S 弓形BC =S 扇形BOC -S △OBC =-×=-(m 2),∴S 打掉=S ☉O -S 矩形ABCD -S 弓形BC=π--=-≈1.3(m 2).25.解:∵AB =30cm ,BD =20cm ,∴AD =10cm ,∴S 纸=2(S 大扇形-S 小扇形)=2×=(302-102)≈1674.7(cm 2).26.解:S 扇形=≈17.1(m 2).27.解:连接OA',OB',∵AA',BB'是☉O 的切线,∴∠AA'O =∠BB'O =90°.∵AB =40km ,O 是AB 的中点,∴AO =OB =AB =20km .又∵OA'=OB'=10km ,∴∠A =∠B =30°,∠AOA'=∠BOB'=60°,∴AA'=BB'===10(km ).易知∠A'OB'=60°,∴=×2π×10=π(km ).∴公路长=20+π≈45.1(km ).28.解:过点O作OC⊥AB于点C,则AC=BC=AB=×30=15(m).∵OA=20m,∴OC===5(m),∴S△=AB·OC=×30×5=75(m2).在Rt△AOC中,sin∠AOC====0.75.∴∠AOC≈48°35',∴∠AOB≈AOB≈=π(m2).∴S弓形(阴影)≈π-75≈140(m2).∴大约有140×3=420名观众在看马戏. 97°,∴S扇形AOB31.提示:圆的面积最大.理由如下:S≈173.2m2;S正方形=225m2;S正六边形≈259.8m2;S圆≈286.5m2.正三角形32.解:连接AD,BC,∵=,∴AD=BC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==,即AD=.33.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠ADB,∴∠ABC=∠ADB.又∵∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB,∴=,∴AB2=AD·AE=6×2=12,∴AB=2.34.解:如图所示,过点A作AB⊥OM于点B,∵∠MON=53°,∴∠AOM=90°-53°=37°.在Rt△ABO中,∵sin∠AOB=,∴AB=AO·sin∠AOB=200×sin37°≈120(m).∴学校在该货车噪声污染范围内.BC==50(m),∴CD=100m.∴受噪音污染的时间为100÷5=20(秒).35.解:会穿过森林公园.因为=tan45°=1,所以BH=AH.又因为=tan30°=,所以HC=AH.所以BC=BH+HC=AH+AH=(+1)AH.又因为BC=500m,所以(+1)AH=500.所以AH=250(-1)m.而250(-1)<300,故此公路会穿过森林公园.1.本节课的难点是弧长和扇形面积的公式的推导,对于弧长公式的推导学生可以运用“由特殊到一般”的数学思想进行探究.2.运用类比弧长公式的探究方法探究扇形的面积公式;类比三角形面积公式记忆弧长l及扇形的面积S之间的关系:S=lR.扇形3.两个公式的应用是本节课的重点,要注意两个公式之间的区别与联系,达到熟练运用的程度.(2014·滨州中考)如图所示,点D在☉O的直径AB的延长线上,点C在☉O上,AC=CD,∠ACD=120°.(1)求证CD是☉O的切线;(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.〔解析〕(1)连接OC,只需证明∠OCD=90°.根据等腰三角形的性质即可证明;(2)阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积.证明:(1)如图所示,连接OC.∵AC=CD,∠ACD=120°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠2=∠A=30°.∴∠OCD=90°.∴CD是☉O的切线.解:(2)由(1)知∠A=30°,∴∠1=2∠A=60°.==.∴S扇形BOC在Rt△OCD中,∵=tan60°,∴CD=2.=OC×CD=×2×2=2.∴SRt△OCD∴图中阴影部分的面积为2-.[解题策略]此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积的计算.第10节本章复习教案。

《弧长及扇形面积的计算》教案

《弧长及扇形面积的计算》教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解弧长的概念，掌握弧长的计算方法；（2）理解扇形面积的概念，掌握扇形面积的计算方法。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生认识弧长和扇形面积的概念；（2）运用数学公式和图形相结合的方法，培养学生计算弧长和扇形面积的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）弧长的计算方法；（2）扇形面积的计算方法。

2. 教学难点：（1）弧长公式的灵活运用；（2）扇形面积公式的理解和应用。

三、教学准备：1. 教师准备：（1）弧长和扇形面积的相关理论知识；（2）教学课件或黑板、粉笔等教学工具。

2. 学生准备：（1）预习弧长和扇形面积的相关知识；（2）准备好笔记本，记录重点内容。

四、教学过程：1. 导入新课：（1）利用实例引入弧长和扇形面积的概念；（2）引导学生思考如何计算弧长和扇形面积。

2. 知识讲解：（1）讲解弧长的定义和计算方法；（2）讲解扇形面积的定义和计算方法。

3. 公式推导：（1）引导学生通过观察图形，推导出弧长公式；（2）引导学生通过分析扇形的组成，推导出扇形面积公式。

4. 实例演练：（1）出示一些弧长和扇形面积的计算题目，让学生独立完成；（2）选几位学生上台板演，并讲解解题思路。

5. 课堂小结：（1）总结弧长和扇形面积的计算方法；（2）强调公式的重要性和灵活运用。

五、课后作业：1. 请学生完成课后练习题，巩固所学知识；2. 鼓励学生查阅相关资料，深入了解弧长和扇形面积的运用；3. 提醒学生及时总结错题，查漏补缺。

六、教学反思：在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的课堂参与度、知识掌握程度以及教学方法的适用性。

教师需要根据学生的反馈和自身的教学体验，调整教学策略，以提高教学效果。

七、课堂评价：1. 学生对本节课弧长和扇形面积概念的理解程度；2. 学生对弧长和扇形面积计算公式的掌握情况；3. 学生在实例演练中的表现，以及解题思路的清晰程度；4. 学生课后作业的完成质量，以及对错题的总结反思。

初中数学初三数学下册《弧长与扇形面积》教案、教学设计

2.教师引导与指导
教师在学生讨论过程中，给予适当的引导，确保讨论的方向正确。同时，关注学生的参与情况，鼓励每位同学发表自己的观点。
（四）课堂练习
1.教学活动设计
设计具有层次性的练习题，让学生运用所学知识解决实际问题。练习题包括：
a.基础题：计算给定圆的弧长和扇形面积；
b.提高题：结合实际情境，解决有关弧长和扇形面积的问题；
初中数学初三数学下册《弧长与扇形面积》1.理解并掌握弧长、扇形的定义，能正确区分及运用。
2.掌握弧长公式，能够根据给定信息求解弧长。
3.掌握扇形面积公式，能够根据给定信息求解扇形面积。
4.能够运用弧长与扇形面积的相关知识解决实际问题，提高数学应用能力。
（二）过程与方法
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.弧长与扇形面积的定义及其公式。
2.弧长与扇形面积在实际问题中的应用。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）教学难点
1.弧长公式与扇形面积公式的推导过程。
2.学生对弧长与扇形面积概念的理解及在实际问题中的应用。
3.如何激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
作业要求：
-学生需独立完成作业，确保作业质量。
-对于实践应用题和拓展思考题，鼓励学生进行深入研究，培养他们的探究精神和创新意识。
-小组讨论题要求每位同学积极参与，共同总结学习经验，提高团队合作能力。
教师将根据学生的作业完成情况，及时给予反馈，帮助学生发现和纠正错误，进一步巩固所学知识。同时，鼓励学生提出疑问，激发他们主动探索的学习兴趣。通过本次作业的布置，旨在培养学生的数学思维能力，提高解决实际问题的能力，为后续学习打下坚实基础。
-已知圆的半径和弧长，求对应的圆心角。

九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积教案1 (新版)北师大版

课题：3.9.弧长及扇形的面积教学目标：1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程.培养学生的探索能力.2．理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．训练学生的数学应用能力.3.使学生了解计算公式的同时，体会公式的变式，使学生养成独立思考、合作交流的良好学习习惯,形成良好的数学品质.教学重点和难点：重点：会利用弧长及扇形面积公式解决问题．难点：探索弧长及扇形面积计算公式；利用公式解决问题．教具准备：老师制作多媒体课件．教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容：回答下列问题.问题1：同学们，春天到了，春季运动会也将在近期举行．很多同学是不是跃跃欲试呢．在运动会中你认为最精彩，最让人兴奋的项目是什么？（赛跑、掷铅球、跳高等）问题2：在田径200米跑比赛中，为什么每位运动员的起跑位置不相同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？（学生疑惑不解）带着这样的疑问，让我们一起走进今天的学习．（教师板书课题:3.9弧长及扇形面积）设计意图：从学生熟悉的200米运动员的起点位置引入本课，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会到生活处处有数学，数学来源于生活这一事实．这也为新课的学习做好铺垫．二、探究学习，感悟新知复习回顾：（多媒体出示问题）1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？2.什么叫圆心角？圆的圆心角多少度？学生思考后回答：1.若圆的半径为R，则周长l＝2πR，面积S＝πR2;2.圆的圆心角是360°．我们知道弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算呢?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?下面我们就来一起探索弧长及扇形的面积公式，并应用它们来解决一下简单的实际问题.探究活动1：弧长的计算公式（多媒体出示问题）如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定.）解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长.所以，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm．(2) 因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的1360.所以，传送带上的物品A 被传送2036018ππ=cm ． (3) 转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送转l°时传送距离的n 倍．所以，传送带上的物品A 被传送n ×2036018n ππ=cm ．根据上面的计算，你能探讨出在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．学生讨论交流,各抒己见.然后总结得出：360°的圆心角对应圆周长为2πR ，那么1°的圆心角对应的弧长为2360180R R ππ=，n °的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n 倍，即n ×180180Rn R ππ=．也就是，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式我们发现，弧长公式与半径R 、圆心角n 有着密切的关系.现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？(学生讨论交流,然后尝试回答).因为处于外跑道同学所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道学生所跑的“弧长”大于内跑道学生所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前.这样我们将“200米弯道跑”的问题就转化长为“弧长”的问题了，请同学们认真体会这种转化思想的应用.处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时予以引导，让学生通过自主探究、合作交流归纳总结出弧长的计算公式，并通过对问题情境例子的解释，加深对公式的理解.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识．先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长与圆的周长公式的密切关系．下面我们来看弧长计算公式的运用（多媒体出示例1）．例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB 的长(结果精确到0．1 mm)．分析：要求管道的展直长度．可以将实际问题转化成数学问题.管道的展直长度即弧AB 的长，已知R ＝40mm ，n =110°，因此根据弧长公式l ＝180n R π，可求得弧AB 的长．（学生板书计算过程）解：∵R ＝40mm ，n =110°．∴弧AB 的长l =180n πR =110180×40π≈76．8 mm ．因此，管道的展直长度约为76．8 mm ．巩固训练一：1.在直径为24cm 的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（）A.24πcmB.12πcmC.10πcmD.5πcm2.若圆的半径为6cm ，长为8π的弧长所对的圆心角为_______度.3.长为6.28cm 的弧所对的圆心角是60°，则该弧所在圆的半径为_______.（π取3.14）设计意图：让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用．实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写．探究活动2：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大?（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定.）解：(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π.(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，1°的圆心角对应圆面积的1360，即1360×9π=40π，n °的圆心角对应的圆面积为n ×40π=40n π．由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？学生讨论交流，总结出下面的结论：如果圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，1°的圆心角对应的扇形面积为2360R π，n °的圆心角对应的扇形面积为n ·2360R π=2360n R π．R 为扇形的半径，n 为圆心角．下面我们就来利用扇形的面积计算公式解决一些简单的问题. （多媒体出示例2）例2 扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求弧AB 的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)（4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用）安排学生独立在练习本上完成题目，并安排一名学生板演.学生完成后，老师予以讲评. 解：弧AB 的长l =120180π×12=8π≈25.1cm ： S 扇形=120360π×122=48π≈150.7 cm 2．因此，弧AB 的长约为25.1 cm ，扇形AOB 的面积约为150.7 cm 2．巩固训练二：1．已知扇形的圆心角为120°且半径为3，则弧长=_____，扇形面积=_______.2．如图，纸扇的最大张角为120°，尺寸如图所示，制作这样的纸扇至少要多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果用π表示）3．如图，正三角形ABC 的边长为2，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，以A 、B 、C 三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是_______.(2)题图4．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π处理方式：让学生先根据多媒体展示的例2解题过程，理解弧长及扇形面积计算公式.然后让四名同学板演巩固训练的题目，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时强调，如：第2题纸扇有两面算时忘了乘以2了；弧长及扇形面积计算公式中n 不带单位“度”了等．设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式．通过引例初步掌握如何解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示课本问题，让学生及时巩固解决实际问题的方法.并能积极进入探究过程．第4题第3题第2题探究活动3：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）上面我们已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝180n πR ，n°的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n 和半径R ，因此，l 和S 之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流．（学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流）解∵l =180n πR ，S 扇形=360n πR 2， ∴360n πR 2=12R ·180n πR ．由此，你能发现扇形面积类似于三角形的面积的计算公式吗？（能）若已知圆心角和半径，选择S 扇形＝360n πR 2，若知道弧长和半径，选择S 扇形=12lR ．在例2中，计算出弧AB 的长后，我们还可以选择S 扇形=12lR 计算扇形AOB 的面积, 即S 扇形=12lR =12×8π×12≈150.7 cm 2．巩固训练3：(1)已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm ，则扇形的面积为．(2)已知扇形的弧长为20πcm ，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为_______.处理方式：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积的计算公式加以记忆.对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时予以强调．设计意图：由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信心，从而提高解题的积极性和主动性.五、回顾反思，提炼升华同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请迅速完成本节课的达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1．已知扇形的圆心角为60°，且半径为5，则扇形的弧长为（）A ．5πB ．53πC ．πD ．56π 2．如果一个扇形的半径是2，弧长等π，那么此扇形的圆心角的大小是（）A ． 45°B ． 60°C ．90°D ．120°3．已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm ，则扇形的面积为．4.如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）4题图4题图 5题图5．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠AC B=90°，AB=2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 . B 组：6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2.将△ABC 绕顶点A顺时针方向旋转至△AB ′C ′的位置，B ，A ，C ′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为 .6题图 7．如图所示，AC 与O ⊙相切于点C ，线段AO 交O ⊙于点B ．过点B 作BD AC∥7题图 D C E O交O ⊙于点D ，连接CD OC 、，且OC 交DB 于点E ．若30CDB DB ∠=︒=，．（1）求O ⊙的半径长；（2）求由弦CD BD 、与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本第102页，习题3.11 第1题第2题第3题第4题．选做题：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于．【分析】先作出辅助线，即连接OD ．然后根据题意利用等积转化将△OD F 的面积转化为△BCD 的面积，将弓形DE 的面积转化为弓形BC 的面积，从而将阴影部分的面积转化为扇形BOD 面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积．解：连接OD ，根据题意可知S △OD F=S △BCD, S 弓形DE=,S 弓形BC,∴S 阴影=S 扇形BOD =π．【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是利用等积转化将阴影部分的面积转化为扇形BOD 面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积．题目比较好，难度适中．设计意图：必做题供全体学生巩固弧长及扇形面积公式；选做题供学有余力的学生完成，训练学生灵活运用公式解决实际问题的能力，拓宽学生的知识面．板书设计：。

初中数学《弧长和扇形面积教案》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思

2.会正确计算弧长和扇形的面积，熟练的运用两个公式进行相关计算。
过程与方法
思考、探究弧长和扇形面积的计算公式，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力。
情感、态度与价值观
体验数学学习活动的思考和探索过程，感受数学学习中数形结合的思想，提高解决实际问题的能力。
教学重点与难点
重点会计算弧长和扇形的面积
（4）n°圆心角所对的弧长是多少？（n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对的弧长的n倍，/）
由此可得弧长公式：/
3、先独立完成计算，再逐一讲解。
（二）扇形面积公式
1、认识扇形及其定义，并学会判断什么图形是扇形？
2、自主学习，合作探究
（1）如果圆的半径为R，则圆的面积是多少？（πR2）
（2）360o圆心角所对应的扇形面积为多少？（πR2）
2、自主学习，合作探究
/
得出弧长公式：/
3、精讲例题
例1一段弧的半径是50厘米，所对的圆心角为60o，求此弧的长度。
解：由弧长公式得/（厘米）
答：此弧的长度为/厘米。
例2制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，结果取整数)
/
解：由弧长公式得/
A./B.2πC.3πD.12π
3、若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（）。（2015）
A.3B.9C./D./
（五）小结
（六）布置作业
1、P113练习1、2在课本上完成；
2、P115第1（1）、（2）和第6题。
（一）弧长公式
1、引出“弧及弧长”
2、自主学习，合作探究，完成探究问题，得出弧长计算公式。
学生学情分析

苏科版九年级数学弧长及扇形的面积教案

1 / 3弧长及扇形的面积教学目标1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程2、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题教学重点弧长与扇形的计算公式的推导与应用教学难点弧长与扇形的计算公式的应用教学过程一、创设情境1、小学里我们已经学习过圆的周长计算公式、圆面积计算工式。

说出圆周长计算公式与圆面积计算公式。

2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，那么弧长、怎样计算呢？二、新知探究1、探索弧长计算公式因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π，即180R π。

这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为： l =180R n π 注：引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，它揭示了l 、n 、R 这3个量之间的一种相等关系。

如果这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式2 / 3求出第三个量。

2、探索扇形面积计算公式（1）类比弧长的计算公式可知：圆心角为n °的扇形面积与整个圆面积的比和n °与360°的比一致，因此，扇形的面积应等于圆的面积乘以扇形的圆心角占360的几分之几，即圆心角是360°的扇形面积就是圆面积S=πR 2，所以圆心角是1°的扇形面积是。

3602R π这样，在半径为R 的圆中，圆心角为的扇形面积的计算公式为：S=360n πR 2注：类似于弧长的计算公式，扇形面积的计算公式也是表示三个量之间的相等关系，在S 、n 、R 中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量的值。

（2）扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=360n πR 2化为S=180R n π·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式： S=21lR 三、解决问题1、如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，AC A 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？3 / 32、如图，正三角形ABC 的边长为2,分别以A 、B 、C 为圆心，1为半径画弧，与△ABC 的内切圆O 围成的图形为图中阴影部分。

初中数学九年级下册《弧长及扇形的面积》导学案

北师大版初中数学九年级下册《弧长及扇形的面积》导学案一、学习目标：1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程；2．了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题。

重点：经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程；了解弧长和扇形面积计算公式；难点：会运用公式解决问题。

二、情境导入：在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？三、新知探究：1、如图,某传送带的一个转动轮的半径为R. (1)转动轮转一周,传送带上的物品A 被传送多远？ (2)转动轮转1°,传送带上的物品A 被传送多远？ (3)转动轮转n °,传送带上的物品A 被传送多远？(4)由以上三问可知，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长计算公式为： =公式巩固：例1：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料。

试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB 的长。

(图中OA=OB=R=40mm,∠AOB=120°)注意：在弧长公式中涉及到三个量：弧长、圆心角度数、半径，知道其中任意两个量，就可以求出第三个量。

变式练习：1、已知l=24cm ，圆心角n=120°，则R=________2、已知lAB =27cm，半径R=21cm ，则圆心角为_______2、想一想：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长为R 的绳子，绳子的一端栓着一只狗。

（1）这只狗的最大活动区域是什么图形？面积有多大？（2）若这只狗只能绕柱子转过n °的角，那么它的最大活动区域是什么图形呢? 面积有多大？（3）由此可知，如果扇形的半径为R,圆心角为n °，那么扇形的的面积计算公式为： S 扇形=例2：已知扇形AOB 的半径为12cm,∠AOB=120o ,求AB 的长和扇形AOB 的面积。

（4）比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？ S 扇形=注意：与弧长公式一样，扇形面积的两个公式中，均涉及到三个量，已知其中两个量，也可以求出第三个量。