二面角及二面角的平面角
二面角,判定,性质
面面垂直
定义
性质定理
直线与平面垂直定义
直线与平面垂直判定定理
b
a
ol
ba
b a 任意, a ,
b . l a,l b, a b o,
l .
直线与平面垂直定义
l
a
l ,a ,
l a.
面面垂直定义 面面垂直判定定理
面面垂直性质定理
AB
C
a
a
l
二面角ABC 90，
. a ,a ,
PMC是二面角P-AB-C的 A
C
平面角.
在 ABC中，CM=AC sin 60 3.
M
在 PAB中，PM PA sin 60 3,
B
又 PC 3, PCM是正三角形.
PMC 60.二面角P-AB-C的大小为60.
16:20
二面角
例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
1.求证：平面PAC 平面PBC.
(2)请找(作)出不互相垂直 P 的平面的二面角的平面角.
A
E
C
D B
16:20
如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA的中点,
请作出平面EAD和平面BAC所成的二 面角的平面角 E
D
C
B
F
G
A
16:20
思考题 （2001年高考题）
Bα
CA
D
β
16:20
平面与平面垂直的判定定理
1.面面垂直的定义：如果两个面所成的二面角是直二
面角，称两个平面垂直.记作： .
二面角垂直向量角与二面角的平面角相等或互补的关系
《二面角垂直向量角与二面角的平面角相等或互补的关系》一、引言二面角是我们在几何学习中经常接触到的概念，它是一个重要的几何性质。
在这篇文章中，我们将以“二面角垂直向量角与二面角的平面角相等或互补的关系”为主题，深入探讨其性质和关联，以便更好地理解几何学的重要概念。
二、二面角垂直向量角的性质在几何学中，二面角是指由两条射线（或直线段）构成的角。
当这两条射线（或直线段）相交时，它们将平面分为两个部分，并形成一个有向角，我们称之为二面角。
在此基础上，我们引入了二面角的垂直向量角的概念。
二面角的垂直向量角是指与二面角拥有公共边且顶点重合的另一个二面角，这两个二面角的垂直向量角的性质是非常特殊的。
二面角的垂直向量角相等。
这意味着当两个二面角的垂直向量角相等时，它们所构成的二面角也是相等的。
这是一个非常重要的性质，它为我们在几何推导和证明过程中提供了重要的依据。
二面角的垂直向量角互补。
这意味着当两个二面角的垂直向量角之和为直角时，它们所构成的二面角也是互补的。
这个性质在几何学的证明和推导中也有着重要的应用。
三、二面角的平面角的性质除了二面角的垂直向量角，我们还需要了解二面角的平面角。
二面角的平面角是指在同一个平面内，以相同的顶点为端点的两个相邻的二面角的非公共边所成的角。
二面角的平面角也具有一些特殊的性质，与二面角的垂直向量角有着一定的关联。
二面角的平面角相等。
这意味着当两个相邻的二面角的平面角相等时，它们所构成的二面角也是相等的。
二面角的平面角互补。
这意味着当两个相邻的二面角的平面角之和为直角时，它们所构成的二面角也是互补的。
通过这些性质，我们可以更好地理解二面角在平面几何中的特殊作用，以及其在证明和推导中的应用。
四、个人观点和总结回顾通过对二面角垂直向量角和平面角的性质深入探讨，我们能够更好地理解几何学中重要的概念和性质。
二面角的垂直向量角和平面角的相等或互补关系，在几何证明和推导中具有重要的作用，它为我们提供了重要的几何依据和工具。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》作为一名为他人授业解惑的教育工，就不得不需要编写教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
我们应该怎么写教案呢？以下是精心整理的高中数学教案《二面角》，希望对大家有所帮助。
一、教材分析1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。
“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。
它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。
因此，它起着承上启下的作用。
通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2、教学目标:知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
3、重点、难点：重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念难点：“二面角的`平面角”概念的形成过程二、教法分析1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。
２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。
二面角、判定、性质
ι
β
3、二面角的平面角 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所成的角叫作二 面角的平面角.如图
20:15
ι
P
β
B A
α
注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
直二面角：平面角是直角的二面角.
思考: 思考: 一个平面垂直于二面角 α −ι − β 的棱，并与两半平
1）角的顶点在棱上 ） 2）角的两边分别在两个面内 ） 3）角的边都要垂直于二面角的棱 ） α A α A O β B
l
O
20:15
10
β B
(1)
(2)
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法 作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 、 在棱上 定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 、 在一个半平面上 三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法 、 在二面角内 垂面法
面分别相交于射线 PA、 PB 、 垂足为P， 垂足为 ，则∠APB是二面
ι
β
B` A`
α γ`
γ
P`
角α − l − β的平面角吗？ 是
利用等角定理) 相等(利用等角定理 利用等角定理 20:15
P A
B
思考: 思考: ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等 是否相等? 是否相等
α
注： 二面角的平面角的特点： 二面角的平面角的特点：
∵a / /b, a ⊄ α, b ⊂ α, ∴a / /α.
β
∵ b / /α , b ⊂ β , α ∩ β = a ∴ a / /b
∴∠PMC是二面角P-AB-C的 平面角.
利用空间向量求二面角的平面角
利用空间向量求二面角的平面角1.二面角的概念：二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.2．二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角3、二面角的大小（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直4、用法向量求二面角5、面面角的求法（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。
D CβαBA O m 2m 1n 2n 1DCβαl如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。
如图，设1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。
cos cos ,AB CD AB CD AB CDθ⋅==⋅小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角:二.求二面角的平面角:例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。
（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。
cos cos ,AB CDAB CD AB CD θ⋅==⋅1A例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小.解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：36sin 1=∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成 二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为36 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角， 又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在RtBCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin 5DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --．AB C DEF通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：)1,1,0(1=DC ，)0,1,1(=DB ，)0,1,0(=DC设平面1C BD 的法向量),,(1111z y x n =，平面CBD 的法向量),,(2222z y x n =，可得)1,1,1(1-=n ，)1,0,0(2=n ，33cos 21=n n ，即二面角的平面角36sin =θ 例2:解:建立空间直角坐标系得： )2,21,23(),2,0,0(),2,2,0(-==-=AD BA AC 设平面BAC 的法向量),,(1111z y x n =，平面DAC 的法向量),,(2222z y x n =得：)1,0,0(1=n ，)33,33,1(2=n ，515cos 21=n n 所以，二面角B AC D --10．。
二面角的平面角的范围
二面角的平面角的范围
两个平面相交线上取任意一点，通过此点在两个平面内分别做公交线的垂线，这两个
垂线形成的角，就是二平面角。
二面角是高中立体几何教学中的一个重要内容，也是一个
难点，所以在学习时要格外认真。
平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，每一部分都叫作半平面。
从一条直线出
发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。
这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作
二面角的面。
二面角的大小，可以用它的平面角去度量，二面角的平面角就是几度，就说道这个二
面角就是几度。
二面角也可以看做从一条直线启程的一个半平面绕着这条直线转动，它的
最初边线和最终边线共同组成的图形。
二面角的平面角的大小，与其顶点在棱上的位置无关。
如果两个二面角能够完全重合，则说它们是相等的．如果两个二面角的平面角相等，那么这两个二面角相等。
反之，相等
二面角的平面角相等。
求二面角的6种方法【自己总结全面】
a O课题3：二面角求法总结一、知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、 （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； 7、 （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。
（3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
（4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（5）无交线的二面角处理方法（6）向量法二、二面角的基本求法及练习1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
《二面角及其平面角》的教学设计
《二面角及其平面角》教学设计袁素燕（江西省泰和县第二中学343700）课题：二面角及其平面角学科：数学版本：人民教育出版社2006版年级：高二年级册别：第二册下（A）课时：1课时一、教学目的1、知识目的：①理解二面角的概念②能正确画出二面角及二面角的平面角③会求简单二面角的平面角的大小2、能力目的：①通过二面角的教学，培养学生的空间想象能力②通过将研究二面角的大小转化为研究其平面角的大小，培养学生的转化能力。
3、情感目的①通过实际问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，让学生明白数学与生活是密不可分的。
②培养学生认真参与，积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。
二、教学重点、难点1、教学重点①二面角及二面角平面角的定义②作二面角平面角的三种方法2、教学难点：理解二面角的平面角定义的科学性，解决的办法是：让学生打开书的过程，书的两页之间形成了二面角，引导学生动手测量其大小，从而解决本节课的教学难点。
三、教具准备：三角板、纸板和多媒体四、教学过程1、复习引入（5分钟）通过下列一组问题的设计，经启发引导，提出今天的学习课题①问题一：在平面几何中“角”是怎样定义的？（引导学生从两种不同的角度回答）是这样定义的：（1）从平面内一点出发的两条射线所组成的图形，叫做角。
（2）一条射线绕它的端点旋转所形成的图形，叫做角。
②问题二：在立体几何中，我们还学习了哪些角？（学生能容易地回答）异面直线所成的角，直线与平面所成的角。
③问题三：在空间和日常生活中，我们还会遇到一些角（1）（动画演示）修水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面与水平面成一定的角度。
（2）（动画演示）人造地球卫星绕地球飞行的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度。
（3）（师生动手演示）打开数学课本的过程，书的两页之间形成了一定的角。
④上面问题三中所说的角就是我们今天要学习的另一个空间的角——二面角（板书课题）2、新课探究（22分钟）①问题一：如何给二面角下定义？（让学生充分思考，讨论并展示打开书的过程，通过角的定义用类比的方法给二面角下定义）。
二面角平面角的几种求法
文辅 导 中， 读故事 ， 讲故事 ， 写故 事是容 易办到 的 ， 家长 可 以选择一 天的某
一
时间听孩子读故 事 。 允许孩子照着书讲 ， 即看 了书上的某个故事 复述 ； 再
没 有 全 部 身 心 的 玩 的过 程 ， 是 很 难 写 出 令 人 耳 目一 新 的 作 俗 话说 ： “ 巧妇难 为无米 之炊 。 ” 作文的首要条件是要有 内容可写 ， 如果 有 丰 富 的积 累 ， 没有 内容 ， 就没 有 办 法 写 好 作 文 了 。 往 往 是 一 篇 作 文 题 目 明确 下 来 ， 无 数 文 来 的。 孩子 抓 耳 挠 腮 。 腹 中 空 空 ， 只好像 挤牙 膏一样 ， 想一 句， 写一 句 ， 或 者 东 抄
一
三、 引导 孩 子 观 察 周 围 的 世 界
句。 西摘一句 ， 这 怎 么 能 写 好 作 文 呢？
有 了经 历 ， 不 一 定 写好 作 文 ， 有的孩子游 完了动物 园， 可 提 笔 写 作 文 的
孩子出现这种情况 ， 老师急 ， 家长更急 ， 面对这些 情况 ， 先要好 好分析 ， 时候 ， 常 常写 的不 够 具 体 ， 究其原 因， 主 要 是 不 善 于 观 察 周 围 的一 切 。
图５
角的平面角 的 大 小相 等 或 互补 ， 因此 要结 合 具体 图形 及 法 向量 的方 向
而定。 ７ ． 公 式 法
（ ３ ） 其基本 的解题 步骤 为一作 （ 或
找Ｊ ， 二证 ， 三求 ， 四答 。
４ ． 射 影 面 积 公 式 法
如图 ６所示 ， 在空间四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ｂ ＡＣ＝９ ０ 。， Ｂ Ａ Ｄ ＝９ ０ 。， 记
二面角的平面角及求法
二面角的平面角及求法1、半平面的定义：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
3、二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
二面角大小的取值范围是［0，180°］。
4、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。
5、二面角的平面角具有下列性质：a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.6、求二面角的平面角的方法：(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
二面角和两平面角的范围
二面角和两平面角的范围
1.二面角的范围：
二面角是指两个不共面的平面的交角。
它的范围是0度到
180度（开区间）。
具体来说，当两个平面相互平行时，二面
角为0度；当两个平面相互垂直时，二面角为90度；当两个
平面夹入一个锐角时，二面角为锐角的度数（大于0小于90度）；当两个平面夹入一个钝角时，二面角为钝角的补角的度
数（大于90度小于180度）。
2.两平面角的范围：
两平面角是指由两个平面相交而形成的角。
它的范围是0度
到360度（开区间）。
具体来说，当两个平面完全平行时，两
平面角为0度；当两个平面相互垂直时，两平面角为90度或270度（与顺逆时针方向有关）；当两个平面夹入一个锐角时，两平面角的度数为锐角的补角的度数（相当于两个二面角的和）；当两个平面夹入一个钝角时，两平面角的度数为钝角的
度数加上180度（相当于两个二面角的差）。
需要注意的是，二面角和两平面角的度数虽然有限制范围，
但可以通过具体的几何情况来确定其具体大小。
这些角度范围
的理解有助于我们在几何推导和计算中正确地应用它们。
立体几何中二面角的平面角的定位
立体几何中二面角的平面角的定位【摘要】立体几何中的二面角是一个重要的概念，而平面角的定位在二面角中有着特殊的作用。
本文首先介绍了二面角和平面角的基本概念，然后探讨了二面角的特性和分类。
接着重点讨论了二面角的平面角的定位问题，并探讨了平面角与二面角之间的关系。
我们详细阐述了平面角的测量方法。
通过深入理解平面角的定位，我们可以更好地解决立体几何中的问题，提高解题效率。
掌握平面角的定位对于学习立体几何具有重要意义，可以帮助我们更好地理解立体几何中的概念和定理，解决相关问题。
【关键词】二面角、平面角、定位、立体几何、特性、分类、关系、测量方法、重要意义、解决问题、提高效率。
1. 引言1.1 二面角的概念二面角是立体几何中一个重要的概念，指的是由两个相邻平面夹角所确定的角。
在几何中，我们通常将两个相邻平面的交线称为边线，而边线延伸至无穷远处，形成一个平面角。
这个平面角就是二面角。
二面角可以用来描述空间中两个平面的夹角大小和方向，是立体几何中的基本概念之一。
二面角的大小可以通过其所包含的两个平面的夹角来确定，通常用度数来表示。
二面角的方向则取决于两个相邻平面的相对位置。
在立体几何中，我们经常需要根据二面角的平面角来确定点、线、面等的位置关系，从而推导出更复杂的结论。
掌握二面角的概念和特性对于解决立体几何中的问题至关重要。
通过深入理解二面角的平面角的定位，我们可以更好地理解空间中的几何关系，提高解题效率，解决更为复杂的几何问题。
1.2 平面角的定义平面角是指在几何中由两条射线或直线段围成的角，这两条射线或直线段共同形成了一个平面。
平面角的大小可以通过角度来度量，常用的单位包括度、弧度等。
在平面几何中，平面角的概念是非常基础和重要的，它帮助我们描述和理解不同几何对象之间的位置关系和相互作用。
平面角的定义可以用于描述各种几何形状之间的相对位置关系，比如直线和直线、直线和平面、平面和平面等。
平面角的大小取决于形成该角的两条射线或直线段之间的夹角大小，这个夹角可以通过工具如量角器或通过数学方法进行测量和计算。
二面角的平面角
过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA，
则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。
所以
A
∠AOH 就 是 二 面 角 αEF-β的一个
α
F
β 平 面 角 ，
∠AOH=300 ，
H
OA=20cm.
EO
作业
• 第218页练习2：第2题、 第221页习题8-5A第3题。
αD
D
β
A
30 60H
C
B
C
Gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G， 连接GH。∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC∴GH⊥BC
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
α
B
B
β
a A
a
β
A
β
A a
O
3、二面角的平面角：以二面 角的棱上的任意一点为端点，
D
B
在两个面内分别作垂直于棱
C 的两条射线，这两条射线所
β
α 成的角叫做二面角的平面角。
α C
B AaO
α
4、直二面角：平面 角是直角的二面角叫
C 做直二面角。
∠COD= 90?
Dβ
B
AaO
Dβ
例1.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二 面角的度数）是60 ，山坡上有一条直道CD， 它和坡脚的水平线AB的夹角是 ，沿30这条 山路上山，行走100米后升高多少米？
基本概念：
1、半平面：一个平面内的一条 直线，把这个平面分成两部分， 其中的每一部分都叫做半平面。
二面角的平面角的求法
二面角的平面角的求法知识点拨1、二面角的定义以一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。
二面角出现的状态形式有：竖立式、横卧式、倒向式2、二面角的平面角的定义以二面角的顶点任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于边的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的定义要注意三个重要的词组:“棱上”、“面上”、“垂直”, 事实上, 二面角的平面角具有三个要素:(1)过棱上任意一点;(2)分别在两个面内引射线;(3)射线垂直于棱。
其中(1)(2)决定了平面角的两边是在同一平面内。
所以才有“平面角”之称, (3)是决定了平面角的数值的唯一性。
由二面角的平面角的定义可知: 二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
平面角是直角的二面角叫做直二面角．3、二面角大小求法的要领二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（ 也可转化为求三角形内角问题）4、求二面角大小的基本方法我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法. （1）定义法；（2）垂面法；（3）三垂线法；（4）面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形(射影面积公式)。
(1)如何利用定义作二面角的平面角呢?在二面角的棱a 上任意取一点O 为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为该二面角的平面角.(2)如何利用三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角呢?在二面角α-a-β的面α上任取一点A ，过A 分别作棱a 和另一面β的垂线AO 和AB(O ，B 分别是垂足)，连BO ；或者过A 作面β的垂线AB ，又过垂足B 引棱a 的垂线BO ，连AO ；则∠AOB 为该二面角的平面角.(3)如何用作垂面的办法作二面角的平面角呢?过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.（4）射影面积公式用此方法可避免寻找二面角的平面角的繁琐步骤。
二面角的平面角及求法
二面角的平面角及求法1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P ﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．。
二面角的平面角的定义
二面角的平面角的定义二面角，又称为反面角或外角，是几何学中的一个重要概念。
它的定义是指两条相交直线的一对对立角中的一个角。
在平面几何中，二面角指的是两条直线之间的夹角，是我们常见的角度概念之一。
二面角的定义可以从不同的角度来理解。
一种常见的理解方式是通过平面上的直线和垂直于这两条直线的平面来定义二面角。
具体来说，如果有两条不共面的直线，我们可以通过在这两条直线上分别取两个点，然后连接这两个点与两条直线的交点，构成一个四面体。
而这个四面体的顶点就是我们要考虑的二面角。
通过将这个四面体展开为一个平面，我们可以得到一个与原始直线相交的直线与另一条直线之间的角度，这个角度就是二面角。
在实际应用中，二面角有着广泛的应用。
在建筑设计中，二面角的概念可以用来描述两个墙壁之间的角度。
在机械设计中，二面角的概念可以用来描述两个零件之间的角度。
在地理学中，二面角的概念可以用来描述地球上两条经线之间的角度。
在物理学中，二面角的概念可以用来描述光线在两个介质之间的折射角度。
二面角可以分为锐角、直角和钝角三种类型。
当两条直线之间的夹角小于90度时，我们称之为锐角；当两条直线之间的夹角等于90度时，我们称之为直角；当两条直线之间的夹角大于90度但小于180度时，我们称之为钝角。
二面角的大小可以通过度数来表示。
一般来说，我们使用角度制来表示角度的大小。
角度制是通过将一个圆分成360度来表示角度的大小。
例如，当两条直线之间的夹角为45度时，我们可以说这个二面角为45度。
除了度数表示法外，还有其他一些表示二面角大小的方法。
例如，我们可以使用弧度制来表示角度的大小。
弧度制是通过将一个圆的周长分成2π来表示角度的大小。
在弧度制中，一个直角的大小为π/2弧度，一个圆的大小为2π弧度。
二面角是几何学中一个重要的概念，它可以用来描述两条直线之间的夹角。
通过对二面角的研究，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。
无论是在建筑设计、机械设计还是其他领域，对二面角的理解都是非常重要的。
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A1B 平面A1B1CD
平面ABC1D1 平面A1B1CD
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究2： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD A
∴AO=2 3 ，AD=4
D
O
l
在Rt△ADO中，
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
17
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4；求二面角 － l－
的大小。
解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
2、垂面法 作与棱垂直的平面与
面
两半平面的交线得到
l
O
角
γA
B
的 3、三垂线定理法
作 法
借助三垂线定理或 其逆定理作出来
A
D
l
O
12
寻找平面角 S
D1
C1
B1 A1
N
M
A
D C
A
B
端点
B
DC
中点
寻找平面角
D1 B1
A1
M D
E
A
GF
B
C1 N
C
中点
小结：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义垂直于棱； （3）计算.
以二面角的棱上任意一点为端点，在两
个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两
二 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
面 角
注 二面角的平面角必须满足： 1）角的顶点在棱上
的
意 2）角的两边分别在两个面内
平 面
3）角的边都要垂直于二面角的棱
角
A
A
l
O
O
B
B
10
二 1、定义法
面
根据定义作出来
角
A
O
l
B
的 平
则由三垂线定理得 AD⊥ l
∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角
A
∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
∴AO=2 3 ，AD=4
D
O
l
在Rt△ADO中，
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
∴二面角 － l－ 的大小为60 °非特殊角
arcsin
a a 面
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
线面垂直
面面垂直
P69 例3
证明: 设已知⊙O平面为α Q PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA BC
AC BC PAI AC A PA 面PAC
AC 面PAC
BC 面PBC
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与
AB 面BCD 面ABD 面BCD
CD 面ABC 面ABC 面ACD
B
D当及时小结，梳理知识
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平
面的另一个平面的依据；
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－
的大小。 解：①过 A作 AO⊥ 于O，过 A作 AD⊥ l 于D，连OD
则由三垂线定理得 AD⊥ l ②∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角 A ③∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
线线垂直 线面垂直面面垂直
作业
❖A：小结 ❖B：P73 A 3, 4,7 B 1 ❖C：小结二面角及其平面角
垂直?
D1 A1
D
C1 B1
C
面A1B 面AC 面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1 面A1B 面AD1
A
B
面面垂直 线面垂直 线线垂直
探究1：
D1 A1
C1 B1
D
C
BC1 B1C
BC1 A1B1 B1C I A1B1 B1
A
B1C
平面A1B1CD
BC1 BC1
B
平面A1B1CD 平面ABC1D1
1 二面角及二面角的平面角
（1）半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
（2）二面角—— 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。
α
l
l
按此继续
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
二 面
A C
二面角C－AB－ D
角
B
的
D
认 识
B
A
二面角－ l－
l
l
5
3 2
18
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
a
A
b
α
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢?
(2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
β
a
符号:
A α