七年级新思维1~4-有理数
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数与代数 1.数形结合话数轴
问题解决 例1 (1)(《时代学习报》数学文化节试题)已知a b 、为有理数,且a >0,b <0,a b +<0,将四个数a b a b --、、、按由小到大的顺序排列是_______. (2)(广西竞赛题)已知数轴上有A B 、两点,A B 、之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,那么点B 对应的数是_______. 【答案】 (1)(江苏省竞赛题)b <a -<a <b - (2)4或2或2-或4-
例2 如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、,且210d a -=,那么数轴的原点应是( ).
A .A 点
B .B 点
C .C 点
D .D 点 【答案】 B 由图知7d a -=,又210d a -=,得3a =-. 例3 已知两数a b 、,如果a 比b 大,试判断||a 与||b 的大小.
【答案】 当点B 在原点的右边时,0<b <a ,则||a >||b ;当点A 在原点的左边时,b <
a <0,则||a <||
b ;当点A B 、分别在原点的右、左两侧时,b <0<a ,这时无法比较||a 与||b 的大小关系;当点A 正好在原点位置时,b <a =0,则||b >||a ;当点B 正好在原点位置时,0=b <a ,则||a >||b .
例4 (“希望杯”邀请赛试题)电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步由1K 向右跳2个单位到2K ,第三步由2K 向左跳3个单位到3K ,第四步由3K 向右跳4个单位到4K ,……,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94,试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数.
【答案】 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ,则12100K K K 、、、点所表示的有理数分别为112123123499100x x x x --+-+--+-+-+,,,,,由题意得1234x -+-+
9910019.94-+=.
例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度,点A 在原点的左边,距离原点8个单位长度,点B 在原点的右边. (1)求A B 、两点所对应的数.
(2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动,同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动,在点C 处追上了点A ,求C 点对应的数.
(3)已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动,速度为每秒1个单位长度,同时点N 从点B 出发向右运动,速度为每秒2个单位长度,设线段NO 的中点为P (O 为原点),在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化?若不变,求其值;若变化,请说明理由. 分析与解 对于(3),设M 点运动时间为t 秒,把PO AM -用t 的式子表示. (1)A B 、两点所对应的数分别为820-,;
(2)C 点对应的数为22-; (3)202102
t
AM t OP t +==
=+,(为什么?)
,则1010PO AM t t -=+-=,即PO AM -的值不变. 生活启示
例6 李老师从油条的制作中受到启发,设计了一个数学问题.如图,在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ,对折后(点A 与点B 重合),固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段,这一过程称为一次操作(例如,在第一次操作后,原线段AB 上的
14,3
4
均变成11
22
;变成1;等等).那么在线段AB 上(除点A 、点B 外)的点中,在第二次操作后,求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.
B A
分析 捕捉问题所蕴含的信息,阅读理解“一次操作”的意义:将线段沿中点翻折,中点左侧的点不动,中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上,由原来的一个等分点变为两个等分点. 解
1
1
2
1
4
2
12
10(1, )18( , , )78838
5
1443
( )( )3
4415
8
3887( , , )810
0(1, )8
1418
31
85
0(1)8178()38)(1434
)(拉长后
对折后
拉长后
对折后
原图
21()4341()83)
(87180(1)12581
121238
1418
78
34
58
1238
14
8
1A
B 0
故在第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13
144
+=.
数学冲浪
知识技能广场
1.数轴上有A B 、两点,若点A 对应的数量2-,且A B 、两点的距离为3,则点B 对应的数是_______. 【答案】5-或1
2.(“《时代学习报》数学文化节”试题)电影《哈利·波特》中,小哈利·波特穿墙进入“39
4
站台”的镜头(如示意图中的M 站台),构思奇妙,能给观众留下深刻的印象.若A B 、站台分别位于21--,处,2AN NB =,则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”. 【答案】113
-
3.已知点A B P 、、在数轴上,点B 表示的数为6,85AB AP ==,,那么点P 表示的数是_______.
A N
B M
【答案】3或7- 4.(江西省中考题)如图所示,按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为3个单位长,且在圆周的三等分点处分别标上了
数字0、1、2)上:先让原点与圆周上数字0所对应的点重合,再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上,使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周1、2、0、1…
所对应的点重合.这样,正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系. (1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应,则a =_______;
(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈(n 为正整数)后,并落在圆周上数字1所对应的位置,这个整数是_______(用含n 的代数式表示). 【答案】(1)2;(2)31n + 5.(2012年湖南省常德市中考题)有理数a b 、在数轴上的位置如图所示:
,则下列各式正确的是( )
A .0a b +>
B .0ab >
C .0a b +<
D .0a b -> 【答案】A
6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西20米,玩具店位于书店东100米处.小明从书店沿街向东走了40米,接着又向东走了60-米,此时小明的位置在( )
A .文具店
B .玩具店
C .文具店西边40米
D .玩具店东60-米 【答案】A 7.(浙江省绍兴市中考题)将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm ),刻