七年级新思维1~4-有理数

数与代数 1．数形结合话数轴

问题解决 例1 （1）（《时代学习报》数学文化节试题）已知a b 、为有理数，且a ＞0，b ＜0，a b +＜0，将四个数a b a b --、、、按由小到大的顺序排列是_______． （2）（广西竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是_______． 【答案】 （1）（江苏省竞赛题）b ＜a -＜a ＜b - （2）4或2或2-或4-

例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ）．

A ．A 点

B ．B 点

C ．C 点

D ．D 点 【答案】 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-． 例3 已知两数a b 、，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小．

【答案】 当点B 在原点的右边时，0＜b ＜a ，则||a ＞||b ；当点A 在原点的左边时，b ＜

a ＜0，则||a ＜||

b ；当点A B 、分别在原点的右、左两侧时，b ＜0＜a ，这时无法比较||a 与||b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，b ＜a =0，则||b ＞||a ；当点B 正好在原点位置时，0=b ＜a ，则||a ＞||b ．

例4 （“希望杯”邀请赛试题）电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．

【答案】 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则12100K K K 、、、点所表示的有理数分别为112123123499100x x x x --+-+--+-+-+，，，，，由题意得1234x -+-+

9910019.94-+=．

例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A B 、两点所对应的数．

（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．

（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点），在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A B 、两点所对应的数分别为820-，；

（2）C 点对应的数为22-； （3）202102

t

AM t OP t +==

=+，（为什么？）

，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示

例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的

14，3

4

均变成11

22

；变成1；等等）．那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．

B A

分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点． 解

1

1

2

1

4

2

12

10(1, )18( , , )78838

5

1443

( )( )3

4415

8

3887( , , )810

0(1, )8

1418

31

85

0(1)8178()38)(1434

)(拉长后

对折后

拉长后

对折后

原图

21()4341()83)

(87180(1)12581

121238

1418

78

34

58

1238

14

8

1A

B 0

故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13

144

+=．

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1．数轴上有A B 、两点，若点A 对应的数量2-，且A B 、两点的距离为3，则点B 对应的数是_______. 【答案】5-或1

2．（“《时代学习报》数学文化节”试题）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“39

4

站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A B 、站台分别位于21--，处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”． 【答案】113

-

3．已知点A B P 、、在数轴上，点B 表示的数为6，85AB AP ==，，那么点P 表示的数是_______．

A N

B M

【答案】3或7- 4．（江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了

数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周1、2、0、1…

所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =_______；

（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_______（用含n 的代数式表示）. 【答案】（1）2；（2）31n + 5．（2012年湖南省常德市中考题）有理数a b 、在数轴上的位置如图所示：

，则下列各式正确的是（ ）

A ．0a b +＞

B ．0ab ＞

C ．0a b +＜

D ．0a b -＞ 【答案】A

6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）

A ．文具店

B ．玩具店

C ．文具店西边40米

D ．玩具店东60-米 【答案】A 7．（浙江省绍兴市中考题）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻