原点矩和中心矩

k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征

在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方)

原点矩：

对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.

k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X-c）^k]为X关于点c的k阶矩.

c=0时,称其为X的k阶原点矩；

c=E[X]时,称为k阶中心矩.

原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩也是矢量，它等于力乘力臂。由此可见数学和物理关系非同一般！

二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。(The moment of inertia.)

三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。

在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。

A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）

A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2) Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，---

--(3)

用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。

用已知样本的X的一阶矩和二阶矩来估计分布律，分布函数，概率函数或者数字特征中的某个未知参数a的值，此即矩估计法。

大概步骤如下

1 根据分布律或者分布函数，概率函数，计算EX或者EX2,其中含有未知参数a

2 令样本的一阶矩A1等于EX（二阶矩A2等于EX^2)

3 由2得到

a的表达式子，此式子中含有A1(A2,...),而A1,A2表达式如上(1),(2)，（3）所示. 该含有 A1,A2,..Ak的表达式称为估计量，如果把样本具体值带入，即可得a的估计值。