量子力学讲义第三章讲义

合集下载

量子力学对称与守恒定律讲义

量子力学对称与守恒定律讲义
第三章/对称性与守恒定律
“为什么对称是重要的?“ --- 毛主席1974年5月向李政道请教的
第一个问题
对称与不对称(破缺)
在艺术(对联,画),数学(海螺,浪花), 自然(山峰,窗))均有精彩表现 完全对称的东西极少见!
不是静态的概念(适用一切自然现象) 物理学中对称性:现象或系统在某变换下不变 宏观->直观; 微观世界-> 不直观,但极重要
SU(2)是u,d夸克对称,破坏2--3% SU(3)SU(4)SU(5)SU(6) 同位旋破坏主要来自多重态不同分量质 量差印起的运动学效应
奇异数(Strangeness)和重 子数
1947年宇宙线实验(after pion),1954年
加速器实验发现一批奇异粒子(photos)
特性一:协同产生,独立衰变
即 H 0, H H
厄米算符p
i
与H对易,
是守恒量
2
分立变换下:
U 1HU H i.e.,UH HU ,all _ states
U与H对易,U是守恒量 时空对称性:场与粒子时空性质变换 内部对称性:与时空无关
Some symmtries and the associated conservation laws
群论与对称性
对称性变换必须满足群的性质 (Closure,Identity,Inverse,Associativity) 如空间转动群,SO(3),3 axis, 3 生成元 (与守恒荷一一对应) 重要的李群/李代数, O(N),SO(N),U(N),SU(N) 复合对称性 --》 复合守恒量, e.g., CP parity,G parity etc.
Translation in time Energy Translation in space Momentum

量子力学第三章

量子力学第三章

2 III
0
I II
C1e x C2e x
Asin(x )
III B1e x B2e x
(3)使用波函数标准条件
I C1ex
2
2
2 (VE)
I (a) li m C1ea 0
所以 I 0
同理: III0
从物理考虑,粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释,要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零,特别是
第11页,本讲稿共59页
综合 I 、II 结果,最后得:
m 2 2 2 Em 8a2
I III 0m来自II A sin m
2a
I III 0 II A cos m
2a
x x
对应 m = 2 n
m 0 的偶数
对应 m = 2n+1
m 奇数。
第12页,本讲稿共59页
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成: V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式,则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
[ 2 dy 2 V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y )
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有正宇称(或偶宇称);
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有负宇称(或奇宇称);
(3)如果在空间反射下
( r ,t) ( r ,t)

则波函数没有确定的宇称。
第16页,本讲稿共59页
(四)讨论
一维无限深 势阱中粒子 的状态
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2

量子力学讲义第3章

量子力学讲义第3章

第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。

它是量子力学的重点之一,对初学者而言,开始显得比较抽象,因此,应注意习题训练。

3.1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量: ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题:能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值?二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p(注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率)。

以x 分量为例:⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入,有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。

量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系

量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系

定 已归一)
ˆ F C d Fdx
2
ˆ 证明: F dx

C d


ˆ [( C ' ' d' )F ( C d )]dx
' ˆ = C ' C [ ' F dx ] dd
n
C 其中: n n dx ; C dx ;
C
n
2
2
2 n
C d 1 ;
2
C n 为在 ( x ) 态中测 F 得 n 的几率;
C d 为在 ( x ) 态中测 F 得 d 在范围内的
几率;
平均值公式: F
代表的力学量的 F 关系如何?这需引进新的假设,适 合于一般情况,且不能与假定2相抵触,应包含它。
ˆ (1)F的 n 平方可积 ˆ 若 F 是满足一定条件 (2)F的 级数收敛 的厄米算符, ˆ n 且它的正交归一的本征函数系 1 (x)、 2 ( x) … n ( x ) …
即:C ( x ) ( x )dx
(同理可得二、三维的结果)
可见: 力学量在一般的状态中没有确定值, 而有许多可能值, 这些可能值就是表示这个力学量算符的本征值的集合, 且每 个可能值都以确定的几率出现。
三、平均值公式 在 ( x ) 所描写的状态中,F 在 ( x )态的统计平均 值(由几率求平均值)为
ˆ F n C n ( x )F ( x )dx
2 n
dx 1 ) (假定
ˆ ( x )dx 代入完全性 证明: ( x )F

第三章 一维势场中的粒子 讲义 2

第三章 一维势场中的粒子 讲义 2

第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
基态时,波函数无节点
Fang Jun
第11页
当粒子能量增加时,在|x|>a/2, ψ(x)的曲率减小。|x|<a/2时, ψ(x) 的振荡加快。在某个能量E处, ψ(x) 在|x|<a/2内经历一次振荡,并出现一 个节点,并且能与外面波函数光滑衔 接上,外面解不发散。此时出现第一 激发态,有一个节点。 继续下去,可以得出:只当粒子能量 取某些离散值的时候,相应的波函数 才满足束缚态边界条件。这些能量值
设粒子从左方射向势垒。如能量 E<V0 , 则按经典力学,粒子必定要在x=0面被反 射回去。如 E>V0 ,则粒子将穿过势垒。 但从量子力学观点看,考虑到粒子的波动 性,此问题与波碰到一层厚度为a的介质 相似,有一部分波透过,一部分波被反射 回去。
因此,按波函数的统计解 释,无论粒子能量 E<V0 , 或是E>V0,都有一定几率 穿透势垒,也有一定几率 被反射回去。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第25页
由于
尽管ψ’在x=0点不连续,但粒子流密度连续。
可见:从流密度的连续性不能得出Ψ′的连续性。 问题在于:流密度公式中含有互为复共轭的两项,尽管Ψ′不连续, 但两项相减后就抵消了。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第28页
B. 奇宇称态
波函数应表为
3.3.3
δ势与方势的关系,
Ψ′跃变条件
δ势常作为一种理想的短程作用来讨

量子力学 第三章 课件

量子力学 第三章 课件

可以看出,相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时,本征值间隔可任意小;当 L 时 Px 0 ,即离散谱→连续谱
(3)在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中, 粒子动量有确定值,该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
(1)算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例:
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2)算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上,等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 (1)轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明:
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1)若粒子处在无限空间中,则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ,即

量子力学 第三章 表象理论

量子力学  第三章  表象理论

第三章表象理论本章提要:本章讨论态矢和算符的具体表示形式。

首先,重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系,指出了函数依赖于表象。

之后,引入投影算符,讨论了不同表象下的态矢展开,尤其是位置和动量表象,并顺带解决了观测值问题。

接着,用投影算符统一了态矢内积与函数内积。

最后,简单介绍了一些矩阵力学的内容。

1.表象:完备基的选择不唯一。

因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。

除了态矢量,算符在不同表象下的具体表示也不同。

因此,我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象:我们还知道每个力学量对应的(厄米)算符的本征矢都构成一组完备基。

若选用算符G 的(已经标准正交化(离散谱)或规格正交化(连续谱))的本征矢作为态空间的基,就称为使用G 表象的描述②波函数:把态矢展开式中各项的系数(“坐标”)定义为G 表象下的波函数③本征函数与本征矢的关系:设本征方程ψ=ψλQˆ又可写作()()G Q G Q ψψ=ˆ 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G QG ˆˆˆψψ 因此:本征函数()ψ=G G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ下的“坐标”(波函数) 如果离散谱:()ψ=i i G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ的iG 方向上的“坐标” ④结论:算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象,具体形式依赖于表象选择但本征函数和波函数相当于“坐标”,依赖于态矢(向量)和表象(基)*注意:第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象(也称坐标表象)2.投影算符:我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号(1)投影算符:令()()连续谱离散谱dG G Gi i Pi⎰∑==ˆ,称为投影算符(2)算符约定:求和或积分遍历算符G 的标准(或规格)完备正交基矢量(3)本征方程:ψ=ψ=ψI Pˆˆ,表明投影算符就是单位算符 (4)单位算符代换公式:()()连续谱离散谱dQ G G i i I i⎰∑==ˆ3.不同表象下的态矢量展开和波函数:①离散谱:∑=ii iF Fψψ,ψψi i F =为Fˆ表象下的波函数 {}i ψ可表示为一列矩阵,第i 行元素就是ψψi i F =观测值恰为i Q 的概率:用Qˆ表象展开∑=ii i Q Q ψψ,22Pr ψψi i Q ob ==概率归一等价于波函数归一∑==ii 12ψψψ算符Qˆ的观测平均值:ψψψQ Q Q ii i ˆˆ2==∑②连续谱:⎰==dG G GIψψψˆ,ψψG =称为Gˆ表象下的波函数观测值落在dQ Q Q +~范围内的概率:用Qˆ表象展开⎰=dQ Q Qψψ,dQ Q dQ ob 22Pr ψψ==,满足概率归一⎰=12dQ ψ算符Qˆ的观测平均值:()()ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰③本征函数和态矢量的内积统一:设f f =,g Q g =,有()g f gdQ f dQ g Q f Q dQ g Q f g I f g f ,ˆ**=====⎰⎰⎰结论:量子态g f 在同一表象Q 下投影得波函数g f ,,则()g f g f ,=算符对本征函数作用:()()ϕψϕψϕψϕψϕψQ Q QQ Qˆˆˆ,ˆˆ,==== 示例:()ϕψϕψϕψϕψϕψϕψp dx pdx x p dx p x x p I pˆ,ˆˆˆˆˆˆ**=====⎰⎰⎰④位置表象与动量表象:4.力学量的测量值问题:①当待测系统处于算符本征态:此时ψ=ψQ Qˆ,对系统中所有粒子的测量结果都是本征态ψ对应的本征值i Q ,显然i Q 的统计平均值还是i Q ,iQ Q =ˆ。

清华大学量子力学讲义Lecture3

清华大学量子力学讲义Lecture3
ˆ a F a F ˆ m ma a n n F
n,m
a n f m nm m a
n,m
a n n a fn
n
n a
n
2
fn
ˆ 取值为 f 的几率是 n a 表明 F n
2
。 在一般态, 力学量取值不确定, 但取值几率确定, 平均值确定。
ˆ 的自身表象,F 的矩阵元 在F ˆ n f m n f , Fmn m F n n mn
4. 测量
1)单个力学量的测量 力学量在一般状态没有确定值,只有在某些特点的状态有确定值。例如在 Stern-Gerlach 实 验中 sz 在磁场前没有确定值,只在磁场后有确定值,一束为 sz ,另一束为 sz 。因此,量子力学量 的取值与系统所处的状态紧密相关。 量子力学假设: 量子力学系统的力学量用线性矢量空间中的厄米算符表示, 状态用矢量表示。 由于厄米算符本征态的完备性,任意力学量的本征态都可构成一个线性矢量空间或一个表象。 ˆ 的本征方程 F ˆ n f n F n 在 F 表象:基矢 n 任意态
向磁场后,Stern-Gerlach 实验中 Ag 原子的自旋仍然为 sz 的原因。 2)自旋矩阵
1 ˆ e ˆ 由 Stern-Gerlach 实验,电子自旋为 ,在任意方向 en 的自旋算符 s ,本 n sn 的取值是 2 2
征方程
ˆn sn s
sn 。 2
i, j i ', j ' = ii ' jj ' ,


5)级联测量
ˆ, B ˆ 分别进行如下两种测量。 ˆ,C 对三个力学量 A
第一种方法:
测A
态: 力学量取值:

量子力学 第三章3.3电子在库仑场中的运动

量子力学 第三章3.3电子在库仑场中的运动

<4> 能级:
由于 2Zes Zes ( )1 / 2 、 n n r 1 ,考虑 2
2 2


2E
到 E 0 ,则有:
Z e s En 2n 2 2
2
4
, n 1,2,3,
(21)
即束缚态的能量是量子化的,它来源于粒子的波 动性及波函数的有限性。
ˆ 而角向方程 L2 Y L2 Y 的解与辏力场的具体形式无关,即:
L2 ( 1) 2 ,Y Ym (, )
o 所以径向 Schrdinger 方程可以表述为:
1 2 2 ˆ Tr [ 2 (r )] 2 r r r
( 1) 2 ˆ [Tr U(r) E]R 0 2 2r 2 2 ( 1) 2 (r ) U(r ) ]R (r ) ER (r ) 即:[ 2 2 r 2r r 2r
ˆ ˆ 即:[Tr T U(r )] E
球坐标系下的拉 普拉斯算符形式
ˆ 2 pr 1 ˆ T 其中: r [ 2 (r 2 )] 2 r r r 2 ˆ ˆ 1 r r ˆ ˆ ˆ pr ( p p ) 2 r r
2
为径向动能算符



有限性相矛盾,应否定它(不能是无穷级数)。
b.若 f () 级数是有限项,即 f () b s 为多项式,
nr
其最高次幂项为

bnr ,

n r s
0
nr 2 s 1 0。 于是 R e f () e 2 b 0 s b 由 b 1 (s )(s 1) ( 1)

第三章量子力学精品PPT课件

第三章量子力学精品PPT课件

1、只能计算氢原子和类氢离子的光谱线的 频率,对于多于一个电子的氦原子, 理论完 全不适 用,且不能计算谱线的强度。


2、角动量量子化条件
h
p n 2
无理论根据。
3、轨道的概念不正确。
• 1、理论内在的不统一,不是自洽的。一方 面提出了与经典理论完全矛盾的假设。
另一方面又认为经典理论(牛顿定律,
库仑定律)适用。所以不是一贯的量子

理论,也不是一贯的经典理论,而是量
子论 + 经典理论的混合物。

• 2、没有抓住微观粒子的根本特性:波粒 二象性,仍然把微观粒子看作经典理 论 中的质点。
第三章 量子力学初步
思维世界的发展,从某种意义上说, 就是对“惊奇”的不断摆脱。
—爱因斯坦
• §3.1 物质的二象性 • §3.2 测不准关系 • §3.3 波函数及其物理意义 • §3.4 薛定谔波动方程 • §3.5 量子力学的几个简例 • §3.6 量子力学对氢原子的描述
4、电子波动性的实验验证
目 的 证明电子具有波动性
(1)电子波长的估计
原 理
12.25 A
V
(2)衍射波具有极大值
的条件
2dSinn 戴威逊—革末实验装置示意图
可用实验检验的公式:
v n12.5 2dsin
nk
在镍单晶上的衍射实验结果
实验中和d不变, =800 , d=2.03(镍单晶)
• q 缝宽:坐标的不确定量;α衍射 角;p 动量的不确定量; p q =h
q α0
p P
用电子衍射说明不确定关系
电子经过缝时的位置
不确定 xb.
x
一级最小衍射角

量子力学讲义 第三章 3.5、3.6、3.7、3.8

量子力学讲义 第三章 3.5、3.6、3.7、3.8


ˆ |2 d | F
0
可把常数记为Fn,把状态 记为ψn,于是得:
(2)力学量的本征方程
若体系处于一种特殊状态, 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的,即:
(F) 0
2
则称这种 状态为力 学量 F 的 本征态。
ˆ F ) (F 0 或 ˆ 常 数 F
ˆ n Fn n F
m m m
m
ˆm )*nd Fm m *nd (F
二式相 减 得:
(Fm Fn ) m *nd 0
若Fm≠Fn, 则必有:
ˆm )*nd m * F (F ˆnd Fn m *nd
(2)分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为: 3. 正交归一系
Ylm ( ,) Nlm Pl (cos ) eim
m
构成正交归 一函数系

0

2
0
* Ylm ( ,)Ylm ( ,)sindd ll
ˆ 的本征函数 (4)氢原子能量算符H
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm (,) 组成正交归一函数系
i 1
方程的归一化条件有 f 个,正交条 件有f(f-1)/2 个,所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
Fn A jini
i 1

nj
* nj ji A j i ni * ni d jj
构成正交归一系



m(x) n(x)dx mn
ˆ z 的本征函数 (2)角动量分量算符 L
1 i m m() e (m 0, 1, 2, ) 2

量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿(知识点)

量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿(知识点)
[例]对于自由粒子,由于 为实函数,且具有空间反射不变性。
[解]哈密顿量 的本征值 是二度简并的,对应两个独立的定态波函数:

它们不是实函数,也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数
它们具有确定宇称 。
除了波函数的自然条件外,有时还要用到波函数一阶导数 的连接条件。
(iv)、①.在某处 点,若 连续或发生阶梯形跃变,则波函数的一阶导数 连续;
( 是简并度)
空间反射得: ( ),所以,集合 也是与 对应的定态波函数。
只要 中有一个无确定宇称的波函数,例如 ,就可用有确定宇称的组合
来取代,而 ,最后总能组合成一组具有确定宇称的解。
总之,若 空间反射不变,则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级,总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。
推论(Corollary):当 具有空间反射不变性时,则
(1)、对于无简并的能级,定态波函数必有确定的宇称。
(2)、若能级有简并,则总能找到一组简并的定态波函数,其中每一个波函数都有确定的宇称。
证明:(1)、能级无简并情况:因能级无简并,则 ,即 具有确定的宇称。
(2)、能级有简并情况:设集合 是与能级 对应的本征波函数

由波函数的归一化条件: ,确定归一化系数为 。
因此,能量本征波函数表示为

将能级和波函数用图表示如下:
对结果进行物理分析:
1、从能量公式分析
(i)、能级 是量子化的,但经典动能 , 连续取值。
而最低能量 ,这与经典粒子不同,是微观粒子波动性的表现。因为“静止的波”是没有意义的。通常地, 称为零点能(zero-point energy),对应的这个状态称为基态(ground state)。

第三章 量子力学中的力学量

第三章 量子力学中的力学量

以上归一化方法称为箱归一化。 动量本征函数:
再乘上时间因子:
参见:
P23:2.2-4 式。
自由粒子的波函数,其动量有确定值 。
2、角动量算符
3、角动量平方算符
为讨论方便我们要导出上述算符在球坐标下的表示式。 同理可得:
同理可得:
同理可得:
把上述表达式分别代入
4、相应的本征方程和本征值 (1)角动量的 分量
c、分立谱—本征值只能取一系列孤立实数,如粒子 在束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ,
分立谱记为
。对应的本征函数分别记

及。
(2)、力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对 应,而出现若干个(如 个)本征态对应一个本征值, 称这种情况为 度简并。 §3-2 动量算符和角动量算符 1 动量算符
第三章 量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方 式描述。
量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念,以概率的特征全面地描述了微 观粒子的运动状态。
但 并不能作为量子力学中的力学量。于是,又引入 了一个重要的基本概念—算符,用它表示量子力学中 的力学量。
算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相 承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一,也是大 家学习的重点。重点掌握以下内容:
一个基本概念:厄米算符(作用及其基本性质);
两个假设:力学量用线性厄米算符表示,状态用线 性厄米算符的本征态表示;
•三个力学量计算值:确定值、可能值、平均值;
四个本征态及本征值:坐标 或 、动量 或 、 角动量 及 、能量(哈密顿量 )。

量子力学讲义第三章讲义

量子力学讲义第三章讲义

量子力学讲义第三章讲义第三章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则一、算符的定义:算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

vAu表示把函数u变成v,就是这种变换的算符。

为强调算符的特点,常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方,也常把“^”略去。

二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符,称为线性算符(cc)cAA112211c2A2其中c1,c2是任意复常数,1,2是任意两个波函数。

i,例如:动量算符p单位算符I是线性算符。

2、算符相等对体系的任何波函数的运算结果都相同,即A相等记为B,则算符和算符B若两个算符、BBA3、算符之和B称为算符之对体系的任何波函数有:(ACBB,则A)AC若两个算符、B和。

B,ABA(B)(ABC)CA4、算符之积,定义为之积,记为AB算符与B)A(B)C(ABBA是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律,即AB5、对易关系BA,则称与B不对易。

若ABB,则称与BBA对易。

若ABA和B,则称A反对易。

若算符满足AB某i例如:算符某,p不对易某1某某(i证明:(1)某p)i某某某某某(i(2)p)某ii某某某显然二者结果不相等,所以:某p某某某p某p某某)i(某p因为是体系的任意波函数,所以某p某某i对易关系某p同理可证其它坐标算符与共轭动量满足zpzziypyyi,zpyp但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对易。

ypy某0yp某p某z0某p某y0某pzp,,zppz0yppy0yz某pzpz某0zyzp某p某pz0ypzpzpy0,p某pypyp某0,ppy某0,pzp某p某pz0ypzpzpy0,p某y写成通式(概括起来):p某i(1)某p某某某0某ppp0其中,某,y,z或1,2,3p量子力学中最基本的对易关系。

对易,B与对易,不能推知与对易与否。

注意:当与B6、对易括号(对易式)为了表述简洁,运算便利和研究量子力学与经典力学的关系,人们定义了对易括号:,BBA]AB[A这样一来,坐标和动量的对易关系可改写成如下形式:]i[某,p不难证明对易括号满足下列代数恒等式:,B]][B,A1)[A,B][A,B,C]C][A2)[A,kB,B,BC,C][A,B,[AB,C]A[B][A,C]B]k[A]]B[A]C,C,[A3)[A,[B]][B,A]][C,[A,B,C,[C]]0——称为Jacobi恒等式。

量子力学第三章5详解

量子力学第三章5详解
则不能直接用p 2m Hˆ ,
注意到x 0, (x)2 xˆ2。
Hˆ pˆ 2 + 1 kxˆ2 pˆ 2 + 1 kxˆ 2 (p)2 + 1 k(x)2
2m 2
2m 2
2m 2
使用基本算术不等式
2 (p)2 1 k(x)2 k (p)2 (x)2
x
x
[
pˆ x
,
(
x)
]

i

x
注意这里其实只是一个乘法算子。
练习解答
pˆ 2.[
x
2
,
( x)]

2
2
2x
2i
x
pˆ x
计算与上题类似。
角动量
定义
基本关系
lˆ rˆ pˆ lˆ (lˆx , lˆy , lˆz )
lˆx ypˆ z zpˆ y
关于厄米算符的结论
1.物理量,对应的算符都是厄米的; 2.厄米算符的和也是厄米算符; 3.若两个厄米算符对易,则两个算符的积也是厄米的; 4.任何状态下厄米算符的平均值为实数(证明); 5.任何状态下,平均值为实数的算符为厄米算符; 6.属于厄米算符的不同本征值的本征函数,彼此正交 (证明)。
关于厄米算符的结论
厄米算符的性质和测量
回顾力学量的测量假定
厄米算符的性质和测量
平均值
A ( , Aˆ ) | cn |2 An
n
童鞋:请搞清楚里面的系数是神马含义哦!
厄米算符的性质和测量
新概念:涨落。
用以衡量测量值在平均值周围不同的散布情况。
在统计中,使用 [(xn x)2 ] pn,就是偏离均值距离大小的平方与

高等量子力学 第三章 本征矢量和本征值

高等量子力学 第三章 本征矢量和本征值
下面分两种情况: (1) A 的本征值 ai 没有简并,这时 B i 与 i 属于同一个本
征子空间,它们只能相差常数倍:
B i bi i
即 i 也同时是 B 的本征矢量,常数 bi 就是 B 的本征值。如果 A 的所
有本征值都没有简并,那么{ i } 就是 A 和 B 的共同本征矢量完全集。
(2)问题在于 A 的那些有简并的本征值。在 A 的二维以上的 本征子空间中随便取一个矢量,未必就是 B 的本征矢量。设 A 的
定理: 若A和B 两算符相似,即对于有逆算符R 有
B RAR1
则A和B有相同的本征值谱,而且每一本征值都有相同的简并度。 证明: 设已知A的全部本征值和相应本征矢量;
Ai ai i ,
i 1, 2, 3,
利用 R1R 1的性质,并用 R 从左作用上式两边,得
RAR1R i ai R i ,
为 aiaj ij 等等。这样会给行文带来方便。而这样一来,对于一部
分连续而另一部分离散的那种本征值谱,随便写成一种形式(取 和或积分)就可以了。
上述矢量成为B的本征矢量的条件是
B j b j
B j c b j c
B j c b j c
用 j 同上式作内积,利用 j j 得
m
j B j c bc
1
( 1,2,m)
这是一个{c }的线性齐次方程组,设其系数 j B j B ,
这一方程组有解的条件是系数行列式为零:
B11 b B12
示各本征值序号的集合,而用{ ai } 表示它们的共同本征矢量,
简单的写成
A ai ai ai
共同本征矢量的完全性关系简写成
ai ai 1
i
§3-4 无穷维空间的情况

第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件

第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件

Fang Jun 第16页
3.2.1 一维无限深方势阱
V→∞ V(x) V→∞
E
V=0
0 ax
在阱内(0<x<a),能量本征方程为
m为粒子质量,E为能量。 在阱外,势场为无限大,因此粒子出现的几率为0,ψ=0.
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第17页
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第1页
§ 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
当粒子在势场 V(x,y,z)中运动时,其薛定谔方程为:
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成:
2 d 2
[ 2 dz 2 V3 ( z )]Z ( z ) Ez Z ( z )
其中
E Ex Ey Ez
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第3页
设质量为m的粒子,沿x方向运动,势能为V(x),则 Schrödinger方程为,
对于定态(能量E),波函数表为
定理 5 对于阶梯性方位势
V2-V1 有限,则能量本征函数ψ(x)及其导数ψ’(x)必定是连 续的。 证明: 根据方程
在V(x)连续的区域, ψ(x)及ψ’(x)必然连续。在V(x)发生阶 梯跃变处,V(x) ψ(x)发生跃变,但变化是有限的。上式对 x~a积分,有
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
这里已分别略去了ψⅠ 和ψⅢ中正指数和 负指数项,因为它们在x→±∞ 发散。

量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系

量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系

ˆ ˆ y ] z,p ˆ ˆx 0 [z,p
ˆx,p ˆ y ] p ˆx,p ˆz ˆ y,p ˆz [p p 0
以上可总结为基本对易关系:
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0

ˆ 有确定值 n ,…(按3.6节讲的基本假 有确定值 n , G ˆ ,ˆ ˆ ,… ˆ,G 设)。于是会存在这样的态,在这些态中,H I, F
代表的力学量可同时取确定值。
结论:不同力学量同时具有确定值的充分必要条件
是在这些力学量算符的共同本征态中。
例如:
ˆ y, ˆ x, ˆ z 对易,则它们有完全共同的本 ①动量算符 p p p
它们只是在态平均的意义上成立所以说某点或某一区域粒子的总能量等于动能与势能之和就没有意义了即在势垒内部粒子动能为负值的说法不成立
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系:
对于任意的波函数,

ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ 不对易 ˆ,G 0 F
e2s 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
2
ˆ 2是关于 , ˆ 是关于 的微分算符, 的微分算符, L 且L z
ˆ ,L ˆ ]0 。 ˆ ,L ˆ 2 ] 0 , [H 所以: [H z
ˆB ˆ B ˆA ˆ ,等式成立。 ˆC ˆC 等式左边= A
说明:利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明,例如:
ˆ ,L ˆ ] =[ z ˆx x ˆz,x ˆy y ˆx] ˆp ˆp ˆp ˆp [L y z
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义:算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v , Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点,常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方,也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â,称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数,ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如:动量算符ˆpi =-∇, 单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同,即ˆˆA B ψψ=,则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有:ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=,则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+,ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积,记为ˆˆAB ,定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律,即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠,则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=,则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-, 则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如:算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明:(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等,所以:ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数,所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=,ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对易。

ˆˆ0ˆˆ0y y z z xp p x xp p x -=⎧⎨-=⎩,ˆˆ0ˆˆ0x x z z yp p y yp p y -=⎧⎨-=⎩,ˆˆ0ˆˆ0x x y y zpp z zp p z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ˆˆˆˆ0x y y x pp p p -=,ˆˆˆˆ0y z z y p p p p -=,ˆˆˆˆ0z x x z p p p p -= ˆˆˆˆ0xyyx -=,ˆˆˆˆ0y z z y p p p p -=,ˆˆˆˆ0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来):ˆˆx pp x i αββααβδ-= (1) ˆˆˆˆ0xx x x αββα-= ˆˆˆˆ0pp p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。

注意:当Â与ˆB对易,ˆB 与Ĉ对易,不能推知Â与Ĉ对易与否。

6、对易括号(对易式)为了表述简洁,运算便利和研究量子力学与经典力学的关系,人们定义了对易括号:ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA ≡- 这样一来,坐标和动量的对易关系可改写成如下形式:ˆ[,]x pi αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式:1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABC B A C A B C =+ ,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+,]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = 4) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0AB C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。

角动量的对易式:(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符ˆˆˆˆˆx x y y z zl r p i r l e l e l e =⨯=-⨯∇=++ ˆl 在直角坐标中的三个分量可表示为ˆˆˆ()xz y l yp zp i y z z y∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ()y x z l zp xp i z x x z ∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ()zy x l xp yp i x y y x∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ[,]x y z l l i l =,ˆˆˆ[,]y z x l l i l =,ˆˆˆ[,]z x y l l i l = (要求会证明)⇒ˆˆˆl l i l ⨯=ˆˆˆl l i l ⨯= 是角动量算符的定义式。

ˆˆˆ[,]l l i l αβαβγγε=式中εαβγ称淡Levi-Civita 符号,是一个三阶反对称张量,定义如下:1231αβγβαγαγβεεεε=-=-⎧⎨=⎩其中,,,x y z αβ=或1,2,3证明:ˆ[,]x l i x αβαβγγε=或 ˆ[,]l x i x αβαβγγε= ,,,x y z αβ=ˆˆˆ[,]pl i p αβαβγγε= 或 ˆˆˆ[,]l pi p αβαβγγε= 2ˆˆ[,]0l l α=(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系ˆ(sin cos )xl i ctg ϕθϕθϕ∂∂=+∂∂ ˆ(cos sin )yl i ctg ϕθϕθϕ∂∂=--∂∂ ˆzl i ϕ∂=-∂ 22211ˆ[(sin )]sin sin l θθθθθϕ∂∂∂=-+∂∂∂2ˆˆˆˆ,,x y z l l l l 和只与θ,ϕ 有关,与r 无关,而且ˆz l 只与ϕ 有关。

2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 2222222sin 1)(sin sin 1)(1ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=r r r r r r 或 222222ˆˆr pl r ∇=--22222ˆˆr p l r=--其中),1(ˆr r i pr +∂∂= )(1ˆ2222r r rr p r ∂∂∂∂-= ,r pˆ可称为径向动量算符。

(3)角动量升降阶算符 (I) 定义ˆˆˆx y l l il +=+,ˆˆˆx y l l il -=-显然有如下性质ˆl ++ˆl -=, ˆˆl l +-+=这两个算符不是厄密算符。

(II) 对易关系ˆˆ[,]z l l ±ˆl ±=±, 2ˆˆ[,]0l l ±=,22ˆˆˆˆˆz z l l l l l +-=-+,22ˆˆˆˆˆz z l l l l l -+=--7、逆算符(1). 定义: 设Âψ=φ, 能够唯一的解出ψ, 则可定义算符Â之逆Â-1为: 1ˆAφψ-= (2).性质I: 若算符Â之逆Â-1存在,则11ˆˆˆˆAA A A I --==, 1ˆˆ[,]0AA -= (3).性质II: 若Â,ˆB均存在逆算符, 则 111ˆˆˆˆ()ABB A ---= 8、算符函数设给定一函数F (x ),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛()0(0)()!n nn F F x x n ∞==∑则可定义算符Â的函数F (Â)为:()(0)ˆˆ()!n nn F F A A n ∞==∑ 补充:定义一个量子体系的任意两个波函数(态) ψ与ϕ的“标积” *(,)d ψϕτψϕ=⎰d τ⎰是指对体系的全部空间坐标进行积分,d τ是坐标空间体积元。

例如对于一维粒子:d dx τ∞-∞=⎰⎰对于三维粒子:d dxdydz τ+∞-∞=⎰⎰⎰⎰可以证明*11221122**11221122(,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)c c c c c c c c ψψψϕϕψψϕϕψϕψϕψψϕψϕψϕ≥⎧⎪=⎪⎨+=+⎪⎪+=+⎩9、转置算符算符Â的转置算符ˆA定义为 **ˆˆd A d A τψϕτϕψ=⎰⎰即 **ˆˆ(,)(,)AA ψϕϕψ= 式中ψ和ϕ是两个任意波函数。

例如:x x∂∂=-∂∂(证明) ˆˆx x pp =- 可以证明:ˆˆˆˆ()ABBA = 10、复共轭算符算符Â的复共轭算符Â*就是把Â表达式中的所有量换成其复共轭。

但应注意,算符Â的表达式与表象有关。

11、厄米共轭算符算符Â之厄米共轭算符Â+定义为:**ˆˆ()d Ad A τψϕτψϕ+=⎰⎰或 ˆˆ(,)(,)A A ψϕψϕ+= 厄密共轭算符亦可写成:*ˆˆAA += 可以证明: ˆˆˆˆ()AB B A +++= ˆˆˆˆˆˆ()ABCCB A ++++=12、厄米算符 (自共轭算符)(1). 定义: 满足下列关系的算符称为厄米算符.**ˆˆ()d A d Aτψϕτψϕ=⎰⎰ˆˆ(,)(,)A A ψϕψϕ= 或 ˆˆAA += (2). 性质性质 I :两个厄密算符之和仍是厄密算符。

性质 II :两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。

三、算符的本征方程如果算符Â作用于函数ψ的结果,等于某一常数λ乘以ψ,即ˆAψλψ= (2) 那么称λ为算符Â的本征值,ψ为算符Â的属于本征值λ的本征函数。

方程(2)称为算符Â的本征方程。

§3.2 动量算符和角动量算符一、动量算符∇-=i pˆ 1、动量算符的厄密性(证明)2、动量算符本征方程)()(ˆr p r p pp ψψ=,即()()p p i r p r ψψ-∇= 采用分离变量法,令:()()()()p r x y z ψψψψ=代入动量本征方程()()p p i r p r ψψ-∇= ⇒()()()()p r x y z ψψψψ=()()()x y z p p p x y z ψψψ=123x y z iiip xp yp zc ec ec e=ip rce⋅= (1)p 可取任意实数值,即动量算符的本征值p 组成连续谱,相应的本征函数为(1)式所表示的)(r pψ,这正是自由粒子的de Broglie 波的空间部分波函数。

(2).归一化系数的确定 ①、归一化为 δ 函数 取2/3)2(-= πc ,则)(r pψ归一化为δ函数,*()()()p p r r d p p ψψτδ∞'-∞'=-⎰(2) r p ipe r⋅=2/3)2(1)(πψ (3) 一维情况:x p i p x x erπψ21)(=②、箱归一化——P70-72(略去不讲)箱归一化方法仅对平面波适用,而归一化为δ函数方法对任何连续谱都适用。

相关文档
最新文档