概率论》第1章6独立性

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《概率论》第1章§6 独立性

2p p
2
4
思考： A和B独立与A和B不相容有什么关系？
P ( AB ) P ( A ) P ( B ) P ( BC ) P ( B ) P (C ) P (CA ) P (C ) P ( A )
必然事件 Ω 与任何事件 A 是否独立不可能事件Φ 与任何事件 A 是否独立
结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努
利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重贝努利试验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立,
（4）共进行了n次.
P B | A P B
若
P A 0
则事件 A与任一事件 B相互独立。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中目标的概率为 0.5，乙射中目标的概率为 0.6，求目标被击中的概率
解
设 A, B分别表示甲,乙击中目标，则 A B表示目标被击中，由于 A, B独立
2 1 P B 4 2
P B | C 1
生的概率，而A发生不改 1 变B发生的概率，B 的发 P AB 1 4 P B | A P B 1 P A 2 生也不改变A发生的概率， 2 也就是说A与B互不影响， 1 P AB 1 P A | B 4 P A 它们是独立的. 1 P B 2
贝努利概型
考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑）两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。一般地，试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0<p<1）,则

概率论第一章第六节

(2) P( A1 A2
An )
1 P(A1 A2
An )
1 P( A1 A2 An )
A1 A2 An独立
A1 A2 An独立
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ).
9
例1 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
2
2
P( AB) 0，P( A)P(B) 1 ,
4
由此可见两事件互斥但不独立.
二者之间没有必然联系
B
AB
AS
B AS
若P( A) 0 , P(B) 0 , A，B相互独立与互不相容
不能同时成立.
20 返回
为p , p 1 2 . 问对甲而言, 采取三局二胜制有利,
还是五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 解采用三局二胜制 , 甲最终获胜 ,
胜局情况可能是 :
“甲甲”,“甲乙甲”;“乙甲甲”,
设Ai :“甲第i局胜”(i 1, 2, 3), 设A :“甲最终胜”,
则 A A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3
p pp
纯纯纯
H1：不纯纯纯
q pp
纯纯纯
p 1 0.01 0.99,
q 1 0.95
H2：不纯不纯纯
q qp
纯纯纯
H3：不纯不纯不纯
q qq
纯纯纯
0.05.
P(H0)
C936 , C3
100
P(H3 )
C43 C3
100
,
P( H1 )
C926C41 C3
100
,
P( H2 )

概率论与数理统计(事件的独立性)

P(B)P(C P( A)P(C
) )

1
4 1
4
, ,
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，C 不相互独立.
1.6.1 事件的独立性
另一个反例(略) 【例1.21】设一口袋中有100个球，其中有7个是红的，25个是黄的，24个是黄蓝两色的，1个是红黄蓝三色的，其余43个是无色的．现从中任取一个球，以A、B、C分别表示取得的球有红色的、有黄色的、有蓝色的事件．
1.6.1 事件的独立性
则有 A A1 A2 A3 A4 . 由加法公式及事件的独立性, 得系统的可靠性: P( A) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 ) P( A3 )P( A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 ) p1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4 .
三个事件两两相互独立
另外,仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保证A、B、 C两两相互独立,更不能保证三事件相互独立．
1.6.1 事件的独立性
伯恩斯坦反例【例1.20】一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成黄色，第三面染成蓝色，而第四面同时染上红、黄、蓝三种颜色.现以 A ，B，C 分别记投一次四面体出现红、黄、蓝颜色朝下的事件，问 A，B，C是否相互独立?
2
2
则 P( AB) P( A)P(B).
但 AB ,
可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！
1.6.1 事件的独立性

概率论

定理二若事件A，B相互独立，则下列各对事件也相互独立, A与B，A与B，A与B。【证】P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) =P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)) =P(A)P(B) 所以 A与B相互独立。其他同理可得。
【注】概率为0的事件与任何事件独立。设A, B是任二事件，且P(A)=0，则 P(AB)P(A)=0，所以 P(AB)=0=P(A)P(B)，
【解】(2)放回摸球，以事件A表示“第一次摸得黑球”，以事件B表示“第二次摸得黑球”，则
a a2 P(A) , P(AB) ， 2 ab (a b)
P(AB) a 据定义 P(B A ) P(A) ab a 又 P(B) , 所以 P(BA)=P(B)，事件A对B的发生 ab
三、事件的独立性及其概率计算设A1, A2, …, An是相互独立的事件，由德摩根律：
P( A i ) 1 P( A i )
i 1 i 1 n n
=1-P(A1A2…An)，因A1, A2, …, An是相互独立的，所以 =1-P(A1)P(A2) …P(An)，【注】独立事件的和事件的概率最好转为积事件的概率来计算。
前两者涉及事件，后一个涉及概率。当0<P(A)<1，0<P(B)<1时，A与B的独立性可图示，向边长为1的正方形内投一点，假设着落点有等可能性，
AB 1 A B l
s
则依几何概型概率的计算， P(AB)=sl=P(A)P(B)。
【注】当P(A)>0，P(B)>0时，A, B互斥与A，B独立不能同时成立。事实上，如果A与B互不相容，则A与B一定不独立，因为 P(AB)=P()=0P(A)P(B)。如果A与B独立，则A与B一定相容，因为 P(AB)=P(A)P(B)0，即A, B不互斥。

概率论-事件的独立性

P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立．证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则

《概率论》第1章§6独立性

第一章
两两独立三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进行下去，小概率事件几乎必然要发生

概率论第一章概率论的基本概念第4节独立性

第一章概率论的基本概念
三个事件的独立性
§4 独立性
设A、B、C是三个随机事件，如果
PAB PAPB PBC PBPC PAC PAPC PABC PAPBPC
则称A、B、C是相互独立的随机事件．
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第一章概率论的基本概念
注意
§4 独立性
在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不
p2 p2 p4 2 p2 p4.
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练习一下
• 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某个密码，他们译出的概率分别为1/3、1/4、1/5，求密码能译出的概率.
解：设B={密码能够被破译}
Ai 第i个人破译密码，i 1,2,3.
则：
PB PA1 A2 A3 1 P A1A2 A3 1 PA1PA2 PA3
234 3
1
345 5
27
思考
• 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 p, p 1/ 2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相对独立.
28
返回主目5 录
第一章概率论的基本概念
证明：由于事件 A 与 B 相互独立，故 §4 独立性
PAB PAPB
因此，
PB
A
PAB PA
PAPB PA
PB
2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．
证明：由 PSA PA 1 PA PSPA
可知必然事件S 与任意事件 A 相互独立；
C={ 取出的球涂有黑色 } 则：
PA PB PC 1
2
PAB PBC PAC 1
4
返回主目18 录

概率论与数理统计— 独立性

P( A1)P( A2 ) P( A3)P( A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3)P( A4 )
p2 p2 p4 2 p2 p4.
例10 甲、乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p (p 1 2) , 问对甲而言, 采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利 . 设各局胜负相互独立.
1
2
解
3
4
以 Ai (i 1,2,3,4) 表示事件第i 个元件正常工作,
以 A 表示系统正常工作 . 则有 A A1 A2 A3 A4 . 由事件的独立性,得系统的可靠性 : P( A) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 ) P( A3 )P( A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 ) p1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4 .
Rs' (R ' ) n r n (2 r) n Rc (2 r) n . 显然 Rs' Rc.
由数学归纳法可证明当
n 2时,
(2 r)n
2 r n,即
R
' s
Rs .
第一章概率论的基本概念
例 8 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。
0.41.
由 A3 ABC , 得 P( A3 ) P( ABC ) P( A)P(B)P(C) 0.4 0.5 0.7 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为

概率论教学课件第一章1.7事件的独立性与伯努利概型

1 P( A)
P( AB) P( A)P(B) A与B相互独立 8
P( A) 0 A与任何事件B都相互独立； 2º
P( A) 1 A与任何事件B都相互独立.
和都与任何事件相互独立．证关于第一个蕴涵式．由 P( A) 0 及概率的单调性知 P( AB) 0 , 从而
P(AB) P(A)P B .
1
一、事件的独立性
两个事件相互独立是指: 其中一个事件的发现正面”，B=“第二次出现反面”.
显然，A的发生不影响B的发生，反之亦然. 因此，A与B相互独立．
2
上述意思翻译成概率语言即为
P B A P(B) 且 P A B P(A).
证假设 A 与 B 相互独立，则 P(AB) P( A)P B ，从而 P(AB) P(A) P AB P(A) P A P B P(A)[1 P B] P A P(B)
这证明了 A 与 B 相互独立. 由已证明结论可证: A 与 B ， A 与 B 也分别相互独立．
12
例1.28 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少?
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与概率
有关，后者的定义没有借助概率．
10
事件相互独立与互不相容的关系
P(A) 0, P(B) 0
若事件A与B互不相容，则事件A与B一定不相互独立. 换句话说，若事件A与B相互独立，则事件A与B一定不是互不相容.
11
4º 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 亦相互独立.
7
(0 P(A) 1,0 P(B) 1)
A与B相互独立 P B A P B A

概率论与数理统计-第1章-第6讲-事件的独立性

有放回抽样 P(B | A) 72 P(B)
100 这就是说,已知事件A发生, 并不影响事件B发生的概率, 这时称事件A、B相互独立.
3
01 事件独立性的定义根据乘法公式P(AB) P(A)P(B A) P(B A) P(B) 等价于 P(AB) P(A)P(B) 因此，我们有如下的定义.
证明事件A 与B 相互独立，有 P( AB) P( A)P(B) 仅证事件A与B 相互独立，其他可类似证明. 由于 AB B AB，AB B 所以 P( AB) P(B) P( AB) P(B) P( A)P(B)
1 P( A) P(B) P( A)P(B)
因而事件A与B 相互独立.
定义设A,B为两事件，若 P( AB) P( A)P(B)
则称事件A与事件B相互独立
4
01 事件独立性的定义
性质
（1）若P( A) 0, P(B) 0, 则P(B) P(B A), P( A) P( A B). （2）若A与B 相互独立，则A 与B, A 与B, A 与B 也相互独立.
重点：理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算.
17
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
P( AC | A B) P[ AC( A B)] P(A B)
P( AC ABC)
P( AC)
P( A) P(B) P( AB) P( A) P(B) P( AB)
P( A)P(C)
1
P( A) P(B) P( A)P(B) 3
9
01 事件独立性的定义
2.有限个事件的独立性
将两事件独立的定义推广到三个事件：
定义对于三个事件A、B、C，若

《概率论》第1章6独立性S教学幻灯片

P(A1)P(A2) P(A3)P(A4) P(A1A2)P(A3A4)
p2 p2 p2 p2 p2 (2 p2 )
第一章概率论的基本概念
课件制作
§6 独立性
3/9
WangWenHaAo, B 独立与
A, B 独立
A,
B不相容有什么关系
P(AB) P(A)P(B)
A, B不相容 AB
为
p
40 50000
0.0008
第一章概率论的基本概念
课件制作
§6 独立性
10/9
Wang设We随n机Ha试o验的样本空间为有界区域 D,事件
A {试验结果落在区域 d 中 }
发生的概率定义为
P( A)
d 的面积 D的面积
称为几何概型
事件 A发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关，这体现了某种“等可能性”
故 A, B 独立,从而 A, B独立 , A, B独第立一章概率论的基本概念
课件制作
§6 独立性
4/9
WangWenHao
第一章概率论的基本概念
课件制作
§6 独立性
5/9
Wa求n混gW合e1n0H0设a个o每人个的人血血清清中中含含有有肝肝炎炎病病毒毒的的概概率率. 为0.4%,
记
Ai {第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2,,100
A, B “独立”
P(A | B) P(A), P(B | A) P(B) P(AB) P(A | B)P(B)
P(B | A)P(A) P(A)P(B)
第一章概率论的基本概念
课件制作
§6 独立性
2/9
WangWen某Ha系o统由四系个统部可件靠I, I性I,III,IVP{系统正常I 工作II}

第11讲事件的独立性 (I) 独立性的概念与性质

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第11讲事件的独立性(I)1§1.6 独立性四川大学第11讲事件的独立性(I)3第11讲事件的独立性(I)四川大学四川大学第11讲事件的独立性(I)4（一）独立性的概念与性质四川大学第11讲事件的独立性(I)5A发生的条件下，B发生的概率增加了。

{4,6}定义（独立性）设A, B是两个事件，如果它们满足等式P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与B相互独立，简称A, B独立。

直观地讲，两个事件相互独立是指一个事件发生的概率不受另一个事件发生与否的影响。

以下定理说明了这个事实。

定理一设A, B是两个事件，且P(A)>0，则A, B 独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B)。

四川大学第11讲事件的独立性(I)10事件独立与互斥的关系独立性是事件之间的概率属性，而事件互斥是指事件之间本身的关系（不涉及概率）。

我们说两个事件相互独立，是指一个事件出现的概率与另一个事件是否出现没有关系。

而两个事件互斥（不相容），是指一个事件出现必然导致另一个事件不出现，从而一个事件的出现与另一个事件是否出现密切相关，从而两个互斥事件一般不是独立的。

或者说，两个独立的事件一般不是互斥的。

四川大学第11讲事件的独立性(I)13简单地说，如果两个事件相互独立，则其中一个事件与另一个事件的对立事件也相互独立。

下面将事件的独立性推广到多个事件。

三个事件A, B, C相互独立是指：(1)它们两两独立：(2)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)若三个事件A, B, C相互独立，则它们一定两两独立，但它们两两独立未必相互独立，因为条件(1)一般推不出条件(2)。

四川大学四川大学第11讲事件的独立性(I)19四川大学第11讲事件的独立性(I)21n 个事件A 1, A 2 ,…, A n 相互独立是指：对其中任意k (2≤k ≤n )个事件有12,,...,k n n n A A A 1212()()()()k k n n n n n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅显然，若一组事件相互独立，则其中任意部分事件也是相互独立的。

概率论独立性

概率论
第六节独立性
两个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结
---
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.率论
解将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P(C D E) 1 P(C )P(D )P(E ) 0.973
---
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
也相互独立.
证明仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B )
故 A与 B独立
---
概率论
二、多个事件的独立性

概率论—随机事件的独立性

这 n 个随机事件也相互独立．其中
i1, i2 , , in
是 1,
2, , n 的一个排列．
第一章第五节随机事件的独立性 25
三．事件的独立性在概率计算中的作用
第一章 , An 这 n 个随机事件相互独立，
n Ak ．试计算 P k 1
因此， P AB P APB ， P AC P APC
PBC PB PC ；
但是， P ABC P APB PC ．因此， A 、 B 、 C 这三个随机事件是两两独立的，但不是相互独立的．
第一章第五节随机事件的独立性

则称 A1, A2 , , An 这 n 个随机事件相互独立．
23
第一章第五节随机事件的独立性
说
在上面的等式中，
2 n C 后一行有 n 个等式．
明
3
第一行有 Cn 个等式，第二行有 Cn 个等式，……，最
因此，共有
2 3 n 0 1 Cn Cn Cn 2n Cn Cn
bb 1 P AB a ba b 1 b 1 PB A b P A a b 1 ． ab
第一章第五节随机事件的独立性 16
而
例 4（续）
因此， PB A PB．这表明，随机事件 A 与 B 不相互独立．事实上，由于是不放回摸球，因此在第二次摸球时，袋中球的总数变化了，并且袋中黑球与白球的比例也发生变化了，这样在第二次摸球时，摸出白球的概率就要发生变化了．或者说，第一次的摸球结果对第二次的摸球结果就有影响了．
§1.6 随机事件的独立性
第一章第五节随机事件的独立性 1

概率论1-6

1 i j k n下列各式同时成立
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
C
2 n
P( Ai Aj Ak ) P( Ai )P( Aj )P( Ak )
Cn3
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 ) P( An ) Cnn
那么称A1, A2 , , An是相互独立的。
共有（2n-n-1）个等式
对满足相互独立的多个事件，有
(1) 若 A1, A2 , , An 相互独立，则将A1A2 An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍然相互独立。
例某大学生给四家单位各发了一份求职信，假定这
些单位彼此独立，通知他去面试的概率分别是
1 2
,
1 3
则“事件 A 与事件 B 相互独立”和 “事件 A 与事件 B 互不相容”不能同时成立
如图 P(AB)=0,即A与B互不相容
A
B
而P(A) ≠0, P(B) ≠0。
即 P(AB) ≠ P(A)P(B)。
故 A与B不独立。
即: 若A、B互不相容，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立。
7 9
8 P(A2 ) 10
放回抽样时，
P(
A2
|
A1)
8 10
P(
A2
)
即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响同样，A2的发生对A1的发生概率不影响
事件 A 发生对 B发生的概率没有影响, 可视为事件A与B相互独立
定义：设A，B为两随机事件，P(A) 0, P(B) 0 若P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)∙P(B) 2 称A，B相互独立。

概率论-第一章1.6-独立性

如果两个事件不能同时发生，那么它们之间没有任何联系？
如果一个事件发生了，我们即可以确定另外一个事件不会发生！
性质:
当 P( A) > 0, P( B) > 0 时，互不相容与相互独立不能同时成立。
证： A、B互不相容 P( AB) = 0 ⇒ P( AB) ≠ P( A) P( B) 反之 A、B 相互独立 = P( AB) P( A) P( B) > 0 则 AB ≠ Φ ，故A、B不可能互不相容。
这在直观上很显然，但证明较麻烦. 若B3=A4A5A6，则B2 , B3就不一定独立，因为都与A4有关.
例：设某型号高炮命中率为0.6，现若干门炮同时发射
（每炮一发）,欲以99%以上的把握击中来犯的一架敌机，至少需要配备几门炮？解：设n为所需炮数，
i = 1, 2, , n Ai 表示第i门炮击中飞机，
从四个球中任取一个
1 2 3
123
即A 1、A2、A3 两两独立。
1 1 1 1 1 P ( A1 A2 A3 ) = ≠ P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = ⋅ ⋅ = 4 2 2 2 8
所以A 1、A2、A3 不相互独立。
定理4 设 n个事件A1, A2, …An相互独立，则把它们中的任意 m (1≤m ≤ n)个事件换成各自事件的逆事件，则所得的n个事件也相互独立.
定理1: 当 P ( A ) > 0 ( 或 P ( B ) > 0)时，
事件A与B 独立的充要条件是:
P ( B A) = P ( B )
(或 P ( A B ) = P ( A) )
P ( AB )= P ( A) P ( B ) ⇔ P ( B A)= P ( B )

概率论-1-6事件的独立性

= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B) 故 A与 B独立
二、多个事件的独立性
定义设 A、B、C 为三事件 ,如果满足等式
PAB PAPB
P
AC
P
AP
C
PBC PBPC
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件 A、B、C 两两独立时 ,等式
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.
例4 观察表明，一家医院的挂号处，新到者是一急诊病人的概率为1 6. 求第r个到达的病人为首例急诊病人的概率. 设各到达的病人是否为
以A记事件“取到的硬币是正品”. 由题
设
P( A) m , mn
P( A) n , mn
P (T
A)
1 2r
,
P(T A) 1
需求 P( A T ). 由贝叶斯公式，所求概率为
P(A T)
P(T A)P( A)
P(T A)P( A) P(T A)P( A)
1 2r
m m
n
1 2r
m m
所得的n个事件仍相互独立。
三、独立性的概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率计算可得到简化
例3 某一治疗方法对一个病人有效的概率为0.9. 今对三个病人进行了治疗，求对三个病人的治疗中，至少有一人是有效的概率. 设对各个病人的治疗效果是相互独立的.
解以A记事件“对3个病人的治疗中，至少有一人是有效的”，以Ai (i 1,2,3) 记事件“对第i个病人的治疗是有效的”. 需要求P( A). 由加法公式

概率论与数理统计 1-6

第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念第六节独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结一、事件的相互独立性1.引例盒中有5个球（3绿2红），每次取出一个，有放回的取两次，记A：第一次抽取，取到绿球B：第二次抽取，取到绿球则有P(B|A)=P(B)他表示A的发生并不影响B发生的可能性大小，即)P(AB)=P(A)P(BP(B|A)=P(B⟺)2.定义设A,B是两事件，如果满足等式P AB=P A P B则称事件A，B相互独立，简称A，B独立.说明：事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.两事件相互独立)P(AB)=P(A)P(B 两事件互斥AB =∅两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系互斥独立AB例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=P(A)P(B).A BP A=12,P B=12则P(AB)=0，而P(A)P(B)=1 4 ,故P(AB)≠P(A)P(B).由此可见两事件互斥但不独立. AB3.三事件两两相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式൞P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C),则称事件A，B，C两两相互独立4.三事件相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式P AB=P A P B,P BC=P B P C,P AC=P A P C,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立注意:三个事件相互独立→三个事件两两相互独立三个事件相互独立↚三个事件两两相互独立推广：设A1,A2,⋯,A n是n个事件，如果对于任意k(1<k≤n)，任意1≤i1<i2<⋯<i k≤n，具有等式P(A i1A i2⋯A ik)=P(A i1)P(A i2)⋯P(A ik)则称A1,A2,⋯,A n为相互独立的事件n个事件相互独立→n个事件两两相互独立n个事件相互独立↚n个事件两两相互独立二、几个重要定理定理一：设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然.定理二：若A,B相互独立，则下列各对事件，ഥA与B，A与ഥB，ഥA与ഥB，也相互独立。

概率论课件——独立性

Three events A, B, C are called Independence between them if
P( AB) P( A) P( B), P( BC) P( B) P(C ), P( AC) P( A) P(C )
4.三事件相互独立的概念
定义设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
则有
P ( B A) P ( B), P ( B A) P ( B)
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 .

P ( AB ) P ( A) P ( B )
2.定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
又因为 A、B 相互独立, 所以有
P ( AB ) P ( A) P ( B ),
因而 P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B )
P ( A)(1 P ( B ))
P ( A) P ( B). 从而 A 与 B 相1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
1 (0.8)10 0.893.
例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 解设 Ai 表示有 i 个人击中飞机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,