平面的基本性质教材

平面的基本性质

1．平面的基本性质及推论：

初中平面几何中点、线的基本性质：

两点之间的连线中，直线段最短；

经过两点有且只有一条直线。

高中立体几何中线、面的基本性质：

（1）公理1：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

若，，，，则。

作用：证明直线在平面内。（2）公理2：经过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

作用：如何确定一个平面。

（3）公理3：

如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

作用：证明点在直线上。

注意：学生应尽快建立空间的概念，逐步培养空间想象能力。学习中，对于概念、公理、定理等应运用文字叙述、图形表示、符号体现的多种形式加以说明（如公理1）。

2．空间中线、面的位置关系

（1）空间中两条直线的位置关系：

①共面直线

②异面直线：既不相交也不平行的直线，没有公共点。

异面直线的判定：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。

(共面)(共面) (异面)

（2）空间中直线与平面的位置关系：

①直线在平面内

②直线在平面外

（3）空间中两个平面的位置关系：

①两个平面平行（没有公共点）②两个平面相交（有一条公共直线）

(面面平行)(面面相交)

例题选讲：1．若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面。

分析：对于此种类型的文字题目，首先要把其转化为数学语言的叙述，同时画出图形也是必要的。而对于共面的问题需要运用公理2或其推论。

已知：直线//直线，且直线，，

求证：直线、、共面。

证明：∵直线//直线，

∴直线、确定一个平面设为，即：，，

∵，∴，∴，同理，

∴直线，即：，∴直线、、共面于。

评述：本题中运用公理2、公理1解决问题。本题需要注意符号语言在题目中的应用；对于多个元素（三线共面、三线共点、三点共线等等）的问题，我们都先从两个入手，再解决第三个、第四个……，例如本题中，先证两线共面，再证第三条在面内。

2．已知：的三条边的延长线与平面交于、、三点，

求证：、、三点共线。

分析：根据上题中的原则，我们先证两点共线，再证第三个点也在直线上。

证明∵直线的延长线与平面交于点∴点且面，

∴点是平面与平面的公共点，

同理点、也是平面与平面的公共点，

∵、确定直线，∴平面平面

∵也是平面与平面的公共点，∴，即、、三点共线于平面与平面的公共直线。

评述：公理、定理的作用十分重要，明确了它们的作用，才能加以应用。本题中需要证明点在线上，显然公理3的应用就显得比较自然了。

3．空间三个平面把空间分成几部分？并用图形表示出来。

分析：此种题目可从好想的情况入手，平面间的位置关系只有两种——平行、相交，平行比较好想，先考虑三个平面都平行，再考虑两个平面平行与第三个平面相交，最后再考虑三个平面都不平行。

解答：

把空间分成四部分把空间分成六部分

把空间分成七部分把空间分成八部分(此为八分之一)

评述：本题考察空间想象能力，图示出来也是难点。本题中把空间分成七个部分的图就有问题，你能改正过来吗。本题也可先考虑平面中三条直线可以把平面分成几部分，再联想到空间中。

4．经过正方体三条棱上的点作正方体的界面。

分析：本题需要找面与面的交线，则需要从面与面的公共点找起，两个公共点的连线就是公共直线。

（1）

（2）

评述：（2）中应用了平面平行的性质，不用这个性质能画出截面吗。大家不妨自己在棱找三个点，作一下截面。课后练习：

1．下列各个条件中，可以确定一个平面的为（）

（A）三个点（B）三条直线（C）相交于一点的三条直线（D）一条直线与直线外一点2．空间三个平面两两相交，它们交线的条数为（）

（A）一条（B）两条（C）三条（D）一条或三条

3．正方体中，与直线成异面直线的棱有（）

（A）条（B）条（C）条（D）条

4．若三条直线两两相交，有三个交点，则这三条直线共面。

练习答案：1.D 2.D 3.A

4.已知：直线、、，且，，，

求证：直线、、共面。

证明：如图，∵∴直线确定一个平面（公理2的推论），

∵，∴，∴，同理，

∴直线（公理1），即：，∴直线共面于平面。

空间中的平行关系

1．空间平行直线初中平面几何：两条

平行直线：同一平面内不相交的两条直线。

经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。

高中立体几何：

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）

大家由此设想一下：

与同一条直线都相交的直线的位置关系是什么？

垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何？

与同一条直线都异面的两条直线的位置关系是什么？

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

证明：如图，在两个角的两边上截取，，

∵，∴四边形是平行四边形，∴平行且等于，

同理：四边形是平行四边形，平行且等于，

∴平行且等于，∴四边形是平行四边形，∴，

与中，，，，

则≌，∴。

评述：证明中可看出，立体几何的问题经常是要转化到平面几何的知识上，而利用平行是转化的重要手段。2．直线与平面平行

定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行。

表示方法：直线与平面平行，记作：直线平面

上述的三种表示方法：文字表示、符号表示、图形表示，都需要大家掌握。

应该说定义是判断事物最有效的手段，但平行的定义是用有无公共点来描述的，操作起来很不方便，因此引入判定定理就十分必要了，初中平面几何如此，后面所学的线面、面面平行都是如此。

判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个

平面平行。

证明：如图，假设直线与平面不平行，

且已知有直线在平面外，根据线面的位置关系，则有直线与平面相交

，设在平面内过点A作，则

∵，∴，这与矛盾，∴假设错误，∴直线与平面平行。

评述：定理中注意“平面外”这一条件，利用反证法证明判定定理应该是基本的思路。

定理的作用：证明线面平行。

由此定理大家考虑下列问题：

平行于同一个平面的两条直线的位置关系——平行、相交、异面。

平行于同一条直线的两个平面的位置关系——平行、相交。

性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两个平面的交线平行。

证明从略，可考虑应用线面平行以及线线平行的定义。

定理的作用：证明线线平行。