第三章-流体动力学基础-终-1

2015/11/19
10
例题: 已知平面流场速度分布为 u = 2yt+t3 v = 2xt
求时刻 t = 2 过点 (0,1) 的流线 解:
dx dy 3 2 yt t 2 xt
2x dx = 2ydy +t2dy 积分 有 将 t=2, 所以有 x2 – y2 = t2y +C x=0 , y=1 代入
对于均质不可压缩流体
c ，则不论定常流或非定常流均 有
v x v y vz 0 x y z
对二维流动连续性微分方程为
v x v y 0 x y
上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。
2015/11/19 17
二、一维不可压缩流体定常总流连续性方程
如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为A1、A2，在
于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为
1 v x 1 v x v x v x dx dydz v x dx dydz dxdydz 2 x 2 x x
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为
Q Q 0.3 4.24m / s 1 1 A1 d12 0.பைடு நூலகம்2 4 4
Q Q 0.3 9.55m / s 1 1 A2 2 2 d 2 0.2 4 4
19
V2
2015/11/19
三、三通管分流与合流的连续性方程 1.分流
q1 q2 q3 v1 A1 v2 A2 v3 A3
流体质点加速度为：
2015/11/19
3
二、欧拉法
欧拉法的着眼点不是流体质点，而是空间点。欧拉法是设法在空间
的每一点上描述出流体运动参数随时间的变化情况。观测先后流过各
空间点的各个质点的物理量变化情况，便能了解整个或部分流场的运 动情况，故又称空间点法或流场法。例如在气象观测中广泛使用欧拉
法。
由欧拉法特点可知，各物理量是空间点x，y，z，t的函数。所以 速度、密度、压强和温度可表示为：
1 v x vx dx 2 x
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为
1 v x v x dx dydz 2 x
2015/11/19 15
流出控制体的质量为
1 v x v x dx dydz 2 x
2015/11/19 2
流体质点速度为：
x a，b，c，t v x t y a，b，c，t v y t z a，b，c，t v z t
v x 2 x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t t 2
点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲面称为流管。
由流线定义可知，位于流管表面上的各流体质点的速度与流管表 面相切，没有其法向速度分量，因而流体质点不穿越流管壁。
元流： 当封闭曲线c所包围的面积无限小时，充满微小流管内的流
体称为元流或微小流束。
2015/11/19 9
流管： 流线围成的管子 流束： 流管内的流体 缓变流流束：流线平行或接近平行 微元流束：有限截面无限小的流束 总流：微元流束的总和 在有效截面上取平均值，按一维流动处理
v y y
dxdydz
和
vz dxdydz z
由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与 流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。 所以 v x v y vz dxdydz dxdydz dxdydz
vdA
A
12
断面平均流速：作为一维流动，常采用断面平均速度值代替各点的
实际流速，称为断面平均流速。断面平均流速是体积流量与过流
断面面积之比，即
q AudA v A A
水力半径：在总流的过流断面上与流体相接触的固体边壁周长称
为湿周，用χ 表示。总流过流断面面积与湿周χ 之比称为水力 半径R，即
8
2015/11/19
即：
dx dy dz v x v y vz
上式即为流线微分方程。因为流体中一点不能同时有两个速度方
向，流线除在绕流中的驻点等特殊情况外，流线不能相交，也不能转 折，只能是光滑曲线。
五、流管、过流断面、流量、断面平均流速和水力半径流管： 1. 流管、流束与总流
在流场中任取一条非流线的封闭曲线c，通过此封闭曲线上的每一
第三章 流体动力学基础
§3.1 研究流体运动的两种方法 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 流体运动中的几个的基本概念 连续性方程 欧拉运动微分方程 伯努利能量方程 动量方程和动量矩方程
2015/11/19
1
§3.1 研究流体运动的两种方法
一.拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个流体质点的运动全过
R
A

13
2015/11/19
§3.3 连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。
一、三维流动连续性方程
假定流体连续地充满整个
流场，从中任取出以
ox，y，z
点为中心的微小
六面体空间作为控制体如右图。
控制体的边长为dx，dy，dz，
分别平行于直角坐标轴x，
2015/11/19
三、一维、二维、三维流动
在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一维流动， 依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为三 维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。
2015/11/19
7
四、迹线与流线
迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同一流体质点 在不同时刻的空间位置。 流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切线 都与速度矢量相重合。 由流线定义可推出流线的微分方程：空间点的速度与流线相切， 即空间点的速度矢量v与流线上微元弧矢量ds的矢量积为零 v ds 0
qv 体积、质量和重量表示，其相应的流量分别是体积流量
由于
体积流量使用较多，故简写为q） 、质量流量 qm 和重量流 量 。 对于元流，由于过流断面dA非常小，可以近似认为元流过流 断面上各点的流速在同一时刻是相同的，因此元流的流量
qG
为 dq vdA 。式中v为点流速。
总流的流量则为：q
2015/11/19
x y z t t
2015/11/19 16
整理得:
v x v y vz 0 t x y z
此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非定常流。 对于定常流：
0 ，上式成为 t
v x v y vz 0 x y z
均质不可压缩流体即
＝c
；
质量力有势，设W（x、y、z）为质量力势函数，则：
fx
2015/11/19
W W W ，f y ，f z x y z
21
对定常的有势质量力
W W W f x dx f y dy f z dz＝ dx dy dz＝ dW x y z
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
2015/11/19 4
加速度可表示为：
dv x v x v x v x v x a v v v x y z x t t x y z dv y v y v y v y v y vx vy vz a y t t x y z dvz v z vz v z v z vx vy vz a z t t x y z
v x v y vz ， ， 式中右端第一项 t t t
称为时变加速度，表示某空间定点
处流体质点速度变化率；右端的后三项称为位变加速度，表示由于流体质
点所在的空间位置变化而引起的速度变化率。
2015/11/19
5
B2 流动分析基础
描述流体运动的数学方法
1.分类
随体法
描述方法 当地法 2.比较 拉格朗日法
从总流中任取一个元流，其进、出口断面的面积和流速分别为dA1、v1；
dA2、v2。根据质量守恒原理，单位时间内从dA1流进的流体质量等于从 dA2流出的流体质量，即:
1v1dA1 2v2dA2 c
对于不可压缩均质流体，
1 2 c
。上式变为：
v1dA1 v2dA2 dq c
适合描述流体元的运动变形特性
流体力学最常用的解析方法
6
§3.2 流体运动中的几个的基本概念
一、定常流动和非定常流动
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化， 则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
二、均匀流动和非均匀流动
流体运动过程中，若所有物理量皆不随空间点坐标而变，则称 此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
程及描述运动过程中各质点、各物理量随时间变化的规律。又称轨 迹法。通常以流体质点的初始坐标点作为区别不同的流体质点的标
志。设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。
流体质点的空间位置、密度、压强和温度可表示为：
r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
t作为参量(常数)处理
得 C = -5
x2 – y2 –4y +5 =0
2015/11/19
11
总流：当封闭曲线c取在运动流体的边界上时，则充满流管内的流
体称为总流。
过流断面：与流束或总流的流线相垂直的断面称为过流断面。当流
线是平行的直线时，过流断面是平面，否则它是不同形式的曲面。
流量：单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。流体量可以用
分别描述有限质点的轨迹
表达式复杂
拉格朗日法
欧拉法
质点轨迹： r r (a,b,c,t ) 参数分布：B = B（x, y, z, t）
欧拉法
同时描述所有质点的瞬时参数
表达式简单 直接反映参数的空间分布
不能直接反映参数的空间分布
不适合描述流体元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的
2015/11/19
又： v ds v y dz vz dy i vz dx v x dz j v x dy v y dx k ＝0
所以：
v y dz v z dy＝0 v z dx v x dz＝0 v dy v dx＝0 y x
总流是流场中所有元流的总和， 所以由上式可总流连续性方程:
v1 A1 v2 A2
2015/11/19 18
1 d1 1
2 2
d2
例 管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若d1=300mm, d2=200mm, 求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速 解:
Q
V1
Qm


300 0.3m3 / s 1000
2.合流
q1 q2 q3 v1 A1 v2 A2 v3 A3
2015/11/19
20
§3.6 伯努利能量方程式及其应用
一、流线上的伯努力方程式
特定条件下：
定常流
v x v y vz p 0 t t t t p p p dx dy dz dp x y z
14
y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 v x，v y，vz ,液体密度 为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时 刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制 体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为：
1 v x vx dx 2 x
通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为