物流运筹学——整数规划
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运筹学-4-整数规划
若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步；
2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算， 若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
x1 , x2 , xn 0
实际问题要求xi为整数！ 如机器的台数，人数等
第四章 整数规划
例: 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌 子售价50元/个，椅子售价30元/个，生产桌子 和椅子需要木工和油漆工两种工种。生产一个 桌子需要木工4个小时，油漆工2小时。生产一 个椅子需要木工3个小时，油漆工1小时。该厂 每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为 50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销 售收入最大？
第四章 整数规划
min z cij xij [1200 y3 1500 y4 ]
i 1 j 1 4 4
x11 x21 x31 x41 350 x12 x22 x32 x42 400 x13 x23 x33 x43 300 x14 x24 x34 x44 150 x x x x 400 11 12 13 14 s .t x21 x22 x23 x24 600 x31 x32 x33 x34 200 y3 x41 x42 x43 x44 200 y4 x 0 ( i , j 1, 2, 3, 4) ij yi 0,1 ( i 1, 2)
《运筹学》之整数规划
…
Bn
…
X1n
…
X2n
……
…
Xnn
指派问题：分配要求
分配 B1 B2 … Bn 工作数
A1
X11
X12
… X1n
∑X1j
A2
X21
X22
… X2n
∑X2j
…
…
…
……
…
An 人数 要求
Xn1 ∑Xi1 1
Xn2 ∑Xi2 1
… Xnn … ∑Xin …1
∑Xnj
要求 1 1
… 1
指派问题：模型
n n
X1 1
P1:(1,9/10 X2 2 X2 3 P12: (0,3) Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10。
指派问题
设有n 个人A1, A2, …An,要分派去做n件事B1, B2… Bn,要求每一件事都 必须有一个人去做,而 且不同的事由不同的人去做.已知每个人Ai做每 件事Bj的效率(如劳动工时或成本,或创造的价值 等)为Cij,问应如何进行指派(哪个人做哪件事),才 能使 工作效益最好(如工时最少,或成本最低,或 创造的价值最大)?
乙
19 23 22 18
丙
26 17 16 19
丁
19 21 23 17
指派问题：思考问题
1、人数比工作数多怎么处理？ 2、人数比工作数少，模型会怎
样变化? 3、计算机求解方法？
特殊约束的处理
➢互斥约束 ➢矛盾约束 在建立数学模型时，有时会遇到相 互矛盾的约束，模型只要求其中的 一个约束起作用。
12 8
x5
6 相机
2 4
x6
7 设备
4 10
x7
运筹学——.整数规划与分配问题
2.4 匈牙利法实例(2)
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从各列中减去。
必定满足：bij = aij–ui–vj
0 11 2 0 0
8 0 3 11 0
7 5 0 11 10 4 2 5 0 9 5 0 5 0
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法
分配问题可以用单纯形法或运输表求解。 库恩(W.W.Kuhn)于1955年提出了指派问题的解 法，他引用了匈牙利数学家康尼格(D.Kö nig)一 个关于矩阵中零元素的定理：系数矩阵中独立0 元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直 线数。这个解法称为匈牙利法。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间 如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时 间最少? 人员
任务 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 甲 乙 丙 丁 7 8 11 9 2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。 问：应如何选址，可使年利润为最大？
第一步：找出每 行的最小元素， 每行对应减去这 个元素。
运筹学第五章整数规划
分解 ai0 , j和 bi0 成最大整数与正分数之和：
浙江理工大学 经济管理学院
管理运筹学
wxj
Page:21
xi0 ai0 , j x j bi0 xi0 ( Ni0 , j f i0 , j )x j Ni0 f i0 xi0 Ni0 , j x j Ni0 f i0 f i0 , j x j
S1
x2 2
B: x1=2,x2=23/9 Z=41/9
x2 3
D: S12 x1=33/14,x2=2 Z=61/14
S11
无可行解
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wxj
Page:15
对S12分枝：
构造约束：
x1 3
X
2 5
4
和
x1 2
3
3 10 A( , ) 2 3
形成分枝问题S121 和S122，得解E和F
形成松弛问题2
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wxj
Page:24
CB XB 3 x1 -1 0 0 x2 x4 x6
3 -1 0 0 x1 x2 x3 x4 1 0 1/7 0 0 0 0 0 1 -2/7 0
0 x5 2/7 3/7
0 x6 0 0 0 1 0
b 13/7 9/7 31/7 -6/7
首先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性规划问题：
z0
Max z = CX AX = b X0
D
C
下界
O Ir
Max z = CX AX = b xr Ir X0 Max z = CX AX = b xr Ir+1 X0
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
《运筹学》第6章 整数规划
整数规划（Integer Programming，简称IP），是 要求全部或部分决策变量为整数的规划。整数规 划分为线性整数规划和非线性整数规划。本章只 介绍线性整数规划，简称为整数规划。
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
运筹学 第五章 整数规划
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
f(x) 0
(1)
(2)
-f(x)+5 M（1-y)
f(x) My
(3)
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
f(x) a (a>0)
31
5.1 分枝定界法 （Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
32
去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
23
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有 如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过穷举 法一一比较后，总能求出最好方案，例如， 背包问题充其量有2n种方式，实际上这种 方法是不可行。
设想计算机每秒能比较1000000个方式，那 么比较完260种方式，大约需要360世纪。
24
先放弃变量的整数性要求，解一个 线性规划问题，然后用“四舍五入” 法取整数解，这种方法，只有在变量 的取值很大时，才有成功的可能性， 而当变量的取值较小时，特别是0-1规 划时，往往不能成功。
Yes xI* = xl*
xl*
判别是否整数解
No 去掉非整数域 多个LP ……
33
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
运筹学-整数规划 (一)(名校讲义)
5 8
§4 隐枚举法 （9）
从表2-2中看出，经过改进的过滤隐枚举法只需计算16次 即可。 过滤隐枚举法简单实用，但在变量数很大时，计算量仍 很大。为此，下面将介绍另一种方法，即分枝隐枚举法。
§4 隐枚举法 （10）
三、0 1规划求解法之二（分枝隐枚举法） 基本思路：把原0 1规划问题化成标准形（分枝隐枚举 法的标准形），然后从可能获得最佳目标函数的组合进 行检查（不一定可行），直到找出可行解为止。为了清 楚，下面将结合例题阐述其步骤。 1．[例2-8] 已知0 1整数规划模型为
[解]
2x1+x2=8 最优解 x1+2x2=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图2-1 x1
§3 分枝定界法 （3）
2）因为x1、x2当前均为非整数，故不满足整数要求，任 选1个进取分枝。设选x1进行分枝，把可行集分成2个子 集： x1≤[10/3]=3及x1≥[10/3]+1=4 3)x1≤3时 目标函数 min z=x1+4x2 约束条件 2x1+x2≤8
x2
8 7 6 5 4 3 2 1 x1 = 4 2x1+x2=8 x1+2x2=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 图2-3
§3 分枝定界法 （7）
5）节点④，令x2≤[3/2]=1 目标函数 min z=x1+4x2 约束条件 2x1+x2≤8
x1+2x2≥6
x1≤3 x2≤1 x1、x2≥0，且为整数。 用图解法，知该子集无解，读者可以自己作。
§4 隐枚举法 （1）
隐枚举法适于求解一种特殊的整数规划——01规划。
一、举例说明01规划的现实来源 [例2-6]投资场所的选定（相互排斥计划）。某部门拟在 东、西、南三区建立门市部，可选用的位置共7个，设 为Ai (i=1,2,…,7)。根据计划安排有下述规定： 在东区，由3个候选点A1，A2，A3中至多选2个；
运筹学第五章 整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020max x x z += ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96max ,0,8.421===z x x 。
50用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82, =0z 356（见下图）。
运筹学01整数规划
货物体积每箱m3重量每箱吨利润每箱百元托运限制20分别表示甲乙两种货物的托运箱数则其整数规划数学模型为当采用船运方式当采用车运方式其中一般情况下m个约束条件中选择q个约束条件则可变成为
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0）
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z0 Z5
Z8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
令
xi
1
0
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i=1, …,7
7
max Z c i x i
i1
7
bixi
B
i1
x1 x 2 x 3 2
s .t
x
4
x5
1
x
0 or 1
例2: 相互排斥的约束条件
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0）
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z0 Z5
Z8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
令
xi
1
0
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i=1, …,7
7
max Z c i x i
i1
7
bixi
B
i1
x1 x 2 x 3 2
s .t
x
4
x5
1
x
0 or 1
例2: 相互排斥的约束条件
运筹学之整数规划
* X 2 (6,3.75)T 解为:
f 130
* 1
f 2* 135
B1 的解 X1* (5,4)T 是整数最优解,它当然也是问题 A0 问题
* * 的整数可行解,故 A0 的整数最优解 Z f1 130.
即此时可将 Z 修改为:
Z f1* 130
同时问题 B1 也被查清, 成为“树叶”。
题 A0 的最优目标函数值决不会比它小,故可令 Z =0.
3. 增加约束条件将原问题分枝 当问题 A0 的最优解 X 0* 不满足整数条件时,在 X 0* 中任选一个
不符合整数条件的变量.如本例选 x1 5.6,
显然问题 A0 的
整数最优解只能是 x1 5 或 x1 6 ,而绝不会在5与6之间.
规划.
问题 A1
max Z 20x1 10x2
问题 A2
max Z 20x1 10x2
5 x1 8 x2 60 x1 8 s.t x2 4 x1 5 x1 , x2 0, 取整数
5 x1 8 x2 60 x1 8 s.t x2 4 x1 6 x1 , x2 0, 取整数
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
f 130
* 1
f 2* 135
B1 的解 X1* (5,4)T 是整数最优解,它当然也是问题 A0 问题
* * 的整数可行解,故 A0 的整数最优解 Z f1 130.
即此时可将 Z 修改为:
Z f1* 130
同时问题 B1 也被查清, 成为“树叶”。
题 A0 的最优目标函数值决不会比它小,故可令 Z =0.
3. 增加约束条件将原问题分枝 当问题 A0 的最优解 X 0* 不满足整数条件时,在 X 0* 中任选一个
不符合整数条件的变量.如本例选 x1 5.6,
显然问题 A0 的
整数最优解只能是 x1 5 或 x1 6 ,而绝不会在5与6之间.
规划.
问题 A1
max Z 20x1 10x2
问题 A2
max Z 20x1 10x2
5 x1 8 x2 60 x1 8 s.t x2 4 x1 5 x1 , x2 0, 取整数
5 x1 8 x2 60 x1 8 s.t x2 4 x1 6 x1 , x2 0, 取整数
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
运筹学第五章 整数规划
2、0-1型变量常用来表示是否处于某个特定状态
例5.6
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产品 生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划，使 总收益最大。
0-1型变量常用来表示两个选项中非此即彼的选择
例5.7 用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺序，以及产品在机 床上的加工工时见下表，且要求工件二的总工时不超过d。现要求确定 各件产品在机床上的加工方案,使在最短的时间内加工完全部产品.
A 甲 15 B 17 C 21 D 24
乙
丙 丁
19
26 19
23
17 21
22
16 23
18
19 17
解：令 xij=
1 若指派第i 人做第j 事 （i, j=1, …, n） 0 若不指派第i 人做第j 事
每个人只能完 成一项任务
满足约束条件的可行解 也可写成矩阵形式，称 为解矩阵。如例5.9的一 个可行解矩阵是:
每行减该行最小数
0 1 10 2
2 5 1 4
6 4 0 6
9 0 3 0
每列减该列最小数
0 1 10 2
1 4 0 3
6 4 0 6
产品1
产品2
产品3
a11 机床1 a21 机床1
a22 机床2 a32 机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14 机床4 a24 机床4
xij表示第i种产品在第j台机床上加工的开始时间。 同一件产品在下一台机床上加工的开始时间不得早 1 同一 于在上一台机床上加工的结束时间 件产品 产品1：x11+a11x13 及 x13+a13x14 在不同 机床上 产品2：x21+a21x22 及 x22+a22x24 的加工 产品3：x32+a32x33 顺序
《运筹学》整数规划
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
x x
21 31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x21 x31 x41 1
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
1 若建工厂 yi 0 若不建工厂 (i 1,2)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示 总费用，单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的特点及应用
44
minz
c xij ij [1200y1 1500y2 ]
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
x12
x22
x32
x42
400
x13
x23
x33
x43
300
x14 x24 x34 x44 150
s.t
x11 x21
x12 x22
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
年需求量
350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万 元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用 最少。
x11 x12 x13 x14 1
x x
21 31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
整数规划的特点及应用
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x21 x31 x41 1
解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确定应该建A3 还是A4中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产物资。 为此，引入0-1变量：
1 若建工厂 yi 0 若不建工厂 (i 1,2)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示 总费用，单位万元。 则该规划问题的数学模型可以表示为：
整数规划的特点及应用
44
minz
c xij ij [1200y1 1500y2 ]
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
x12
x22
x32
x42
400
x13
x23
x33
x43
300
x14 x24 x34 x44 150
s.t
x11 x21
x12 x22
B1
B2
B3
B4
年生产能力
A1
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A2
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200
A4
4
5
2
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200
年需求量
350
400
300
150
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万 元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用 最少。
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。
运筹学——整数规划
5
4
x(0)=(4.81,1.82) Z0=356
3
B 2
1
7x1+20x2=70
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
x1<=[x1(0)]
12
x1>=[x1(0)]+1
2021/7/26
解：第一步：先不考虑整数约束条件，求解相应的线性 规划问题，得最优解和最优值如下：
x1=4.81, x2=1.82, Z=356 解不满足整数条件。最优值Z=356作为整数规划目标函 数值的上界；用观察法可知x1=0，x2=0是可行解，对应 目标值Z=0作为整数规划目标值的下界，即0 Z* 356
1
2
x6 x7 1
xi 0或1
获利最大的设点方案，第 一个约束条件表示投资总 额限制，之后的三个约束 条件分别表示在东、西和 南区的设点数限制，决策 变量取值0或1。
5
2021/7/26
例3 解决某市消防站的布点问题。该市共有6个区，每 个区都可以建消防站。政府希望设置的消防站最少，但 必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15分 钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时 间见下表：
行解, 停止; b) 若有满足整数条件的最优解, 则已得到整数规划问 题的最优解, 停止; c) 若有最优解, 但不满足整数条件, 记此最优值 为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界. (2)分支、定界直到得到最优解为止
分支：取目标函数值最大的一个支LPs，在LPs的解中任选一不 符合整数条件的变量xj，其值为bj，构造两个约束条件xj≤[bj]和 xj≥[bj]+1。将两个约束条件分别加入问题LPs，得两个后继规划问 题LPs1和LPs2。不考虑整数条件求解这两个后继问题，以每个后 继问题为一分支标明求解结果。
运筹学第三章整数规划
整数且此整数解的Z值大于所有分枝最优解的Z值，
则得最优解。否则取Z值最大的非整数解，继续分解，
转第 3步。
3.3 0-1型整数规划
一、0-1变量及其应用
若变量只能取0或1，称为0-1变量。通常用来表示决
策时是否采取了某个特定方案，例如
1 决策时取P方案
x
0 决策时不取P方案
0-1变量也可用于含有相互排斥约束条件的问题中，
4
5
3
x4 x5 5
x 3
5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0, 且均取整数值
例2：现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所
需投资额和预期收益分别为 aj和 cj（j=1,2,…,n）。由于某些原
因，有三个附加条件，第一，若选择项目1，就必须同时选择
解，A3,A4虽可行，但不是最优解。本例最优解为A*(x1=4,
x2=2),目标函数值z=12。
对松弛问题最优解简单取整不是求整数规划的有效方法！
3.2 分支定界法
分支定界法：一种部分枚举法，不是一种高效的算法。
分支：设整数规划的松弛问题的最优解xi=bi不符合整数
要求，若[bi]是不超过bi的最大整数，构造两个约束条件
项目2，反之则不一定；第二，项目3和项目4中至少选择一个；
第三，项目5，6，7中恰好选择2个。问应如何选择投资项目，
使得总预期收益最大？
解：每个投资项目都有被选择和不被选择的可能，因此令
1 对项目j投资
xj
0 对项目j不投资
j=1,…,n
该整数规划数学模型可表示为
n
max
z cjxj
的解不一定是整数规划的最优解，甚至也不一定
则得最优解。否则取Z值最大的非整数解，继续分解，
转第 3步。
3.3 0-1型整数规划
一、0-1变量及其应用
若变量只能取0或1，称为0-1变量。通常用来表示决
策时是否采取了某个特定方案，例如
1 决策时取P方案
x
0 决策时不取P方案
0-1变量也可用于含有相互排斥约束条件的问题中，
4
5
3
x4 x5 5
x 3
5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0, 且均取整数值
例2：现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所
需投资额和预期收益分别为 aj和 cj（j=1,2,…,n）。由于某些原
因，有三个附加条件，第一，若选择项目1，就必须同时选择
解，A3,A4虽可行，但不是最优解。本例最优解为A*(x1=4,
x2=2),目标函数值z=12。
对松弛问题最优解简单取整不是求整数规划的有效方法！
3.2 分支定界法
分支定界法：一种部分枚举法，不是一种高效的算法。
分支：设整数规划的松弛问题的最优解xi=bi不符合整数
要求，若[bi]是不超过bi的最大整数，构造两个约束条件
项目2，反之则不一定；第二，项目3和项目4中至少选择一个；
第三，项目5，6，7中恰好选择2个。问应如何选择投资项目，
使得总预期收益最大？
解：每个投资项目都有被选择和不被选择的可能，因此令
1 对项目j投资
xj
0 对项目j不投资
j=1,…,n
该整数规划数学模型可表示为
n
max
z cjxj
的解不一定是整数规划的最优解，甚至也不一定
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5
割平面法
• 基本思想：求原问题对应松弛问题最优解， 如果不是原问题的可行解，则通过引入线 性约束条件（即割平面），使松弛问题的 可行域逐步缩小（即切掉一部分），每次 切割掉的是松弛问题的非整数解的一部分， 但不切掉任何整数解，直到最后使目标函 数达到最优的整数解成为可行域的一个顶 点时，即为原问题的最优解。其本质是利 用线性规划的求解方法逐步缩小可行域， 最后找到整数规划的最优解。
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17
0—1规划的求解
• 列举法 • 隐枚举法
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18
m ax z 3 x1 2 x2 5 x3
(0)
x1 2 x2 x3 2
(1)
x1 x1
4x2 x2
x3
4 3
(2) (3)
4 x2 x3 6
(4)
x1 , x2 , x3 0 或 1
隐枚举法
,
6) 5
62 z0 5
LP11
x1=2 x2=1 z11=11
x1=11/5 LP x2=6/5
z0=62/5
x1=9/4 LP1 x2=1
z1=12
x1=9/4
LP2
x2=1 z2=12
无可行解 LP12
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14
分枝定界法求解步骤
步骤1：求解原问题的松弛问题（用LP表示），得 最优解，若满足整数约束，则即为最优解，否则 进入下步。
i 1, 2,
m
s.t.
j1
xj 0
j 1, 2, n
x1 , x2 , xn取
整
数
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3
第二节 整数规划的解法
• 割平面法 • 分枝定界法
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4
例3-5
m ax z 1 2 x1 9 x2
4 x1 5 x 2 2 0
2
x
1
x2
8
x 1 , x 2 0
步骤3：求解新线性规划问题，得，若为整数则为原问题的 最优解，否则进入步骤2。
• 按某非整分量构造的约束条件需满足以下两个条件：
• （1）当前最优解不满足该约束，即使得该最优解不会再 出现在松弛问题可行解中；
• （2）所有整数可行解均满足该约束，即新增约束条件后， 仍保留了原松弛问题的所有整数解。
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11
分枝定界法
• 基本思想：求原问题的对应的松弛问题， 其最优解若不是原问题的可行解，则通过 附加线性不等式约束（整型），将松弛问 题分枝变为若干子问题，即对每一个非整 变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型 约束，即得两个子问题，继续求解定界， 重复下去，直到得到最优解为止。
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12
例3-7 用分枝定界法求解：
（5）若是非整数解，，且又是平行各分枝中的最大目标函 数值，则取为新的上界，同时将该枝视为新的LP，回到 步骤2。
步骤5：各分枝均已查清，对应最优目标值的解即是原问题 的最优解。
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16
第三节 0—1规划
• 如果整数规划问题中的所有决策变量仅限 于取0或者1两个值，则称此问题为0—1整 数规划，简称0—1规划，其变量称为0—1 变量。如果整数规划问题中的部分决策变 量为0—1变量，则称为0—1混合整数规划。
第三章 整数规划
➢ 一般整数规划问题 ➢ 整数规划的解法 ➢ 0—1规划 ➢ 指派问题
➢ 物流资源分配问题
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1
知识目标
• 掌握整数规划的基本形式； • 掌握分枝定界法计算过程； • 理解割平面法； • 掌握0—1规划的标准形式； • 了解0—1变量的应用； • 掌握0—1规划的匈牙利解法。
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15
分枝定界法求解步骤
步骤4：解每一分枝，并根据不同情况采取以下步骤：
（1）若无可行解，则将该分枝剪掉，不再考虑。
（2）若是整数解且其最优值，则该分枝的解就是原整数规 划问题的最优解，结束。
（3）若是整数解，但最优值，则取为新的下界，该枝关闭。
（4）若是非整数解且，则该分枝中不包含原问题的最优解， 该枝关闭。
技能目标
• 能够结合实际情况建立整数规划模型，并可利用分枝 定界法求解；
• 能够应用0—1规划建模并求解，安排人员工作。
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2
第一节 一般整数规划问题
• 什么是整数规划问题？ • 整数规划的一般形式：
n
m a x z （ 或 m in z ） = c j x j j 1
n
aij x j (, )bi
步骤2：分枝。任选的一个不为整的分量，设为（其 中为整数部分，为小数部分），据此得两个约束 条件，这样就将LP的可行域分割成两个不相交的 子集。将这两个约束分别加入LP得两个新问题， 即两个分枝LP1和LP2。
步骤3：定界。设LP的最优值为，则它是IP最优值 的上界，任取IP的一个可行解，对应目标值记为， 它是的下界（初次下界可以取“”），即有：
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19
第四节 指派问题
• 指派问题的标准形式
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20
• 价值系数 ciji,j1,2, ,n
• 效率矩阵
• 决策变量
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21
指派问题求解——匈牙利法
k 定理1 设指派问题的效率矩阵为C cij nn ，若将该矩阵的某一行
（或某一列）的各个元素都减去同一常数k （ 可正可负），得到
max z 4 x1 3x2
4 x1 x2 10
s.t
.
2
x1
3x2
8
x1
,
x2
0且 均 为 整 数
x0
(11 , 5
6) 5
z0
62 5
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13
max z 4 x1 2
s.t.
4 2
x1 x1
x2 10 3x2 8
x1
,
x2
0且 均 为 整 数
x0
(11 5
可编辑ppt
23x423s1s2
2 3
9
m ax z x2
3x 3 x1
1
2 x2 2 x2
6 0
x1 ,
x2
0且
为
整
数
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其最优解为=（1,1） 最优值为=1
10
割平面法的求解步骤
步骤1：求解原问题的松弛问题，得最优解，若满足整数约 束，则即为最优解，否则进入下一步；
步骤2：分解其中一个非整分量，构造一个新的线性约束条 件，加入原松弛问题中，形成新的线性规划；
可编辑ppt
6
例3-6
m ax z x2
3 x1 2 x2 6
3
x
1
2
x2
0
x1 ,
x2
0且
为
整
数
可编辑ppt
7
11 3
x2
4x3
4x4
2
x2(01 4)x3(01 4)x411 2
x211214x314x4
14x314x4s1
1 2
可编辑ppt
11 24
x3
1 4
x4
0
8
j cj zj