高考数学复习第八章平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业理

课时作业55 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2

＋y 2

＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．± 5 B ．±5 C ．3

D ．±3

解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2

＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5

＝5，即

a ＝±5.

答案：B

2．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2

＋y 2

－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4

D ．4 6

解析：依题意，圆的圆心为(1，2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝

|1＋4－5＋5|

5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2

－d 2

＝2，故弦长为4.

答案：C

3．已知直线l 经过点M (2，3)，当圆(x －2)2

＋(y ＋3)2

＝9截l 所得弦长最长时，直线

l 的方程为( )

A ．x －2y ＋4＝0

B ．3x ＋4y －18＝0

C ．y ＋3＝0

D ．x －2＝0

解析：∵圆(x －2)2

＋(y ＋3)2

＝9截l 所得弦长最长，∴直线l 经过圆(x －2)2

＋(y ＋3)2

＝9的圆心(2，－3)．又直线l 经过点M (2，3)，∴直线l 的方程为x －2＝0.

答案：D

4．若圆x 2＋y 2

＋2x －4y ＋m ＝0(m <3)的一条弦AB 的中点为P (0，1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为( )

A ．x －y ＋1＝0

B ．x ＋y －1＝0

C ．x －y －1＝0

D ．x ＋y ＋1＝0

解析：由圆的方程得该圆圆心为C (－1，2)，则CP ⊥AB ，且直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.

答案：B

5．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2

相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB

的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )

A.33 B ．－

33

C ．±33

D ．－ 3

解析：由y ＝1－x 2

得x 2

＋y 2

＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．

故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝1

2

sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S

△AOB

取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin45°＝

2

2

.设此时直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有

22＝|0－0－2k |k 2＋1

，解得k ＝±33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－

3

3

. 答案：B

6．两圆相交于(1，3)和(m ，－1)两点，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m ，c 均为实数，则m ＋c ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：根据两圆相交的性质可知，点(1，3)和(m ，－1)的中点⎝

⎛⎭

⎪

⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋

c ＝0上，且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧1＋m

2－1＋c ＝0，3－（－1）1－m ×1＝－1，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧m ＝5，

c ＝－2，∴m ＋c ＝3.

答案：D 二、填空题

7．已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．

解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a ，0)，则由题意知

⎝ ⎛⎭

⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3，0)．因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.

答案：x ＋y －3＝0

8．若圆x 2

＋y 2

＝4与圆x 2

＋y 2

＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________． 解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y ＝1

a

，如图，由已知|AC |＝3，|OA |＝2，

有|OC |＝1

a

＝1，∴a ＝1.

答案：1

9．圆心在曲线y ＝－3

x

(x >0)上，且与直线3x －4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程是

________．

解析：因为圆心在曲线y ＝－3x

(x >0)上，所以设圆心的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ，－3a (a >0)，则半径r

＝

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

3a ＋12a ＋332

＋（－4）

2

＝

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

3a ＋12a ＋35

，圆的面积最小即为半径r 最小．因为a >0，所以由基本不

等式得3a ＋12

a

≥12，当且仅当a ＝2时等号成立，此时r 取得最小值3，故圆的面积最小时，

圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径为3，所以圆的方程为(x －2)2

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y ＋322

＝9.

答案：(x －2)2

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y ＋322

＝9

三、解答题

10．已知点P (2＋1，2－2)，点M (3，1)，圆C ：(x －1)2

＋(y －2)2

＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；

(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解：由题意得圆心C (1，2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2

＋(2－2－2)2

＝4， ∴点P 在圆C 上．