最近三年数学选做题(理科)

选修4－4：坐标系与参数方程

1.（2016年全国I ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为

（t 为参数，a ＞

0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.

（I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .

2.（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2

2

(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α

α

=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l

的斜率．

3、（2014 辽宁理 23）（分10分） 将圆22

1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原

来的2倍，得曲线C .

（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

4、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=t y t x 23211 （t 为参数）椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θ

θ

sin 2cos y x （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.

.

选修4－4：坐标系与参数方程答案 1.解：⑴

cos 1sin x a t y a t

=⎧⎨

=+⎩ （t 均为参数）∴()2

221x y a +-= ①

∴1C 为以()01，

为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵

24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθ

ρρθ==+=，

224x y x ∴+=即()2

224x y -+=

②

3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C

①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=∴1a = 2.解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，

由222

cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪

=⎨⎪=⎩

可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，

由垂径定理及点到直线距离公式知：2

2

6102521k

k ⎛⎫

-=- ⎪ ⎪+⎝⎭

， 即22369014

k k =

+，整理得2

53k =，则153k =±． 3.

4.解：椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232

x t y t

⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22

14y x +=，得2

23(

)

12(1)12

4t t ++

=，即27160t t +=，解得10t =，2167

t =-.

所以1216

||7AB t t =-=

5.（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为

，以坐标原

点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224

ρθπ

+= .

（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求∣PQ ∣的最小值及此时P 的直角坐标.

6.（7分）已知直线l 的参数方程为24x a t

y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θ

θsin 4cos 4y x ，

（θ为常数）.

（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.

7．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212

222

x t y t ⎧

=-⎪⎪

⎨

⎪=+⎪⎩

（t 为参数），直线l 与抛物线2

4y x =相交于

A ，

B 两点，求线段AB 的长．

8.

9.（2014 新课标1理23）（10分）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩

（t 为参数）.

（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点

A ，求PA 的最大值与最小值.

10.（2014 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,

2θπ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

. （1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.