高中数学复习提升-第一部分 专题二 第二讲 递推公式、数列求和及综合应用

专题·限时训练 单独成册

对应学生用书第111页

A 卷 小题提速练

A 组 巩固提升练(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则{a n }的通项公式为( ) A ．4n －5 B ．4n －3 C ．2n －3

D ．2n －1

解析：当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5.经验证a 1＝S 1＝－1，也适合上式，∴a n ＝4n －5，故选A. 答案：A

2．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7

a 3

＝( )

A ．2

B ．4

C ．5

D ．52

解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7

a 3＝22＝4，

故选B. 答案：B

3．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎨⎧

2，n 为奇数

0，n 为偶数

C ．a n ＝2sin n π

2 D ．a n ＝cos(n －1)π＋1

解析：对n ＝1,2,3,4进行验证，a n ＝2sin n π

2不合题意，故选C. 答案：C

4．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24

D ．23

解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－2

3，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D

5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧

2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( )

A ．16

B ．20

C ．33

D ．120

解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C

6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44

D ．44＋1

解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1

a n

＝4(n ≥2)，

所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×44. 答案：A

7．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0

B ．100

C ．5 050

D ．10 200

解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)

2＝5 050.

答案：C

8．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 015＝( ) A.12 014 B ．2 0142 015 C ．－2 0142 015

D ．12 015

解析：∵a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1－1

a n

＝1，

又∵a 1＝1，∴1

a 1

＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是以首项为1，公差为1的等差数列，

∴1a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴1a 2 015＝2 015， ∴a 2 015＝1

2 015.故选D. 答案：D

9．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2

n －1(n ≥2)，则a 6等于( )

A ．16

B ．8

C ．2 2

D ．4

解析：由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可知数列{a 2n }是等差数列，且首项为a 21＝1，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以数列{a 2n }的通项公式为a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，

所以a 26＝3×6－2＝16，又因为a 6>0，所以a 6＝4.选D. 答案：D

10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143

B ．156

C ．168

D ．195

解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2

a n ＋1＋1＝

(

a n ＋1＋1)2，∴

a n ＋1＋1＝

a n ＋1＋1，又

a 1＋1＝1，故数列{

a n ＋1}是首

项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以

a 13＋1＝13，则a 13＝168，

故选C. 答案：C

11．在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝1

3，a n a n ＋2＝1，则a 2 016＋a 2 017＝( )

A.5

6 B ．73 C.72

D ．5

解析：因为a n a n ＋2＝1，所以a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝1

3，a 7＝2，a 8＝3，依次类推可得a n ＝a n ＋4，所以数列{a n }的周期为4，a 2 016＝a 4＝3，a 2 017＝a 1＝1

2，所以a 2 016＋a 2 017＝7

2，故选C. 答案：C

12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2

n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，

…)，则a 100＝( ) A ．100 B ．1

100 C ．101

D ．1101

解析：由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2

n ＋a n ＋1a n ＝0得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，∵a n ＋1

＋a n ≠0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×

12×23×…×99100＝1

100，故选B. 答案：B