量子力学初步
高中物理竞赛基础：量子力学初步
§3、2 量子力学初步3．2．1、 物质的二象性①光的二象性：众所周知，光在许多情况下（干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下（如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字。
因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。
一个光子的能量： E=hv v 是光的频率，h 是普朗克常数光子质量： 22c hv c E m == 秒焦∙⨯=-341063.6h光子动量：c hvmc P == ②德布罗意波 德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。
他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。
第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E 、动量为p ，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v 、波长为λ的平面简谐波。
这两组特征量之间的关系仍是λhp hv E =⋅=自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。
物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。
对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。
物质波若在某处振幅的平方较大，则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。
例1、试估算热中子的德布罗意波长。
（中子的质量kg m n 271067.1-⨯=）热中子是指在室温下（T=300K ）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能eV J kT 038.01021.63001038.123232123=⨯=⨯⨯⨯==--ε 它的方均根速率s m m v n 32721107.21067.11021.622⨯≈⨯⨯⨯==--ε，相应的德布罗意波长 nm v m h n 15.027001067.11063.62734=⨯⨯⨯==--λ这一波长与X 射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。
量子力学初步
上式可以看出，势垒厚度a越大，粒子通过的几率越小；粒子的能量E越大，则穿透几率也越大， 两者呈指数关系。例，一粒子质量为1kg，势垒的厚度a～10cm，V0-E=1eV，穿透几率约为10-24 ， 几乎不能穿透。这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1eV，其量子效应也是极其不明 显的。对电子而言，me～10-31kg，V0-E=1eV，a～10-8cm，大体求得穿透几率为e-0.1 ～0.9(一般情 况下，穿透几率是比较小的)，隧道效应就变得十分明显了。
图3.2.1 无限深势阱
4.2.2
4.2.3)
4.2.4) 式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条件及归一化条件。从物理上考 虑，粒子不能透过势阱，要求在阱壁及阱外波函数为零，
即 上式舍去了n=0和n为负值的情况
(4.2.5) 这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件
动能算符可由动量算符得到。因动能 故有
在势场中，一个粒子的动能与势能函数之和叫哈密顿量，记为H，H=T+V
薛定谔方程(3.1.1)和定态薛定谔方程(3.1.7)
ih(r) H ˆ(r), H ˆ(r) E (r) t
算符 作用于自己的本征函数ψA，等于一个数值A乘以ψA。上式称为算符 的本征方程。解这个方
硅单晶表面
直接提走硅 原子形成2纳 米的线条
4.4 简谐振子 简谐振动是物理学中经常出现的一类运动。本节介绍一维微观简谐振子的运动特点。在简谐振动 中，粒子所受的力正比于它的位移x，而方向相反，即粒子受力的F=-kx，势能为V=1/2kx .故薛 定谔方程是:
V 1 kx2 2
上式可改写成 式中
例4.1.1 试由自由粒子的平面波方程给出建立薛定谔方程的一种方法
量子力学初步
11
当他们得知物质波的概念后，又精细地进行实验，将54ev 的电子束（对应λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按照布喇格 , 衍射公式， 2d sin 2d sin(90o - ) n ,d a sin 有 asin n (θ =2α ),取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 sin(/a) 50.9, 它比实验测值(θ =50o)差不到1度。（这个 差值还是由于电子进入晶格内波长变小的缘故，动量和能量 在晶格中都会增大，使衍射角 θ 小于50.9o。)
25
波函数是几率幅，波函数又是描述量子体系的态函数，所 以波的叠加就是态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射的波动 以波的叠加就是态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射的波， 性。态的叠加更深刻的含义是，如果态Ψ1是系统的一个可能态， Ψ2也是系统的另一个可能态，那么c1Ψ1+c2 Ψ2 也是系统的可 能态。这个态既不完全是Ψ1 ，也不完全是态Ψ2 。而是它们各 占几率为|c1|2＋|c2 |2的混合态。这种混合态导致了量子干涉 效应。也导致了在叠加态下测量结果的不确定性。
c ( x2 )
( x2 )
它们描述的相对概率是一样的。然而对于经典的波函数， 这完全对应两种不同的状态。 20
3. 波函数统计意义的实验说明
让我们再回到对光的认识上，人们用光子概念出奇地解 释了光电效应和康普顿效应，并发现了光的波粒二象性， 即在上述的物理过程中光的能量和动量都是以一份一份进 行交换的。那么用光子观点将如何解释光波的波动性，如 干涉和衍射现象呢?为此人们减弱光强观察干涉和衍射这些 代表波动性的现象。现代技术允许将光强减弱到每次只接 收单个光子的精度，这称单光子干涉、衍射实验。结果发 现，在每次实验中每个光子的去向完全是随机的，然而当 把长时间记录的大量的单光子图片拼集在一块时，发现这 种集合图样正是用一束强光(大量光子)在瞬间显示的干涉 图样。
原子物理3
19世纪末的三大发现 揭开了近代物理的序幕
1895年的X射线 1896年放射性元素 1897年的电子的发现
早期量子论 量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义 相对论相结合
四、德布罗意波和量子态
v 质量为 m 的粒子以速度 匀速运动时，具有能
量 E 和动量 p ；从波动性方面来看，它具有波长
和频率 ，这些量之间的关系遵从下述公式：
E mc2 h
p mv h
具有静止质量 m0 的实物粒子以速度 v 运动，
则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：
的精密度的极限。还表明
px 0 x 位置不确定
x 0 px 动量不确定
pyqy 2
pzqz 2
pxqx 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
二、测不准关系式的理解 1、 用经典物理学量——动量、坐标来描写微 观粒子行为时将会受到一定的限制 。 2、 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应 该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
例3 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子 枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后 的横向速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
pdp m
E vp
Et vpt pq
2
mv
第三章 量子力学初步
2
求出本征函数ψ 的表 达式和本征值E的数值
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
1 2 1 2 2 • 势能 V ( x) kx m x 2 2
哈密顿方程为：
势能函数是 一条抛物线
V ( x)
d 2 ( x) 1 2 kx ( x) E ( x) 2 2m dx 2
X<0区域内薛定谔方程的通解：
I ( x) Ae
ik1x
Be
ik1x
b) x>0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：
d 2 2 ( x) 2m(V0 E ) 2 ( x ) k 2 2 2 ( x) 2 2 dx
其通解为：
2m(V0 E ) k 2
2 2
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
2
2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:
E1
2
2
2ma 2
为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：
xp
2
势阱中的位置不确定量为Δx≈a
p
进一步确定 本征函数
2a
不可能有
p0
nx nx ( x) A cos B sin a a
当 x
a 时，依据边界条件，有 2
通解为
( x) A cos kx B sin kx
原子物理――量子力学初步精品PPT课件
海森伯不确定关系的讨论
• 经典粒子：可以同时有确定的位置、 速度、动量、能量…… 其运动是可以用轨迹来描述的。
• 经典波：有确定的波长，但总是在空 间扩展，没有确定的位置
• 波粒二象性：不可能同时具有确定的 位置和动量。如何来确定它们位置、 动量等物理量？
• 粒子在其中以驻波的形式存在 • 匣子壁是驻波的波节 • 匣子的长度是半波长的整数倍
匣子 长度
Ln
2
p h
p nh 22m
n2h2 8mL2
束缚粒子的能 量是量子化的
如果将匣子等效为核的库仑势场
• 其中的粒子就是核外电子，电子沿轨道运动一周后回到起点
• 轨道的周长为匣子长度的2倍
资料仅供参考约恩逊clausjnsson实验1961年50kv005a缝间距基本数据89年日立公司的电子双棱镜实验单电子干涉实验20029物理世界最美丽的十大物理实验让电子通过特制的金属狭缝资料仅供参考1989年日立公司的akiratonomura等人作了更精确的实实际测量证明每秒钟只有少于1000个电子入射到双棱镜中所以不可能有两个或两个以上的电子同时到达接收装置上因而不存在干涉是两个电子相互作用的结果20029物理世界最美丽的十大物理实验资料仅供参考如果让入射电子数减弱每次仅有一个电子射出经过一段时间后仍能得到稳定的双缝干涉花样
1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 .
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该 处邻近出现的概率成正比的 .
概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能 精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率 .
三、量子态—波粒二象性的必然结果
量子力学初步
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符
拉普拉 斯算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
位矢算符
动量算符 动能算符
哈密顿算符
含动、势能
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
真 空 或 介 质
电子云
纵向 分辨率 达 0.005 n m
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电 子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测 信号调节针尖到样ห้องสมุดไป่ตู้表层原子点阵的距离，
控 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化
及 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
（1887-1961获1）933年诺贝尔物理学奖
含时薛定谔方程
若粒子所在的
势场只是空间函数
即
，则
对应于一个可能态
有一个能量定值
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程
定态 波函数
解释： 若 故
时间的函数
由
则
可分离变量，写成
得 定态薛定谔方程
常量
对应一个可能
空间的函数 态有一常量
此外，对
解得 将常量 归入 定态波函数
由 （4）以区 上向 结势 论垒 都能运 不动 对流。 密度分布取决于空
概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 Si (111)表面 7×7 元胞的STM图像
7 ×10 -16 eV
各点波强的比例，并非取
量子力学初步——波粒二象性实验
对未来研究方向展望
1 2 3
拓展到其他粒子
目前我们只验证了光子的波粒二象性，未来可以 拓展到其他粒子，如电子、中子等，探究它们是 否也具有波粒二象性。
深入研究量子力学基本原理
虽然我们已经初步理解了量子力学的基本原理， 但还有很多深层次的问题等待我们去探索，如量 子纠缠、量子计算等。
结果展示
将处理后的数据以图表形式展示，如干涉条纹分 布图、波长计算表等。
结果分析与讨论
波粒二象性验证
实验结果证明了光子和电子等微观粒子同时具有波动性和粒子性 ，即波粒二象性。
光的本质探讨
实验结果引发了对光本质的深入探讨，光既具有波动性又具有粒子 性，这种二元性在经典物理学中是无法解释的。
量子力学重要性
康普顿散射
X射线或伽玛射线与物质相互作用，导 致光子将部分能量转移给电子并改变 其运动方向的过程。此现象进一步证 实了光的粒子性。
双缝干涉实验原理
双缝干涉现象
当单色光通过双缝时，在屏幕上形成明暗相间的干涉条纹的现象。此现象揭示 了光的波动性。
干涉条纹产生原因
光通过双缝后形成两束相干光波，它们在屏幕上叠加产生干涉，形成明暗相间 的条纹。干涉条纹的间距与光的波长、双缝间距及屏幕到双缝的距离有关。
02
实验原理
德布罗意波长公式
物质波概念
德布罗意在爱因斯坦光量子理论 及玻尔原子模型的基础上提出， 一切运动的微观粒子都具有波粒 二象性。
德布罗意波长公式
λ=h/p，其中λ为波长，h为普朗 克常量，p为粒子动量。此公式建 立了粒子性与波动性之间的定量 关系。
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第三章 量子力学初步
一、学习要点
1．德布罗意假设：
(1)内容： ων ==h E , n k k h p λ
πλ2,=== (2)试验验证：戴维孙—革末试验
电子 λ=V meV h
26
.122≈（Å）
2．测不准关系：2 ≥∆⋅∆x p x , 2
≥∆⋅∆E t ； 3．波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件
薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态
4量子力学对氢原子的处理
轨道角动量()1,,2,1,0,1-=+=n l l l p l ，l 称为轨道角量子数，
轨道角量子数l =0 1 2 3 4 …
电 子 态 s p d f g …
原 子 态 S P D F G …
能量()n hcT n hc R n e m E e n --=-=∞22
224220Z 2Z )41
( πε，n ＝１.2.3……
轨道投影角动量()l l l l m m p l l lz ,1,,1,0,,1,,----== ，称轨道磁量子数，表征轨道角动量对外场方向的取向，轨道角动量对外场方向的投影图
描述电子空间运动的三个量子数l m l n ,,的名称、取值范围、所表征的物理量表达式
二、基本练习
1．楮书 P 113习题①②③
2．选择题
（1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：
A.电子的波动性和粒子性
B.电子的波动性
C.电子的粒子性
D.所有粒子具有二项性
(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：
A .E=h υ， p =λh
; B.E=ω ，P=κ ; C. E=h υ ，p =λ
; D. E=ω ，p=λ
(3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压：
A ．11.51⨯106V ； B.24.4V ； C.24.4⨯105V ； D.15.1V
(4）基于德布罗意假设得出的公式V 26
.12=λ Å的适用条件是：
A.自由电子，非相对论近似；
B.一切实物粒子，非相对论近似；
C.被电场束缚的电子，相对论结果； D 带电的任何粒子，非相对论近似
(5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为
（以焦耳为单位）：
A．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30
(6）将一质子束缚在10-13cm的线度内,则估计其动能的量级为：
A. eV;
B. MeV;
C. GeV,
D.10-20J
(7)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述. 不考虑电子自旋,对氢原子当有确定主量子数n时,对应的状态数是：
A．2n; B.2n+1; C.n2; D.2n2
(8)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.不考虑电子自旋,对氢原子当nl确定后,对应的状态数为：
A.n2;
B.2n;
C.l;
D.2l+1
(9)按原子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑电子自旋,对氢原子当nl确定后,对应的状态数为：
A.2(2l+1);
B.2l+1;
C. n;
D.n2
(10)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑自旋对氢原子当nl m确定后对应的状态数为：
A.1;
B.2;
C.2l+1;
D. n
3．简答题
（1）波恩对波函数作出什么样的解释？（长春光机所1999）
（2）请回答测不准关系的主要内容和物理实质.（长春光机所1998）
（3）为什么说德布罗意是量子力学的创始人？贡献如何？（长春光机所1999）
（4）何谓定态？定态波函数具有何种形式？
（5）波函数满足标准条件是什么？写出波函数的归一化条件.
4．计算题
（1）电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U的静电场加速后，其德布罗意波
长为
A
4.0，求加速电势差U.（上海大学.2002）
（2）试画出2
l时电子轨道角动量在磁场中空间量子化示意图，并标出电子轨道角动量在外磁场方向z的投影的各种可能值.（中山大学1993）。