恒定磁场

恒定磁场

载流子电荷的携带者.

传导电流带电粒子作定向运动形成的电流. 运流电流带电物体作机械运动形成的电流.

电流I=dq

dt

(1A=1C·s−1)

电流密度j=∆Q

∆t∆S cosα=∆I ∆S cosα

由∆I=j·∆S知I=⎰s j·d S

漂移速度v d自由电子在电场力作用下产生的定向运动的平均速度.

∆I=en v d·∆S j= en v d

表明金属导体中的电流和电流密度均与自由电子的数密度和漂移速率成正比.

单位时间内从闭合曲面内向外流出的电荷dQ

dt

=I=⎰S j·d S

由电荷守恒定律知,闭合曲面内单位时间所减少的电荷dQ i

dt =-dQ

dt

电流的连续性单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷,等于此时间内闭合曲面里电荷的减少量.

⎰S j·d S=-dQ i

dt

恒定电流条件在闭合曲面内,若电荷不随时间变化,则电流密度矢量j对闭合曲面的面积分为零.

⎰S j·d S=0

由欧姆定律知,通过柱体元端面dS的电流dI=dU

R =1

ρ

dU

dl

dS

因为j=dI

dS ,dU=Edl,电导率γ=1

ρ

欧姆定律的微分形式j=γE

电阻率为ρ,长度为l,内外半径分别为R1、R2的金属圆柱筒

由dR=ρdr

S =ρdr

2πrl

知径向总电阻R=dR

R2

R1

=ρ

2πl

dr

r

R2

R1

=ρ

2πl

ln R2

R1

电源能提供非静电力的装置.

电源中非静电力F′的做功过程,就是把其他形式的能量转化为电能的过程.

电源的电动势单位正电荷绕闭合回路一周时,非静电力所做的功.

E=W

q

=E k⋅d l

非静电电场强度E k只存在于电源内部,在外电路上⎰外E k⋅d l=0

所以E=⎰l E k⋅d l=⎰内E k⋅d l

表明电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移至正极时非静电

力所做的功.

电源内部电势升高的方向规定为电动势的方向.

静止电荷间的相互作用是通过电场来传递的,运动电荷及电流间的相互作用是通过磁场来传递的.

磁感强度B=F⊥

qv

(1T=1N⋅A−1⋅m−1)磁场力F=q v×B

电流元流过某一线元矢量d l的电流I与d l的乘积Id l.

毕奥-萨伐尔定律在真空中某点的磁感强度d B的大小,与电流元的大小Idl成正比,与电流元Id l到该点的位置矢量r间的夹角θ的正弦成正比,并与电流元到该点的距离r的二次方成反比.

d B=μ0

4πId l×e r

r2

=μ0

4π

Id l×r

r3

真空磁导率μ0=4π×10−7N⋅A−2

任意载流导线在某点处的场强B=d B=μ0

4πId l×e r r

载流长直导线的磁场B=μ0I

4πr0

(cosθ1−cosθ2)

直导线无限长时θ1=0,θ2=π,B=μ0I

2πr0

载流圆形导线轴线上的磁场B=μ0

2

R2I (R+x)

圆电流的磁矩m=IS e n

载流直螺线管内轴线上的磁场B=μ0nI

2(cosθ1−cosθ2)=μ0nI

2

l

(R+l4)

螺线管无限长时θ1=0,θ2=π,B=μ0nI

螺线管半无限长时θ1=0,θ2=π

2或θ1=π

2

,θ2=π,B=1

2

μ0nI

由电流密度j=nq知电流元Id l=j Sdl=nq v Sdl d B=μ0

4πnSdlq v×r

r3

又电流元体积dV=Sdl,电流元中作定向运动的电荷数dN=ndV

所以运动电荷的磁场B=d B

dN =μ0

4π

q v×r

r3

=μ0

4π

q v×e r

r2

(v≪c)

电荷面密度为ς、半径为R的带电薄圆盘,以角速率ω绕通过盘心且垂直盘面的轴转动

由dq=ς2πrdr,v=rω知dB=μ0

4πdqv

r2

=μ0ςω

2

dr

B=dB=μ0ςω

2

dr

R

=μ0ςωR

2

静电场中的电场线起始于正电荷,终止于负电荷. 载流导线周围的磁感线都是围绕电流的闭合曲线.

磁感线密度dN

dS

=B

磁通量Φ=E⋅S(1Wb=1T×1m2)

对于曲面 Φ=

⎰

s

B ⋅d S

磁场的高斯定理通过任意闭合曲面的磁通量必等于零. B ⋅d S =0

对于无限长载流直导线,B 沿着包含该电流的闭合路径积分为

⎰

l

B ⋅d l =⎰l Bdlcos α=⎰l Brd φ=⎰l μ0I

2πr rd φ=μ0

I

⎰

d φ

由⎰l d φ=2π知B 的环流⎰l B ⋅d l =μ0I

安培环路定理在真空的恒定磁场中,磁感强度B 沿任一闭合路径的积分等于该闭

合路径所包围的各电流的代数和与真空磁导率的乘积.

⎰

l

B ⋅d l =μ0∑=n

1

i I i

静电场是保守场,磁场是涡旋场. 载流螺线环内的磁场B=μ0NI

2πr

无限长载流圆柱体的磁场B=μ0Ir 2πR 2(r ﹤R)B=μ0

I

2πr

(r ﹥R)

带电粒子既在电场由在磁场中运动时,作用在带电粒子上的力

F =F e +F m =q E + q v ×B 回旋半径R=mv

0qB 回旋周期T=

2πm qB

霍耳效应把一块宽为b ,厚为d 的导电板放在磁感强度为B 的磁场中,并在导电板中通以纵向电流I,此时在板的横向两侧面A 、A ′之间就呈现出一定的电势差U H . 横向电场E H =U

H b

由动平衡时电场力与洛伦兹力相等知qE H =qv d BU H =bv d B 又I=qnv d S= qnv d bd 所以U H =IB

nqd

霍耳系数K=1

nq 霍耳电压U H =K IB

d 霍耳电阻R H =K B

d 量子霍耳电阻R H =h

n e

安培定律磁场对电流元Id l 作用的力,在数值上等于电流元的大小、电流元所在处的磁感强度大小以及电流元Id l 和磁感强度B 之间的夹角φ的正弦之乘积. d F =Id l ×B

有限长载流导线所受的安培力F =

⎰

l

d F =

⎰

l

Id l ×B

表明安培力是作用在整个载流导线上.

在均匀磁场中,载流导线闭合回路的平面与磁感强度垂直时,闭合回路的整体所受磁场力为零.

一无限长载流直导线与一半径为R 的圆电流相距为d(R ﹤d)处于同一平面内,电