初中数学知识点精讲精析 台球桌面上的角

2·1 台球桌面上的角

1．互为余角定义：

互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle),也就是说其中一个角是另一个角的余角.

注意：(强调)

(1)互为余角是对两个角而言的.

(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.

2.互为补角定义

互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

3.对顶角定义

像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.

对顶角：如果两个角有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角.

对顶角相等.

对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.

要在图形中准确地找出对顶角，需两看：

(1)看是不是两条直线相交所得的角;

(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.

另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.

两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n 条直线相交于一点，共有n (n －1)对对顶角.

1. 如果∠α的余角是∠β，那么∠β的补角是（ ）

A. 180°－∠α

B. 90°－∠α

C. 90°＋∠α

D. ∠α－180°

【解析】

∵∠α的余角是∠β

∴∠β的补角为：

∴选择C

2. 已知，如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE ＝60°，则∠AOC 的度数是__________

【解析】

3. 如图，点O 是直线AB 上一点，∠AOE ＝∠FOD ＝90°，OB 平分∠COD

（1）找出图中与∠DOE 互余的角；

（2）找出图中与∠DOE 互补的角. ∴∠β=-∠α90 1801809090 -∠β=--∠α=+∠α() C E

A B

D O

∠=∠DOE OB DOE 60，平分∴∠=

∠=⨯=BOD DOE 12126030 又对顶角相等 ∠=∠AOC DOB()∴∠=AOC 30

【解析】

（1）∵∠AOE ＝∠FOD ＝90°

∴∠EOF 与∠BOD 都是∠DOE 的余角

又∵OB 平分∠COD

∴∠BOC ＝∠BOD

∴与∠DOE 互余的角有：∠EOF ，∠BOD ，∠BOC

（2）∵∠AOE ＝∠FOD ＝90°

∴∠AOF ＝∠EOD （同角的余角相等）

又∵∠AOF ＋∠FOB ＝180°

∴∠FOB 是∠AOF 的一个补角

又∵∠FOB ＝∠EOF ＋∠EOB ＝∠BOC ＋∠EOB ＝∠EOC

∴∠DOE 的补角有：∠FOB ，∠EOC

4.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由

.

【解析】

图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4 E

F

D

A B

O

C ∴∠+∠=∠+∠=DOE EOF DOE BO

D 9090 ，∴∠+∠=∠+∠=FO

E AO

F FOE EOD 9090 ，

5. 如图：

（1）若∠3＝∠4，则________//________，理由是_________

（2）若∠1＝100°，∠2＝80°，则______//_________，理由是_________

（3）若∠3＝∠5，则_______//________，理由是______________

【解析】

（1）若∠3＝∠4，则AB//CD ，理由是同位角相等两直线平行；

（2）若∠1＝100°，∠2＝80°，则AB//CD ，理由是同旁内角互补，两直线平行；

（3）若∠3＝∠5，则AB//CD ，理由是内错角相等，两直线平行.

E G

A 4 B

1

5

C D

F H 3 2