高中数学必修4课后习题答案复习课件.pptx
人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)(2021年整理)
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人教版高中数学必修4课后习题答案（截取自教师用书
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人教版高中数学必修4课后习题答案详细讲解
练习(第5页》1. 锐角是第一象限你第•象限你不一定是锐角;直角不膩于任何一个象限•不属于任何•个象限的角不一・定丛亢如：饨介迢第二象Wfft.第二绘限角不一定址钝介.说阴认识•说升广、-直角”•“mr和係限角”的区别埒联系.2•三•三• it.说明本題的II的足将终边相同的仰的符',;哦示应川到找他周期件何題匕题||联系实臥把教科筋中的除数360换戍毎个凡期的夭数7.利川了-M余”(这里余数是3)來确定7怡无氐7 k JjiU 也祁見川期•.这样的练习不难.町以II答.3•⑴第一魏探伽(2)第阿糾W伽(3)第二録限角$⑷第三簽限如.说明能作出结定的仰.并判定是第儿feRlfft・用略.4. ⑴305°・挖・第冋象Oh <2) 35鴛・第一象限伽⑶24『30'・第垛限处•说明能住给定范鬧内找出勺指定的角终边相同的角•并判定圧笫儿象瞅也・5. (1) «0|0 1303m 360°. AW引.-496*42\ —136°42‘・ 223。
叭(2) 〃|0= 225°M • 360°. W \、585°. - 225\ 135：说明用集合花示法和符号指定和终边柜同的介的集令•并在给定范田内找;l「j描定的角终边HI同的介. 练习C第9页)1. (1)令. (2)孕⑶攀说明能进行度U加度的换贰2. (!) 15°；<2) 210°€Ci) 54°.说明能进行瓶度9度的换◎・3. (I) {a | o= kK. it^Z}: (Z) ”！a=专十阪点€紂・说明川弧废；《丧示终边分别轴和y轴I：的"啲集舍.4. (I) cos 0. 75°・cos (L 75; (Z) tan L 2°"<^nni L 2$说明体会1诃数値不同的位的角对应的三角函数値町能不同•并进-步认识两种尬位制.注盘先用计算器求Jh函数血之前.耍先对il•算器中和的模式进行设證.如求cox«.75^i%•變将仰模人设比为"EG(用处制)；求CON O.75之|條賞将巾校成设汽为RAIN丸懐制).r w5盲机说明通过分别込川佝加制和软度制下的孤氏公儿体会引人毎度制的必茨性・6. 如度数为1.2.说明进•少认沢弧直数的绝对備公式.匀題I. 1 (第9贡》A俎1. (I)95\第二彖服(2) «0\第一彖服(3) 236W.第三象Rh ⑷:iOO\第四象限.说明能任给定范附内找出习指定的角终边相同的角，并判定是第儿彖限角.2. S I cr A • |&)°・ itez}.说明将终边相I同的仰用集介表斥.3. ( I) {fl\p 60° + k - 360'• k^Z}.— 30O\ 60°；⑵ SI" -75+. 360°. «eZh 一75°. 285•:(3) SI” 一82十3()+・36(汽JtGZ). — 1(M'3()\ 255°30气⑷{p\p 475+• 3$(几翳幼-215% 115^⑸ }屮=90°+£・ 360°. &WZ). - 270°, 90°;<«)270° + 女• ：<6(代JteZ}. - 90\ 270%(7){P\P IKO Q I - 360°, XZ}・ 1«0\ 18(f|(«)出|陰*任(几圧2}・-360°. 0°.说明川集伶衣〃湫和符号诸护孑出与能定角终边郴何的角的集合•并住绻定范IR内找出号指崔的角终边柏胡的角.5. (1> (:.说明14 为 <^< aV9O°・所以0°V 2a< 180\(2> I).说明冈为◎ • 360°0<90°十& • 360\ Jt€Z.所以k• 180'V号<45°十点• 1«()\ k"、半k为奇数时•；址第垛限伽臥为偶数时.号是第一象限角.6. 不等『1知址这是因为等于半轻长的弧所对的阀心角为】孤度•而零干半径氏的弦所对的弧比半径长.说明了解瓠度的槪念.说明能逬行麼吋加度的换算.& （1）— 210°; （2）600°；（3） 80.21\ （4） 3& 2°.说明能进行加度勺度的换算.9. 61°.说明町以先运用麵度制下的如氏公式求岀関心介的弧度数•卩術弧度换算为度・也町以K接运川血度制下的就尺公式.10. 11 CDL说明町以先将度换笫为匏度•再运川弧度制下的如氏公式•也可以M接运川角皮制卜的颅辰公式.1. <1）〈略）<2）设m子的阀心巾为0•山-7—52--------- =0.618.討（2兀一4〉0=0・ 618（2 穴一0）.说明水題址一个数学实嘶动.Mil对“芙观的阳子"并没右给出标准.II的址止学生先占体验.然麻评运川所学知讲发现.大寥数血子之所以“芙观”是冈为射都満足舟Q・GI8（黄金分割比）的逍理.2. ⑴时针转了120\等于一竽弧喪）分针转了一14彳0°・筹于一&瓠度.（2）设经过八nin分针就9时针改合.川为两针31合的次数.因为分针旋转的如速朋为时什施转的如速度为矗5=盏（rad/min>-（計—希）用计算机或计算需作出函效戶誥的图象（如下页图）或汲格.从屮吋淸楚地介列时什'j分针每次1R 合所尙的吋间.因为HHI&E 转一夭所需的时何为24X60=1 440(min).所以等曲440. 川W22・故时fl 七分针一天内只会磴合22次.说明 通过时什与分针的旋转问題进…步地认识弧度的概念•并将何題引向深入•用南数思想进行 分析.在研究时针与分针一犬的亟合次数时.可利用计算器或计算机•从模拟的图形、衣格中的数 据.换数的解析式或图象等角度.不堆得到正确的结论.3・ 864\ 警• 15l ・27rna说明 通过W 轮的转动何题进一步地认识弧度的概念和弧长公式•当大垢轮转动•周时•小片轮转 动的加处器 X 360。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章平面向量2．1 平面向量的实质背景及基本观点练习（P77）1、略.uuur uuur这两个向量的长度相等，但它们不等 .2、AB，BA .uuur uuur uuur uuur3、 AB2， CD 2.5 ， EF3，GH 2 2.4、（ 1）它们的终点同样；（2）它们的终点不一样 .习题 A 组（P77）1、（ 2 ）B45°O30°CAD.CA Buuur uuur uuuruuur uuur uuur3、与 DE 相等的向量有：AF , FC ；与 EF 相等的向量有： BD , DA ；uuur uuur uuur与 FD 相等的向量有： CE , EB .r uuur uuur uurr uuuur uuur4、与 a 相等的向量有：CO , QP, SR；与 b 相等的向量有： PM , DO ；r uuur uuur uuur与 c 相等的向量有： DC , RQ, STuuur 3 36、（1）×；（2）√；（3）√；（4）× .5、 AD.2习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量 .uuuur2、相等的向量共有24 对.模为 1的向量有 18对 . 此中与 AM 同向的共有 6uuuur uuur uuur对，与 AM 反向的也有 6 对；与 AD 同向的共有 3 对，与 AD 反向的也有 6 对；模为 2 的向量共有 4 对；模为 2 的向量有 2 对2．2 平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略 .2、图略 .uuur uuur3、（1） DA ； （2） CB .r ururur 4、（ 1） c ； （ 2） f ； （3） f ；（ 4） g . 练习（P87） uuuruuur uuur1、图略 . uuur uuur3、图略 .2、DB ，CA ， AC ，AD ，BA.练习（P90）1、图略 .5 uuur uuur 2 uuuruuur2、 ACAB ，BCAB .7 7uuur说明：此题可先画一个表示图，依据图形简单得出正确答案. 值得注意的是BCuuur与 AB 反向.rrr7rr1rr8r3、（ 1） b2a ；（2） b4 a ；（3） ba ；（4） ba .294、（ 1）共线；（ 2）共线 .r r（ 2）11r1rr6、图略 .5、（ 1） 3a2b ；12 ab ；（ 3） 2 ya .习题 A 组（P91）31、（ 1）向东走 20 km ； （2）向东走 5 km ； （3）向东北走 10 2 km ；（ 4）向西南走 5 2 km ；（ 5）向西北走 10 2 km ；（6）向东南走 10 2 km.2、飞机飞翔的行程为 700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞翔 500 km.uuur uuur3、解：如右图所示： AB 表示船速， AD 表示河水的流速，以 AB 、 AD 为邻边作 □ ABCD ，则uuurAC 表示船实质航行的速度 .uuur uuur在 Rt △ABC 中， AB 8 ， AD 2 ，uuuruuur 2uuur 2222 17所以 ACAB AD82 因为 tan CAD4 ，由计算器得 CAD 76BCAD水流方向所以，实质航行的速度是 2 17 km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为 76°.r uuur uuur r r uuur4、（1） 0； （2） AB ； （3） BA ； （4）0 ； （5）0 ； （6）CB ； （7） r0 .5、略6、不必定组成三角形 . 说明：联合向量加法的三角形法例，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段必定能组成三角形 .7、略. 8、（1）略； r r r r r r（2）当 a b 时， a b a b9、（1） r r rr r ；r 1 r（ 4）2( xr2a2b ； （ 2）10a 22b 10c （3）3a b ； y)b .r r ur r rur uur r r uruur 210、 a b 4e 1 ， a be 1 4e 2 ， 3a 2b3e 1 10e 2 .uuurr uuur r 11、如下图， OCa ， ODb ，uuur r r uuur r rDCb a ， BCa b .（第 11 题）uuur1ruuurr r uuur 1 r r uuur 3 r12、 AEb ， BCb a ， DE (b a) ， DBa ，44 1 uuuur4uuur3ruuur1 r r uuur 1 r rEC b ， DN8 (b a) ， AN 4 AM (ab) .4813、证明：在ABC 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点，所以 EF //AC 且EF 1AC ，（第 12 题）Guuur 1 uuur2D即 EF 2 AC ；1 uuuruuur同理， HG AC ，H2 uuur uuur所以 EFHG .E习题 B 组（P92） A（第 13 题）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地 1400 km.乙2、不必定相等，能够考证在 r ra,b 不共线时它们不相等 .uuuur uuur uuuuruuur 1 uuur uuuur 1 uuur3、证明：因为 MN AN AM ，而 AN3 AC ， AMAB ，1 uuur1 uuur1 uuur 3uuuur1 uuur uuur所以 MN3 AC3 AB 3 ( AC AB) 3 BC .甲4、（ 1）四边形 ABCD 为平行四边形，证略（第 1 题）（ 2）四边形 ABCD 为梯形 .Cuuur 1 uuur证明：∵ AD BC ，3∴ AD//BC 且 AD BC∴四边形 ABCD 为梯形 .DCFB丙BA（ 3）四边形 ABCD 为菱形 .（第 4 题 (2)）uuur uuurB证明：∵ AB DC ，∴ AB/ /DC 且 AB DC C A∴四边形 ABCD 为平行四边形uuur uuurD又 AB AD（第 4题 (3)）∴四边形 ABCD 为菱形.M5、（ 1）经过作图能够发现四边形ABCD 为平行四边形.uuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：因为 OA OB BA，OD OC CDuuur uuur uuur uuur A D而OA OC OB ODuuur uuur uuur uuur B C 所以 OA OB OD OCuuur uuurO所以 BA CD ，即AB∥CD.所以，四边形 ABCD 为平行四边形.（第 5题）2．3 平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）r r r r r r r r1、（ 1） a b(3,6) ， a b(7,2) ；（ 2） a b(1,11)， a b(7,5)；r r r r(4,6) ；r r r r(3,4) .（ 3） a b(0,0) ， a b（4） a b(3, 4) ， a b r r r r(12,5) .2、 2a 4b( 6,8) ， 4a3buuur(3, 4)uuur( 3,4) ；uuur(9,1)uuur(9,1)3、（ 1） AB， BA（2） AB， BA；uuur(0, 2)uuur(0,2)uuur uuur(5,0)（3） AB， BA；（4） AB(5,0) ， BA4、AB∥CD .uuur uuur(1,uuur uuur证明： AB(1, 1) ， CD1) ，所以 ABCD.所以AB∥CD .5、（1）(3, 2)；（ 2） (1,4) ；（3）(4,5) .6、(10,1)或(14,1)33uuur3uuur uuur3 uuur7、解：设 P( x, y) ，由点P在线段AB的延伸线上，且AP2PB ，得 AP2PBuuur uuur( x, y) (2,3)( x(4,3)(x, y)(4x,3y) AP2, y 3) ， PB3x23(4x)∴ ( x2, y3)x, 3 y)∴2(43( 32y3y)2x 8 ∴，所以点 P 的坐标为 (8, 15) .y15习题A 组（P101）1、（ 1） ( 2,1) ；（ 2） (0,8) ；（ 3） (1,2) .说明：解题时可设 B(x, y) ，利用向量坐标的定义解题 .uur uur uur 2、 F 1 F 2 F 3(8,0)uuur ( 1, uuur (53,6 (1)) (2,7)3、解法一： OA 2)，BCuuuruuur uuur uuuruuur uuur uuur (1,5) .所以点 D 的坐而 ADBC ，ODOAADOA BC标为 (1,5) .uuur ( x( 1), y ( 2)) ( x 1, y2) ，解法二：设 D( x, y) ，则 AD uuur (5 3,6 ( 1)) (2,7)BCuuur uuur1 2，解得点 D 的坐标为 (1,5) .由 ADBC 可得， xy 2 7uuur uuur2,4) .4、解： OA (1,1)， AB (uuur 1 uuuruuuruuuruuur1 uuur(1, 2) .ACAB ( 1,2) ， AD2 AB( 4,8) ， AE2AB2uuur uuur uuur(0,3) ，所以，点 C 的坐标为 (0,3) ； OC OA ACuuur uuur uuur ( 3,9) ，所以，点 D 的坐标为 (3,9)OD OA AD；uuur uuur uuur(2, 1) ，所以，点 E 的坐标为 (2,1) .OE OA AE r r (2,3)(x,6)，所以23，解得 x 4 .5、由向量 a,b 共线得x 6uuur (4, 4) uuur ( 8,uuur uuur uuuruuur 6、 AB ， CD 8)，CD 2AB ，所以 AB 与CD 共线 .uuuruuur(2, 4) ，所以点 A 的坐标为 (2, 4) ；7、 OA2OAuuur uuur ( 3,9)B 的坐标为( 3,9)OB 3OB ，所以点；故uuuur( 3,9) (2, 4) ( 5,5)A B 习题B 组（P101）uuur (1,2)uuur (3,3) . 1、 OA ， AB当 tuuur uuur uuur uuur(4,5) ，所以 P(4,5) ； 1时， OP OA AB OB当 t1 uuur uuur1 uuur(1,2) 3 35 7 ) ，所以 5 , 7时， OPOAAB( , ) ( , P( ) ；222 2 2 2 2 2uuur uuuruuur( 5, 4) ，所以 P( 5, 4)；当 t2时， OP OA 2AB(1,2) (6,6) 当 tuuur uuur uuur (7,8) ，所以 P(7,8) .2时， OP OA 2 AB (1,2) (6,6)uuur ( 4, 6) uuur uuur uuur2、（1）因为 AB ， AC (1,1.5) ，所以 AB4AC ，所以 A 、B 、C 三 点共线；uuuruuuruuur uuur（ 2）因为 PQ(1.5,2)，PR(6, 8) ，所以 PR 4PQ ，所以 P 、Q 、R 三点共线；uuuruuur( 8,( 1, uuur uuur（ 3）因为 EF4) ，EG 0.5) ，所以 EF 8EG ，所以 E 、F 、G三点共线 .uruur r ur uur3、证明：假定10 ，则由 1 e 12 e 2 0 ，得 e 12e 2 .1ur uurur uur 是平面内的一组基底矛盾 ,所以 e 1 ,e 2 是共线向量，与已知 e 1,e 2 所以假定错误，10 .同理 2 0 .综上 120 .uuuruuur ur uur4、（1） OP19 .（ 2）关于随意愿量 OP xe 1 ye 2 ， x, y 都是独一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理 .2．4 平面向量的数目积 练习（P106）ur rur r ur r 8 6124 .1、 p q p q cos p, q2r rr rABC 为直角三角形 .2、当 a b 0 时，ABC 为钝角三角形；当 a b 0 时，3、投影分别为 3 2 ， 0， 3 2 . 图略 练习（P107）r( 3)2 42r 52 22r r35427 .1、 a 5 ， b29 ， a br rr r rrr r rr r49 .2、 a b8 ， (a b)(a b)7 ， a (b c) 0 ， (a b)2r r rr74，88 . 3、 a b 1， a13 ， b习题 A 组（P108）r r r rr 2 r r r 2r r25 12 3.1、 a b6 3 ， (a b)2 a2a b b25 12 3 ， a buuur uuuruuur uuur 20 .2、 BC 与 CA 的夹角为 120°， BC CAr rr 2 r r r 2r rr 2 r r r 2 35 .3、 a ba 2ab b23 ， a ba 2ab br r4、证法一：设 a 与 b 的夹角为 .（ 1）当 0 时，等式明显建立；（ 2）当r r rr时， a 与 b ， a 与 b 的夹角都为 ，所以( r r r r r ra) b a b cosa b cos r rr r( a b)a b cosr r r r r r a ( b)ab cosa b cosr rr r r r所以 ( a) b(a b) a ( b) ；（ 3）当r r r r180时， a 与 b ， a 与 b 的夹角都为 ，则 (r r r r ) r r a) b a b cos(180 a b cosr r r r r r ( a b)a b cosa b cosr r r r )r r a ( b)ab cos(180a b cosr rr r r r 所以 ( a) b(a b) a ( b) ；综上所述，等式建立 .r r证法二：设 a (x 1, y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，r r那么 ( a) b ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) x 1 x 2 y 1 y 2 r r( a b) ( x 1 , y 1 ) ( x 2, y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2r r a ( b) (x 1, y 1 ) ( x 2 , y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2所以 (r rr r r ra) b (a b)a ( b) ；5、（ 1）直角三角形， B 为直角 .uuur( 1, 4)(5, 2) ( 6, 6)uuur(3, 4)(5, 2) ( 2, 2)证明：∵ BA ， BCuuur uuur 6 ( 2) ( 6)2 0∴ BA BCuuur uuur B 为直角，ABC 为直角三角形∴ BABC ， （ 2）直角三角形， A 为直角uuur (19,4) ( 2, 3) (21,7)uuur ( 1, 6) ( 2,3) (1, 3)证明：∵ AB ， ACuuur uuur21 1 7 ( 3) 0∴ AB ACuuur uuur A 为直角，ABC 为直角三角形∴ ABAC ，（ 3）直角三角形， B 为直角uuuruuur证明：∵ BA (2,5) (5, 2)( 3,3) ， BC(10,7) (5, 2) (5,5)uuur uuur 3 5 3 5 0∴BA BCuuur uuur B 为直角，ABC 为直角三角形∴ BABC ， 6、 135 . 7、120 .r r r r r 2 r r r 2 r r 6 ，(2a 3b)(2 a b)4a 4a b 3b 61 ，于是可得 a br r 1cosa b，所以 120 .r r2a b8、 cos23 ， 55 .40uuuruuur9、证明：∵ AB(5, 2) (1,0) (4, 2) ， BC(8, 4)(5, 2) (3,6) ，uuur(8, 4) (4,6) (4, 2)DCuuur uuur uuur uuur 4 3 ( 2) 6 0∴ AB DC ，AB BC∴ A, B,C , D 为极点的四边形是矩形 .r( x, y) ，10、解：设 ax 2y 2 9x 3 5x 3 5则y ，解得6 5 ，或 5 .x2y5 y6 55 5rr 3 5 , 6 5).于是 a (3 5 , 6 5) 或 a (5 55 5r r11、解：设与 a 垂直的单位向量 e (x, y) ，则 x2y 21x5或 x5，解得 5 5 . 4x2 y 0 y2 5 2 55 y 5r 5 ,r 5,2 5). 于是 e (2 5) 或 e (5555习题 B 组（P108）r r r r r rr rr r rr r r 1、证法一： a b a ca b a ca (b c)a(b c)rr r证法二：设 a( x 1 , y 1) ， b (x 2 , y 2 ) ， c ( x 3 , y 3 ) .r r r rr r r 先证 a b a ca(b c)r rr ra b x 1 x 2y 1 y 2 ， a c x 1 x 3 y 1 y 3r r r r由a b a c得x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 3，即x 1( x 2 x 3 ) y 1 ( y 2y 3 ) 0r rr r r而 b c ( x 2 x 3 , y 2y 3 ) ，所以 a (b c) 0rr r r r r r 再证 a(b c)a b a cr r r由 a (b c)0 得 x 1 (x 2x 3 ) y 1 ( y 2 y 3 )0 ，r rr r 即 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 3 ，所以 a ba cuuur uuur2、 cos AOBOA OB cos cos sinsin .uuur uuurOA OBr r (c, d) .3、证明：结构向量 u (a,b) ， vr r r r r r，所以 acbda 2b 2c 2d 2 cos r ru v u v cos u,vu, v∴ (ac bd )2 (a 2 b 2 )(c 2d 2 ) cos 2 r r ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 )u, vuuur uuur 4、 AB AC 的值只与弦 AB 的长相关，与圆的半径没关 .C证明：取 AB 的中点 M ，连结 CM ，则 CMuuuur 1 uuurAB，AM AB2uuuuruuur uuur uuur uuurBAC AM又AB AC AB AC cos BAC ，而uuurAC uuur uuur uuur uuuur1uuur 2所以 AB AC AB AM2ABuuur uuur 2uuur 25、（ 1）勾股定理：Rt ABC中，C902，则 CA CB ABuuur uuur uuur证明：∵ AB CB CAuuur 2uuur uuur uuur 2uuur uuur uuur 2∴ AB(CB CA)2CB2CA CB CA .uuur uuur由 C 90 ，有 CA CB，于是CA CB 0uuur 2uuur2uuur2∴ CA CB AB（2）菱形ABCD中，求证：AC BDuuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：∵ AC AB AD， DB AB AD ,uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2uuur 2∴ AC DB (AB AD) (AB AD)AB AD .∵四边形 ABCD 为菱形，∴ ABuuur 2uuur 2 AD ，所以AB AD0uuur uuurBD∴ AC DB 0，所以AC（3）长方形ABCD中，求证：AC BDuuur uuur 证明：∵ 四边形 ABCD 为长方形，所以 AB0AD ，所以AB ADuuur 2uuur uuur uuur 2uuur 2uuur uuur uuur 2.∴ AB2AB AD AD AB2AB AD ADuuur uuur uuur uuur uuur2uuur2BD ∴ (AB AD )2 (AB AD )2，所以 AC BD，所以 AC （4）正方形的对角线垂直均分. 综合以上（ 2）（ 3）的证明即可 .2．5 平面向量应用举例习题 A 组（P113）1、解：设 P(x, y) ， R( x1 , y1)uuur uuur则 RA(1,0)(x1, y1 )(1x1,y1 ) ，AP(x, y)(1,0)( x1,0)uuur uuurx1,y1)2( x1, y) ，即x12x3由 RA2AP 得(1y12y代入直线 l 的方程得 y 2x . 所以，点 P 的轨迹方程为 y2x .A2、解：（1）易知， OFD ∽ OBC ， DF1BC ,2BF .2DF所以 BOuuur uuur 32 uuurr 2 1 r rr1rrOuuurAOBOBABF a3 ( ba)a(a b)uuurr323BCr E（2）因为 AE1(ab)2（第 2 题） uuur 2 uuurAO 所以 AOAE ，所以 A,O, E 三点共线，并且23OE同理可知：BO2,CO2 ，所以AOBO CO 2r uur uurOFODOEOFOD3、解：（1） v v B v A( 2,7) ；uurr uurrv v A 13 . （2） v 在 v A 方向上的投影为uurv A5（第 4题）uuruur ur ur uur4、解：设 F 1 ， F 2 的协力为 F ， F 与 F 1 的夹角为 ，ur uur uur uur则 F 3 1， 30 ； F 3 3 1 ， F 3 与 F 1 的夹角为 150°. 习题 B 组（P113）uuruuruur1、解：设 v 0 在水平方向的速度大小为v x ，竖直方向的速度的大小为v y ，uur uur uur uursin .则 v x v 0 cos ， v y v 0设 在 时 刻 t时 的 上 升 高 度 为 h ， 抛 掷 距 离 为 s， 则uur1gt,( g 为重力加快度 )hv 0 t sinuur2sv 0 t cosuur 2 uur 2v 0 sin2v 0 sin 2所以，最大高度为，最大扔掷距离为g.2guruur r uur r，行驶距离为 d .2、解：设 v 1 与 v 2 的夹角为 ，合速度为 v ， v 2 与 v 的夹角为 ur r则 sin v 1 sin 10sin ， d 0.5 v . d 1 .r r sin20sin ∴ r 20sinv v v所以当90 ，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短 .3、（ 1） (0, 1)uuur( x 1, y 2) . uuur2 2) .解：设 P( x, y) ，则 APAB(2,uuuruuur 7 将 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转到 AP ，相当于沿逆时针方向旋转到44uuur AP ，uuur7 2 7 7 2 7 (1,3)于是 AP( 2 cos2 sin, 2 sin2 cos )4444所以x1 1，解得 x0, y1y233（ 2） y2 xuuur后，点 P 的坐解：设曲线 C 上任一点 P 的坐标为 ( x, y) ， OP 绕 O 逆时针旋转4标为 (x , y )x x cosysin x2( x y)则44，即2yx siny cosy2y)4( x42又因为 x2y23，所以1( xy) 21( xy) 2 3 ，化简得 y32 22x第二章复习参照题 A 组（ P118）1、（ 1）√； （2）√；（3）×； （4）× .2、（1） D ；（2） B ；（3） D ；（4）C ；（5）D ；（6） B.uuur1rruuur 1 r r3、 AB(a b) ， AD 2( a b)2uuur uuur uuur uuur2 r 1r4、略解： DEBAMA MBab3 3uuur 2 r2 ruuur1 r1 rAD ab ， BC a b333 3uuur 1r1ruuuruuur 1 r 2rEFab ， FA DC ab3333uuur 1r2ruuur 2r1rCDab ， ABab33 3 3uuur r r CE abuuur (8, 8) uuur8 2 ；5、（ 1） AB ， AB（第 4题）uuur uuur( 8,8) ；uuur uuur（2） OC (2, 16) ， OD （3） OA OB 33.uuur uuur6、AB与CD共线.uuur uuur uuur uuur uuur uuur 证明：因为 AB(1, 1) ， CD(1, 1) ，所以 AB CD.所以 AB与CD 共线.7、D(2,0) .8、n 2 .9、1,0.30,cos C 410、cos A ,cos B55r ur ur r ur ur 21r ur ur11、证明：(2 n m) m2n m m 2cos600 ，所以 (2n m)m .12、 1 .r r r r1.14、cos5,cos19 13、a b13 ， a b820第二章复习参照题B组（P119）1、（1） A；（2）D；（3）B；（4）C；（5）C；（6）C；（7）D .r r r r r r2、证明：先证a b a b a b .r r r r r 2r 2r ra b(a b)2a b2a b，r r r r r2r2r ra b( a b)2a b2ab .r r r r r r r 2r 2r r因为 a b ，所以 a b0 ，于是 a b a b a b .r r r r r r再证 a b a b a b .r r r 2r r r 2r r r 2r r r 2因为 a b a2a b b， a b a2a b br r r r r r r r由 a b a b 可得 a b0 ，于是 a br r r r r r所以 a b a b a b .【几何意义是矩形的两条对角线相等】r r r ur3、证明：先证a b c dr ur r r r r r2r 2c d(a b) (a b)a br r r ur r ur又 a b，所以 c d0 ，所以 c dr ur r r再证 c d a b .r ur r ur r r r r r 2r 20（第 3题）由 c d 得 c d0，即 ( a b) (a b) a br r所以 a b【几何意义为菱形的对角线相互垂直，如图所示】uuur uuur uuuruuur 1rr uuur1r1r4、 AD AB BCCDa b ， AEa b P 3242uuur 3ruuuur 1 ruuuur uuuruuuur 1 r1 r1 r1 r r 而 EF4 a ， EM4 a ，所以 AM AEEMa b a (a b)4 2 4 25、证明：如下图，uuur uuur uuuuruuur uuuur uuur rOD OP OP ，因为 OP OPOP0 ，12 1 23 Ouuuruuuruuur所以 OP 3 OD ，OD 1uuuruuur uuurP 1P 2所以 ODOP PD11所以 OPP 1 2 30 ，同理可得OPP 1330D（第 5题）所以3 1 260 ，同理可得1 2360， 23 160 ，所以123为P PPPP PP P PPP P正三角形 .6、连结 AB.uuuur uuur r rN.由对称性可知， AB 是 SMN 的中位线， MN 2AB 2b 2a7、（ 1）实质行进速度大小为 42 (4 3) 2 8（千米／时），沿与水流方向成 60°的方向行进；（ 2）实质行进速度大小为 4 2 千米／时，MBA沿与水流方向成 90arccos 6的方向行进 .OSuuur uuuruuur uuur 3uuur uuur uuur uuur uuur （第 6题）8、解：因为 OA OBOB OC ，所以 OB (OA OC ) 0 ，所以 OB CA uuur uuur0 ， uuur uuur0 ，所以点 O 是 ABC 的垂心 .同理， OA BCOC AB9、（ 1） a 2 x a 1 y a 1 y 0 a 2 x 0 0 ； （2）垂直；（ 3）当 A 1B 2 A 2B 1 0时， l 1 ∥ l 2 ；当 A 1 A 2 B 1B 2 0时， l 1 l 2 ，夹角 的余弦 cosA 1A 2B 1B 2；A 1 2B 12A 22B 22Ax 0 By 0 C（ 4） dA 2B 2第三章 三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、 cos()coscossin sin0 cos1 sinsin .222cos(2) cos2 cossin2 sin 1 cos 0 sincos.2、解：由 cos3 , ( , ) ，得 sin 1cos 21 ( 3)24 ；525 5所以 cos()cos cossin sin 2 ( 3 ) 2 42 .4442 5 25 103、解：由 sin15 ， 是第二象限角，得 cos 1 sin 21(15 )28 ；171717所以 cos() cos cossin sin8 1 153 8 15 3 .33317 2 172344、解：由 sin2 , ( ,3) ，得 cos1 sin 21 (2 )25 ；3 23 3 又由 cos3 , (3,2 ) ，得 sin1 cos21 (3)27 .4244所以cos()cos cossin sin3 (5 ) ( 7) ( 2) 3 5 2 7 .43 4 312练习（P131）1、（ 1）6 2； （2）6 2； （3）62； （4）2 3.4442、解：由 cos3 , ( , ) ，得 sin 1 cos 21 ( 3)24 ；525 5所以 sin() sin coscos sin4 1 ( 3 ) 3 4 3 3 .3335 2 5 210 3、解：由 sin12 ， 是第三象限角，得 cos 1 sin 21( 12) 25 ；131313所以cos()cos cossinsin 3 ( 5 ) 1 (12) 5 3 12 .666213 2 1326tantan3 14、解： tan()4 2 .41 tantan 1 3 145、（ 1）1；（2）1；（3）1；（4）3 ；22（ 5）原式 = (cos34 cos26sin34 sin 26 )cos(3426 )cos601 ；2（6）原式= sin20cos70 cos20 sin70 (sin 20 cos70 cos20 sin70 ) sin901 .6、（ 1）原式 = cos cosx sinsin x cos( x) ；333（ 2）原式 = 2(3sin x1cosx)2(sin x coscosxsin) 2sin( x) ；22666（ 3）原式 = 2(2sin x2cos x) 2(sin x cos cos xsin 4) 2sin( x ) ；22 44（ 4）原式 = 2 2( 1cos x3sin x)2 2(cos3 cosx sin sin x)2 2 cos(x) .22337、解：由已知得 sin()cos cos()sin3 ，5即 sin[()]3， sin()355所以 sin3. 又 是第三象限角，5于是 cos1 sin 21 (3) 2 4 .55因此sin(5 ) sin cos 5cos sin 5( 3 )( 2 ) ( 4 )(2 ) 7 2 .444 52 5 210练习（P135）31、解：因为 812 ，所以82443sin 335 又由 cos，得 sin1 (2， tan85)5 84 4 885cos85所以 sinsin(2) 2sin cos2 (3) ( 4)24 488 85525 coscos(2) cos 2 sin 28( 4 )2 ( 3 )2 7 48 85 5 252tan82 3 3 16 24tantan(2)432 774821 (21 tan8 )42、解：由 sin()3，得 sin3，所以 cos 21 sin 21 ( 3)2 16555 25所以 cos2cos 2sin 216 ( 3) 2 725 5 253、解：由 sin2sin 且 sin0 可得 cos1 ，2又 由( 2 , )，得sin1 cos 21 ( 1 )23， 所以2 2tansin 3 ( 2) 3 .cos24、解：由tan21 ， 得 2tan1.所 以 tan 26tan1 0，所以3 1 tan 23tan3 105、（1）1sin30 1 ；（2）cos2sin2cos2 ；sin15 cos1582484 2（ 3）原式 = 1 2tan 22.51 tan45 1 ；（ 4）原式 = cos452 .2 1 tan 2 22.5 222习题A 组（P137）1、（ 1） cos(3)cos3cossin3sin0 cos( 1) sinsin；222（ 2） sin(3) sin3coscos3sin1 cos0 sincos ；222（ 3） cos() cos cos sin sin1 cos 0 sincos ；（ 4） sin( ) sin coscos sin0 cos( 1) sinsin .2、解：由 cos3,0，得 sin1 cos21 (3)24 ，55 5所以 cos() cos cos 6sinsin6 4 3 3 1 4 3 3 .65 25 2 103、解：由 sin2 , ( , ) ，得 cos1 sin 21( 2)25 ，3 233又由 cos3 , ( ,3) ，得 sin1 cos 21 ( 3) 27 ，4244所以cos() cos cossin sin5 ( 3 ) 2 ( 7 ) 3 5 2 7 .34 3 4 124、解：由 cos1 ， 是锐角，得 sin1 cos21 (1)24 3777因为 , 是锐角，所以 (0, ) ，又因 为sin( )1 cos2 ()1 (所以 coscos[( )( 11) 1 5 314 7 14 5、解：由 60150 ，得 90cos()11 ，所以1411)25 3 1414] cos()cossin()sin4 3 17230 180又由 sin(30)3，得 cos(30)1 sin 2(30)1 (3)2455 5所以 coscos[(30 ) 30 ] cos(30)cos30 sin(30)sin304 3 3 1 4 3 35 252106、（ 1）6 2 ；（2）24 6 ；（3） 2 3 .47、解：由 sin2 , (, ) ，得 cos 1 sin21 (2)25 .3233又由cos 3 ，是第三 象限角， 得4sin1cos 21 ( 3) 27 .4 4所以 cos() cos cossin sin5 ( 3 ) 2 ( 7 )3 4 3 4 3 52 712 sin() sincos cos sin2 ( 3) (5 ) ( 7 )3 4 3 46 35128、解：∵ sin A5 ,cos B3且 A, B 为 ABC 的内角13 5∴ 0 A,0 B， cos A12,sin B42135当 cos A12 时， sin( A B) sin AcosB cos Asin B 135 3 ( 12) 4 33 013 5 13565A B，不合题意，舍去∴ cos A12,sin B4135∴ cosCcos( A B)(cos AcosB sin Asin B)(123 5 4) 1613 5 13 5659、解：由 sin3 , ( , ) ，得 cos 1 sin21 (3)24 . 5255∴ tansin 3 ( 5 ) 3 . cos 5 44tantan 3 1 2∴ tan()43 21.1 tan tan1 ( )114 2tantan3 1tan()43 212 .1 tantan1 ( )4 210、解：∵ tan ,tan 是 2x 23x 7 0 的两个实数根 .∴ tantan3， tantan7 .22tantan3 1 ∴ tan( )21 tantan7.1 () 3211、解：∵ tan() 3,tan( ) 5∴ tan2tan[( )()]tan( ) tan()3 5 41 tan() tan( ) 1 3 57tan 2tan[()( )]tan() tan( ) 3511 tan() tan()1 3 5812、解：∵ BD : DC : AD2:3:6B∴ tanBD 1,tanDC 1AD3AD2D1 1tan tan∴ tan BAC tan(3 21)tantan1 111α3 2 AβC又∵ 0BAC180 ，∴ BAC45（第 12 题）13、（ 1）6 5 sin( x) ；（2） 3sin( x) ；（3） x) ；（4） 27 x) ；3 2sin(2sin(62612（5）2；（ 6） 1；（7）sin() ；（ 8） cos()；（9） 3 ； （10）22tan() .14、解：由 sin0.8,(0,) ，得 cos1 sin 21 0.820.62∴ sin22sin cos 2 0.8 0.6 0.96cos2 cos 2sin 20.620.820.2815、解：由 cos3,180270 ，得 sin1 cos 21( 3 ) 26333∴ sin 22sincos2 ( 6 ) ( 3)2 2333cos2cos 2sin 2(3 )2 ( 6 ) 2 13 3 3tan 2sin 2 2 2 (3)2 2cos2 316、解：设 sin Bsin C5，且0B 90 ，所以 cosB12 .1313∴ sin A sin(1802B) sin2 B 2sin Bcos B25 12 12013 13169cos A cos(1802B)cos2B(cos 2 Bsin 2 B)(( 12 )2 ( 5 )2 ) 11913 13169sin Atan Acos Atan 22tan 17、解： 1 tan 2120(169) 169 1192131 (1)2 3120 1193 ，tantan 21 3 7 41 . tan(2 )tan2141 tan 314718、解： cos()cossin()sin1cos[()]1，即 cos1333又( 3 ,2 ) ，所以 sin1 cos21 (1)22 2 233∴ sin 22sin cos2 ( 2 2 ) 14 23 39cos2cos 2sin 2( 1 )2( 2 2 ) 2733 9∴cos(2) cos2 cossin 2 sin7 2 4 2272 892(9 )184 44219、（1） 1 sin2；（2） cos2 ；（3） 1sin 4x ；（4） tan2 .4习题 B 组（P138）1、略.2、解：∵ tan A,tan B 是 x 的方程 x 2 p(x 1) 1 0 ，即 x 2px p 1 0 的两个实根∴ tan A tan B p ， tan A tan B p 1∴ tan C tan[(A B)]tan(A B)tan A tan B p 1 tan A tan B11 ( p 1)因为 0 C，所以 C3 .43、反响一般的规律的等式是（表述形式不独一）sin 2cos 2 (30 )sincos(30 )3 （证明略）4 此题是开放型问题，反应一般规律的等式的表述形式还能够是：sin 2 (30 ) cos 2sin(30 )cos34sin 2 (15 ) cos 2 (15 ) sin( 15 )cos(15 ) 34 sin2cos2sincos3，此中30 ，等等4思虑过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面找寻共同特色，进而作出概括 . 对认识三角函数式特色有帮助，证明过程也会促使推理能力、运算能力的提升 .4、因为 PAPP ，则 (cos() 1)2 sin 2 ()(coscos ) 2 (sinsin )21 2即 2 2cos() 2 2cos cos 2sin sin所以 cos() cos cossinsin3．2 简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略 .3、略 .4、（ 1） y1sin 4x . 最小正周期为，递加区间为 [8k , k ], k Z ，最222 82大值为 1；2（ 2） y cosx 2 . 最小正周期为 2 ，递加区间为 [2k ,22k ], k Z ，最大值为 3；（ 3） y 2sin(4 x) . 最小正周期 ， 增区 [5k , k ], k Z ，最32242 24 2大 2.A （ P143）1、（ 1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（ 3）略； （ 4）提示：用 sin 2 cos 2 取代 1，用 2sincos 取代 sin 2；（ 5）略；（ 6）提示：用 2cos 2 取代 1 cos2 ；（ 7）提示：用 2sin 2 取代 1 cos2 ，用 2cos 2 取代 1 cos2 ； （8）略.2、由已知可有 sincoscos sin1⋯⋯①， sincoscos sin1⋯⋯②23（1）②× 3－①× 2 可得 sin cos 5cos sin（2）把（ 1）所得的两 同除以 cos cos 得 tan5tan注意： 里 coscos0 含与①、②之中1. 于是 tan22tan2 (1) 4 3、由已知可解得tan221 tan 21 ( 1 ) 232tan tan1 11tan()42 141 tantan 1 ( ) 1 342∴ tan24tan()44、由已知可解得 x sin ， ycos ，于是 x 2 y 2 sin 2cos 21.5、 f ( x) 2sin(4 x) ，最小正周期是 ， 减区 [k , 7 k ], k Z .2 2423224B （P143）1、略.2、因为 76 2790 ，所以 sin76 sin(9014 ) cos14 m即 2cos 2 71 m ，得 cos7m 123、 存在 角,使22，所以23， tan(2)3 ，3tan tan又 tan tan23 ，又因 tan(2 ) 2，21 tan tan2所以 tantan tan()(1 tantan ) 33222由此可解得 tan1 ，4 ，所以.6经查验6 ，是切合题意的两锐角 .41(cos cos ), 1(sin sin)). 过M 作MM 1 垂4、线段 AB 的中点 M 的坐标为 (22直于 x 轴，交 x 轴于 M 1 ， MOM 1 1 ()1 () .y22B在 Rt OMA 中， OMOA cos2 cos2.CMA在 Rt OM 1 M 中， OM 1 OM cos MOM 1cos 2 cos ，2M 1 M OM sin MOM 1sincos .OM 1x22于是有1cos ) coscos，(cos2 221(sinsin ) sin2cos2（第 4题）25、当 x2 时， f ( ) sin 2 cos 2 1 ；当 x 4 时， f ( ) sin 4cos 4(sin 2cos 2 )2 2sin 2 cos 21 1 sin 22 ，此时有 1≤ f ( )≤1；2 2当x 6时，f ( ) sin 6cos 6(sin 2 cos 2 )33sin 2 cos 2 (sin 2 cos 2 )1 3 sin 22 ，此时有 1≤ f ( )≤1；4 4 由此猜想，当 x2k,k N 时，k11 ≤ f ( ) ≤ 126、（ 1） y 5( 3sin x4cosx) 5sin( x) ，此中 cos3,sin45 555所以， y 的最大值为 5，最小值为﹣ 5；（ 2） ya 2b 2 sin( x) ，此中 cosa ,sin a 2ba 2b 2b 2所以， y 的最大值为a 2b 2 ，最小值为a 2b 2 ；第三章复习参照题 A 组（ P146）。
高中数学必修4课后练习题、习题答案优选教学课件
还有一件有趣的事也不得不提。我的前桌坐着一个很秀气的姑娘，常常梳着一个麻花辫，说起话来总是温温柔柔的，暂且起名叫她“淑女”吧！有一天早上，我惊奇地发现她纤纤的十指，涂了黑漆漆的指甲油，她迫不及待地和班上的人炫耀了她的杰作。很不巧的是第一堂课是内科，老师教的又是“叩诊”，国字脸的女老师，用严厉的目光环顾了教室一周，最后锁定了我的前座，她冷冷地说：“来，这位同学，你上黑板给大家演示一下—叩诊的方法。” “淑女”显得有些难为情，慢腾腾地起身走到在黑板前，低下头，缓慢地伸出涂着黑色指甲油的双手，给大家表演着“叩诊”。如果老师当时没问也还好，可老师偏偏问了，“你这手怎么弄的，指甲都成这样了，怎么没上医院啊？”这一问引起全班哄堂大笑，老师感到有些莫名其妙，纳闷地问：“你们都笑什么？”不料班级最捣蛋的一个男 生出卖了她，“她涂的是黑色指甲油，不是病。”从此以后，我没见她再涂过任何颜色的指甲油。
甚至不知所措。我傻傻地站在那里，也不知道是过去一个小时，还是几个小时，人才渐渐地少了，突然间我的耳朵捕获了一串数字，是住宿费的缴费窗口传出来的，我不由得摸了一下包，心里便有了主意：先把住宿费交了，其他再说。于是，我深吸了一口气，故作镇定地交了住宿费，领了被罩和盆，就忐忑不安地住进了宿舍。 宿舍共八个人，来自不同的地方，因为都是年轻人，很快都熟络了起来。我的班主任则是一个娇小的，长得很漂亮的女老师，叫李丽。医学虽然看上枯燥，但很多东西都与我们息息相关，所以学起来也没有那么难。不论解剖课的死人骷髅头，各类人骨，还是内外科的各种病理药理，以及活体的各种器官，我都学得津津有味。可是学习的高涨的热情，无法掩盖我内心的不安，我很害怕触碰到老师的目光，怕她对我说：白XX，你不知道学费没有交吗？就这样我怀着惴惴不安的心情，熬过了整整三个月。直到有一天，李丽老师气匆匆地走进教室，用鄙夷的略带愤怒的目光注视着我时，我心虚了，低下头不敢再去看她，我心跟明镜似的。她喝道：“白XX， 王校长要见你，在二楼校长室。” 走廊里我挪着步，每走一步都觉得很沉，不知道校长会怎么批评我，或者是严惩我，害怕与紧张让我在房门前不得不倒吸了一口气，接着又闭上眼睛静等五秒钟后，我才敢扣响房门，听到里面传出：进来，我才小心翼翼地推开那扇门。我径直地站在校长的办公桌前，不敢发出一点声响。看见王校长端坐在桌前书写着什么，看见我进来，便马上收起笔，他从椅子上慢慢站起来，用惊愕的眼神上下打量着我，他严肃的目光里还带着一股寒气，仿佛瞬间就能将我冰封，我连大气都不敢出。紧接着他开始发怒了，大声呵斥道：“你，你就是XXX。”我不敢说话，只是点点头。他猛然摘下眼镜，愤怒下的眼睛突出的更加厉害，手在不停地拍打着豪华的办公桌，来压抑着他内心的烦躁，他一声高过一声地责问我：“你小小年纪，也太有主意了，这么多钱没交，竟然能瞒这么久”。我羞愧地低下了头了，
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
数学必修四答案详解第二章 平面向量2．1平面向量实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、AD =u u u r .6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r； （2）CB u u u r . 4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r； （4）89b a =r r .4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -rr ； （2）1112a -r r（3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132a b +r r ； （4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r； （3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r 而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r ， 则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是(55a=r或(55a=--r.11、解：设与ar垂直的单位向量(,)e x y=r，则221420x yx y⎧+=⎨+=⎩，解得5xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e=-r或(55e=-r.习题2.4 B组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y=r，22(,)b x y=r，33(,)c x y=r.先证()a b a c a b c⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y⋅=+r r，1313a c x x y y⋅=+r r由a b a c⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y+=+，即123123()()0x x x y y y-+-=而2323(,)b c x x y y-=--r r，所以()0a b c⋅-=r r r再证()a b c a b a c⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c⋅-=r r r得123123()()0x x x y y y-+-=，即12121313x x y y x x y y+=+，因此a b a c⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sinOA OBAOBOA OBαβαβ⋅∠==+u u u r u u u ru u u r u u u r.3、证明：构造向量(,)u a b=r，(,)v c d=r.cos,u v u v u v⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v+=<>r r ∴2222222222()()()cos,()()ac bd a b c d u v a b c d+=++<>≤++r r4、AB AC⋅u u u r u u u r的值只与弦AB的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE= 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ， 则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r 为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θu u r . 2、解：设1v u r 与2v u u r 夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-O DF E A B C （第2题） （第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r . 将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ， 于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x =- 第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r 1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r . （第4题）6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ== 第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=r r ，于是a b ⊥r r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r 所以a b =r r 【几何意义为菱形对角线互相垂直，如图所示】（第3题）（第6题）4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为千米／时，沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=； （4）d =第三章 三角恒等变换P 2（第5题）3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==； 又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β== 所以32cos()cos cos sin sin (()43βαβαβα-=+=⨯⨯-=. 练习（P131） 1、（1； （2） （3（4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）； （5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-； （6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+； （2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+； （3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-； （4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=， 即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-= 所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-. 因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<< 又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin 385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-= 2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---= 2232tan 23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--= 3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α==，所以sintan (2)cos ααα==-=4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137） 1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-； （2）33sin()sin cos 1cos 0sin cos22ππαααααα-=-=-⨯-⨯=-； （3）cos()cos cos sin 1cos 0sin cos παπαααα-=+-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===， 所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin 7α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-⨯6、（1） （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin3α==-∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===----1tan tan1142131tan tan 1()142πθπθ+-+===-⋅--⨯∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-= 由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+. 在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4） 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅=2cos50sin50cos10︒=︒⋅=︒6、（1）95； （2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π，最大值为21+；（2）()f x 在[,]22ππ-12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示三角函数式值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
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新课标人教A版数学必修四全册复习课件(共50张PPT).ppt
用公式一
锐角的三角 用公式二或 0～2π的角 函数 四或五或六 的三角函数
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”
练习
1,求值：
s i n ( 1 7 4 0 ) c o s ( 1 4 7 0 ) c o s ( 6 6 0 ) s i n 7 5 0 t a n 4 0 5
诱导公式
公式五：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
公式七：
公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) - sin
2
公式八：
sin(3 ) -cos
2
sin(3 ) cos
2
cos(3 ) sin cos(3 ) sin
2
2
记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
s in ( ) s inc o s c o ss in s in ( ) s inc o s c o ss in
tan(α +β )= tanα +tanβ 1-tanα tanβ
tan(α -β )= tanα -tanβ 1+tanα tanβ
两角和与差的正切公式的变形
t a n α + t a n β = t a n ( α + β ) ( 1 - t a n α t a n β )
4.求函 y数 sixn2的值域 coxs3
平面向量部分
向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量
向量的表示方法：
（1）几何表示法：
a
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人教版高中数学必修4课后习题答案。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.习题 A 组（P77）1、（2）.3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r 相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ；与FD u u u r 相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r ；与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r u uu r5、AD =u u u r .6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r 同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u ur 反向的也有6对；模的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r ； （2）CB u u u r .4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r .练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r .3、图略.练习（P90）1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r . 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r 与AB u u u r 反向.3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r ； （4）89b a =r r . 4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -r r ； （2）111123a b -+r r ； （3）2ya r . 6、图略. 习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ； （3）向东北走km；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r ， 所以222282217AC AB AD =+=+=u u u r u u u r u u u r因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是217km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132a b +r r ； （4）2()x y b -r . 10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r .11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r ，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r ， 34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r . 13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =， 即12EF AC =u u u r u u u r ； 同理，12HG AC =u u u r u u u r ， 所以EF HG =u u u r u u u r .习题 B 组（P92） （第11题）（第12题） （第13题） E H G F C AB1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r ， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形. 证明：∵13AD BC =u u u r u u u r ， ∴AD BC //且AD BC ≠∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形. 证明：∵AB DC =u u u r u u u r ，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r所以BA CD =u u u r u u u r ，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100） 1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r ；（第1题）（第4题(2)）（第4题(3)）（第5题）（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r .2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r .3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r ；（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u u r (,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩ ∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r . 1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u u r . (0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r ，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r ，所以，点D 的坐标为(3,9)-；(2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r ，所以，点E 的坐标为(2,1)-.5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuu r 共线.7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r ，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故 (3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r .当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r ，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r ，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r ，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r ，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r u u r . 所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r 是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r ，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r . 2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r 时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r 88θ≈︒.习题 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r .3、a b +==r r ，a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr 的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是(55a =r或(55a =--r . 11、解：设与a r 垂直的单位向量(,)e x y =r，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e =-r或(55e =-r . 习题 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，33(,)c x y =r.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y ⋅=+r r ，1313a c x x y y ⋅=+r r由a b a c⋅=⋅r r r r 得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--r r，所以()0a b c ⋅-=r r r 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c ⋅-=r r r得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sin OA OBAOB OA OB αβαβ⋅∠==+u u u r u u u r u u u r u u u r .3、证明：构造向量(,)u a b =r ，(,)v c d =r.cos ,u v u v u v ⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v +=<>r r∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++r r4、AB AC ⋅u u u r u u u r的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r（第4题）5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =,所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r（2）因为1()2AE a b =+u u u r r r所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r；（2）v r 在A v u u r方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u ru u r .4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r的夹角为θ，则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθu u r ，最大投掷距离为20sin 2v gθu u r .2、解：设1v u r 与2v u u r 的夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v vθθα==u rrr ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r .(2,22)AB =-u u u r. （第4题）将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r1133EF a b =--u u u r r r，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u ur r rCE a b =-+u u u r r r 5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r.（第4题）6、AB u u u r 与CD u u ur 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r rr r r r .再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r.由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r 由a b a b +=-r r r r可得0a b ⋅=，于是a b ⊥r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r 又a b =r r，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r.由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r（第3题）（第6题） 所以a b =r r【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形. 6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =P 2（第5题）第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=.4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()434312βαβαβα--=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3 （4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=.3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅. 5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===-所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sin tan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-； （2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin coscos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()coscos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=. 3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈， 又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+=== 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1）； （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((=⨯--⨯ =8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B == ∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ==== ∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（4）7sin()212x π-； （5； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯=2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=-15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cos sin ((3ϕϕϕ=-=-=-sin 2tan 2(3)cos 2ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-（第12题）sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin 3α==-∴1sin 22sin cos 2(3ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等 思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143）1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ； （5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略. 2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……② （1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ=注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sincos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒=2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）3±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边 （4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边9、（1）1sin 21cos2sin 2cos22)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（22，最小值为2.（第12（2）题）10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-； （2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤. 13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=， 2sin h AB α=，1cos hAC α= 所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<< 当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=，13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-， 312sin(2)sin 2cos cos2sin 444πππααα-=- 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得2sin()4πα-=.αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解之欧阳歌谷创编
第二章平面向量欧阳歌谷（2021.02.01）2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB，BA. 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB=， 2.5CD=，3EF=，22GH=4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同.习题2.1 A组（P77）1、（2）.3、与DE 相等的向量有：,AF FC；与EF相等的向量有：,BD DA；与FD相等的向量有：,CE EB.4、与a相等的向量有：,,CO QP SR；与b相等的向量有：,PM DO；与c 相等的向量有：,,DC RQ ST 5、332AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.习题2.1 B 组（P78） 1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略. 习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km； （3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =，34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM =，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形. 证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙（第1题）（第4题(2)）BCD（3）四边形ABCD 为菱形. 证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD=∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即AB ∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-；（3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-. 2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-；（3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =- 4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .（第4题(3)）（第5题）5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3- 7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=----∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-.1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-；(2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-.5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-习题2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP =（2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=.2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-=，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-. 2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=. 3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题2.4 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=-2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+ 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角 证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a b a bθ⋅==-，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得55x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 于是35(,a=或35(a =-. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420xy x y ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 于是5(,e =或5(,e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB+=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB+=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以A （第4题）220AB AD -=∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例 习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =,所以23BO BF =.（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE = 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD=== 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-；O D FE AB C（第2（2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=. 设在时刻t 时的上升高度为h，抛掷距离为s，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin dvθ=.所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,AB =-.将AB 绕点A沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2)(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=. 6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=. 10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===（第4题）11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-.再证a b a b a b +=-⇒⊥. 由于222a b a a b b+=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b ab +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111()4242AM AE EM a b a a b =+=++=+5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD =（第3题）OP 3（第6题）所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为沿与水流方向成903︒+的方向前进.8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α===；所以34cos()cos cos sin sin ()444252510πππααα-=+=-+=. 3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α===又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131） 1、（1（2（3（4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ===；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan314tan()241311tan tan4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-； （6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-. 6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+； （3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α==-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sin sin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α===，所以sintan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos884πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137） 1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-； （2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈， 又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++ 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒6、（1）； （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角 ∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+A B π+>，不合题意，舍去 ∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯.31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC ADADαβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒13、（1）)6x π+； （2）3sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47)x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9）（10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α=∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯=（第1215、解：由cos270ϕϕ=︒<<︒，得sinϕ==∴sin22sin cos2((ϕϕϕ==⨯⨯=16、解：设5sin sin13B C==，且090B︒<<︒，所以12cos13B=.∴512120sin sin(1802)sin22sin cos21313169A B B B B=︒-===⨯⨯=17、解：22122tan33tan211tan41()3βββ⨯===--，13tan tan274tan(2)1131tan tan2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯.18、解：1cos()cos sin()sin3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos3α=又3(,2)2παπ∈，所以sinα===∴1sin22sin cos2(3ααα==⨯⨯=∴7cos(2)cos2cos sin2sin(4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+；（2）cos2θ；（3）1sin44x；（4）tan2θ.习题3.1 B组（P138）1、略.2、解：∵tan,tanA B是x的方程2(1)10x p x+++=，即210x px p+++=的两个实根∴tan tanA B p+=-，tan tan1A B p⋅=+∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=.3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高. 4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x=. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Zππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2. 习题3.2 A 组（ P143）1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略；（4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ； （5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……② （1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈. 习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+=又tantan 22αβ=tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=，4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，11(2MOM β∠=-在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==.在1Rt OM M ∆中，11cos cos 2OM OM MOM αβ+=∠=11sin sin 2M M OM MOM αβ+=∠=于是有 1(cos cos )cos cos 222αβαβαβ+-+=，5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==（第4所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y第三章 复习参考题A 组（P146） 1、1665. 提示：()βαβα=+-2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2（3）2； （4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4︒-︒==；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒=2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒=sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 6、（1）95； （2）2425；（3）3±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（第12（2）（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++ sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边 （4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++=++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为2210、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图： 12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-； （2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，h 1l 1E C2sin h AB α=，1cos h AC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h . 第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=，13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 444πππααα-=- 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=. 因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++= 把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα+=，4sin()65πα+=-.又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-=4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x+++==---由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法 6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x=，AQ y=，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1xα=-，tan 1y β=-于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +=，变形可得2()2xy x y =+-于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--= 解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
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2．2 平面向量的线性运算 3．2 简单的三角恒等变换
2．3 平面向量的基本定理 及坐标表示
2．4 平面向量的数量积
复习参考题
2．5 平面向量应用举例
复习参考题
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高中数学必修4课后习题答案
第一章 三角函数
第二章平面向量
第三章三角恒等变换
1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式
1．4 三角函数的图象与 性质
1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）
1．6 三角函数模型的简 单应用
复习参考题
2．1 平面向量的实际 背景及基本概念
3．1 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
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