5 粘性流体运动的基本性质

而
2 2 0
5.1 粘性流体运动的有旋性
这样，在无旋流动的假设下，不可压缩粘性流体的基 本方程组变为速度势方程(Laplace方程)和欧拉运动方程
2 0
Du 1 f p Dt 它与不可压缩理想流体的基本方程组完全相同。现在 的问题是方程组完全相同，而在固体壁面处的边界条件却 不一样。对于不可压缩粘性流体沿固体壁面流动，应满足 无滑移条件，即 un=0 ， ut=0 ；而不可压缩理想流体，在固 体壁面处， un=0，ut一般不等于零。
（Friedman方程）
比较发现，粘性流体流动涡量方程的右侧不等 于零，即涡量不守恒。由于具有粘性，旋涡总是从 旋涡强度大的地方向旋涡强度小的地方扩散，直至 旋涡强度处处相等为止，这就是旋涡扩散现象。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
取无界静止不可压 缩粘性流体中的微小直 涡管为例，说明在质量 力有势的条件下旋涡的 扩散规律。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
在理想流体中，由于没有粘性，该微小直涡管的强度守 恒，且不会向周围流体扩散，不需要外加能量来维持流体质 点的定常圆周运动。
在粘性流体中，由于存在粘性，旋涡强度将会衰减并扩
散，要维持流体质点的定常圆周运动，就需要有外加的能量 供给微小直涡管，使其保持涡管强度Γ0。
流体在一般情况下，是不可能作无旋流动的。这 就从反面证明了粘性流体运动总是有旋的。
5.1 粘性流体运动的有旋性
此外，还可以从物理概念上来理解。对于不 可压缩粘性流体，如假设它作无旋流动，则在N-S 方程中将不出现粘性项 ν2u ，这意味着粘性将不
影响速度场与压力场，显然，这是与实际流动相
矛盾的。这从另一个侧面说明了粘性流体作无旋
F 4F C1
如果需要在η=0处， F(η)及F (η)均为有限值，则积分常 数C1应取为零。于是有 F 4F 0 积分上式得：
F C2 e
C Ω e t 式中 C Γ 0C2 。


4
C2 e

r2 4t
u2 u2 u u u u uΩ 2 2
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
N-S方程变成
对上式两端进行旋度运算，可得
u 1 u2 2 uΩ f p u t 2
从 物理角度 看：①粘性流体运动时，由于流 体与静止固体壁面的相互作用，总是会产生旋涡； ②由于流体所具有的粘性，在其运动过程中不遵 循理想流体运动时的涡量守恒规律；③由于粘性 流体运动中存在不可逆过程，流体运动的机械能 并不守恒。
因此，与非粘性流体运动相比较，粘性流体 运动具有三个方面的基本性质：运动的有旋性、 涡旋的扩散性与能量的耗散性。
Ω t1 r1 t2 t3 o r (t1< t2< t3)
涡量随空间位置的变化
Ω
r2
r3
o t ( r1 < r2 < r3 )
涡量随时间的变化
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
从旋涡扩散规律可知，当静止粘性流体中的微
小直涡管(它本身是旋转的)对周围流体起作用的一瞬 时 ( 即初始时刻 t=0) ，由于粘性与该微小直涡管相接 触处(r >0)的流体质点的速度为(uθ)t=0=u|t=0，而涡管外 各处的涡量则为零；当t >0时，在该微小直涡管作用

t=0，r >0 时： 由此可得
Γ0 C 4
u
Γ0 2r
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
将C值代入已得的结果，有
Γ0 Ω e 4t
r2 4t
r Γ0 1 e 4t u 2r
2

上两式分别为旋涡扩散规律和速度变化规律。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
5.1 粘性流体运动的有旋性
虽然流体是否具有粘性与流体运动是否有旋是从不同 的角度提出来的，但是这两者之间有一定的联系。一般说 来，粘性流体运动总是有旋的。因此，处理势流的一整套 方法不再适用于粘性流体。下面用反证法证明这一性质。 对于不可压缩粘性流体的基本方程组是 u 0 Du 1 f p 2 u Dt 当边界为静止的固体壁面时，上述方程组的边界条件为 u n 0 ， ut 0
1 u2 u 2 p u uΩ f t 2
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
根据向量分析，有
uΩ Ω u Ω u u Ω u Ω
5.1 粘性流体运动的有旋性
Navier-Stokes方程是二阶偏微分方程，加上无 旋流动条件以后，方程中的二阶偏导数项消失， 变成了一阶偏微分方程。因此，粘性流体流动的
无滑移边界条件(ut=0)就多余了。也就是说，对于
不可压缩理想流体流动的基本方程，其满足无滑
移边界条件的解一般是不存在的。或者说，粘性
运动的不可能性。
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： (1) 若流动边界为静止固体壁面，则粘性流体 运动必然有旋。
用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则连续性方程为
2 0
而粘性流体流动时静止固体壁面的边界条件为 u=0 或φ=0，因此，边界上的速度势函数φb为常数。
0， 0， z Ωr = 0， Ωθ = 0， Ωz = Ω； Ω = Ωz k
Fra Baidu bibliotek
Γ0 2r
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
由于运动的对称性和平面运动中速度u沿k方向的微商为 零，故 (u· )Ω = 0，(Ω· )u = 0 于是，在任意时刻，不可压缩粘性流体流动的涡量方程简化 成
Ω 2 Ω t 在圆柱坐标系中，上述方程可以写成
Ω Ω r t r r r 上式在形式上与有两个自变量(r，t)的经典的热传导方程相同。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
方程的初始条件为 t=0，r >0 时： Ω = 0 方程的边界条件为
设在t=0时刻外加能量突然中断，现分析 t >0时该微小直
涡管旋涡强度的扩散(衰减)情况以及旋涡的扩散规律。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
在圆柱坐标系中，初始时刻t=0且r >0处，有 Ωr = 0， Ωθ = 0， Ωz = Ω， (ur)t=0 =0，(uz)t=0 =0， u t 0 u t 0 而在t >0的任意时刻，有 ur =0，uz =0，uθ = uθ (r, t) = u (r, t)，
Ω u u Ω
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
由此可得 Ω u Ω Ω u f 2 Ω t 或者写成 DΩ Ω u f 2 Ω Dt 上式就是不可压缩粘性流体流动的涡量方程，也称为海姆霍 兹(Helmholtz)涡量方程。方程等号左侧为涡量的物质导数， 即涡量的当地变化率和迁移变化率之和；右侧第一项表示涡 量与流体微团的变形的相互作用从而导致涡量的变化 (涡量变 化率，是有速度场不均匀，涡管伸长引起的)；右侧第三项为 粘性对涡量的扩散(涡量扩散率)。
由以上方程组及其边界条件可以解出速度场u和压强场p。
5.1 粘性流体运动的有旋性
先假设流动无旋，然后证明基本方程组与边界条件相 矛盾，则可证明粘性流体流动通常是有旋流动。 如果运动是无旋的，则必存在速度势函数φ，且 u 连续性方程变成
2 0
N-S方程变成
Du 1 f p 2 Dt
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： 满足Laplace方程的函数φ称为调和函数，由调 和函数 φ 的极值原理可知， φ 在求解域内不可能有 极值，又由于流动边界为静止固体壁面，因而速 度势函数方程2φ=0只有常数解。在求解域内速度 势函数φ处处为常数，即流体的流动速度为零，流 体是静止的。这一结论与粘性流体是运动的这一 前提相矛盾，从而证明了在这种情况下粘性流体 运动必然有旋。
5.2 粘性流体运动的旋涡扩散性
流体具有粘性是旋涡产生和消失的原因， 通过涡量输运方程可以说明旋涡的扩散性。 5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
不可压缩粘性流体的运动微分方程(N-S 方程)为 Du u 1 u u f p 2 u
Dt t

根据向量分析，有
5.1 粘性流体运动的有旋性
由上述的分析可以说明，只有在粘性项 ν2u=0，且流动边界是运动的这种极个别的 情况下，粘性流体运动才可能是无旋的。 例如：①不可压缩粘性流体绕旋转圆柱 体的定常流动；②不可压缩粘性流体在两个 共轴旋转的圆柱面之间作定常流动，且两旋 转圆柱面的角速度刚好调整到使其间的流速 分布为uθ1/r的情况。
因此
r2 4t
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
现确定积分常数 C 。考虑到平面对称圆运动的条件，并 利用斯托克斯公式： 有

L
u d l Ω n dA
A
2 r 2C 4t r d d r 1 e 0 r r
2
1 u 2r 0 利用初始条件
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： (2) 若 N-S 方程中的粘性项 ν2u0 ，则粘性流 体运动必然有旋。
用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则有u=φ，于是
2 u 2 2 0
由此可见，若流动无旋，则粘性项 ν2u 必为 零。因此，若粘性项 ν2u0 ，则粘性流体运动必 有旋。
z Γ0
o
y
x 空间孤立涡线
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
设该微小直涡管位于坐标系的z轴上，其涡管强
度为 Γ0 。因为粘性流体中的直涡管相当于一微小旋
转直圆柱体，其流场为无旋流动，所以它与理想流
体内微小直涡管所诱导的速度场相同。理想流体内
微小直涡管所引起周围流体的运动是平面对称的圆
运动，即流体质点以 u Γ 的速度作定常圆周运 2r 动。
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
如果质量力有势，f = -U，则有
f U 0
涡量方程变成
DΩ Ω u 2 Ω Dt
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
0
不可压缩理想流体流动的涡量方程为
DΩ Ω u 0 Dt
r2 t 这样处理后，热传导方程就变为下列常微分方程
F F 4F F 0
或
dF 4 F d 0 F 4 F
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
解得：
高等流体力学
5 粘性流体运动 的基本性质
5 粘性流体运动的基本性质
粘性流体的运动特征与理想流体运动存 在着巨大的差别。 从数学角度 看，N-S方程与Euler方程的 阶数不同，前者为二阶非线性偏微分方程， 后者为一阶非线性偏微分方程，这个差别导 致所要求的定解条件的个数以及解法不同。
5 粘性流体运动的基本性质
t0，r 时： Ω = 0
求解热传导方程的方法很多，现采用相似变换法进行求 解。相似变换法：引进由变量组合成的相似变量，将偏微分 方程化成常微分方程进行求解。这种方法能使变量数目减少 一个或更多，它在流体力学和传热学中应用较多。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
引进无量纲涡量函数F(η)，令 Γ0 Ω F t 式中η(r,t)是无量纲自变量：