5 粘性流体运动的基本性质
流体的力学性质
r r r r pn n x px n y p y n z pz
z
p y
D
p x
r r r r p x ip xx jp xy kp xz r r r r p y ip yx jp yy kp yz r r r r p z ip zx jp zy kp zz
1.1
流体的易变形性和粘性
二、流体的粘性：
粘性：处于连续变形过程中的流体（处于运动状态） 具有抵抗剪切变形的能力，这种性质称为粘性。 我们感兴趣的是流体在运动过程中所受到的力，以 及这个力与流体变形之间的关系 — 粘性力。
粘性力 粘性摩擦力 物体的力作用在流体上， 使流体变形；流体对物体表现出粘性摩擦力
＝（p,T）＝（T）
气体和液体的粘性系数随温度的变化规律并不一样：
当温度升高时，液体粘性系数下降
气体粘性系数升高
气体和液体的粘性随温度的变化：
• 引起气体粘性的主要因素是分子之间的动量交换， 温度升高，交换增强，粘性升高； • 引起液体粘性的主要因素是分子之间的（内聚力）， 温度升高，内聚力（分子之间的吸引力）减小，粘性 下降
（3）、声速：
p EV a
a 水 1450 m / s
气体的可压缩性：
气体的可压缩性与液体不一样，其值与压缩过程有关。
等温过程：
dp
d
p
EV p
等熵过程：
dp
d
p
EV p
不可压缩流体：
V 0
或者
EV
的流体
1.3
液体的表面张力
1. 表面张力 （surface tension）：
流体力学5.4 粘性流体运动的一般性质
所以，无旋运动速度场的解只能满足理想流体的边界条 件，无法满足粘性流体的边界条件。即同时满足N-S方 程和无滑移条件的无旋运动不存在，所以粘性流体流动 一定是有旋的。
5.4.2粘性流动的能量耗散性
流体力学第五章
粘性流体运动时，部分机械能转化为热能的现象称为机 械能的耗散性，这部分机械能用于克服粘性力做功。单 位体积内耗散的动能由耗散函数表示
有限体积内耗散能量为 E＝d
5.4.3粘性流动的旋涡扩散性
流体力学第五章
在理想流体中，无旋运动及有旋运动都是大量存在的。 而粘性流体则都是有旋运动。
在粘性流体中存在着旋涡的扩散现象。即旋涡强的地方 向旋涡弱的地方输送涡量。直至涡量相等为止。
流体力学第五章
第五章 粘性流体动力学
流体力学第五章
5.4 粘性流体运动的一般性质
5.4.1粘性流动的有旋性
流体力学第五章
在理想流体中，无旋运动及有旋运动都是大量存在的。
(无旋)有势、正压，初始无旋，则一直无旋；定常流动， 某截面无旋，则整个流动无旋。 (有旋)无势或斜压，流 动有旋，气象学中大量存在。
在不可压缩粘性流体中，情形就不同了。
V 0
dV dt
F
1
p
若流动为无旋，则
ห้องสมุดไป่ตู้
V 0
dV dt
F
1
p
可见无旋运动的速度场同时满足欧拉方程和N-S方程。
流体力学第五章
考虑边界条件
理想流体 Vn 0,Vt 0 粘性流体 Vn 0,Vt 0
粘性流体力学讲解
z
-px
、v、px、p y、pz、f
牛顿第二定律：
x -py
z
M
z
y
py
p y y
y
ma F
x
y
px
p x x
x
-pz
Dv Dt
x
y
z
f
x
y
z
p x
y
z
(p x
p x x
x)
y
z
p y
x
z
(p
y
p y y
y)
x
z
Dv Dt
fy
1
p y
2v
Dw Dt
fz
1
p z
2w
Discussion:
Dv f 1 p 2 v v
Dt
3
1. 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、压力合力和 粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。
0
du
dy
yh
dp h dx
y
h
o -h
umax x
dp 0 dx
压力梯度使速度剖面为抛物型——层流运动的特征。
7.3.2往复振荡平板引起的层流流动
平板运动引起粘性效应的扩散。 流场速度分布：
y o u=Ucos t
u U eky cosky t ——粘性扰动波。 y 2
dp 0 dx
速度分布： （Couette流动）
液体中的黏性与流体的流动特性
液体中的黏性与流体的流动特性液体是一种特殊的物质状态，它具有一定的黏性和流动性。
黏性是液体内部粒子之间相互阻碍运动的力量，而流体的流动特性则涉及了黏性与其它因素的综合影响。
本文将探讨液体中的黏性与流体的流动特性，以及对生活和工业应用的影响。
首先，我们需要了解黏性对液体流动的影响。
黏性是液体内部粒子之间相互摩擦和相互吸引的效应，这使得液体显示出一定的黏性。
黏性的大小与液体的分子间相互作用有关，分子间作用力越强，液体的黏性越大。
在液体流动中，黏性是一种阻碍粒子运动的力量，即使在外部施加了压力，黏性也会阻碍液体的流动速度。
因此，黏性越大的液体在相同的施加压力下，流动速度将会越慢。
据此，可以得出结论：黏性越大的液体，流动性越差。
这对液体的使用和应用产生了很多重要影响。
例如，在工业生产中，液体的黏性会影响液体的输送和流动过程，如果液体太黏稠，会增加能源消耗，降低生产效率。
另外，对于液体的贮存和使用也会受到影响，黏性大的液体可能会沉积在管道中，导致堵塞和漏损问题。
然而，液体流动特性不仅受黏性的影响，还受到其他因素的综合作用。
其中，温度是一个重要因素。
液体的黏性随温度变化而改变，随着温度的升高，液体的黏性会降低，流动性会增强。
这是因为温度升高会增加液体内部粒子的平均动能，减小粒子间的相互作用力，从而降低黏性。
这也是为什么在冬季用于汽车机械传动的机油黏度会增加，而在夏季会减小的原因。
此外，液体的流动性还与液体的浓度、压强和外界作用力等因素有关。
浓度的变化会改变液体内部的分子间距离和作用力，从而影响流动。
压强越大，液体分子间产生的相互作用力越小，流动性越强。
外界作用力的改变，如振动、旋转或液体受到外力推动等，也会改变液体的流动特性。
总的来说，液体中的黏性和流体的流动特性是相互关联的。
黏性越大，流动性越差，而温度、浓度、压强和外界作用力等因素会影响流动性。
在实际应用中，我们需要根据液体的特性和实际需求来选择合适的液体，优化流动条件，以最大限度地发挥液体的应用价值。
涡量输运方程
粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。
1、粘性流体运动的涡量输运方程为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。
推导过程如下：其Lamb型方程是：引入广义牛顿内摩擦定理：Lamb型方程变为：对上式两边取旋度，得到：整理后得到：这是最一般的涡量输运方程。
该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。
在这三者中，最常见的是粘性作用。
由于：（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为：这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。
（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为：张量形式为。
（3）对于二维流动，上式简化为：2、粘性流体运动的有旋性理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。
但粘性流体运动一般总是有旋的。
用反证法可说明这一点。
对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为：根据场论知识，有：代入上式，得到：如果流动无旋，则：这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。
但问题出在固壁边界上。
在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。
要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。
这说明粘性流体流动一般总是有旋的。
但也有特例。
如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。
说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。
但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。
由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。
3、粘性流体旋涡的扩散性粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。
粘性流体力学
∂n w
式中 T w 是物面上的温度。 q w 为通过单位面积传递给流体 的热量。 ∂T / ∂n 为沿物面外法线方向的温度梯度。
5.粘性流体运动的涡量传输方程
为了讨论漩涡在粘性流体中运动的性质和规律， 有必要建立涡量传输方程。涡量传输方程是从运动 方程派生出来的，便于说明粘性流体中涡旋的产生、 发展和衰减的现象。 根据数学中的场论知识，速度矢量V的随体导数 2 可写为 DV ∂V ∂V V
不可压缩粘性流体的N-S方程在柱坐标系下形式为
∂vr ∂vr vθ ∂vr vθ2 ∂vr vr 2 ∂vθ 1 ∂p 2 + vr + − + vz = fr − +ν ∇ vr − 2 − 2 ∂t ∂r r ∂θ r ∂z ρ ∂r r r ∂θ ∂vθ ∂vθ vθ ∂vθ vr vθ ∂vθ vθ 2 ∂vr 1 1 ∂p 2 + vr + + + vz = fθ − +ν ∇ vθ − 2 + 2 ∂t ∂r r ∂θ r ∂z ρ r ∂θ r r ∂θ ∂vz ∂vz vθ ∂vz ∂vz 1 ∂p + vr + + vz = fz − +ν∇2 vz ∂t ∂r r ∂θ ∂z ρ ∂z
同理，可分别计算沿y方向和z方向净流出控 制体的质量分别为 ∂ ( ρ v) δ xδ yδ zδ t
∂y ∂(ρw)
∂z
(1.2 )
δ xδ yδ zδ t
(1.3 )
Байду номын сангаас
同时，在δ t 时间内控制体内的流体质量减少 了
∂ρ - δ xδ yδ zδ t ∂t
粘性不可压缩流体运动-PPT
dt
P pI 2S
d ( )v
dt
(流体正压,外力有势)
连续性方程 N－S方程 本构方程 涡旋运动方程
3
初始条件与边界条件
(1) 初始条件:t=0时,流场中已知速度分布及压力分布
v v(x, y, z) p p(x, y, z)
(2) 边界条件:
静止固壁上:满足粘附条件 v 0 运动固壁上:满足 v流 v固 自由面上:满足 pnn p0 pn 0
2v y 2
41
边界条件
静止固壁上:满足粘附条件 u v 0 在边界层边界y=δ处,满足: u U (x)
U(x)就是边界层外部边界上外流得速度分布
42
初始条件:
t=t0时刻,已知全部区域内得速度及压力分布
u u(x, y) p p(x, y)
43
绕流区域内粘性不可压缩流体基本方程(二维) －普朗特边界层方程
p pb
pa pb
15
u 0 x 0 1 p
y
0 1 p
z 0 1 p u
x
u u(y, z) p p(x)
2u y 2
2u z 2
1
p x
16
u u(y, z) p p(x) 2u 2u 1 p
y2 z2 x
2u y 2
2u z 2
1
p x
P
P为常数
1 p P
粘性不可压缩流体运动
粘性不可压缩均质流体运动方程组
v 0
连续性方程
dv F divP
dt
运动方程
dU dt
P : S div(kgradT )
q
能量方程
P pI 2S
本构方程
第七章 粘性流体动力学基础
第七章 粘性流体动力学基础实际流体都具有粘性，而在研究粘性较小的流体的某些流动现象时，可将有粘性的实际流体近似地按无粘性的理想流体处理。
例如，粘性小的流体在大雷诺数情况下，其流速和压强分布等均与理想流体理论十分接近。
但在研究粘性小的流体的另一些问题时，与实际情况不符，如按照理想流体理论得到绕流物体的阻力为零。
产生矛盾的主要原因是未考虑实际流体所具有的粘性对流动的影响。
本章，首先建立具有粘性的实际流体运动微分方程，并介绍该方程的在特定条件下的求解。
由于固体边界对流体与固体的相互作用有重要的影响，本章后面主要介绍边界层的一些基本概念、基本原理和基本的分析方法。
§7.1 纳维—斯托克斯方程7.1.1 粘性流体的应力实际流体具有粘性，运动时会产生切应力，它的力学性质不同于理想流体，在作用面上的表面应力既有压应力，也有切应力。
在流场中任取一点M ，过该点作一垂直于z 轴的水平面，如图7-1 所示。
过M 点作用于水平面上的表面应力p n 在x 、y 、z 轴上的分量为一个垂直于水平面的压应力p zz 和两个与水平面相切的切应力τzx 、τzy 。
压应力和切应力的下标中第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力的作用方向。
显然，通过M 点在三个相互垂直的作用面上的表面应力共有九个分量，其中三个是压应力p xx 、p yy 、p zz ，六个是切应力τxy 、τxz 、τyx 、τyz 、τzx 、τzy ，将应力分量写成矩阵形式：图7-1 作用于水平面的表面应力⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ττττττzz zyzxyz yy yxxz xy xx p p p (7-1) 九个应力分量中，由于τxy =τyx 、τyz =τzy 、τzx =τxz ，粘性流体中任意一点的应力分量只有6个独立分量，即τxy 、τyz 、τzx 、p xx 、p yy 、p zz 。
7.1.2 应力形式的运动方程在粘性流体的流场中，取一以点M 为中心的微元直角六面体，其边长分别为dx 、dy 、 dz 。
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t0，r 时： Ω = 0
求解热传导方程的方法很多，现采用相似变换法进行求 解。相似变换法：引进由变量组合成的相似变量，将偏微分 方程化成常微分方程进行求解。这种方法能使变量数目减少 一个或更多，它在流体力学和传热学中应用较多。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
引进无量纲涡量函数F(η)，令 Γ0 Ω F t 式中η(r,t)是无量纲自变量：
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： (2) 若 N-S 方程中的粘性项 ν2u0 ，则粘性流 体运动必然有旋。
用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则有u=φ，于是
2 u 2 2 0
由此可见，若流动无旋，则粘性项 ν2u 必为 零。因此，若粘性项 ν2u0 ，则粘性流体运动必 有旋。
5.1 粘性流体运动的有旋性
由上述的分析可以说明，只有在粘性项 ν2u=0，且流动边界是运动的这种极个别的 情况下，粘性流体运动才可能是无旋的。 例如：①不可压缩粘性流体绕旋转圆柱 体的定常流动；②不可压缩粘性流体在两个 共轴旋转的圆柱面之间作定常流动，且两旋 转圆柱面的角速度刚好调整到使其间的流速 分布为uθ1/r的情况。
F 4F C1
如果需要在η=0处， F(η)及F (η)均为有限值，则积分常 数C1应取为零。于是有 F 4F 0 积分上式得：
F C2 e
C Ω e t 式中 C Γ 0C2 。
4
C2 e
r2 4t
5.1 粘性流体运动的有旋性
虽然流体是否具有粘性与流体运动是否有旋是从不同 的角度提出来的，但是这两者之间有一定的联系。一般说 来，粘性流体运动总是有旋的。因此，处理势流的一整套 方法不再适用于粘性流体。下面用反证法证明这一性质。 对于不可压缩粘性流体的基本方程组是 u 0 Du 1 f p 2 u Dt 当边界为静止的固体壁面时，上述方程组的边界条件为 u n 0 ， ut 0
5.1 粘性流体运动的有旋性
Navier-Stokes方程是二阶偏微分方程，加上无 旋流动条件以后，方程中的二阶偏导数项消失， 变成了一阶偏微分方程。因此，粘性流体流动的
无滑移边界条件(ut=0)就多余了。也就是说，对于
不可压缩理想流体流动的基本方程，其满足无滑
移边界条件的解一般是不存在的。或者说，粘性
0， 0， z Ωr = 0， Ωθ = 0， Ωz = Ω； Ω = Ωz k
Γ0 2r
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
由于运动的对称性和平面运动中速度u沿k方向的微商为 零，故 (u· )Ω = 0，(Ω· )u = 0 于是，在任意时刻，不可压缩粘性流体流动的涡量方程简化 成
由以上方程组及其边界条件可以解出速度场u和压强场p。
5.1 粘性流体运动的有旋性
先假设流动无旋，然后证明基本方程组与边界条件相 矛盾，则可证明粘性流体流动通常是有旋流动。 如果运动是无旋的，则必存在速度势函数φ，且 u 连续性方程变成
2 0
N-S方程变成
Du 1 f p 2 Dt
z Γ0
o
y
x 空间孤立涡线
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
设该微小直涡管位于坐标系的z轴上，其涡管强
度为 Γ0 。因为粘性流体中的直涡管相当于一微小旋
转直圆柱体，其流场为无旋流动，所以它与理想流
体内微小直涡管所诱导的速度场相同。理想流体内
微小直涡管所引起周围流体的运动是平面对称的圆
运动，即流体质点以 u Γ 的速度作定常圆周运 2r 动。
运动的不可能性。
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： (1) 若流动边界为静止固体壁面，则粘性流体 运动必然有旋。
用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则连续性方程为
2 0
而粘性流体流动时静止固体壁面的边界条件为 u=0 或φ=0，因此，边界上的速度势函数φb为常数。
Ω t1 r1 t2 t3 o r (t1< t2< t3)
涡量随空间位置的变化
Ω
r2
r3
o t ( r1 < r2 < r3 )
涡量随时间的变化
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
从旋涡扩散规律可知，当静止粘性流体中的微
小直涡管(它本身是旋转的)对周围流体起作用的一瞬 时 ( 即初始时刻 t=0) ，由于粘性与该微小直涡管相接 触处(r >0)的流体质点的速度为(uθ)t=0=u|t=0，而涡管外 各处的涡量则为零；当t >0时，在该微小直涡管作用
r2 t 这样处理后，热传导方程就变为下列常微分方程
F F 4F F 0
或
dF 4 F d 0 F 4 F
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
解得：
高等流体力学
5 粘性流体运动 的基本性质
5 粘性流体运动的基本性质
粘性流体的运动特征与理想流体运动存 在着巨大的差别。 从数学角度 看，N-S方程与Euler方程的 阶数不同，前者为二阶非线性偏微分方程， 后者为一阶非线性偏微分方程，这个差别导 致所要求的定解条件的个数以及解法不同。
5 粘性流体运动的基本性质
流体在一般情况下，是不可能作无旋流动的。这 就从反面证明了粘性流体运动总是有旋的。
5.1 粘性流体运动的有旋性
此外，还可以从物理概念上来理解。对于不 可压缩粘性流体，如假设它作无旋流动，则在N-S 方程中将不出现粘性项 ν2u ，这意味着粘性将不
影响速度场与压力场，显然，这是与实际流动相
矛盾的。这从另一个侧面说明了粘性流体作无旋
5.2 粘性流体运动的旋涡扩散性
流体具有粘性是旋涡产生和消失的原因， 通过涡量输运方程可以说明旋涡的扩散性。 5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
不可压缩粘性流体的运动微分方程(N-S 方程)为 Du u 1 u u f p 2 u
Dt t
根据向量分析，有
t=0，r >0 时： 由此可得
Γ0 C 4
u
Γ0 2r
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
将C值代入已得的结果，有
Γ0 Ω e 4t
r2 4t
r Γ0 1 e 4t u 2r
2
上两式分别为旋涡扩散规律和速度变化规律。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
如果质量力有势，f = -U，则有
f U 0
涡量方程变成
DΩ Ω u 2 Ω Dt
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
0
不可压缩理想流体流动的涡量方程为
DΩ Ω u 0 Dt
Ω 2 Ω t 在圆柱坐标系中，上述方程可以写成
Ω Ω r t r r r 上式在形式上与有两个自变量(r，t)的经典的热传导方程相同。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
方程的初始条件为 t=0，r >0 时： Ω = 0 方程的边界条件为
Ω u u Ω
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
由此可得 Ω u Ω Ω u f 2 Ω t 或者写成 DΩ Ω u f 2 Ω Dt 上式就是不可压缩粘性流体流动的涡量方程，也称为海姆霍 兹(Helmholtz)涡量方程。方程等号左侧为涡量的物质导数， 即涡量的当地变化率和迁移变化率之和；右侧第一项表示涡 量与流体微团的变形的相互作用从而导致涡量的变化 (涡量变 化率，是有速度场不均匀，涡管伸长引起的)；右侧第三项为 粘性对涡量的扩散(涡量扩散率)。
设在t=0时刻外加能量突然中断，现分析 t >0时该微小直
涡管旋涡强度的扩散(衰减)情况以及旋涡的扩散规律。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
在圆柱坐标系中，初始时刻t=0且r >0处，有 Ωr = 0， Ωθ = 0， Ωz = Ω， (ur)t=0 =0，(uz)t=0 =0， u t 0 u t 0 而在t >0的任意时刻，有 ur =0，uz =0，uθ = uθ (r, t) = u (r, t)，
而
2 2 0
5.1 粘性流体运动的有旋性
这样，在无旋流动的假设下，不可压缩粘性流体的基 本方程组变为速度势方程(Laplace方程)和欧拉运动方程
2 0
Du 1 f p Dt 它与不可压缩理想流体的基本方程组完全相同。现在 的问题是方程组完全相同，而在固体壁面处的边界条件却 不一样。对于不可压缩粘性流体沿固体壁面流动，应满足 无滑移条件，即 un=0 ， ut=0 ；而不可压缩理想流体，在固 体壁面处， un=0，ut一般不等于零。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
在理想流体中，由于没有粘性，该微小直涡管的强度守 恒，且不会向周围流体扩散，不需要外加能量来维持流体质 点的定常圆周运动。
在粘性流体中，由于存在粘性，旋涡强度将会衰减并扩
散，要维持流体质点的定常圆周运动，就需要有外加的能量 供给微小直涡管，使其保持涡管强度Γ0。
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： 满足Laplace方程的函数φ称为调和函数，由调 和函数 φ 的极值原理可知， φ 在求解域内不可能有 极值，又由于流动边界为静止固体壁面，因而速 度势函数方程2φ=0只有常数解。在求解域内速度 势函数φ处处为常数，即流体的流动速度为零，流 体是静止的。这一结论与粘性流体是运动的这一 前提相矛盾，从而证明了在这种情况下粘性流体 运动必然有旋。