(完整版)钢管下料问题

钢管下料问题

某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原

料钢管都是19m。

(1) 现在一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢管。应如何下料最节省？

(2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管

理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要(1) 中的三种钢管外，还需要10根5m的钢管。应如何下料最节省。

问题(1)分析与模型建立

首先分析1根19m的钢管切割为4m、6m、8m的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程：

4k1 6k2 8k3 19

的整数解。但要求剩余材料r 19 (4k1 6k2 8k3) 4。

容易得到所有模式见表1。

表1钢管切割模式

决策变量用X i表示按照第i种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。

以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

min z x1 x2X3 X4 X5 X6 X7

约束条件为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有

4x-| 3X22X3X6X750

6米长的钢管至少20根，有

X2 3X5 X6 2x720

8米长的钢管至少15根，有

X3 2X4 X6 15

因此模型为:

min z x-i x2 x3 x4 X5 x6 x7

4x1 3x2 2x3 x6 x7 50

x2 3x5 x6 2x7 20

s.t.

x3 2x4 x6 15

X取整,i 1,2,L ,7

解得：

x1 0,x2 12,x3 0,x4 0,x5 0, x6 15,x7 0 目标值z=27 。

即12根钢管采用切割模式2：3根4m, 1根6m,余料1m。

15根钢管采用切割模式6: 1根4m , 1根6m , 1根8m，余料1m。切割模式只采用了2

种，余料为27m，使用钢管27根。

LINGO 程序：

model:

sets:

model/1..7/:x;

endsets

min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50;

x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20;

x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i)));

end

问题( 2)模型建立

首先分析 1 根19m 的钢管切割为4m、6m、8m、5m 的钢管的模式,所有模式相当于求解不等式方程：

4k1 6k2 8k3 5k4 19

的整数解。但要求剩余材料r 19 (4k1 6k2 8k3) 4 。

利用Matlab 程序求出所有模式见表2。

求出所有模式的Matlab 程序：

number=0;

for k1=0:4

for k2=0:3

for k3=0:2

for k4=0:3

r=19-(4*k1+6*k2+8*k3+5*k4);

if(r>=0)&(r<4)

number=number+1;

fprintf('%2d %2d %2d %2d %2d %2d\n',number,k1,k2,k3,k4,r);

end

end

end

end

end

决策变量用x i表示按照第i种模式（i=1,2,…,16)切割的原料钢管的根

数。

决策目标以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

min z2

16

X i i 1

设第i种切割模式下4米长的钢管a i根，6米长的钢管b根，8米长的钢管C i根，5米长的钢管d i根。则约束条件有：

为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有

16

a i X i 50

i 1

6米长的钢管至少20根，有

16

bx 20

i 1

8米长的钢管至少15根，有

16

c i x i 15 i1

5 米长的钢管至少10 根，有

16

d i x i 10 i1

为实现最多使用3种切割模式，增设0-1变量y i,i 1,2,L ,16。

1，表示使用第当y i 0时，x i 0 ，表示不使用第i 种切割模式；当y i 1时，x i

i 种切割模式。因此有：

x i y i ，x i M .y i ，i 1,2, L ,16

其中M 足够大，如这里取100。

16

y i 3

i1

因此模型为：

16

min z x i

i1

16

a i x i 50

i1

16

b i x i 20

i1

16

c i x i 15

i1

16

d i x i 10

s.t. i 1

x i M.y i ,i 1,2,L ,16

x i y i, i 1,2,L ,16

16

y i 3

i1

x取整,i 1,2,L ,16

y 0或1,i 1,2,L ,16

M 足大

解得：

当所用钢管z 最少时，求得的解为：

x2 8,x13 10, x15 10 ，其余为0。