高中数学换元法解题案例及练习题

高中数学换元法解题案例及练习题

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替

它，从而使问题得到简化，这叫换兀法。换兀的实质是转化，关键

是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将

问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准

化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可

以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结

论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化

超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题

中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元

又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用

一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发

现。例如解不等式：4x+ 2x- 2> 0,先变形为设2x= t (t>0 )，而变

为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y= x +、1 X 的值域时，易发现x € [0,1]，设x = sin 2a ,a€ [0,—]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+

y1 2 3= r2(r>0 )时，则可作三角代换x = rcos B、y = rsin B化为三角问题。

均值换元，如遇到x+ y = S形式时，设x = - + t , y = - —t等等。

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我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，

换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量

的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和口€ [0,-]。

I、再现性题组：

1. y = sinx • cosx + sinx+cosx 的最大值是__________ 。

2. 设f(x 2+ 1) = log a (4 —x 4) ( a>1 ),贝U f(x)的值域是

o

3. 已知数列｛a n｝中，a i = —1, a. i • a. = a. 1 —a.，则数列通项a.=

4. 设实数x、y满足x 2+ 2xy —1 = 0，贝U x + y的取值范围是

。

5. 方程匚盖=3的解是。

1 3 ---------------------------------

6. 不等式log 2 (2 x—1) • log 2 (2 x 1—2) 〈2 的解集是

。

2 【简解】1小题：设sMx+cosx = t € [ — 2 , 2 ],则y =》+1 — 1 , 对称轴t =—1,当t = .2 , y max =丄+丄；

2

2 小题：设x2+ 1 = t (t > 1)，贝U f(t) = log a[-(t-1) 2+ 4]，所以

值域为(一a ,log a4];

3小题：已知变形为——丄=一 1,设b n =丄,则b 1 = — 1,b n = — 1 a n 1 a n a n + (n — 1)(-1) = — n ,所以 a n =—丄;

n

4 小题：设 x + y = k ,则 x 2 — 2kx + 1 = 0, △= 4k 2 — 4>0,所以 k > 1 或 k <— 1;

5 小题：设 3x = y ，贝》3y 2 + 2y — 1 = 0,解得 y =-，所以 x =— 1;

3

6 小题：设 log 2(2 x — 1) = y ,则 y(y + 1)<2，解得-2

€ (log 2 Jog 23)。

H 、示范性题组：

例 1.实数 x 、y 满足 4x 2 — 5xy + 4y 2 = 5 (①式)，设 S = x 2 +

y 2，求+丄的值。(93年全国高中数学联赛题)

S

max

S

min

【分析】 由S = x 2 + y 2联想到cos 2 a + sin 2 a = 1,于是进行三角换 元，设X -SCOS a

代入①式求-max 和-尬山的值。

y VS sin a

【解】设x 律cos

"代入①式得： 4S — 5S • sin a cos a = 5 y VS sin a

此种解法后面求 S 最大值和最小值，还可由 sin2 a= 黑10的有界

S

性而求，即解不等式：I d^°| W 1。这种方法是求函数值域时经常用

S

到的“有界法”。

解得S =

10 8 5sin 2 a

-1 < sin2 a< 1

3 w 8 — 5sin2 aW 13

10

13

8 5si n

10 3

1

S

max

S min

-+

10

13

16 8

10

10

5

【另解】由S= x2+ y2，设x2= S +1 , y2= | -1 , t € [ - | , S], 则xy = ± j善-12代入①式得：4I± 5厲-t2 =5,

移项平方整理得100t 2+39S2—160S+ 100 = 0。

••• 39S 2- 160S+ 100< 0 解得：10< S< 10

13 3

. 1 , 1 3 , 13 16 8

… -- + -- =——+——=——=—

S max S min 10 10 10 5

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条

件S= x2+ y2与三角公式cos2a + sin 2a= 1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S= x2+ y2而按照均值换元的思路，设x2= S+1、y2= S-1，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到

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了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变

量x、y时，可以设x= a+ b, y = a- b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x = a + b, y = a-b,代入①式整理得

3a2 + 13b2= 5，求得a2 €【°' 3]'所以S= (a― b)2 + (a + b)2= 2(a2 + b2) = 10+

20a2€ [ ，再求—+ 丄的值。

13 13 13 3 S max S min

例2. △ ABC的三个内角A、B、C满足: A+ C= 2B,

cos A

1 cosC

-—^，求cos丄卫的值

cosB 2

(96年全国理)