02-72.1 重极限的存在性判定pdf

证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在. 证 由推论2知, 只须证明当X 沿不同的线路
趋于(0,0)时, 函数f (x, y)对应的极限也 不同即可.
数学分析
考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.
如图1
对应函数值
y
xy f ( x, y) x2 y2
在 (0, 0)的极限不存在 .
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于 (0, 0)的情形.
数学分析
例2
设f
(
x,
y)
1，0 y x 2 , 0，其余部分.
x
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,
如图 2 所示, 当 (x, y)沿任何
直线趋于原点时,
相应的 f ( x, y)
都趋于 0, 但这并
不表明此函数在
不存在极限． 解 利用定理 12.5 的推论2, 找出两条路径,
使得
数学分析
( x, y) (0, 0) 时, 得到两个相异的极限．
第一条路径简单地取 y x, 此时有
xy
x2
lim
lim 0.
( x , y )(0,0) x y x0 2x
( y x)
第二条路径可考虑能使 f ( x, y) xy xy
数学分析
推论3
极限 lim f ( P) P P0 PD
D 中任一满足
存在的充要条件是： Pn P0
且 lim Pn P0的点列{Pn}, n
它所对应的函数列{ f (Pn)}
注 定理13.5的证明对推论3 也适用
数学分析
例1
设f (x, y) =
xy x2 y2
,
当x2
y2
0时,
0, 当x2 y2 0时,
第七单元 Ch13 多元函数的极限与连续
7.2.1 重极限存在性判定
数学分析
下述定理及其推论相当于一元函数极限的
海涅归结原则(而且证明方法也相类似).
定理13.5
lim f (P) A 的充要条件是：
PP0 PD
对于 D 的任一子集 E,
只要
P0
仍是 E 的聚点,就有
lim
P P0
f(
P)
A.
PE
数学分析
必要性显然成立.只需证充分性，若 lim f (P) A, PP0 PD
则必存在0>0和各项互异的点列Pn,
使得
1 PnU(P0, n)
D,P n
P, 0
而且 f (Pn) A 0.令E Pn,
令E Pn,则P0 是E的聚点
但lim f (Pn) A,矛盾. n
数学分析
若 E1 D , P0 是 E1 的聚点,
( x, y) (0, 0)
图2
数学分析
因为当 (x, y) 沿抛物线 y kx2 (0 k 1) 趋于点O 时, f ( x, y) 将趋于1. 所以极限 lim f ( x, y) 不存在.
( x, y)(0,0)
例3 讨论 f ( x, y) x y 在 ( x, y) (0, 0) 时 xy
的分子与分母化为同阶的无穷小,
导致极限不为 0.
数学分析
按此思路的一种有效选择是取 y x2 x.
此时得到
(
x
, lyi)m(0,0)
xy x
y
lim
x0
x(x 2 x2
x)
( y x2 x)
= lim( x 1) 1,
x0
这就达到了预期的目的．
数学分析
设 D 为二元函数 f 的定义域，P0( x0 , y0 )是 D的一
使 lim f (P)
PP0 PE1
则 lim f ( P) 也不存在． P P0 PD
若E1 , E2 D, P0 是它们的聚点，使得
lim f ( P) A1与 lim f (P) A2
P P0
P P0
PE1
PE2
都存在，但 A1 A2, 则 lim f ( P)不存在． P P0 PD
P P0
P P0
数学分析
例4 设 f ( x, y) 1 2x2 3 y2
. 证明
lim f ( x, y) .
( x, y)(0,0)
证 此函数的图象见图3
因 2 x2 3 y2 4( x2 y2 ), 故对M 0,
只需取
1 ,
2M
当 0 x2 y2 1
2M
图3
数学分析
时，就有
2x2 3 y2 1 , 即
1
M.
M
2x2 3 y2
这就证得结果．
二元函数极限的四则法则与一元函数
极限相仿, 特别把 f ( x, y) 看作点函数
f (P)
相同,
这里不再一一叙述.
数学分析
kx2
x2 (1 k 2 )
o
x
=k,
1 k2
( x, y) (0, 0)
图1
数学分析
从而当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时,
函数极限
lim f ( x, y) lim kx2
x0 ykx
x0 x2 1 k 2
k 1 k2
当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y)
一个聚点. 若 M 0, 0, 使得
P( x, y) U (P ;) D, 都有f ( x, y) M , 0
则称f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 ,
记作
lim f (x, y) ,
( x, y)( x0 , y0 )
或 lim f (P) . PP0
仿此可类似地定义：
lim f ( P) 与 lim f ( P) .