2013-2014(1)期中考试试卷答案(高等数学)

即
f
'( )
f ( ) 1
dy dx
dt dt
1
1 1 t 2t
2
t 2
1 t2
d2y dx 2
d dx
(t ) 2
d dt
(
t 2
)
dx dt
1
t 4t
2
9、解：
y(20) (sin 3x x2 )(20) (sin 3x)(20) x2 C210 (sin 3x)(19) (x2 )'C220 (sin 3x)(18) (x2 )''
f 0
(0)
lim
x0
sin ax x
a
f
'
(0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
lim
x0
ex 1 x
lim
x0
x x
1
a 1
三、应用题
解：设水面直径为 r
，则
2r 5
h 15
r
h 6
，V
1 3
r2h
1 3
(
h 6
)
2
h
h3 108
四、证明题
dV dt
3 h2 108
dh ， dt
dV dt
h6
3 h2 108
dh dt
h6
6
证明：设 F (x) (1 x) f (x) ，则 F (x) 在[1,2]连续， (1,2) 可导，且
F (1) 0 ， F (2) f (2) 0 ，所以至少存在一点 (1,2) ，使得
F '( ) f ( ) (1 ) f '( ) 0
320
sin(3x
20 2
)x2
20
319
sin(3x
19 2
)
2x
20
19 2
318
sin(3x
18 2
)
2
10、解： f (x)在x 1可导， f (x)在x 1连续
lim (ex b) lim sin ax ，即 b 1 0 ， b 1
x0
x0
f
'
(0)
lim
x0
f
(x) x
参考答案
一、填空题
1、 x2 x 2 2、 (1)n1(n 1)!
5、 2
6、 x
3、2 7、 a 0,b, c任意
4、
(1)n1 (1
(n x)
n
1)!
8、
2
x
x
1 2
(ln
x
1)
二、解答题
1、解：
lim
x1
5x 4 x 1
x lim
4(x 1)
x1 (x 1)( 5x 4
2 x)
lim
x3
x3 x2 9
lim
x3
x
1
3
1 6
x 3是可去间断点
7、解：当 x 0 时， y 0
方程 x e y cos(xy) 两边对 x 求导，
1 e y y' sin(xy) ( y xy') y'(0) 1
法线斜率为 k 1，法线方程为 y x 。
8、解： dy dx
2
e
2
1
3、解：
lim(
x1
x
x 1
1 ln x
)
lim
x1
x ln x (x 1)
x 1 ln x
lim
x1
ln
ln x
x 1
1 x
lim
x1
1 x
x
1 x2
1 2
4、解：
y'
ecos2 1 x
2 cBaidu Nhomakorabeas
1 x
( sin
1 x
)
(
1 x2
)
1 x2
sin
2 x
ecos2 1 x
dy
1 x2
sin
2
e
cos 2
1 x
dx
x
5、解：， dy dx
f '(tan x) sec2
x
d2y dx 2
f
''(tan x) sec2
x sec2
x
f
' (tan
x) 2 sec x sec x tan
x
6、解：间断点 x 3,3
lim x3
x3 x2 9
lim
x3
x
1
3
x 3是无穷间断点
2、解： lim ( 2 arctan x)x
lim (1
2
arctan
x
1)
2
1 arctan
( 2 x1
arctan
x 1)
x
e lim ( 2 arctan x1) x x
x
x
e e 2 arctan x1
lim
x
1
x
21
lim
x
1 x 1
x2
2
e2
lim x2 x1 x