高中数学必修二直线与平面平行判定与性质

高中数学必修二直线与平面平行判定与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2. 2《直线、平面平行的判定及其性质》测试第1题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证：a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βγααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第2题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ） Ａ．a b //Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面答案：Ａ．第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形．1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第5题. 如图，在正方形ABCD 中，BD 的圆心是A ，半径为AB ，BD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 ． 答案：111∶∶第6题. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （１） 求证：直线MN //平面PBC ； （２）（１）答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，则由AD BC //，得BNNENDAN=．BN PMND MA=∵，NE PM ANMA=∴．MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，∴MN //平面PBC ．（２） 解：由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=；由58BEBN AD ND ==，知5651388BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．第7题. 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD //平面MAC ．答案：证明：连接AC 、BD 交点为O ，连接MO 则MO 为BDP △的中位线，∴PD MO //．PD ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD //平面MAC ．第8题. 如图，在正方体1ABCD A -BC ，11C D 的中点，求证：EF //答案：证明：如图，取11D B OF ∵平行且等于1112B C ，BE OF ∴平行且等于BE ，则OFEB EF ∴//BO ．EF ⊄∵平面11BB D D ，BO ⊂平面11BB D CDAB MPO∴EF //平面11BB D D ．第9题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， 试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面， 并说明理由．答案：解：如图，连接DB 交AC 于点O ， 取1D D 的中点M ，连接MA ，MC ，则截面MAC 即为所求作的截面．MO ∵为1D DB △的中位线，1D B MO ∴//．1D B ⊄∵平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，1D B ∴//平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线1D B 平行的截面．第10题. 设a ，b 是异面直线，a ⊂平面α，则 过b 与α平行的平面（ ） Ａ．不存在Ｂ．有1个Ｃ．可能不存在也可能有1个 Ｄ．有2个以上答案：Ｃ．第11题. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面1A BD //平面11CD B ．答案：证明：111111B B A AB B D D A A D D⎧⎪⇒⎨⎪⎩ ∥ ∥ ∥⇒四边形11BB D D 是平行四边形 1A1D1B1CABCD1A1D1B1CABCDOM1D1A1C1BABDC⇒ 111111D B DB DB A BD D B A BD⎧⎪⊂⎨⎪⊄⎩平面平面// ⇒111111111D B A BDB C A BD D B B C B⎧⎪⎨⎪=⎩平面同理平面//// ⇒111B CD A BD 平面平面//．第12题. 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶．求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //． 答案：证明：（１）AM CN MN AC MB NBAC MNP AC MNP MN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．CN CP PN BD NB PDBD MNP BD MNP PN MNP⎫=⇒⎪⎪⊄⎬⎪⊂⎪⎭//平面//平面平面．（２）MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP =⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭设平面平面平面//，//平面 MNP ACD AC 即平面与平面的交线//．第13题. 如图，线段AB ，CD 所在直线是异面直线，E ，F ，G ，H 分别是线段AC ，CB ，BD ，DA 的中点．（１） 求证：EFGH 共面且AB ∥面EFGH ，CD ∥面EFGH ； （２）设P ，Q 分别是AB 和CD 上任意一点，求证：PQ 被平面EFGH 平分．答案：证明：（１）∵E ，F ，G ，H 分别是AC ，CB ，BD ，DA 的中点．，EH CD ∴//，FG CD //，EH FG ∴//．因此，E ，F ，G ，H 共面． CD EH ∵//，CD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ， CD ∴//平面EFGH ．同理AB //平面EFGH ．（２）设PQ 平面EFGH ＝N ，连接PC ，设PCEF M =．PCQ △所在平面平面EFGH ＝MN ，CQ ∵//平面EFGH ，CQ ⊂平面PCQ ，CQ MN ∴//．EF ∵是ABC △是的中位线， M ∴是PC 的中点，则N 是PQ 的中点，即PQ 被平面EFGH 平分．第14题. 过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点答案：Ｄ．第15题. a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（）Ａ．过A且平行于a和b的平面可能不存在Ｂ．过A有且只有一个平面平行于a和bＣ．过A至少有一个平面平行于a和bＤ．过A有无数个平面平行于a和b答案：Ａ．第16题. 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为．答案：20．第17题. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的一点，且EFGH为菱形，若AC//平面=，BD n=，则EFGH，BD//平面EFGH，AC m：．AE BE=答案：m n∶．第18题. 如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60的角，且AD BC a==，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．（１）求证：四边形EGFH为平行四边形；（２）E在AB的何处时截面EGFH的面积最大最大面积是多少答案：（１）证明：BC ∵//平面EFGH ，BC ⊂平面ABC ， 平面ABC 平面EFGHEF =，BC EF ∴//．同理BC GH //，EF GH ∴//，同理EH FG //，∴四边形EGFH 为平行四边形．（２）解：∵AD 与BC 成60角，∴60HGF ∠=或120，设:AE AB x =，∵EFAEx BCAB==， BC a =，∴EF ax =，由1EH BEx AD AB==-， 得(1)EH a x =-．∴sin 60EFGH S EF EH =⨯⨯四边形3(1)ax a x =⨯-⨯223()2a x x =-+22311()24a x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦． 当12x =时，238S a =最大值， 即当E 为AB 的中点时，截面的面积最大，最大面积为238a ． 第19题. P 为ABC △所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于ABC '''，23PA AA=∶∶''，则AB C ABC S S =△△∶'''．答案：425∶AEBHFDGC第20题. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．答案：证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点， NE PD ∴//，ME AD //，可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ． 又NEME E =，∴平面MNE //平面PAD ，又MN ⊂平面MNE ，∴MN //平面PAD ．第21题. 已知平面α//平面β，AB ，CD 是夹在两 平行平面间的两条线段，A ，C 在α内，，C 在β 内，点E ，F 分别在AB ，CD 上， 且AE EB CF FD m n ==∶∶∶． 求证：EF //平面α．答案：证明：分AB ，CD 是异面、共面两种情况讨论． （１）当AB ，CD 共面时，如图（a ）αβ∵//，AC BD ∴//，连接E ，F ．∶∶∵EF α⊄，AC α⊂，∴EF //平面α．（２）当AB ，CD 异面时，如图（b ），过点A 作AH CD // APDMNBCA C E F BDαβ AC EFD αβHGAPDMNBCE交β于点H ．在H 上取点G ，使AG GH m n =∶∶，连接EF ，由（１）证明可得GF HD //，又AG GH AE EB =∶∶得EG BH //．∴平面EFG //平面β//平面α．又EF ⊂面EFG ，∴EF //平面α． 第22题. 已知a αβ=，m βγ=，b γα=m α//a b //．答案：证明：m m m a a b a m b βαααβ=⎫⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎪⎪=⇒⎭⎭同理////////．第23题. 三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB 、CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（ ）． Ａ．4aＢ．2aＣ．32a Ｄ．周长与截面的位置有关答案：Ｂ．第24题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）． Ａ．a b //Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 答案：Ａ．第25题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且::PE EA BF FD =，求证：EF //平面PBC ．答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ． 连结PM ，AD BC ∵//，BF MFFD FA=∴， 又由已知PE BF EA FD =，PE MFEA FA=∴．由平面几何知识可得EF //PM ， 又EF PBC ⊄，PM ⊂平面PBC ，∴EF //平面PBC ．第26题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面ABCD ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截得11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ．∵长方体1AC 的各个面为矩形，1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //．EF ⊂∵平面ABCD ，11E F ⊄平面ABCD ，∴11E F //平面ABCD ．第27题. 已知正方体1111ABCD A B C D -，ABCD1A1D 1B1C 1F1E求证：平面11AB D //平面1C BD ．答案：证明：因为1111ABCD A B C D -为正方体， 所以1111D C A B //，1111D C A B =． 又11AB A B //，11AB A B =， 所以11D C AB //，11D C AB =， 所以11D C BA 为平行四边形．所以11D A C B //．由直线与平面平行的判定定理得1D A //平面1C BD ．同理11D B //平面1C BD ，又1111D A D B D =，所以，平面11AB D //平面1C BD ．第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．如图，已知直线a ，b 平面α，且a b //，a α//，a ，b 都在α外． 求证：b α//．答案：证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ． 因为a α//，a β⊂，c αβ=，所以a c //． 因为a b //， 所以b c //．又因为c α⊂，b α⊄， 所以b α//．αcbaβ第29题. 如图，直线AA'，BB'，CC'相交于O，AO AO='，Array ='．BO B O='，CO C O求证：ABC//平面ABC'''．答案：提示：容易证明AB AB//''//''，AC AC进而可证平面ABC//平面ABC'''．第30题. 直线a与平面αＡ．直线a与平面α内的一条直线平行Ｂ．直线a与平面α内两条直线不相交Ｃ．直线a与平面α内的任一条直线都不相交Ｄ．直线a与平面α内的无数条直线平行答案：Ｃ．一、选择题1、若α//l，α∈A，则下列说法正确的是（）A、过A在平面α内可作无数条直线与l平行B、过A在平面α内仅可作一条直线与l平行C、过A在平面α内可作两条直线与l平行D、与A的位置有关2、b⋂α，则b与α的关系为（）a//，Pa=A、必相交B、必平行C、必在内D、以上均有可能3、αA，过A作与α平行的直线可作（）∉A、不存在B、一条C、四条D、无数条4、α//a，b、cα⊂，bb⊥，则有（）a//，cA 、 c a //B 、 c a ⊥C 、 a 、c 共面D 、 a 、c 异面，所成角不确定 5、下列四个命题（1）b a //，c b //c a //⇒ （2）b a ⊥，c b ⊥c a //⇒ （3）α//a ，α⊂b b a //⇒（4）b a //，α//b α//a ⇒ 正确有（ ）个A 、 1B 、 2C 、 3D 、 46、若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ）A 、一定平行B 、不平行C 、平行或相交D 、平行或在平面内7、直线a∥平面α,平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的（ ）A 、至少有一条B 、至多有一条C 、有且只有一条D 、不可能有8、若a//b//c , 则经过a 的所有平面中（ ） A 、必有一个平面同时经过b 和c B 、必有一个平面经过b 且不经过cC 、必有一个平面经过b 但不一定经过cD 、不存在同时经过b 和c 的平面 二、填空题9、过平面外一点，与平面平行的直线有_________条，如果直线m∥平面，那么在平面内有_________条直线与m 平行10、n ⊂平面α，则m∥n 是m∥α的______条件11、若P 是直线l 外一点，则过P 与l 平行的平面有___________个。