[关键词]角平分线和尺规作图教案
沪科版数学八年级上册《角平分线及其画法》教学设计
沪科版数学八年级上册《角平分线及其画法》教学设计一. 教材分析《角平分线及其画法》是沪科版数学八年级上册第三章“几何变换”中的一个知识点。
本节课主要介绍了角平分线的定义、性质及画法。
教材通过生活中的实例引入角平分线的概念，接着引导学生探究角平分线的性质，最后学习角平分线的画法。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级的数学知识，对图形的变换和性质有一定的了解。
他们在学习过程中善于观察、思考，并能运用已有的知识解决实际问题。
但是，对于角平分线的概念和性质，学生可能初次接触，需要通过实例和活动加深理解。
此外，学生在画角平分线方面可能存在一定的困难，需要教师进行有针对性的指导。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质。
2.学会用尺规作图法画一个角的平分线。
3.能够运用角平分线的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.角平分线的定义和性质。
2.尺规作图法画角平分线。
五. 教学方法1.情境导入：通过生活中的实例引入角平分线的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：引导学生观察、思考，发现角平分线的性质。
3.合作交流：分组讨论，让学生在合作中解决问题，培养团队精神。
4.示范讲解：教师用尺规作图法演示画角平分线的过程，引导学生动手操作。
5.练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固知识。
6.拓展延伸：引导学生运用角平分线的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括角平分线的定义、性质和画法的讲解。
2.准备尺规作图的工具，如直尺、圆规等。
3.准备练习题及答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如剪刀的剪切角，引入角平分线的概念。
引导学生观察、思考，提出问题：“什么是角平分线？”2.呈现（10分钟）呈现角平分线的性质，引导学生自主探究，发现角平分线的性质。
教师讲解并演示角平分线的画法，让学生初步了解尺规作图法。
1.4第1课时角平分线-北师大版八年级下册数学教案
解决方法：通过大量例题，引导学生发现角平分线性质的规律，培养学生的几何直观能力。
（3）尺规作图画出一个角的平分线：在尺规作图过程中，学生可能对作图步骤和方法掌握不熟练。
解决方法：教师分步骤演示作图过程，学生跟随练习，同时鼓励学生之间互相交流，提高作图技能。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何使用尺规作图画出一个角的平分线。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）角平分线的定义：准确理解角平分线的概念，掌握角平分线将角分为两个相等角的特点。
举例：解释什么是角平分线，如何用图形表示，强调角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（2）角平分线的性质：熟练掌握角平分线的性质，并能够运用性质解决相关问题。
举例：通过具体图形，展示角平分线的性质，如角平分线上的点到角的两边的距离相等。
五、教学反思
在本次《角平分线》的教学中，我发现学生们对于角平分线的定义和性质的理解存在一定的困难。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释这些概念，但感觉效果并不如预期。这可能是因为我对学生的前置知识掌握情况估计不足，导致讲解的深度和广度不够。
在实践活动中，学生们分组讨论和实验操作的环节较为顺利。他们能够积极参与，互相交流，展示自己的成果。但我也注意到，有些学生在操作过程中仍然对尺规作图不够熟练，这需要我在今后的教学中加强个别辅导，帮助他们掌握作图技巧。
七年级数学上册《角平分线》教案、教学设计
1.概念讲解：介绍角平分线的定义。
教师讲解：“角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。”
2.尺规作图：演示和讲解如何用尺规作图方法作出角的平分线。
教师演示并讲解：“首先，画出角的两边；然后，在角的顶点处分别作两条射线，使这两条射线分别与角的两边相交；最后，连接这两个交点，即可得到角的平分线。”
5.自主学习能力：鼓励学生在课后进行拓展学习，提高对角平分线知识的理解和应用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的几何审美观念，让他们感受到几何图形的美；
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，激发学生对数学学科的兴趣；
3.培养学生严谨、踏实的科学态度，让他们认识到数学知识的严密性和逻辑性；
4.培养学生的创新意识，鼓励他们在解决问题时尝试不同的方法和思路；
3.教师点评：对学生的讨论成果给予肯定和指导。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计具有梯度性的练习题。
练习题包括：基本概念题、尺规作图题、性质应用题等。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导。
3.选取部分学生进行板演，展示解题过程。
4.针对学生的解答，教师进行点评和讲解。
（五）总结归纳
2.教学策略：
（1）情境创设：以实际问题为背景，创设教学情境，让学生感受角平分线的应用；
（2）逐步引导：从简单的例子入手，逐步引导学生理解和掌握角平分线的性质；
（3）分层教学：针对不同学生的学习水平，设计不同难度的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）总结反思：在课后组织学生进行总结反思，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
2.创设情境：以校园环境为背景，提出实际问题。
数学教案角的平分线
数学教案角的平分线一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解角平分线的定义和性质。
掌握角平分线的尺规作图方法。
能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题。
2、过程与方法目标通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手能力、合情推理能力和逻辑思维能力。
让学生经历探究角平分线性质的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标通过对角平分线的学习，激发学生对数学的兴趣，增强学生的自信心。
培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及合作交流的意识。
二、教学重难点1、教学重点角平分线的定义和性质。
角平分线的尺规作图方法。
2、教学难点角平分线性质的证明和应用。
三、教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课展示一个角，然后提出问题：如何将这个角平均分成两部分？引导学生思考，引出角平分线的概念。
2、讲授新课（1）角平分线的定义结合图形，给出角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
强调角平分线是一条射线。
（2）角平分线的性质让学生通过折纸的方法，探索角平分线的性质。
引导学生发现：角平分线上的点到角两边的距离相等。
提出问题：如何证明这个性质呢？引导学生写出已知、求证，并进行证明。
证明：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E。
已知：∠AOC ＝∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB。
求证：PD ＝ PE。
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线∴∠AOC ＝∠BOC∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝ 90°在△PDO 和△PEO 中∠PDO ＝∠PEO∠AOC ＝∠BOCOP ＝ OP∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD ＝ PE（3）角平分线的尺规作图演示角平分线的尺规作图方法，并让学生跟着一起做。
强调作图的步骤和注意事项。
步骤：①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N。
(横版)角平分线的性质和判定教案
教学过程一、复习预习角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
二、知识讲解考点1尺规作图画角平分线（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
（3）、画射线OC。
射线OC即为所求.考点2 角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；考点3 角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 .考点4 关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.三、例题精析【例题1】【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。
如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于。
《角平分线的尺规作图》示范教学方案
第十五章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线第1课时角平分线的尺规作图一、教学目标1．理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线；2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；3．在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．二、教学重点及难点重点：角平分线及垂线的尺规作法；难点：角平分线的尺规作法的正确性的证明．三、教学用具多媒体课件．四、相关资料无．五、教学过程【情景引入】回顾：作出下面图形的对称轴插入轴对称图形什么是角平分线？问题：怎样作∠AOB的平分线呢？①折纸法；②度量法．如果用尺规作图，该怎么做呢？本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了利用尺规作图作一个角的平分线，并证明了这种作法的科学性.若需使用，请插入微课【知识点解析】作一个角的平分线. 【合作探究】教师将学生分成组布置任务，小组讨论得出结果再向全班汇报，并根据实际情况分别给各组打分．任务：请在图中作出线段AD ，使其平分∠BAC 且长度等于m .要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．【探究新知】解析：首先以A 为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB 、AC 于E 、F ，然后以E 、F为圆心，大于12EF 长为半径作弧，交于点M ，那么AM 就是∠BAC 的角平分线，只需在射线AM 上截取AD ＝m 即可．答案：已知：线段m ，∠BAC ；如图所示．方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．【典型例题】例题：如图，分别过点P作线段MN的垂线．解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．答案：如图，(1)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(2)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(3)延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；(4)延长NM，过点P 作NM所在直线的垂线．方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线．【新知应用】课本练习P143页1，2【随堂检测】1.如图，已知直线l及其两侧两点A、B.(1)在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；(2)在直线l上求一点P，使P A＝PB；(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；(2)根据线段垂直平分线的性质连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可；(3)作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.答案：(1)如图①，连接AB，线段AB交直线l于点O，∵点A、O、B在一条直线上，∴O点即为所求点；(2)如图②，连接AB，分别以A、B两点为圆心，以大于12AB的长度为半径作弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点，连接BD、AD、BP、AP、BC、AC，∵BD＝AD＝BC＝AC，即C、D两点都在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线，∵P是CD上的点，∴P A＝PB；(3)如图③，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，∵B与B′两点关于直线l对称，∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ，∴△BDQ≌△B′DQ，∴∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关六、课堂小结直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．七、板书设计第十五章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第3课时直角三角形中30°角的性质定理直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．。
角平分线及其画法教学设计
角的平分线
一：教材分析
1.教材的地位及作用：
本节课是选自沪科版八年级上册第十五章第四节的内容，是在学习过尺规作图的基础上进行教学的，主要学习如何作出角的平分线及简单探索角平分线作法的原理，是尺规作图的再次利用和强化。
为初三的学习做好铺垫，可以为如何用尺规作图作出三角形的内接圆做铺垫，具有承上启下的作用，因此本节课在教材中有着重要的作用！
2、学习目标：
（1）.会用尺规作图作角平分线，并会用语言描述作法；
（2）.通过操作、观察、证明所作射线是角平分线；
（3）.了解尺规作图的依据，会进行简单的应用.
3、教学重难点
重点：会用尺规作图作出角平分线
难点：会过一点作已知直线的垂线
二、学教过程：。
作角平分线,过直线外一点作垂线 教学设计
课题：探索三角形全等的条件---尺规作图一、教学目标利用尺规作图作线段、角、角平分线、线段垂直平分线，了解作图的方法、步骤，并能掌握基本的作图语言.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力，体会类比和化归的数学思想.激情投入，全力以赴，让学生认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，建立学习数学的自信心.二、学情分析学生之前已经学习了线段的度量方法，利用度量法和叠合法比较线段的大小关系：已经掌握了度量法即是测量线段两个端点之间的距离：叠合法即为使用圆规将一条线段叠放在另一条线段上，在比较另一个端点的位置。
学生们已经掌握了使用尺规作图的方法作一条线段等于已知线段，甚至可以使用尺规作图作线段的和差倍。
对于角相关知识，在小学学生已经掌握了利用量角器测量角的度数，利用量角器画一个角等于已知角，但是量角器画角的本质是什么，尺规作图画一个角等于已知角量角器画角之间有何本质上的联系？学生是模糊不清的，所以，学生通过两个数学实验的折纸活动，折出角平分线和线段垂直平分线，再从尺规作图的角度作角平分线、线段的垂直平分线，明确数学知识的几何本质。
学生已经学习了三角形全等的条件是SAS、ASA、AAS、SSS，而前面四个判定的研究均利用了“尺规作图”，如何促使学生充分理解三角形全等的判定方法和尺规作图的本质联系，是学生急需要解决的问题。
三、重点难点类比尺规线段作图法作线段、角，通过数学实验活动折角平分线、角平分线；理解尺规作图与常规作图的本质联系，探索尺规作图与全等三角形的本质联系。
四、教材分析《义务教育数学课程标准》（2011年版）课程内容部分对尺规作图是这样描述的：（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。
（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。
角的平分线的性质教案
角的平分线的性质教案1一、教学目标【知识与技能】了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。
【过程与方法】在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
【情感态度与价值观】在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣、有合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,获得解决问题的成功体验。
二、教学重难点【重点】角的平分线的性质的证明及应用。
【难点】角的平分线的性质的探究。
三、教学过程(一)导入新课1.复习角平分线的画法2.利用PPT创设情景：如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗?(二)生成新知探究做一做(学生独立完成，同组同学交流，找学生到黑板上板演.教师纠正答案)如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?试着证明你的结论.0011.jpg∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE.(三)深化新知思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?(由学生讨论汇报)(四)应用新知1.例题：解决导入中PPT的问题2.练一练：(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中PD=PE.0012.jpg(五)小结作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?作业：必做题，选做题，思考题：角平分线性质的逆命题并证明。
角的平分线的性质教案2一、教学目标【知识与技能】进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
【过程与方法】通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
角的平分线的性质教案
《12.3 角的平分线的性质》教案李爽2013-9-24一、内容和内容解析1、内容：角的平分线的性质2、内容解析：角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法。
角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段的垂直平分线的性质提供了思路和方法。
.本节内容是全等三角形知识的运用和延续，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质。
角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式------利用角的平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质。
二、目标和目标解析1、目标（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；（2）探索并证明角的平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作图作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线。
达成目标（2）的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表达性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质。
达成目标（3）的标志是：学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题。
三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难。
例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”。
其重要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性。
教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果······那么······”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明命题的一般步骤。
2019-2020学年八年级数学《角平分线(尺规作图)》教案 新人教版.doc
2019-2020学年八年级数学《角平分线（尺规作图）》教案新人教版一.教学过程（简案）：1.复习提问：三角形中有那些重要的线段？学生回答：三角形的高、中线、角平分线，（老师强调角平分线与三角形角平分线的区别）。
2.新课：例1.在∠AOB边OA、OB上取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于点C.求证:∠MOC=∠NOC(学生自己动手证明，并让学生板书证明过程)老师提问：你做完此题后有何启示？经过学生讨论后，他们认为利用这种方法可作角平分线。
例2.角平分仪器操作原理：若A B=AD，BC=CD。
则AC平分∠DAB和∠BCD，为什么？学生们发现△ADC和△ABC全等，所以AC平分∠DAB和∠BCD。
例3.利用尺规作∠AOB的平分线（学生动手操作）老师强调两点：第一，以O为圆心适当长度为半径画弧交OA、OB于M、N。
第二，分别以M、N为圆心时，半径应大于MN的一半长度。
练习：作出∠AOB的平分线？二、对教学案例的分析这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的范例 ,其中许多环节还需要进一步改进完善。
但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况 , 一些教学环节的处理还是值得肯定的。
1. 突出了数学课堂教学中的探索性关于尺规作角的平分线的引出 , 在本教学案例上没有像教材那样直接给出作法 , 而是利用《几何画板》采取了让学生动手画一画 , 量一量的方式 , 使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想 , 自己去发现结论 , 并用命题的形式表述结论。
关于例1.例2的证明 , 没有采用教师给学生演示角平分线的尺规作法 , 而是引导学生证明猜想 , 并做了进一步的完善。
这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻。
这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性 ,增强了学生参与数学活动的意识 , 又培养了学生的动手实践能力。
同时 , 也向学生渗透了实践 ---- 认识 ---- 再实践 ---- 再认识的辩证观点。
角平分线尺规作图.4.1角平分线尺规作图教案
第 1 课时角均分线的尺规作图【学习目标】 1、会画已知角的均分线 2、能经过逻辑推理考证所作图形是角均分线【学习要点】掌握尺规作已知角的均分线的作法【学习难点】从作图过程中找到已知条件，经过逻辑推理考证所作图形为角均分线【教课流程】学习流程（教课流程）学法指导（个性改正）一、新课导入：师：同学们，请大家察看我手中的三角形，假如我要将此中一个角分红两个相等的角，你有哪些方法？生：用量角度量、翻折、用直尺和圆规师：①本节课我们就学惯用没有刻度的直尺和圆规画已知角的均分线（出示课题），这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一同来认识一放学习目标。
②若学生说不出用尺规作图 , 则这样指引 : 前面我们学习了用尺规作图的方法能够画一条线段等于已知线段 , 画一个角等于已经角 , 那么用尺规作图的方法能否画这个角的均分线呢 ?这就是我们今日要学习的内容 .二、展现目标：（大家齐读一遍，教师解读目标）1、掌握尺规的基本作图三：画已知角的均分线2、能经过逻辑推理考证所作图形是角均分线过渡：为了达成学习目标，同时培育大家的学习能力，今日，我们的讲堂要改变传统的方式，今日的讲堂由同学们作主，同学们就是小老师，此刻就请指导：边作图边口述作各个小组的同学依据老师提早分给你们的任务，进行对学、群学和预展，为图步骤和作法。
展现做好充足的准备。
（能否要规准时间）三、学习导引：1、引出角均分线作法。
过渡：方才的这一环节每个组的同学都表现得特别好，因此老师要给每个组加上满分 4 分，此刻就有请PK 小组决出输赢。
下边掌声有请第一个展现小组为大家展现“利用尺规如何作一个角的角均分线。
”师：方才这位老师已经为我们展现了整个作图的过程，那么，我们能够把这个过程分红几步呢？生：多媒体演示作图过程，学生口述作法BC师：在第二步时为何要取大于线段长的一半为半径画弧呢？指导：倒推法进行分析，由问题下手倒推到已知条件。
生：充足思虑，议论沟通，抽学生登台演示小于一半不可以产生交点。
2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 角的平分线的性质教学设计
12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质教学步骤师生活动教学目标课题12.3第1课时角的平分线的性质授课人素养目标1.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析及作图能力.2.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，并能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力.教学重点尺规作图：作一个角的平分线，探索并证明角平分线的性质定理及应用．教学难点角平分线的性质定理的探索过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：旧知回顾，新课引入设计意图回顾角的平分线的概念及作法，并设问为引入角平分线的尺规作图及其性质做铺垫.【复习引入】问题1：想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么？答：问题2：我们在练习本上画一个角，怎样得到它的平分线？答：用量角器度量，或者用折纸的方法.我们已经能用尺规作一个角等于已知角了，那能否用尺规作一个角的平分线呢？角的平分线除了平分角之外，还具有其他的性质吗？让我们在这节课中展开探索吧.【教学建议】教师提问，选取学生代表进行回答，对于问题2，学生也可动手尝试，活跃气氛，在进入新课前进行实操演练．教师最后用总结结束回顾，以提问的方式引发学生思考，从而过渡到新课的内容.活动二：动手操作，交流新知设计意图通过实际情境引入角的平分线的尺规作图方法，并引导学生动手作图，加深学生对于作已知角的平分线的理解，加强作图能力.探究点1角的平分线的作法思考如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？答：在△ABC 和△ADC 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS).∴∠BAC ＝∠DAC.∴AE 是∠BAD 的平分线.【教学建议】这里由一种平分角的仪器的工作原理引入了作一个角的平分线的尺规作图．与作一个角等于已知角的尺规作图类似，它们依据的都是全等三角形的“边边边”判定方法．教师可演示这种角平分仪，从而加深学生的直观感受．通过实验启发引入角平分线的尺规作图方法后，学生交流探究，自主动手画图．注意该作图属这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法，如下所示：请按这种方法自己动手试试看，然后与同伴交流操作心得，并回答下列问题：问题1：作图步骤(2)中，为什么要以“大于12MN 的长”为半径画弧？答：以“大于12MN 的长为半径画弧”是因为以小于12MN 的长为半径画弧，两弧没有交点，以等于12MN 的长为半径画弧不易操作.问题2：作图步骤(2)中，两弧的交点一定在∠AOB 的内部吗？答：若分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部．而我们要作的是角的平分线，角的平分线在角的内部，所以交点应在∠AOB 内部寻找，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了.【对应训练】教材P 50练习第1题.于基本的尺规作图，课标有所要求，需要学生加以掌握．通过实践操作，按各种情况动手画一画，就能清楚地解释左栏问题1和问题2.教师注意跟学生强调作图步骤(3)中的“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为“连接OC”得到的是线段，而角的平分线是射线，不是线段.【教学建议】设置练习是为了强化学生的基本作图能力，尺规作图可以不写作法，但最后一定要说明所求作的内容，作图痕迹必须保留因为可以据此看出作图思路.设计意图使学生经历探索角的平分线的性质定理的过程，并利用三角形全等证明角的平分线的性质定理，归纳证明几何命题的一般步骤，并通过例题与练习加深对于角的平分线的性质定理的理解.探究点2角的平分线的性质思考如图，任意作一个角∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？答：PD ＝PE.在OC 上再取几个点试一试，发现上述结论依然成立.于是我们猜想角的平分线有以下性质：【教学建议】设置思考可以让学生通过作图、测量来猜想角的平分线的性质．为了让学生准确推断该性质的内容，并且确信他们推出的性质具有一般性，教师需在学生作图时强调：(1)所作的角应为任意大小的；(2)在角的平分线上取的点应是任意位置的；(3)过角的平分线上一点向角的两边所作的与两边相交的线段必须是垂线教学步骤师生活动拓展：几何画板演示角的平分线的性质：如图，点P在∠AOB的平分线上：下面，我们利用三角形全等证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OBPD＝PE.一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；师生活动活动三：综合运用，巩固新知设计意图综合考查角的平分线的性质与三角形的面积，强化角的平分线的性质定理的运用能力.例如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E.若△ABC 的面积为70，AB ＝16，DE ＝5，求BC 的长.解：如图，过点D 作DF ⊥BC 于点F.∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DF ＝DE ＝5.∵S △ABD ＝12AB·DE ＝12×16×5＝40，S △ABC ＝70，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ABD ＝70－40＝30.又S △BCD ＝12BC·DF ＝12BC×5＝30，∴BC ＝12.【对应训练】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，AF 是△ABC 的中线，AB ＝16，AC ＝8，DE ＝5.求△ADF 的面积.解：如图，过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M.∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，DM ⊥AB ，∴DM ＝DE ＝5，∴S △ABD ＝12AB·DM ＝12×16×5＝40，S △ACD ＝12AC·DE ＝12×8×5＝20，∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ＝40＋20＝60.∵AF 是△ABC 的中线，∴S △ACF ＝12S △ABC ＝12×60＝30，∴S △ADF ＝S △ACF －S △ACD ＝30－15＝15.【教学建议】角平分线的性质定理可以得到垂线段相等，所以角平分线跟三角形的面积结合时，往往能分割出等高的三角形，于是面积问题就转化为了边长问题．解答此类题目，当题干中出现角平分线时，要首先想到是否可利用角的平分线的性质定理解题，有时候也需要添加辅助线，一般是过角的平分线上一点向角的两边作垂线段．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是角的平分线？你能用尺规作一个角的平分线吗？2.角的平分线的性质是什么？你能证明吗？能运用角的平分线的性质解题吗？3.证明一个几何命题的一般步骤是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P51～52习题12.3第2，4，5，6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质1.尺规作图：作已知角的平分线.2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.证明几何命题的一般步骤．教学步骤师生活动教学反思本节课采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．教学中需要注意：学生对定理的图形语言认识不足出现混淆，如把角平分线上的点到角两边的距离错当成过此点与角平分线垂直(或相交)的直线与角两边相交所得的线段的长.解题大招一与尺规作图有关的推理题作一个角的平分线是课标要求的尺规作图，学生不仅要能够作图，还要了解作图的原理，而最直观的体现就是通过作图痕迹去判断作图目的．例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝5，P为AB上一动点，则DP的最小值为5.解析：由尺规作图可知：AE是∠CAB的平分线，由垂线段最短可知：当DP⊥AB时，DP最小．∵AE是∠CAB的平分线，DP⊥AB，∠C＝90°，∴DP＝CD＝5.故DP的最小值为5.解题大招二文字类几何命题的证明方法1．根据命题的题设结合图形写出已知，根据命题的结论结合图形写出求证．2．为了便于分清命题中的已知和求证，可以将命题改写成“如果……那么……”或“若……则……”的形式．例2求证：两角和其中一角对应的角平分线分别相等的两个三角形全等．分析：首先将文字命题用符号表示成已知和求证，然后进行证明．解：已知：如图，AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的角平分线，且AD＝A′D′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：∵AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的角平分线，∴∠1＝12∠BAC，∠2＝12∠B′A′C′.∵∠BAC＝∠B′A′C′，∴∠1＝∠2.在△ABD和△A′B′D′B＝∠B′，1＝∠2，＝A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)．∴AB＝A′B′.在△ABC和△A′B′C′B＝∠B′，＝A′B′，BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．解题大招三与角的平分线的性质有关的线段证明(不作辅助线)当题目中要证相等的一组线段分别与一个角的两边垂直，且它们的公共点在这个角的平分线上时，可利用角平分线的性质定理直接得证(学过角平分线的性质定理后，不要再使用先证三角形全等再利用性质去解题，那样会使过程繁琐)，所有证明条件的收集都应围绕这个“两垂直，一平分”进行展开，这样可以明确解题思路．例3如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD 和△CBD ＝CB ，ABD ＝∠CBD ，＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS )．∴∠ADB ＝∠CDB.∴∠ADP ＝∠CDP ，即DP 平分∠ADC.∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN.解题大招四利用角的平分线的性质作垂线解题利用角的平分线的性质解决问题的关键是确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段，若已知条件中存在一条垂线段，则考虑通过作辅助线作出另一条垂线段；若已知条件中不存在垂线段，则考虑通过作辅助线作出两条垂线段．1．作一条垂线例4如图，点P 在∠AOB 的平分线上，过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C.若PC ＝8，点P 到直线OB 的距离为8.解析：如图，过点P 作PD ⊥OB 于点D.∵点P 在∠AOB 的平分线上，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PD ＝PC ＝8，即点P 到直线OB 的距离为8.例5如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，E 为AC 上一点，且∠ECD ＝∠EDC.(1)求证：DE ∥BC ；(2)若∠A ＝90°，S △BCD ＝26，BC ＝13，求AD 的长．(1)证明：∵CD 平分∠ACB ，∴∠ECD ＝∠BCD.又∠ECD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠EDC ，∴DE ∥BC.(2)解：如图，过点D 作DF ⊥BC 于点F.∵∠A ＝90°，DF ⊥BC ，CD 平分∠ACB ，∴AD ＝DF.∵S △BCD ＝26，BC ＝13，∴12×13DF ＝26，∴DF ＝4，∴AD ＝4.2．作两条垂线例6如图，∠AOB ＝90°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA ，OB 交于点C 和点D.求证：PC ＝PD.证明：如图，过点P 分别作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，∴∠PEC ＝∠PFD ＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE ＝PF.∵∠AOB ＝90°，∠CPD ＝90°，∴∠PCE ＋∠PDO ＝360°－90°－90°＝180°.又∠PDO ＋∠PDF ＝180°，∴∠PCE ＝∠PDF.在△PCE 和△PDF PCE ＝∠PDF ，PEC ＝∠PFD ，＝PF ，∴△PCE ≌△PDF(AAS )，∴PC ＝PD.培优点与角的平分线的性质有关的探究题例(1)如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∠MDN 的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM ＝DN ，求证：∠BAC ＋∠MDN ＝180°；(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠BAC ＋∠MDN ＝180°，试判断AM ，AN ，AC 之间的数量关系，并说明理由．分析：(1)先利用角的平分线的性质得到DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △DEM ≌Rt △DFN ，于是可得∠MDE ＝∠NDF ，进一步利用角的和差得∠MDN ＝∠EDF ，最后再结合四边形的内角和为360°可得结论．(2)先结合已知、四边形的内角和为360°及角的和差可得∠MDE ＝∠NDC ，再根据角的平分线的性质得DE ＝DC ，同时易知AE ＝AC ，然后利用“ASA ”证明△MDE ≌△NDC ，于是得EM ＝CN ，最后再根据线段的和差可得结论．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEM ＝∠DFN ＝90°，DE ＝DF.在Rt △DEM 和Rt △DFN ＝DN ，＝DF ，∴Rt △DEM ≌Rt △DFN(HL )，∴∠MDE ＝∠NDF.∴∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ，即∠MDN ＝∠EDF.∵四边形AEDF 的内角和是360°，且∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180，∴∠BAC ＋∠MDN ＝∠BAC ＋∠EDF ＝360°－(∠AED ＋∠AFD)＝180°.(2)解：AM ＋AN ＝2AC.理由如下：如图②，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∴∠AED ＝∠DEM ＝90°，∴∠BAC ＋∠CDE ＝360°－∠AED －∠C ＝360°－90°－90°＝180°.又∠BAC ＋∠MDN ＝180°，∴∠MDN ＝∠CDE ，∴∠MDN －∠EDN ＝∠CDE －∠EDN ，即∠MDE ＝∠NDC.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC ，且易得AE ＝AC.在△MDE 和△NDC DEM ＝∠C ＝90°，＝DC ，MDE ＝∠NDC ，∴△MDE ≌△NDC(ASA )，∴EM ＝CN.∴AM ＋AN ＝(AE ＋EM)＋(AC －CN)＝(AE ＋AC)＋(EM －CN)＝2AC.模型提炼：如图，∠1＝∠2，AP ＝CP ，∠PCB ＋∠BAP ＝180°，BF ＝12(AB ＋BC)，这四个条件可知二推二．。
角平分线性质优秀教案
13.5角平分线的性质教案一、教学目标知识与能力：通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．．过程与方法： 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯。
让学生经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．情感、态度与价值观：激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力二、学情分析本节内容是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；三、教学重难点重点： 能用角的平分线的性质解决简单问题．难点： 探索并证明角的平分线的性质．五、教学过程一、导入新课利用尺规作图画一个角的平分线。
请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB ．求作：（1）∠AOB 的平分线OC ．（2）在OC 上任找一点P ，分别作出它到角两边的距离PD 、PE 。
（请生板演，其余同学边看边思考并回忆画法；培养学生分析问题解决问题能力应用所学）二、探究新课为什么是过P 点向两边作垂线呢？你觉得PD 与PE 存在一种什么样的数量关系？你能用什么方法验证呢？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E 求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE归纳如下：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（生在书上勾画出并齐声朗读一遍）师生互动，生生互动，合作交流．注意几何语言，书写规范角平分线性质运用例题学习：例1：如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥Ob，垂足分别为C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B。
∠CPO=∠DOP C。
八年级数学上册《角平分线》教案、教学设计
（3）单元测试：通过测试，了解学生对角平分线知识点的掌握情况，以及运用知识解决问题的能力；
（4）课后访谈：了解学生在学习过程中遇到的困难和问题，及时调整教学策略。
4.教学资源：
（1）教材：充分利用课本资源，结合教学目标进行教学设计；
（2）反思自己在学习过程中的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。
作业要求：
1.认真完成作业，保持卷面整洁；
2.思考题要结合所学知识，进行深入分析和研究；
3.遇到问题及时与同学、老师交流，提高解决问题的能力；
4.作业提交时间：下周一下午放学前。
（4）应用：设计有针对性的例题和练习，让学生运用角平分线知识解决问题，巩固所学；
（5）拓展：引导学生思考角平分线在其他几何问题中的应用，培养学生的发散思维；
（6）总结：对本节课的知识点进行梳理，强调重难点，帮助学生巩固记忆。
3.教学评价：
（1）课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度、积极性和合作精神；
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
（1）对本节课的知识点进行梳理，强调重点和难点；
（2）学生分享学习收获和感受，教师给予鼓励和评价；
（3）布置课后作业，巩固所学知识。
2.教学内容：
（1）总结角平分线的定义、性质和判定方法；
（2）回顾尺规作图的方法，强调注意事项；
（3）明确角平分线在实际问题中的应用价值。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的几何思维和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）完成课本第十五章第二节课后练习题1、2、3；
（2）运用尺规作图，作出给定角的平分线，并简要说明作图过程；
八年级数学上册《角平分线及其画法》教案、教学设计
3.教学步骤：
（1）导入新课：通过展示生活中的实例，引导学生关注角平分线，为新课学习做好铺垫。
（2）自主探究：让学生自主阅读教材，了解角平分线的定义和性质，尝试运用尺规作图法画角平分线。
（3）课堂讲解：针对学生在探究过程中遇到的问题，进行详细讲解，帮助学生掌握重点知识。
3.培养学生具备严谨、细致、踏实的科学态度，提高他们面对困难和挑战时的自信心和毅力。
教学设计：
一、导入新课
1.利用多媒体展示生活中含有角平分线的实物图片，引导学生观察、思考，激发他们的学习兴趣。
2.提问：“什么是角平分线？它在几何图形中有什么作用？”引导学生回顾相关知识，为新课学习做好铺垫。
二、自主探究
这时，我会在黑板上画出一个任意角，让学生思考并尝试回答。在学生回答的基础上，我会引导他们注意到，如果有一条线能够将这个角恰好分成两个相等的部分，那么这条线就是今天我们要学习的角平分线。通过这个实际问题的引入，学生可以直观地感受到角平分线的概念，为新课的学习打下直观的基础。
（二）讲授新知，500字
为了加深学生的理解，我会结合具体的例子，讲解如何利用尺规作图法来画出角平分线。在这个过程中，我会逐步引导学生认识到几何图形的严谨性和美感，并让他们体会到数学在解决问题中的实用性。
四、巩固练习
1.学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。
2.教师精选典型例题，引导学生运用角平分线性质解决问题，提高他们的问题解决能力。
五、课堂小结
学生总结本节课所学内容，分享学习心得，教师给予评价和鼓励。
六、课后作业
布置适量的课后作业，巩固学生对角平分线的理解和运用。
《角平分线的判定》教案精品 2022年数学
第2课时角平分线的判定一、教学目标〔一〕知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.〔二〕过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步开展学生的推理证明意识和能力.〔三〕情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程〔一〕复习、回忆1. 角平分线的作法〔尺规作图〕①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：〔角的平分线上的点到角的两边的距离相等〕如下图，∵OP平分∠MON〔∠1＝∠2〕，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．〔二〕合作探究角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO〔HL〕∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：〔到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．〕如下图，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〕【典型例题】例1. ：如下图，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：〔1〕∠ABC＝∠ABC′；〔2〕BC＝BC′〔要求：不用三角形全等判定〕．分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可翻开思路．证明：〔1〕∵∠C＝∠C′＝90°〔〕，∴AC⊥BC，AC′⊥BC′〔垂直的定义〕．又∵AC＝AC′〔〕，∴点A在∠CBC′的角平分线上〔到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上〕．∴∠ABC＝∠ABC′．〔2〕∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－〔∠C＋∠ABC〕＝180°－〔∠C′＋∠ABC′〕即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′〔角平分线上的点到这个角两边的距离相等〕．例2. 如下图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，此题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE〔角平分线上的点到角的两边的距离相等〕．同理PF＝PE，∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC〔到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上〕．〔三〕稳固训练〔四〕小结请你说说本课的收获与困惑.〔五〕作业第3课时多项式1．理解多项式的概念；(重点)2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数； 3．能正确区分单项式和多项式．(重点)一、情境导入 列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b ，那么长方形的周长是________； (2)图中阴影局部的面积为________；(3)某班有男生x 人，女生21人，那么这个班的学生一共有________人． 观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？假设不是，它又是什么代数式？ 二、合作探究探究点一：多项式的相关概念【类型一】 单项式、多项式与整式的识别指出以下各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x 2＋y 2，－x ，a ＋b3，10，6xy ＋1，1x ，17m 2n ，2x 2－x －5，2x 2＋x，a 7.解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断． 解：2x 2＋x ，1x的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式． 单项式有：－x ，10，17m 2n ，a 7；多项式有：x 2＋y 2，a ＋b3，6xy ＋1，2x 2－x －5；整式有：x 2＋y 2，－x ，a ＋b3，10，6xy ＋1，17m 2n ，2x 2－x －5，a 7. 方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．【类型二】 确定多项式的项数和次数写出以下各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式． (1)23x 2－3x ＋5； (2)a ＋b ＋c －d ；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2.解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．解：(1)23x 2－3x ＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；(2)a ＋b ＋c －d 的项数为4，次数为1，一次四项式；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2的项数为3，次数为4，四次三项式．方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．【类型三】 根据多项式的概念求字母的取值－5x m ＋104x m －4x m y 2是关于x 、y 的六次多项式，求m 的值，并写出该多项式． 解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m ＋2＝6，解得m ＝4，进而可得此多项式．解：由题意得m ＋2＝6， 解得m ＝4，此多项式是－5x 4＋104x 4－4x 4y 2.方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．【类型四】 与多项式有关的探究性问题假设关于x 的多项式－5x 3－mx 2＋(n －1)x －1不含二次项和一次项，求m 、n 的值． 解析：多项式不含二次项和一次项，那么二次项和一次项系数为0. 解：∵关于x 的多项式－5x 3－mx 2＋(n －1)x －1不含二次项和一次项， ∴m ＝0，n －1＝0，那么m ＝0，n ＝1.方法总结：多项式不含哪一项，那么哪一项的系数为0.探究点二：多项式的应用如图，某居民小区有一块宽为2a 米，长为b 米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a 米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？解析：四个角围成一个半径为a 米的圆，阴影局部面积是长方形面积减去一个圆面积．解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言表达中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．三、板书设计多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．常数项：不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称整式．这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握．虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了．事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约．。
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[文件] sxcbk0024.doc[科目] 数学[关键词] 初二几何/教学结构/尺规作图/角平分线[标题] 角平分线和尺规作图[内容]角平分线和尺规作图【教学结构】一角平分线1.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
这个定理说明了角平分线上的点的性质，是角平分线的性质定理。
2.定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
这个定理是制定某一个点是否在角的平分线上，是角平分线的判定定理。
它是定理1的逆定理。
3.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
这里包含两层意思，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离都相等。
4.利用定理1和定理2可以证明两条线段相等或两个角相等。
因此，在证题时，应注意直接应用这两个定理解决问题，避免绕远路，仍去找全等三角形，结果相当于重新证一次定理。
5.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
6.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。
7.定理作为一个命题一定有逆命题，由于逆命题不一定都是真命题，因此并不是所有的定理都有逆定理。
例如：“对顶角相等”的逆命题是假命题，所以，“对顶角相等”这个定理没有逆定理。
二基本作图1.尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。
（直尺应设有刻度）2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。
3.五种常用的基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)平分已知角；(4)经过一点作已知直线的垂线；(5)作线段的垂直平分线。
4.掌握以下几何作图语句：(1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××；(2)连接两点×、×；或连结××；(3)在××上截取××=××；(4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）；(5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×；(6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；(7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××。
5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如：(1)作线段××=××；(2)作∠×××=∠×××；(3)作××（射线）平分∠×××；(4)过点×作××⊥××，垂足为×；(5)作线段××的垂直平分线××。
【解题点要】例1：判断题：1.三角形的角平分线是射线（）2.三角形的三条角平分线的交点和三个顶点的距离相等（）3.原命题是真命题，它的逆命题也是真命题（）4.因为每个命题都有逆命题，所以每个定理也都有逆定理（）5.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题（）解：第1题：“×”。
因为三角形的角平分线是三角形一个角的平分线和这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
它是线段而不是射线。
一个角的平分线才是射线。
第2题：“×”。
因为三角形的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等。
第3题：“×”。
因为原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题，例如：“对顶角相等”的逆命题：“相等的角是对顶角”就是假命题。
第4题：“×”。
因为每一个命题都有逆命题是对的。
但是一个定理的逆命题经过证明是真命题，它才能叫做这个定理的逆定理。
所以每个定理不一定有逆定理。
第5题：“×”。
“全等三角形的对应角相等”的逆命题是：“三个角分别相等的两个三角形全等”显然是错误的。
例2 已知：如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D、E、F分别是垂足。
求证：点O在∠A的平分线上。
分析：此题要注意区分何时用判定定理，何时用性质定理。
证明：∵点O在∠B的平分线上（已知）又∵OD⊥AB，OE⊥BC（已知）∴OD=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）同理：OD=OF∴OE=OF∴点O在∠A的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）例3下列各语句为作图范句的画“√”，不是作图范句的画“×”。
1.过P作直线PA（）2.过点P，点A，作直线PA（）3.连结两点ＭＮ（）4.延长ＡＢ到ＡＤ（）5.延长ＡＢ到Ｄ（）6.延长ＡＢ到Ｄ，使ＢＤ＝ＡＢ（）7.在ＡＤ上截取ＡＥ＝a （ ）8.以点P 为圆心，以m 为半径作圆（ ）解：1.过一点可以作无数条直线∴“×”2.因为两点确定一条，∴“√”3.连结两点MN ，得到线段MN ，∴“√”4.应为延长AB 到D 点∴“×”5.“√”6.“√”7.“√”8.“√”例4 已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60，AD为∠BAC 的平分线，D 到AB 的距离为5.6cm求：BC 的长分析：此题要充分利用角平分线的性质定理，避免绕远路，去证三角形全等。
证明：在Rt △ABC 中，∵∠CAB=60°∴∠B=30°（直角三角形两锐角互余）∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠1 = 12∠CAB=30°（角平分线定义） ∴∠1 = ∠B ∴AD = DB∵D 到AB 的距离为5.6cm 即DE=5.6cm∴CD = DE =5.6cm∵Rt △DEB 中 ∵∠B=30°，DE=5.6cm∴DB = 2DE=11.2（Rt △中30°角所对边等于斜边的一半）∴BD = 11.2∴BC = CD + DB =5.6+11.2=16.8(cm)【同步练习】一、选择题1.已知：如图1，B E ，C F 是△ABC 的角平分线，B E ，CF 相交于D ，若∠A=50°，则∠BDC=（ ）A. 70°B.120°C.115°D.130°2.已知：如图2，△ABC 中，AB = AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（ ）A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点4.已知P 点在∠AOB 的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm ，那么P 点到边OA 、OB的距离分别是（）A. 5cm、53cmB. 4cm、5cmC. 5cm、5cmD. 5cm、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC= 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）cmA. 2、2、2B.3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是，它是命题。
2.角平分线可以看作是的点的集合。
3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。
4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |”的命题是，它是命题。
三、简答题1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD = AC求证：DC∥AE Array2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB的中点，AB = 2BC，DE⊥AB交AC于E求证：BE平分∠ABC3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。
4.已知：如图6，△ABC中，∠A= 90°，AB = AC = BDED⊥BC求证：AE = DE =DC5.已知：线段a和∠α求作△ABC，使AB = AC = a，∠A= ∠α【参考答案】一1. C 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A二1.同旁内角互补，两直线平行，真2.到一个角的两边距离相等的所有3. 84.如果| a | = | b |，那么a = b，假三1.∵AD = AC，∴∠ADC=∠ACD，△ABC中∵∠FAC=∠ADC + ∠ACD，又∠1=∠2=12∠FAC ∴∠ADC=12∠FAC=∠1，∴DC∥AE2.∵D是AB中点∴BD=12AB，∵AB = 2BC ∴BC=12AB ∴BD = BC又∵DE⊥AB∠C=90°，∴∠C=∠BDE=90°，又BE = BE，∴R +△BDE≌Rt△BEC（HL）∴∠DBE = ∠EBC ∴BE平分∠ABC3.略4.连结BE，可证△ABE≌△BDE（HL）∴AE = DE ∵AB = AC ∠A=90°∴∠C=45°又∵DE⊥BC ∴∠DEC = 45°∴DE = DC ∴AE = DE = DC5.略。