结构动力学习题

习题集1.12重物w悬挂在简支梁跨中的一个弹簧上（图P1.12），梁长为L，弯曲刚度为EI，弹簧刚度为k，假定梁无质量，试求其固有频率。

1.19 将汽车粗略地理想化为一个集中质量支撑在一个弹簧－阻尼器系统上，如图P1.19所示。

汽车以恒定不变的速度v通过路面，路面的平整度为路面位置的一个已知函数。

试推导运动方程。

(从自重下的平衡位置处起算)Problem Plus1 for Ch1 (please do it in English)Derive the equations of motion for the following pendulum system. The rod length is L, and its mass density is uniform across its surface area. Assume b << L (so make small angle approximations). Mass density is ρbut total mass of rod is m. Note: the term “rod” does not imply a simple rod.a. Derive the equation of motion of the system.b. Simplify the equation of motion assuming the displacement angle,θ, is smallc. Determine the natural frequency of the rod system based on the simplifiedequation of motion in part (b).d. The same rod is taken and now rotated about a new pivot point (as shownbelow). Find the natural frequency of the new rod system configuration. Again,make small angle approximations to find the rod’s equation of motion.e. Compare the natural frequency from part (c) and (d). The new pivot point istermed the CENTER of PERCUSSIONProblem Plus2 for Ch1 (please do it in English)Determine the equation of motion of the following system using the Principle of Virtual Work.where()4x c x a=Hint: Be careful with respect to the beam with a distributed mass shown on the left. You caneither consider the rotational inertia about the hinge on the left –OR- you can consider therotational inertia about the beam’s center of mass point. If you go with considering the rotation about the beam’s center of mass, you need to account for the inertia associated with translational movement of that center of mass. In fact, a third valid approach is to not even consider the beam as a rotational element. You could discretize the beam to infinitely small slices with thickness “dx” and find the vertical translational inertia (essentially sum them using integrals). You should convince yourself of the equivalency of both approaches of analysis of the inertial properties of the system shown.2.6 一个仪器的包装可如图P2.6所示模拟。

在图中，质量为m由总刚度为k的弹簧约束的仪器被置于一箱子内。

m=10磅力／g，k=50磅力／英寸。

箱子意外地从离地3英尺的高处掉下，假定接触没有弹跳，试确定箱子内部包装的最大位移和仪器的最大加速度。

2.20 一个由重物、弹簧和摩擦装置组成的单自由度体系如图P2.20所示。

该装置的起滑力是重力的10%，体系的固有振动周期为0.25秒。

如果给这个体系2英寸的初位移，然后释放，循环六个周期后位移幅值将为多少？多少周期后体系将静止？3.5 一个重1200磅力的空调装置用螺栓固定于两个平行简支钢梁的跨中（图P3.5)，梁的净跨为8英尺，每根梁横截面的面积二次矩为10英寸4。

装置内的电动机以每分钟300转运转，在这个速度上产生一个60磅力的不平衡力。

忽略梁的重量，并假设体系有1％的粘滞阻尼。

对于钢材，E=30000千磅力／英寸2。

试确定由不平衡力引起的梁中点稳态挠度幅值和稳态加速度幅值（用g 表示）。

3.11偏心质量激振器引起结构的稳态加速度幅值，测得一些激励频率下的数据为试求结构的固有频率和阻尼比。

3.18* 一个加速度计的固有频率为f n = 25赫兹，阻尼比ζ＝60％。

如果输入加速度为：0()sin(2)g g u t u ft π= ，写出仪器反应()u t 作为时间函数的方程。

画出比值200/n g u uω 作为/n f f 函数的曲线。

为了在非常低的激励频率下正确读出输人加速度，需要对加速度仪进行校准。

确定能以±1％的精度测量加速度幅值时的频率范围，在上面提及的图中标识出这个频率范围。

3.23 证明：粘滞阻尼器的每周耗散能量可表示为202222(/)[1(/)][2(/)]n D n n p E k πζωωωωζωω=−+3.26 固有周期为T n和阻尼比为ζ的单自由度体系受图P3.26所示的幅值为P0和周期为T0的周期力作用。

(a) 对扰动函数做Fourier级数展开。

(b) 确定无阻尼体系的稳态反应。

T0取何值时解是不确定的？(c) 对于T0／T n = 2，确定并画出Fourier级数中各项的反应。

为了获得级数解的合理收敛，需要取多少项？4.5 (a) 证明：处于静止的无阻尼体系受到突然施加的力p 0作用，该力随时间按指数衰减（图P4.5)，其运动为22o ()1sin cos ()1/at n n st n n u t a t t e u a ωωωω−⎛⎞=−+⎜⎟+⎝⎠注意：a 与n ω的单位相同。

(b)* 对选择的值/n a ω=0.01、0.1和1.0，画出这个运动。

(c) 证明：稳态幅值为o ()()st u t u = 稳态运动在什么时候达到？4.13 固有周期为T n 的单自由度体系承受图P4.13所示的交变阶跃力作用。

注意：p (t )是周期性的，周期为T n 。

(a) 确定作为时间函数的位移，初始条件为(0)(0)0u u== 。

(b)* 画出反应图。

(c) 证明：位移峰值由1/()(1)2n n st o u u n −=−给出，式中的n 是p (t )中半个循环周期的数量。

6.11 (a）一个装满水的水箱支撑在一个80英尺高的悬臂型塔上，该结构理想化为一个重量w= 100千磅力、侧向刚度k = 4千磅力／英寸、阻尼比ζ= 5％的单自由度体系。

支撑水箱的塔用图6.9.5中的设计谱（峰值地面加速度调整为0.5g)所刻画的地面运动设计。

试确定侧向位移和基底剪力的设计值。

(b）若(a)部分中计算得到的位移似乎超过了设计值，设计者决定增加尺寸来提高塔的刚度。

如果侧向刚度为8千磅力／英寸，确定修改后体系的位移和基底剪力的设计值，假设阻尼比仍为5％。

评价提高刚度如何影响设计需求，并说明提高体系刚度的缺点是什么？(c) 如果提高刚度后塔将要支撑的水箱重量为200千磅力，试确定其设计需求，假设其阻尼比仍为5％。

评价增加的重量如何影响设计需求。

6.14出于结构分析的目的，将一座单层的钢筋混凝土建筑物理想化为在梁处支撑着重量为10千磅力恒载的无质量框架。

框架宽24英尺，高12英尺，固结于基底的每根柱均为10平方英寸的方形截面。

混凝土的杨氏模量为3×l03千磅力／英寸2，建筑物的阻尼比估计为5％。

如果按照图6.9.5中的设计谱（峰值加速度调整为0.5g）进行设计，试确定下面两种情况下，柱的侧向位移和弯矩的设计值：(a) 梁的横截面比柱大得多，使得梁可以假设为弯曲刚性。

(b) 梁的截面比柱小得多，使得梁的刚度可以被忽略。

评论梁的刚度对设计值的影响。

6.15 将习题6.14中满足（a）情况（即刚性梁）的框架的柱基底改为铰接，在同样设计地震作用下，试确定柱的侧向位移和弯矩的设计值。

评论基底刚性对设计位移和弯矩的影响。

8.7* （本题为选做题）一个钢筋混凝土烟囱高600英尺，横截面为圆环形，底部的外径为50英尺，顶部为25英尺，沿整个高度壁厚均为2英尺6英寸（图P8.7）。

采用壁厚与半径相比较小这一近似假设，根据混凝土的毛面积（忽略钢筋影响）计算质量和弯曲刚度特性。

假设烟囱与基底固结，阻尼比估计为5％。

混凝土的单位重量为150磅力／英尺2，弹性模量E c ＝3600千磅力／英寸2。

假设形函数为()1cos 2xx L πψ=−式中，L 是烟囱高度，x 是从基底测量的距离。

地面运动由图6.9.5的设计谱定义，峰值加速度调节到0.25g ，试计算在地面运动作用下的以下量：(a) 基底和中间高度的剪力和弯矩；(b) 顶点挠度。

9.6 图9.6所示的具有集中质量的两层框架，承受侧向力作用，图中还给出了结构的一些特性；另外，所有柱和梁的弯曲刚度均为EI 。

(a) 标出代表弹性特性的自由度，并确定刚度矩阵。

忽略所有单元的轴向变形。