连续性方程能量方程
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是流体力学中的一个重要定律。
它表明物质的流动是连续的，即它是恒定的，不会失去或添加。
连续性方程定义了流体力学中影响流动的主要变量，即流体密度，速度
和压力。
它可以用一个公式来描述：ρ/ t + (ρv/ x ) + (ρvv/ y ) + (ρwz / z ) = 0。
这个方程描述了流体在时间和空间上的变化，即随着时间的推移，物质的流动越来越慢，可以用来研究气体和液体的流动。
可以用来评估各种变量，如流体密度、速度、压力和其
他变量的影响。
在应用连续性方程时，必须考虑在流体的混合阶段，如随着时间的推移，物质中必须有交换力存在，以使其不减少或增加。
在流体力学中，能量方程和动量方程也可以用来研究流体的运动。
当应用连续性方程时，可以考察不同变量对流体动力学的影响，比如不同密度和速度的流
体如何影响液体的压力，以及流体在某一时刻的运动行为等。
这可以帮助科学家们更好地
理解流体的运动。
总的来说，连续性方程是流体力学中重要的定律，可以用来描述和研究气体和液体的流动状态。
它考察的变量如浓度，速度和压力的影响可以帮助科学家们更好地理解流体的运动
特性。
连续性方程则是流体力学中重要的定律，也是在研究流体动力学时必不可少的方程。
工程热力学蒸汽的流动
c2 ' c2
h2
h2
/
2
2'
x=1
0
s
21
6-4 绝热节流及其应用
一、绝热节流的概念
流体流经阀门、孔板等装置时，由于局部阻力较 大，使流体压力明显下降，称为节流现象。如果节 流过程是绝热的，则为绝热节流，简称节流。
二、节流过程的特点
1 3 2
1、过程的基本特性： （1）节流过程是典型 的不可逆过程； （2）绝热节流前后焓 值相等。
第一篇
工程热力学
第六章 蒸汽的流动
新课引入
前面讨论的热力系中所实施的热力过程，一般都没有考 虑工质流动状况(如流速)的改变。但在有些热力设备中， 能量转换是在工质的流速和热力状态同时变化的热力过程 中实现的。如蒸汽在汽轮机中喷管内的流动过程；气体在 叶轮式压气机中扩压管内的流动过程等，其能量转换的规 律需专门研究，为以后汽轮机专业课的学习奠定一定的理 论基础知识。
h
节流前汽轮机按1-2进行：
p1
/
p1
t1
/
wt=h1-h2 wt′=h1′-h2′ 由于h1=h1′及h2′>h2， 则有 wt′<wt
h1Hale Waihona Puke h11t1/
1'
节流后汽轮机按1′-2′进行：
p2
h2
/
h2
2' 2
x=1
0
s
虽然蒸汽绝热节流后，焓不变，1kg蒸汽的总能量的数量 没变，但其作功能力降低了。
14
工程中常用的喷管型式为：渐缩喷管和缩放喷管
15
Ma<1
Ma<1
Ma>1
渐缩喷管
《化工原理》课件—01流体流动(连续性方程+能量衡算)
1 2
u12
p1
Ws
gz2
1 2
u22
p2
W f ,12
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
1、计算输送流体所需的功Ws或功率P； 2、计算流体流速、压强、所处位置高度； 3、分析机械能之间相互转化的规律等。
应用举例
1、确定输送设备的功率 P
用泵将碱液池的碱液输送至吸收塔顶，经喷 咀喷出，泵的进口管为108×4.5mm的钢管， 流速为1.5m/s, 出口管为76×2.5mm，储 液池碱液深度1.5m，池底至喷咀的垂直距 离20m,流动阻力损失30J/kg，喷咀处表压 0的.3效k率gf为/c6m52%，。碱液密度ρ=1100kg/m3,泵
p2v2
p2
p2
pdv d( pv) vdp ( pv) vdp
v1
p1v1
p1
p1
即：
Q
Ws
U
gZ
1 2
u2
( pv)
U Q W
p2
Q (( pv) vdp W f 12 )
p1
两式合并，有：
Q Ws Q (( pv)
p2
vdp
p1
W
f
12 )
gZ
1 2
u2
(
pv)
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
gz为单位质量流体所具有的位能； p/ρ为单位质量流体所具有的静压能；
u2/2为单位质量流体所具有的动能。
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
绝热稳定流动的基本方程
第一节 绝热稳定流动的基本方程 一、绝热稳定流动工程中气体和蒸汽在管道内的流动可以视为稳定流动，为了简化起见，可以认为垂直于管道轴向的任一截面上的各种热力参数、热力学参数都相同，气体参数只沿管道轴向（气流流动方向）发生变化，称为一维稳定流动。
此外，气体在喷管或扩压管内的流动时间较短，与外界几乎没有热量交换，可以认为是绝热流动。
因此，气体在喷管或扩压管内的流动为一维绝热稳定流动。
二、绝热稳定流动基本方程研究气体和蒸汽的一维稳定流动主要有三个基本方程。
即连续性方程、绝热稳定流动能量方程和定熵过程方程。
1、连续性方程在一维稳定流动的流道中，去截面1—1、2—2、〃〃〃〃〃〃根据质量守恒定律，可导出一个基本关系式。
在稳定流动通道内任一固定点上的参数不随时间的改变而改变，各截面处质量流量都相等。
即 定值==⋅⋅⋅====⋅⋅⋅==υυυff f m m m Acc A c A q q q 22211121 （7-1）式中 m m m q q q ,,,21⋅⋅⋅——各截面处的质量流量，kg/s ；A A A ,,,21⋅⋅⋅——各截面处的截面积，2m；ff f c c c ,,,21⋅⋅⋅——各截面处的气体流速，m/s ；υυυ,,,21⋅⋅⋅——各截面处的气体比体积，s m /3； 对于微元稳定流动过程，对上式微分可得0=-+υυd AdA c dc ff（7-2）式（7-1）、式（7-2）为稳定流动连续性方程。
它适用于任何工质的可逆与不可逆的稳定流动过程。
2、绝热稳定流动能量方程由能量守恒定律可知，气体和蒸汽的稳定流动过程必须符合稳定流动能量方程，即sf f w z zg c ch hq +-+-+-=)()(21)(12212212气体和蒸汽在管道内流动时，一般情况下，由,0,21≈≈s w z z 绝热流动时，0=q ，因此上式可简化为212122)(21h h c c f f -=-（7-3）对于微元绝热稳定流动过程，可写成dhdcc ff -= （7-4）式（7-3）、式（7-4）为绝热稳定流动能量方程。
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式能量守恒定律是物理学中一条至关重要的定律，它认为在一定物理空间内，物质的数量不变，系统的能量总量也不变。
然而，实际上，如果一个系统中有流动物质，那么能量守恒定律就不能完全与实际情况相一致。
这是因为流体可以在空间内转移，从而改变系统内物质的数量。
为了解决这个问题，流体力学中有一种表达形式就是“连续性方程”，也称为“质量守恒定律”，它与能量守恒定律相似，但在实际描述中有一些不同。
连续性方程通俗的说就是描述流体来源和流动过程中物质的守恒，即物质的流出等于物质的流入。
这一方程的推导基于质量守恒的原理，它可以用向量写成：$$frac{partialrho}{partial t}+ablacdotleft(rho {bf u}right)=0$$其中，ρ表示密度，t表示时间，u表示速度向量。
该方程可以用来描述流体动态特性，如流体速度，流体密度，流体压力等。
此外，连续性方程还可以用来推导流体动量守恒方程，这是因为流体动量守恒方程可以由连续性方程和物理守恒定律来推导而来。
例如，流体动量守恒方程可以描述流体受到外力作用的情况，它的数学表达式为：$$rho left(frac{partial {bf u}}{partial t}+{bf u}cdot abla {bf u}right)=-abla p+muabla^2 {bf u}+{bf f}$$其中，p表示压力，μ表示粘度，f表示外力。
该方程描述了流体受到外力作用时，其速度、压力和粘度等物理量的变化，为继而研究流体力学提供了基础。
从上述内容可以看出，连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式，它既可以描述物质的守恒，也可以推导出流体动量守恒方程，用于研究流体的动力学特性。
另外，连续性方程的数学描述也很容易理解，它的应用非常广泛，例如气体动力学、热力学、蒸发等领域都有着重要的作用。
因此，连续性方程是物理学和流体力学中一种十分重要的方程，在许多领域都有着广泛的应用。
第3章-两相流的基本方程
适用于分层流、波动分层流、环状流等。
基本假设：
1. 两相完全分开流动；
A A A; A A; A A1
2. 两相流速不相等；
W W••S 1
dz A
dz
流体流动方向为正
3.2 单相流体一元流动的基本方程
三. 能量方程
单位时间内， 控制体内总能量的增量 等于加入控制体的热量 与外界对其所作功之和。
dQ dL dE
pg
流体流动方向为正
dp dF g sin W dW
dz dz
dz
3.2 单相流体一元流动的基本方程
g
sin dz
内能的增量
dU d (1 x)U xU
dq pdm dqo dF pdm
两相混合物的能量方程中，总压降梯度
dp dz
m
dF dz
mG2
2
d dz
(1 x)3
'2
(1
)2
x3
''2 2
mg sin
dp dz
m
dF dz
m g sin
mG2
2
dE2
dz
3.4 均相流模型的基本方程
一、均相流模型的基本思想和基本假设
基本思想：通过合理定义两相混合物的平均物性值， 把两相流当作具有这种平均特性，遵守单相流体基本方程的 均匀介质。
基本假设： （1）两相具有相等的速度，即
普林斯顿方程
普林斯顿方程引言普林斯顿方程，又称为普林斯顿方程组，是描述等离子体动态行为的一组非线性偏微分方程。
它由数学家M.G. 普林斯顿（M. G. Prandtl）于20世纪初提出，是等离子物理学中的重要理论工具。
本文将对普林斯顿方程进行全面、详细、完整且深入的探讨。
普林斯顿方程的概述普林斯顿方程组是描述等离子体中电离、扩散、湍流运输等现象的一组非线性偏微分方程。
它包括了等离子体的连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和泊松方程。
连续性方程连续性方程描述了等离子体的质量守恒关系，用于描述等离子体中粒子的扩散和输运过程。
它可以写成以下形式：∂n∂t+∇⋅(nv)=S n其中，n是等离子体的粒子数密度，v是等离子体的速度场，S n是粒子源项。
动量守恒方程动量守恒方程描述了等离子体中动量的输运和转换过程，用于揭示等离子体中的湍流行为和推动力的产生机制。
它可以写成以下形式：∂v ∂t +(v⋅∇)v=−∇pm+qm(nE+v×B)+ν∇2v+F其中，v是等离子体的速度场，p是等离子体的压力，m是等离子体的质量，q是等离子体的电荷，E和B分别是电场和磁场，ν是等离子体的动力粘性系数，F是外力项。
能量守恒方程能量守恒方程描述了等离子体中能量的输运和转换过程，用于研究等离子体的加热、辐射和能量损失机制。
它可以写成以下形式：∂T ∂t +(v⋅∇)T=23n(∂q∂t+∇⋅q)+23n∇⋅(κ∇T)+Q其中，T是等离子体的温度，q是等离子体的热流密度，κ是等离子体的热导率，Q 是能量源项。
泊松方程泊松方程描述了等离子体中电势场的分布和电场的生成机制，用于研究等离子体中的电磁行为。
它可以写成以下形式：∇2ϕ=−ρϵ0其中，ϕ是电势场，ρ是等离子体的电荷密度，ϵ0是真空介电常数。
普林斯顿方程的应用普林斯顿方程在等离子体物理学的研究中具有广泛的应用。
以下是一些普林斯顿方程的典型应用领域：1.等离子体控制–利用普林斯顿方程可以研究等离子体在磁约束聚变装置中的控制方法，从而实现稳定的等离子体状态，为聚变实验提供可靠的等离子体环境。
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式能量守恒定律（EnergyConservationLaw）是一个重要的物理定律，其原理是：总能量是定值，可以在系统内部流动，但不可以消失或者出现。
由于能量守恒定律的存在，在流体力学中有一种被称为“连续性方程”的表达形式，它描述了流体的性质和流动状态。
连续性方程的基本原理是：给定区域内的流体的质量、能量和动量都是保持不变的，因此流体的流动速度和性质随时间和空间变化受到限制。
这种性质称为“连续性”。
换言之，在特定空间和时间尺度内，流体质量、能量和动量的流动速度是恒定的。
理论上，连续性方程可以用来描述流体力学中众多类型的流体种类，例如热流体、冷流体、工艺流体、原子量流体等等。
它可以用来分析水力学、气力学、热力学、动力学中的绕流、湍流和振荡流等态势的发展和利用，为有效的流体控制和处理提供了重要的理论基础。
另外，连续性方程也可以用来描述流体的速度变化，用来研究流动的湍流和涡态等特性。
其中，湍流就是流体动力学中的一种不稳定流动状态，因为涡旋、分层、分支等不均匀性，而涡态则是一种稳定性流动状态，涡旋、分层、分支等不均匀性会导致流体边界处的局部流动状态发生变化。
连续性方程的另一个重要用途就是可以用来描述流体的流动效率。
在实践中，连续性方程可以帮助科学家计算准确的流体流动效率，帮助他们计算流动流体所承受的力学损失，以及在某种流体中，在特定时间和特定空间尺度内，物质的变化和物质流速的变化。
此外，连续性方程也可以用来研究流体动力学中的涡态现象，比如流体在升腾过程中是如何变化、流体的流动情况是如何受到空气的影响等等。
总之，连续性方程在流体力学的研究中是一种非常重要的表达形式，它可以用来描述流体动力学中的流动状态，涡旋、分层、分支等不均匀性，以及可以用来计算流体流动效率、流速变化和涡态现象等。
此外，连续性方程也由于其受能量守恒定律的支撑，使得它的理论基础更加稳固，从而得到了广泛的应用。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学知识概要
一、守恒型控制方程（连续性方程、动量方程和能量方程）二、非守恒型控制方程（连续性方程、动量方程和能量方程）三、守恒型控制方程的通用形式，解向量、通量项和源项。
四、守恒变量和原始变量。
五、拟线性方程组的概念六、特征线的概念及其求法七、试判断下列方程组在亚音速流时方程的性质()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂'∂-∂'∂=∂'∂+∂'∂-∞0012x y u y x u Ma υυ 八、试证明一阶波动方程是双曲型方程0=∂∂+∂∂x uc t u九、双曲型方程影响区域和依赖区域的概念。
十、试构造差分格式并判断其截断误差xu∂∂的向前、向后和中间差分格式。
22xu∂∂的中间差分格式。
y x u∂∂∂2的中间差分格式。
十一、离散误差和截断误差的概念及其求法十二、差分方程的性质1. 相容2. 收敛3. 稳定性4. LAX 等价定理 十三、试构造一维热传导方程（22x T t T ∂∂=∂∂α）的各式差分方程1. 显式格式2. 隐式格式十四、克兰克—尼克尔森格式 十五、试判断一阶波动方程（0=∂∂+∂∂x uc t u）欧拉显式格式的稳定性。
十六、CFL 条件的物理解释？十七、SIMPLE 算法的步骤是什么？十八、Galerkin 加权余量法及其应用十九、强解与弱解的概念二十、Ritz —Galerkin 法及其应用二十一、单元和总体有限元方程的推导如：1．试推导下列一维对流扩散方程边值问题的Galerkin 弱解积分表达式，并推导如题图4所示（1）单元的单元有限元方程（选择单元基函数为线性函数）。
()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎩⎨⎧==<<=+∂∂10,2,11,01022x u t u t u x dx u d dx du t u βα2．试推导下列一维对流扩散方程边值问题的Galerkin 弱解积分表达式，并推导如题图4所示（2）单元的单元有限元方程（选择单元基函数为线性函数）。
连续性方程能量方程PPT培训课件
连续性方程是流体运动的基本方 程之一，对于理解流体运动的本 质和规律具有重要意义。
连续性方程的物理背景
流体的连续性
流体微元的运动分析
流体的运动被视为连续的过程，而不 是离散的粒子运动。
通过对流体微元的运动分析，推导出 连续性方程。
质量守恒原理
在封闭系统中，质量不会凭空产生或 消失。
连续性方程的应用领域
04 连续性方程与能量方程的 实例分析
实例一
01 总结词
流体动力学中的连续性方程与 能量方程的应用
02
详细描述
在流体动力学中，连续性方程 和能量方程是描述流体运动和 热力学状态的基本方程。通过 这些方程，我们可以分析流体 的速度场、压力场、温度场等 物理量的分布和变化规律。
03
总结词
04
流体动力学中的连续性方程与能 量方程的求解方法
数值法求解连续性方程与能量方程
数值法求解连续性方程与能量方程是指通过数值计算方法，近似求解方程的解。 这种方法通常适用于复杂的问题和大规模问题，因为可以通过计算机实现快速计 算。
数值法求解连续性方程与能量方程的优点是能够处理复杂的问题，而且可以通过 计算机实现自动化计算。但是，数值法得到的解是近似解，可能存在误差和不确 定性。
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当前研究的不足之处
尽管连续性方程与能量方程在多个领域中得到了广泛 的应用，但目前的研究仍存在一些不足之处。例如， 对于复杂流体的流动和传热问题，现有的理论和模型 仍存在一定的局限性，难以准确描述其物理特性。此 外，在多相流、非牛顿流、湍流等复杂流动中，连续 性方程与能量方程的求解也面临较大的挑战。
未来研究的方向
能量方程的应用领域
连续性方程是能量守定律在流体力学中的一种表达形式
连续性方程是能量守定律在流体力学中的一种表达形式
流体力学是一门研究物体在流体的环境中运动的学科，连续性方程（ContinuityEquation）是其中一个重要的工具。
它建立在能量守恒律的基础上，用来研究流体的流量以及流体的能量的运动模式。
就流体力学而言，大家熟知的能量守恒律可以表述为，在小体积中，流体的总
能量（动能+势能）保持不变，而能量不会随着时间而消失。
这意味着，流体的动
能和势能会以一定的比例分布在密集的区域，并依据空间的变化而变化。
连续性方程就是以能量守恒律为基础，来研究流体流动的状态的。
举个简单的例子，我们可以想象一个水桶里装满水，水流着充满活力，能量守
恒律说明：在不考虑水在桶壁上摩擦以及水桶内增加的能量外，水依然具有等价的动能和势能。
这意味着水流动时，速度和体积是成相反比例的：流量大，速度越小，流量小，速度越大。
连续性方程采用向量积的形式来描述流体的运动，用来概括流体的变化，还可
以作为流体的函数特征的参数。
本质上，它给出了一个流体的空间分布曲线，概括了流体的运动规律。
连续性方程要求，速度和流量穿越某一体积的增量量应该是始终不变的，这从另一个角度上反映了能量守恒律的含义。
总结起来，连续性方程将能量守恒律的数学描述抽象出来，提供了一种求解流
体力学中能量传递的有力方法，它也是许多流体力学计算的前提条件。
它的先进性体现在不仅它的数学模型内涵丰富，而且它的方法是追求更高的精确度。
可以说，连续性方程是流体力学中最独特的表达形式之一，具有巨大的价值。
流体力学方程各项的意义 知乎
流体力学方程各项的意义知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：流体力学方程是描述流体运动规律的基本方程，它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这三个方程分别对应了流体运动中质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理，通过这些方程我们可以推导出流体在不同情况下的运动规律和流态特性。
下面将分别介绍各项方程的意义。
连续性方程是描述流体在空间内不同位置和不同时间的质量变化关系。
其数学表示形式为质量守恒方程：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0ρ表示流体的密度，v表示流体的流速，t表示时间。
这个方程实际上是描述了在流体流动过程中，质量不能被“创造”或“消失”，而只能在空间内不同位置之间转移。
连续性方程可以帮助我们理解和描述流体在不同位置之间的质量变化关系，对于研究流体运动的整体特性和稳定性具有重要意义。
动量方程是描述流体运动过程中力的作用和运动状态变化的方程。
其数学表示形式为牛顿第二定律：p表示压力，τ表示应力张量，F表示外力。
这个方程可以描述流体在外力作用下产生的加速度和流速的变化情况，进而帮助我们理解和分析流体运动中各种复杂的现象和特性。
通过动量方程，我们可以研究流体在不同条件下的运动规律和动力学特性，为流体力学的应用和实践提供理论基础。
ρ[∂(e + v^2/2)/∂t + ∇·[(e + p)v]] = ∇·(k∇T) + φe表示单位质量的内能，k表示热传导系数，T表示温度，φ表示能量来源。
能量方程可以描述流体的内能和动能随着时间和空间的变化情况，进而帮助我们研究和分析流体的温度、热量传递和能量转换过程。
通过能量方程，我们可以深入理解流体在不同环境下的能量交换和转化机制，为热力学和热传导等领域的研究提供依据和支持。
流体力学方程是研究流体运动规律和性质的基本工具，每一个方程都有其独特的物理意义和数学含义。
通过对这些方程的建立和求解，我们可以深入探讨流体在宏观尺度下的行为和特性，为工程应用和科学研究提供理论支持和指导。
流体力学的连续性方程
流体力学的连续性方程流体力学是研究流体在运动过程中的力学性质的学科。
其中，连续性方程是流体力学中的重要基本方程之一，描述了流体质点在运动过程中的连续性特征。
本文将介绍流体力学的连续性方程，并探讨其在流体力学研究中的应用。
一、连续性方程的基本原理连续性方程是基于流体质点的质量守恒定律推导而来的。
它描述了在稳态条件下，流体在运动中的连续性特征。
连续性方程的基本原理可以通过以下推导得到：考虑一个质量元dV，在任意时刻t处于速度场中，流体通过其两个相对面的质量流量之差与时间t的导数成正比，即：∂(ρdV)/∂t = -(∂(ρu)dA)/∂x其中，ρ是流体的密度，dA是质量元dV的表面积，u是流体的速度。
由于流体的质量守恒定律，可以得到∂(ρdV)/∂t = -∂(ρu)dA/∂x将上式中dA展开，得到：∂(ρdV)/∂t = -∂(ρux)dA/∂x - (ρudy)dA/∂y - (ρudz)dA/∂z根据偏导数的定义，上式可以变形为：∂(ρdV)/∂t = -(∂(ρux)dV)/∂x - (∂(ρuy)dV)/∂y - (∂(ρuz)dV)/∂z再次对上式进行变形，得到：∂ρ/∂t + (∂(ρu)/∂x)dV/∂x + (∂(ρv)/∂y)dV/∂y + (∂(ρw)/∂z)dV/∂z = 0由于密度ρ是一个常量，上式可以继续简化为：∂ρ/∂t + u(∂ρ/∂x) + v(∂ρ/∂y) + w(∂ρ/∂z) = 0这就是流体力学中的连续性方程。
二、连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。
下面我们将介绍其中的几个重要应用。
1. 流体的运动学特性连续性方程可以描述流体质点在运动中的连续性特征。
通过解连续性方程，可以获得流体的速度场分布，进而推导出流体的压力、密度等物理量的变化规律。
2. 流量计算连续性方程可以用于计算流体通过管道、沟渠等通道的流量。
通过将连续性方程应用到通道的不同截面上，可以获得截面处流速与流量之间的关系，从而实现流量的计算与预测。
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∴流量 Q = v2 A2
=7×π×0.052 / 4=0.0137m3/s
由连续方程 v2 = v A = v ( D )2 4v
A2
d
解得水平管段：v =1.75m/s
确定测压管高度Δh：
以2-2断面为基准，建立3－3和2－2断面 的能量方程
29
H 3 Δh
3
h
0 22 0
z3=h=1m
E1=E2 +hw ， 即E1 > E2
——单位重量液体的总机械能
伯努利方程式表示单位重液体体所具有的位能、 压能及动能之和即总机械能沿程减小。不同断面的单 位重液体体总机械能差就是能量损失，伯努利方程式 是能量守衡定律在水力学中的应用，又称为能量方程。
请判断下列说法哪一个是正确的， 并说明为什么？
6.能量方程的主要应用： (a) 求解：平均流速，动水压强，
作用水头，水头损失，流向等
(b) 毕托管（流速仪） (c) 文丘里流量计 (d) 孔口出流，水泵与虹吸管 计算等
例2：输水圆管全管路 hw =3.5m。已知
H =5m，h =1m，D =0.1m，d =0.05m, 求
管中流量？若测压管到出口间的水头损失 hw’=0.2m，求测压管高度△h。
h
H
b
A1
M A2
[例]
7.能量方程的推广：
34
1）沿程有流量输入或输出的能量方程
（１）沿程有分流的：
q 1
q 2
q 3
q1 1
对断面1-2，1-3分别列
1
出伯努利方程式：
2 q2 32
3 q3
z
1
p1
2
α1 v1 2g
z2
p2
2
α2 v2 2g
hf12
2
2
z1
p1
α1 v1 2g
α2 v2 2g
hf12
q
3
z
3
p3
2
α3 v3 2g
hf13
q q q （2）沿程有汇流的：
同理，可得汇流的伯努利方程式：
1
2
3
q1
z1
p1
2
α1 v1 2g
h
f
13
q
2
z
2
p2
2
α2 v2 2g
h f 2 3
q1
1
q
3
z3
p3
2
α3 v3 2g
3
1 2
q2
2
q3
3
2）沿程有能量输入或输出能量方程
水库水位
恒定
D
H Δh
h
d
26
1
1
H Δh
h 0 22 0
v1=0 p1=p2=0
27
解: 以2-2断面为基准，建立1-1和2-2断面
的能量方程
z1
p
γ
1
v2
11
2g
z2
p2
γ
2
2v g
2 2
hw
式中：hw=3.5m, z2=0, z1=5+1=6m
则：6 0 0
00
v2 2
3.5
2g
解得： v 2=7m/s
测压管水头线不一定是下降的曲线，需 要由位能与压能的相互转换情况来确定其 形状，即它可升可降。
对于均匀流，流速水头沿程不变，总水 头线与测压管水头是相互平行的直线。
15
2）物理意义
Z ：表示单位重量液体的位能。 p/γ ：表示单位重量液体的压能。 V2/2g：表示单位重量液体的动能。
E= Z+p/γ+v2/2g
4.应用注意事项：
2) 选计算断面：满足渐变流断面 条件；
应使所选断面上未知量尽量少,以 简化能量方程的求解过程。
20
4.应用注意事项：
3) 选择代表点：确定断面测压
管水头
z
p
γ
对于管流，计算点取在管轴线上；
对明渠水流,计算点取在自由表面上。
21
4.应用注意事项：
⑵ 关于动水压强： 计算压强水头时，两个断面的
结束
40
常见过流断面的湿周、水力半径和当量直径的计算式
过流断面
2r
r
R
2
de
2r
a
a
d hc b b
r
d b c 2a b
r
a bh
ab
2
2d b c 2a b
2a bh
2ab
2r
d b c a b
压强标准要相同。 ⑶ 动能修正系数α：
一般可以取α1=α2= 1.0 计算。
22
4.应用注意事项：
⑷ 注意水头损失hw的取舍。 ⑸ 当一个问题中有2-3个未知数的时 候,能量方程需要和连续方程、动量 方程组成方程组联合求解。
⑹ 列方程时，不遗漏物理量。
23
5.能量方程的特点：
没有涉及边界对水流的作用力。 是一个动力学方程。
2.总流伯努利方程的意义
1）几何意义
Z ，p/γ ，v2/2g量纲都是长度，表示一定的高度，可 以用比例线段表示。
Z ：表示流体质点相对基准面的几何高度，称为位置水头。 p/γ：表示质点压力大小的液柱高度，称为压强水头。 v2/2g：表示断面平均流速大小的高度，称为速度水头。
Ｈ0= Z+p/γ+v2/2g —— 总水头
z3
p3
α3 v3 2g
hf13
z1
p1
2
α1 v1 2g
z2
p2
2
α2 v2 2g
hf12
2
2
z1
p1
α1 v1 2g
z
3
p3
α3 v3 2g
hf13
将上面方程1乘以gq 2，方程2乘以 gq 3，相加得分流的伯努利方程式
q1
z1
p1
2
α1 v1 2g
q
2
z
2
p2
2
渐变流 断面
推导中，产生三类积分：
• （1） ∫Q(z+ p/γ)γdQ • （2） ∫Q(u12/2g )γdQ • （3） ∫Q(hw’ )γdQ
1.方程的建立：
势能＋动能＝总能量
αv2 2g
—— 单位动能
7
实际不可压缩恒定总流的能量方程：
z1
p1
α1v12 2g
z
2
p2
α2
v
2 2
2g
第三章
液体运动的基本方程
§3-4 恒定总流连续性方程 （continue equation）
1 2
A1v1=A2v2
质量守恒定律
m1 = m2
Q1= Q2
v2 v1
=
A1 A2
2
推广： ∑Q流入=∑Q流出
沿程有汇流的连续方程式：
Q1+Q2=Q3 ， v1A1+v2A2=v3A3
Q1
1
3
1 2
Q3
z2=0, v2=4v3
30
z3
p
γ
3
v2
33
2g
z2
p2
γ
2
2v g
2 2
hw´
h´w=0.2m，z3=1m，v3=v=1.75m/s
则： 1
p3
γ
v2 2g
＝0＋0＋
v2 2
2g
+ 0.2
p 3
γ
=
Δh
=15
v2 2g
-1+0.2=1.54m
31
图示为一抽水装置,利用喷射水流在喉道断面 造成的负压,可以将容器M中的积水抽出.已知 H,b,h,如不计水头损失,当喉道断面面积A1与喷嘴 出口断面面积A2之间满足什么条件才能使抽水装 置开始工作？（假设h，b恒定不变）
（1）水总是从高处向低处流；
（2）水总是从压强大的地方向压强小的地 方流；
（3）水总是从流速大的地方向流速小的地 方流动。
（4）水总是从总水头大的地方向总水头小 的方向流动。
3.总流能量方程式的应用条件：
不可压缩的、均质的、恒定流动；
质量力只有重力；
所取断面应是渐变流断面，但在其间可不 必要求是渐变流；
hw
hw---单位重液体的沿程能量损失
——恒定总流的伯努利方程
用平均速度表达单位时间内通过过流 断面的流体动能时，需要乘以动能修正系 数才是动能的真实值。
引入动能修正系数α：
1 v3 A
A
u
3
dA
1
对渐变流断面，
α=1.05～1.1
u3dA v3dA
A
A
一般计算近似可 取:α1=α2=1.0
Q2
2
3
3
连续性方程是一个运动学方程， 它没有涉及作用力的关系，通常应 用连续方程来计算某一已知过水断 面的面积和断面平均流速或者已知 流速求流量，它是水力学中三个最 基本的方程之一。
4
§3-5 恒定总流的能量方程
研究思路:
动能定理或牛顿第二定律
元流能量方程 → 积分 →总流能量方程
→
渐变流 断面
两断面间如装有泵、风机、水轮机等装置，流 体流经这些装置就会有能量交换。
两断面间如有能量交 换，则总流伯努利方 程式为：
2
2
z1
p1
αv1 2g
HP
z2
p2
αv2 2g
hw12
HP—水流获得能量为正，失去能量为负。
水泵： ＋HP= ηp Pp/(γQ) （功率）