数理统计练习题(1)

数理统计练习题
一、填空题
1、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2
ˆθ有效。

2、已知总体X ~ N (0, 1)，设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的简单随机样本，则∑=n
i i
X
1
2
~ 。

3、设n X X X ,,,21 是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则
∑=-n
i i
X X
1
2)(服从的分布为 。

4、X 1，X 2，…，X n 是取自总体(
)2
,σ
μN 的样本，则
2
12
)(σ∑=-n
i i X X ～ 。

5、设)(~),1,0(~2
n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则~n Y
X 。

6、已知总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ是来自总体X 的样本，要检验2
02σσ=：o H ，则采用的统计
量是 。

7、设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，若{}
αλ=>T P ，则{
}=<λT P 。

8、若n X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本，2
,S X 分别为样本均值和样本方差，则
S
n
X )(μ-~ 。

9、设总体
),(~2
σμN X ，X 是样本均值，则)(X D ________ . 10、假设子样
16
21,,,X X X 来自正态母体
),(2
σμN ，令∑∑==-=16
11
101
43i i
i i X X Y ，则Y 的分布
为 .
二、选择题
1、设12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( )。

A. 121122X X μ=
+ B. 121233X X μ=+ C. 121344X X μ=+ D. 1223
55
X X μ=+
2、设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2
N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。

A.
)(~/21
n t n
X -； B. )1,(~)1(4112n F X n
i i ∑=-； C.
)1,0(~/21N n
X -； D. )(~)1(41212n X n
i i χ∑=-； 3、设总体)2,(~2
μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差
为2
s ， 则下列各式中不是统计量的是（ ）。

A. X 2
B.
2
2
σs C.
σ
μ
-X D.
2
2
)1(σs n -
4、在假设检验中, 下列说法错误的是（ ）。

A. 1H 真时拒绝1H 称为犯第二类错误。

B. 1H 不真时接受1H 称为犯第一类错误。

C. 设α=}|{00真拒绝H H P ，β=}|{00不真接受H H P ，则α变大时β变小。

D. α、β的意义同（C ），当样本容量一定时，α变大时则β变小。

5．假设总体X 服从区间],0[θ上的均匀分布，样本n
X X X ,,,21 来自总体X 。

则未知参数θ的极大似然
估计量θˆ
为（ ）. （A ）X 2 （B ）
)
,,max (1n X X （C ）
)
,,m in(1n X X （D ）不存在
三、计算
1、设总体X 的概率密度函数是
1, 01
(;)0, x x f x a αα-⎧<<=⎨
⎩其它
其中0α>为未知参数。

12, ,
, n x x x 是一组样本值，求参数α
的矩估计、最大似然估计。

2、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()
!
x
P e x λλλ-=（x =0，1， ），其中0λ>为未知参数，
123,,,
,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的矩估计、最大似然估计。

3、设总体X 的概率分布为1-P{= }=(1-),0,1x x
X x p p x =。

设123,,,,n x x x x 为总体X 的一组简单随机样
本，试用最大似然估计法求p 的估计值。

4、设总体X 服从参数为
1
θ
的指数分布，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数θ的最大似然估计。

5、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）：
6.0 5.7 5.8 6.5
7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设零件长度X 服从正态分布N (μ,1)。

求μ的置信度为0.95的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知：
6、某车间生产滚珠，其直径X ～N (μ, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7
若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径μ的置信度为0.95的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知：
7、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S =3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差2
σ的置信度为0.95的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：；
8、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得
10
21
287.5, ()160.5i i x x x ==-=∑。

假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平0.1α=下，是否可以
相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16？
22220.050.950.050.95((10)18.31, (10) 3.94; (9)16.9, (9) 3.33)χχχχ====已知：
9、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布，其方差为0.03。

在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。

试问在显著水平0.05α=下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?
22220.0250.9750.0250.975((10)20.48, (10) 3.25, (9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：。