2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 Word版含解析

§2.2 等差数列

2.2.1 等差数列

第1课时 等差数列的概念及通项公式

学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．

知识点一 等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念

如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y

2.

思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .

答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b

2.

知识点三 等差数列的通项公式

若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．

1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )

3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

1，n ＝1，

n ＋1，n ≥2，

则{a n }是等差数列．( × )

4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )

题型一 等差数列的概念

例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；

(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….

解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．

反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A

解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项

例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72

＝3.

又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋3

2＝1.

又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋7

2＝5.

∴该数列为－1,1,3,5,7.

反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝

a n ＋1＋a n －1

2

，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2

＝3.

题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，

(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.

解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝7，

d ＝2，

所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.

因为43为正整数，所以91是此数列中的项．

(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝12，

d ＝－1.

∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.

反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．

跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；

(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.

(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．

等差数列的判定与证明

典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.

(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n 3n 是等差数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n ，两边同时除以3n ＋

1，

得

a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13

n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，1

3为公差的等差数列．