双曲线解答题练习含答案

双曲线解答题练习

1.如图，在以点0为圆心，|AB| 4为直径的半圆 ADB 中，OD AB , P

是半圆弧上

一点， POB 30，曲线C 是满足||MA| |MB||为定值

的动点 M 的轨迹，且曲线

C 过点P .

(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线

C 的方程；

(n)设过点D 的直线I 与曲线C 相交于不同的两点 E 、F • 若厶OEF

的面积不小于 2/2，求直线I 斜率的取值范围.

2.双曲线的中心为原点

0，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为

h, J ，经过右焦点F 垂直

同向.

(I)求双曲线的离心率；

(n)设AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程.

于h 的直线分别交h, 12于A, B 两点.已知 uuu uuu

uuu OA 、

AB 、 OB uur uuu

成等差数列，且BF 与FA

3. 已知双曲线x 2

y 2

2的左、右焦点分别为 F !, F 2，过点F 2的动直线与双曲线相交

于A, B 两点.

uuu ⑴若动点M 满足FM

uuu uur uur

F i A F i B FO (其中0为坐标原点)，求点M 的轨迹方程; (II )在x 轴上是否存在定点 uuu uuu

C ，使CA • CB 为常数？若存在，求出点

C 的坐标；若不存

在，请说明理由.

4. 已知双曲线C 的方程为

a 2

b 2

1(a 0,b 0),离心率e

顶点到渐近线的距

2

离为◎。

(1 )求双曲线C的方程;

(2)如图，P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若

uuu uuu 1

AP PB, [ — ,2]，求AOB面积的取值范围

3

5.求一条渐近线方程是3x 4y 0,—个焦点是4,0的双曲线标准方

程，并求此双曲线的离心率. (12分)

6 •双曲线x 2

y 2

a 2

a 0的两个焦点分别为

F I ,F 2 , P 为双曲线上任意一点，求证：

PF 1、P0

、

PF 2|成等比数列（0为坐标原点）•（ 12分）

7 •已知动点P 与双曲线X 2

— y 2

= 1的两个焦点F l , F 2的距离之和为定值，且 cos / F 1PF 2的最

1

小值为—3.

（1） 求动点P 的轨迹方程；

（2） 设M （0, — 1），若斜率为k （k 用）的直线I 与P 点的轨迹交于不同的两点 A 、B ,若 要使| MA| = | MB|，试求k 的取值范围.（12分）

&已知不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线X 2

2y 2

1总有公共点，试求实数k 的取 值范围•（ 12

分）

x 2

y 2

9•设双曲线C 1的方程为 — 2 1（a 0,b 0） , A 、B 为其左、右两个顶点，

P 是双曲

a b

线G 上的任意一点，引 QB 丄PB, QA 丄PA AQ 与BQ 交于点Q. （1） 求Q 点的轨迹方程；

（2） 设（1）中所求轨迹为C 2, G 、C 2

的离心率分别为e 1、e 2,当e 1

2 时，e 2的取值范围（14分）

10•某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听 到了一声

巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s.已知各观测点到该中心的 距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关

各点均在同一平面上）.（14分）

双曲线练习题答案

1.如图，在以点O 为圆心，| AB|

OD AB ， P 是半圆弧上一点， 满足

||MA|

| MB ||为定值的动

点 占p 八、、I ■

（I ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线

C 的方程;

（H ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点 E 、F . 若厶OEF 的面积不小于2应，求直线

I 斜率的取值范围.

解：(I)以O 为原点，AB OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系， 则A( -2,

4为直径的半圆ADB 中,

POB 30，曲线C 是

M 的轨迹，且曲线C 过

0), B (2, 0), D(0,2),P ( )，依题意得

| MA | - | MB | = | PA| - | PB |= (2 . 3)2 12 (2 . 3) 2 12= 2.2 v| AB |= 4. •••曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线

X-4kx-6=0.

1-k 2

(4k)2

4 6(1 k 2)

• k €( -3-1)u( -1, 1)u( 1, .3 ).

4k

设

E ( x , y ), F(X2,y2)

，则由①式得

X1+X2

=b,

X 1X 2

I EF |= . (x i X 2)2 (y i X 2)2

.

(1 k 2

)(x 1 X 2)2

x 2 )2

4x 1 x 2

1 k 2

2 2

3 k 2 k 2

而原点O 到直线I 的距离

• S DEF =1d EF

2

2 -1^2 (2)

2 2

3 k 2 22、3 k 2

1 k 2

1 k 2

设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c . 则 c = 2, 2a = 2 2，二 a 2

=2,b 2

=c 2

-a 2

=2.

2 2

•••曲线C 的方程为-

y

1 .

2 2

解法2:同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得|

MA | - | MB | = | PA | - | PB |V

| AB | = 4.

•曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为

2

X

~2

a

2

y

y 1(a >0, b >0). b 2

则由

(V3)2

2~

a

2 2

a b

1

b 2

4

1

解得 a 2=b 2

=2,

•曲线C 的方程为

2

y- 1. 2

(n )解法1：依题意，可设直线

l 的方程为 y = kx+2，代入双曲线C 的方程并整理得(1-K 2

)

•••直线I 与双曲线C 相交于不同的两点

E 、

F ,