双曲线解答题练习 含答案

双曲线解答题练习

1. 如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上

一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线

C 过点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围.

2. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直

于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA

u u u r

同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

3. 已知双曲线2

2

2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交

于A B ，两点．

（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++u u u u r u u u r u u u r u u u r

（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA u u u r ·CB u u u r

为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存

在，请说明理由．

4. 已知双曲线C 的方程为，离心率，顶点到渐近线的距

离为

。 （1）求双曲线C 的方程；

（2）如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若

，求面积的取值范围

5．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲

线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）

22221(0,0)y x a b a b

-=>>5

e =25

5

1

,[,2]3

AP PB λλ=∈u u u r u u u r AOB ∆

6．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：

2

1PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）

7．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最

小值为－13.

（1）求动点P 的轨迹方程；

（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分） 8．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线122

2

=-y x 总有公共点，试求实数k 的取

值范围.（12分）

9．设双曲线C 1的方程为)0,0(122

22>>=-b a b

y a x ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲

线C 1上的任意一点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q.

（1）求Q 点的轨迹方程;

（2）设（1）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2

的离心率分别为e 1、e 2，当21≥

e 时，e 2的取值范围（14分）

10．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听

到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）

双曲线练习题答案

1. 如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，

OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围.

解：（Ⅰ）以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得

｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.

设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.

∴曲线C 的方程为12

22

2=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.

∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为a b

y a x (122

22=-＞0，b ＞0）.

则由 ⎪⎩

⎪⎨⎧=+=-411

3222

22

b a b

a ）（解得a 2=

b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12

22

2=-y x (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.

∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，

∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠0

)1(64)4(012

22

φk k k －⇔

1

k k ≠±⎧⎪⎨

<<⎪⎩

∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x k

k --=-16

,14212

,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=

++-

＝.132214)(12

2

2

212

212

k

k k x x x x k --⋅

+=-+⋅+

而原点O 到直线l 的距离d ＝

2

12k

+，

∴S △DEF =.1322132211221212222

22k

k k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅