复数的加减法运算及其几何意义.

几何意义
加法运算 减法运算
与坐标平面 的点一一对应
与复平面的 点一一对应
(a, b)(c, d)
(a bi)(c di)
(a c, b d) (a c) (b d)i (a, b)(c, d) (a bi)(c di) (a c, b d) (a c) (b d)i
探究：复数加法的几何意义
复数可以用向量表示，如果与这些复数对应 的向量不共线，那么这些复数的加法就可以 按照向量的平行四边形法则来进行。
y Z2(c,d)
Z
OZ OZ1 OZ 2
=(a,b)+(c,d)
Z1(a,b) O
=(a+c,b+d)
x
来自百度文库
对应复数(a+c)+(b+d)i
复数的减法法则： （a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i
口算：(1+2i) -(-2+3i) = 3 - i 注：两个复数的差是仍为复数。
探究：类比复数加法的几何意义，看看 复数减法的几何意义是什么.
y Z2(c,d)
z1-z2
Z1(a,b) O
x Z
总结
两个复数相加（减）就是分别把实部、虚部对 应相加（减），得到一个新的复数，即
预备知识
• 一、复数的几何意义
• （1）复数z=a+bi与复平面内点Z(a,b)一一对应；
• （2）复数z=a+bi与平面向量
OZ 一一对应；
（其中O是原点，Z是复数z所对应的点） 二、平面向量的加减法 平行四边形法则、三角形法则
复数的加法法则 规定：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
思考：你能归纳推导出一个更一般的结论吗？
结论3：
满足条件 | z (a bi ) | r ( r 0) 的复数 z在复平面上对应的点的轨迹是
以（a，b）为圆心，半径为r的圆周
思考：复数z满足条件 | z i | 3 ，则 | z 2i |
的最大值是
4
小结
• 类比思想： （代数角度）与实数之间的类比：复数的加减 运算遵循实数运算的运算律和运算顺序；
| z A zB |
一讲一练3：
1.根据复数的几何意义,满足条件 | z (1 i ) | 1
的复数z在复平面上对应的点的轨迹是
以（1，1）为圆心，半径为1的圆周 2. 满足条件 | z ( 2 3i ) | 2 的复数z在复
平面上对应的点的轨迹是 以（2，3）为圆心，半径为2的圆周
（-2 + 5i）-（3 - 2i）=
判断正误：错误的请举出反例
1.实数与虚数相加一定为虚数 2.实数与实数相加为实数， 虚数与虚数相加为虚数 正确 错误
3.互为共轭复数的两个复数之和一定为实数 正确 4.互为共轭复数的两个复数之差一定为虚数
错误
一讲一练1：
复平面内点A、B分别对应复数 zA=2-3i 和
口算： 1、(1+2i)+(-2+3i)= -1+5i -1+5i
2、(-2+3i)+(1+2i)=
3、[(-2+3i)+(1+2i)]+(3+4i)
=
=
(-1+5i)+(3+4i)= 2+9i
4、(-2+3i)+[(1+2i)+(3+4i)]
(-2+3i)+(4+6i) = 2+9i
说明：
（1）两个复数的和仍是一个复数。 （2）复数的加法法则满足交换律、结合律。
（几何意义）与向量的概念、运算之间的类比。
• 数形结合：利用复数的几何意义解决距离、 轨迹等的问题。
复数与平面向量的性质类比
性质 模 平面向量 复数
向量(a, b)的 模为 a2 b2
不能比较大小 大小的比较 模可以比较大小
复数z a bi 的模为 a2 b2
不能比较大小 模可以比较大小
2 2
另解： | AB | | z B z A | | ( 2 4i ) ( 3 2i ) |
| 5 2i |
2
( 5) 2 29
2
一讲一练2：
复平面内点A、B对应的复数分别为 zA=6+i 和 zB= 2-2i，则A、B间的距离是
5
结论2：
复平面内点A、B对应的复数分别为 zA、zB， 则A、B间的距离是
zB=-3+2i ，则向量 BA 对应的复数是
5 - 5i
分析： BA OA OB (2,3) (3,2) (5,5)
另解：其对应复数 5-5i=(2-3i)-(-3+2i)
一讲一练1：
复平面内点A、B分别对应复数 zA=2+5i 和
zB=3-2i ，则向量 AB 对应的复数是
(a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i
例题讲解
例1： 计算（5 - 6i）+（-2 - i）-（3 + 4i） （5 – 2 - 3）+（-6 – 1 - 4）i = -11i 例2：设 z1 = -2 + 5i ，z2 = 3 + 2i， 计算
z1 z 2
-5 + 7i
作业 P109：1、2
1-7i
结论1：
复平面内点A、B分别对应复数 zA 和 zB ， 则向量 AB 对应的复数是
zB - zA
一讲一练2：
复平面内点A、B对应的复数分别为 zA=3+2i 和 zB= -2+4i，则A、B间的距离是
29
分析： A( 3,2), B( 2,4)
| AB | ( 3 2) ( 2 4) 29