时针分针夹角问题

有关时针分针夹角的计算

钟表上的时针、分针你追我赶，始终围绕中心按各自恒定的速度旋转，两针所成的夹角也随着时间的变化而变化。如何来计算两针的夹角呢？通常我们以两针各自正对钟表面上“12”时为起始位置，以所计算角度时刻时针、分针暂停的位置为终止位置，两针各自旋转的角度之差为两针的夹角。由于我们常说的角都是小于180度的，当两针夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。时针旋转一圈是12时从起始位置旋转到终止位置旋转了360度，时针1小时旋转30度，1分钟旋转0.5度；分针旋转一圈是60分钟，从起始位置旋转到终止位置是360度，所以分针1分钟旋转6度。

一、整点两针夹角的计算：

例1 、2点整时针分的夹角是多少度？

分析：时针从0点旋转到2点，旋转了2×30°=60°；分针没有旋转，从0分到0分，转了0°。所以两针的夹角为60°-0°=60°。

解：2×30°-0×6°=60°

练习1：6点整时，时针分针的夹角是多少度？8点整呢？

（提示：当所计算的夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。）

二、非整点两针夹角的计算：

例2 、计算3点40分时两针的夹角。

分析：3点40分时，时针以正对0点为始边，以2以到3点40分时为终边，旋转角度为：3×30°＋40×0.5°=110°；分针以正对0分为始边，以旋转到40分时为终边，旋转角度为：40×6°=240°。分针旋转角度大于时针旋转角度，所以两针夹角为240°-110°=130度。

练习2：计算10点过5分时两针的夹角。

归纳总结：

时间为m点n分时，时针分针的夹角计算公式是：

先算分针走过的角度：6°×n

再算时针走过的角度：30°×m＋0.5°×n，然后相减。当两针夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。

三、已知两针的夹角，求时间：

例3 、4点过多少时，时针与分针互相垂直？

分析：存在两种情况：（1）当时针旋转角度大于分针旋转角度时，时针分针互相垂直；（2）当分针旋转角度大于时针旋转角度时，时针分针互相垂直。

解：（1）当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3，设4点过x分钟时两针互相垂直。由题得：（4×30+0.5x）－6x=90 120+0.5x－6x=90 2 5.5x=30 x=60/11

(2) 当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图4，设4点过y分钟时两针互相垂直。由题得： 6y－(4×30＋0.5y)=90 6y－120－0.5y=90 5.5y=210 y=420/11 答：4点过5 分或4点38 分时，时针与分针互相垂直。

练习3：11点过多少分时，时针与分针的夹角为60度？

（提示：也存在两种情况，一种是时针比分针旋转角度大60度，另一种是时针比分针旋转角度大360°－60°=300°）

四、时针与分针重合时的时间计算

时针与分针重合时，时针与分针旋转角度相等，因此，可列一元一次方程解决问题。

例4 5点过多少分钟时，时针与分针重合？

解：设5点x分钟时，两针刚好重合。由题得： 5×30－0。5x=6x 5.5x=150 x=27 答：5点过27 分时，时针与分针重合