因式分解全章复习

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《因式分解》复习课件

《因式分解》复习课件
目录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数学运算，将其表示为几个整式的积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式。必须明确理解这一基本概念，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号，尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容易忽略某些项的公因式，导致分解不彻底或错

因式分解全章教案和练习题

因式分解全章教案和练习题一、教学目标1. 让学生掌握因式分解的基本概念和方法。

2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学逻辑思维和运算能力的培养。

二、教学内容1. 因式分解的定义和意义2. 提公因式法3. 公式法4. 交叉相乘法5. 分解因式的应用三、教学重点与难点1. 重点：掌握因式分解的方法和步骤。

2. 难点：灵活运用因式分解解决实际问题。

四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索因式分解的方法。

2. 通过例题讲解，让学生逐步掌握因式分解的技巧。

3. 设计练习题，巩固所学知识，提高学生应用能力。

五、教学过程1. 导入：回顾整式的相关知识，引出因式分解的概念。

2. 讲解：讲解因式分解的定义、意义及基本方法。

3. 示范：举例子，演示因式分解的步骤和技巧。

4. 练习：让学生独立完成练习题，检验掌握程度。

5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。

6. 作业布置：布置课后练习题，巩固所学知识。

教案练习题：1. 请简述因式分解的意义和作用。

3. 分解因式：x^2 5x + 64. 分解因式：x^2 + 2x + 15. 分解因式：x^2 46. 分解因式：3x^2 97. 分解因式：2x^3 8x8. 分解因式：x^2 + 3x + 29. 分解因式：4x^3 16x10. 分解因式：x^2 2x 3答案：1. 因式分解的意义和作用：将一个多项式表示为几个整式的乘积形式，便于理解和计算，可以用来解决一些实际问题，如求解多项式方程等。

2. 因式分解方法：a. 提公因式法：适用于多项式中存在公因式的情况。

b. 公式法：适用于能够运用公式进行分解的情况，如平方差公式、完全平方公式等。

c. 交叉相乘法：适用于两组数或多组数交叉相乘后能够得到原多项式的情况。

3. 分解因式：x^2 5x + 6 = (x 2)(x 3)4. 分解因式：x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^25. 分解因式：x^2 4 = (x + 2)(x 2)6. 分解因式：3x^2 9 = 3(x^2 3) = 3(x + √3)(x √3)7. 分解因式：2x^3 8x = 2x(x^2 4) = 2x(x + 2)(x 2)8. 分解因式：x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)9. 分解因式：4x^3 16x = 4x(x^2 4) = 4x(x + 2)(x 2)10. 分解因式：x^2 2x 3 = (x 3)(x + 1)因式分解全章教案和练习题（续）六、教学内容1. 结合公式法与十字相乘法2. 提公因式与公式法的综合运用3. 分解因式在实际问题中的应用4. 因式分解的进一步拓展七、教学重点与难点1. 重点：掌握不同因式分解方法的组合运用。

人教版八年级数学上册整式的乘法与因式分解全章复习

例已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.
解： 102m+3n=102m·103n =(10m)2·(10n)3.
将10m=5，10n=3代入，原式=52×33=25×27=675.
巩固练习
计算: 0.12516 817.
分析： (ab)n=anbn 逆用：anbn=(ab)n
a2 b2 a b2
a+b，a-b，
①+②，(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2) ab，a2+b2，
知二求二.
巩固练习
已知长方形ABCD的周长为20，面积为28，求分别以
长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？
分析：
2x y
xy 28
20， xxyy2810.
x2 y2 x y2 2xy
例判断下面的计算对不对？如果不对，
（2）amn=(am)n(m，n都是正整数)；
幂的运算性质（2）(am)n=amn(m，n都是正整数)；
(am)n=amn
102m+3n=102m·103n
a a =a （1）am+n=am·an(m，n都是正整数)；
求 x*(x+2y).
m.
n
m+n
(a ) =a =2x(x+2y)-(x+2y)2
2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差正确：a10÷a2=a10-2=a8.
例若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，
应该怎样改正？
(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
同学们，再见！
使用法则时，要明确法则和具体内容.

因式分解总复习课件

题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分解，并说明其与平方差公式和完全平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关键环节。要特别注意符号的变化和影响，确保在分解过程中符号的处理是正确的。这样可以避免后续运算中出现错误或混淆。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式，然后代入公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解单元复习ppt

THANKS
谢谢您的观看
2
练习求解一些基本的因式分解问题，例如解一元二次方程等。
3
通过解决实际问题来巩固因式分解技能，例如求解几何中的面积、体积等问题。
03
因式分解的方法
提公因式法
总结词
基础、常用
详细描述
提公因式法是因式分解中最基础和常用的方法之一，通过将一个多项式分解成两个或多个因式乘积的形式，其中一个因式为所有项的公共因式。
重点、难点和考点
重点
因式分解的基本概念、性质和常用的方法
难点
因式分解在解方程、求最大公约数、最小公倍数等领域的应用
考点
因式分解的概念和性质，以及运用因式分解解决实际问题
02
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
数学上，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式的过程。
分解因式是重要的数学技能，在解方程、证明定理、解决几何问题等方面都有广泛的应用。
运用因式分解简化一些代数式，如提取公因式、运用公式等。掌握因式分解的技巧和方法，如分组、拆项、换元等。
练习与巩固
通过大量的练习来巩固所学的因式分解知识。通过练习进一步熟悉因式分解的解题思路和技巧。
05
复习总结
因式分解的常用方法总结
提公因式法
公式法
十字相乘法
配方法
待定系数法
适用于各项系数含有公共因式或相同因式的多项式，将公因式提出来，进行因式分解。
注意分解要彻底
因式分解要将多项式分解到不能再分解为止，否则会出现遗漏或重复。
注意分解后的项数
因式分解后的项数应该与原多项式的次数相同。
注意符号和顺序
因式分解要注意符号和各项的顺序，尤其是当多项式含有括号时。

整式乘法与因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)

专题8.43整式乘法与因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）1.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】要点一、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c++÷=÷+÷+÷=++要点二、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b+-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点三、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】【类型一】整式的乘法➽➼直接运算✮✮化简求值1、计算：(1)()3232x y xy ⋅-．(2)()()5232x y x y +-．【答案】(1)5424x y -(2)221544x xy y --【分析】（1）根据积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可．（1）解：()3232x y xy ⋅-()23338x y x y ×-=231324x y ++=-5424x y =-；（2）解：()()5232x y x y +-53522322x x x y y x y y=⋅-⋅+⋅-⋅22151064x xy xy y =-+-221544x xy y =--．【点拨】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则，准确计算．举一反三：【变式1】计算：()()222321x x x -⋅-+-．【答案】6549189x x x -+-【分析】根据积的乘方及单项式乘以多项式可进行求解．解：()()222321x x x -⋅-+-()42921x x x =⋅-+-6549189x x x =-+-．【点拨】本题主要是考查积的乘方及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．【变式2】计算：()()()()22241x y y y x y +-+-+【答案】24362y xy x y---【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可．解：()()()()22241x y y y x y +-+-+222242244xy x y y y y xy x=-+-++--24326y xy y x =---．【点拨】本题考查了整式的乘除，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．2、先化简再求值：(3)(1)(1)x y x y ++--，其中122x y =-=-．【答案】233x y ++，4-．【分析】对整式去括号，合并同类项，然后把x 、y 的值代入整式即可得出整式的值．解：(3)(1)(1)x y x y ++--33x xy y xy x=+++-+233x y =++，当122x y =-=-时．原式()1232342⎛⎫=⨯-+⨯-+=- ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．举一反三：【变式1】先化简，再求值：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2x =，1y =-．【答案】23xy xy +；43-【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解．解：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2232322212333939x xy xy y y x =-++--++23xy xy =+；当2x =，1y =-时，原式()()221213⨯-=⨯-+223=-+43=-．【点拨】本题考查了整式的化简求值，掌握多项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【变式2】已知()()232x mx x n +-+的展开式中不含x 的一次项，常数项是6-．(1)求m ，n 的值．(2)求()()22m n m mn n +-+的值．【答案】(1)32m n ==，(2)35【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．（1）解：()()232x mx x n +-+3222263x nx mx mnx x n=+++--()()322263x n m x mn x n =+++--，由题意可知：60mn -=，36n -=-，解得：32m n ==，；（2）解：()()22m n m mn n +-+322223m m n mn m n mn n =-++-+33m n =+，当32m n ==，时，原式333227835=+=+=．【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．【类型二】乘法公式➽➼直接运算✮✮化简求值3、计算：(1)()22()x y x xy y +-+(2)22(35)(23)x x --+【答案】(1)33x y +(2)254216x x -+【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式分别计算，然后合并同类项即可求解．（1）解：原式322223x x y xy x y xy y =-++-+33x y =+；（2）解：原式()22930254129x x x x =-+-++22930254129x x x x =-+---254216x x =-+．【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，掌握整式乘法运算的运算法则以及乘法公式是解题的关键．举一反三：【变式1】计算：()()()()22232x y x y x y x x y -++---．【答案】22x 【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，求解即可；解：原式22222224322x xy y x y x xy x =-++--+=．【点拨】此题考查了完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的相关运算法则．【变式2】计算：(1)2(32)(32)(32)x y x y x y ---+(2)()()()222226x x x ---【答案】(1)2128xy y -+(2)2812x -+【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式去括号，再加减法；（2）根据多项式乘以多项式及幂的乘方去括号，再计算加减法．（1）解：2(32)(32)(32)x y x y x y ---+()2222912494x xy y x y =-+--2222912494x xy y x y =-+-+2128xy y =-+；（2）()()()222226x x x ---42246212x x x x =--+-2812x =-+．【点拨】此题考查了整式的混合运算，正确掌握完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式及幂的乘方计算法则是解题的关键．4、先化简后求值：(1)2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-，其中3x =(2)()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭，其中2x =，3y =．【答案】(1)2531x x +-；7-(2)2420x y -+，12【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x 取值求出代数式的值．（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再按照多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值即可．解：（1）2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-22225(44)2x x x x x =---+++-22225442x x x x x =--+-++-2531x x =+-将3x =代入得：2531x x +-235331=+⨯-7=-（2）()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭22221(41294)()2x xy y x y y =-+-+÷21(1210)()2xy y y =-+÷2420x y=-+将2x =，3y =代入得：2420x y-+242203=-⨯+⨯12=【点拨】本题主要考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】若23m m +=，求2(2)(2)m m m -++的值．【答案】10【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．解：2(2)(2)m m m -++22244m m m m =-+++2224m m =++当23m m +=时，原式22()423410m m =++=⨯+=【点拨】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．【变式2】先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中a 、b满足()2210a b -++=【答案】a b --，1-【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．解：原式()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦()22222444422a ab b a b a ab a=-++--+÷()2224422a ab a ab a=--+÷()2222a ab a=--÷a b =--，∵()2210a b -++=，∴20a -=，10b +=，∴2a =，1b =-，当2a =，1b =-时，原式()211=---=-．【点拨】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【类型三】整式的乘法✮✮乘法公式➽➼变形运算✮✮图形问题5、（1）已知11=54m n =，求代数式()()222525m n m n +--的值；（2）已知13ab a b =--=，，求22a b +的值．【答案】（1）40mn ，2；（2）7【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将11=54m n =，代入进行计算即可；（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．解：（1）()()222525m n m n +--()()()()25252525m n m n m n m n =++-⋅+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦410m n=⋅40mn =，当11=54m n =，时，原式114040254mn ==⨯⨯=；（2） 13ab a b =--=，，()22222327a b a b ab ∴+=-+=-=．【点拨】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．举一反三：【变式1】已知实数m ，n 满足6m n +=，3=-mn ．(1)求()()22m n ++的值；(2)求22m n +的值．【答案】(1)13(2)42【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则将所求式子变形为()24mn m n +++，再把已知条件式整体代入求解即可；（2）根据()2222m n m n mn +=+-进行求解即可．（1）解：()()22m n ++224mn m n =+++()24mn m n =+++，∴当6m n +=，3=-mn 时，原式326413=-+⨯+=；（2）解：∵6m n +=，3=-mn ，∴()()2222262336642m n m n mn +=+-=-⨯-=+=．【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式——化简求值，完全平方公式的变形求值，正确计算是解题的关键．【变式2】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若22228160m mm n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴()()22228160m mn n n n -++-+=，∴()()2240m n n -+-=，∴()20m n -=，()240n -=，∴4n =，4m =．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知2245690a ab b b ++++=，求a 、b 的值；(2)已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2242460a a b b -+-+=，求c 的值；【答案】(1)63a b ==-，；(2)2c =．【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解；（2）先配凑完全平方公式求出a ，b 值，再根据三角形三边关系求出第三边．（1）解：∵2245690a ab b b ++++=，∴22244690a ab b b b +++++=，∴()()22230a b b +++=，∴2030a b b +=+=，，∴63a b ==-，；（2）解：∵2242460a a b b -+-+=，∴()22442210a ab b -++-+=∴()()222210a b -+-=，∴2010a b -=-=，，解得21a b ==，，∵a 、b 、c 是ABC 的三边长，∴2121c -<<+，即13c <<，∵c 是正整数，∴2c =．【点拨】本题考查完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．6、请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）①________________②________________；(2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________(3)如果图中的a b a b 、（＞）满足225314a b ab +==，.求：①a b +的值②22a b -的值【答案】(1)①22a b +，②22a b ab +-（）(2)22a b +=22a b ab +-（）；(3)①9a b +=±，②45【分析】(1)根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果；（2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果；（3）根据完全平方式与已知条件即可求出对应值．（1）解：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为2a ，第二部分的面积为：2b ；∴阴影部分的面积的第一种表示方法为22a b +．∵大正方形的面积为()2222a b a ab b +=++；空白部分的面积为2ab ab ab +=，∴阴影部分的面积为：()22222222a b ab a ab b ab a b +-=++-=+，故答案为：①22a b +；②()22a b ab +-．（2）解：由（1）可知阴影部分的面积相等，∴()2222a b a b ab +=+-，故答案为：()2222a b a b ab +=+-；（3）解：①∵()2222a b a b ab +=+-，∴()2222a b ab a b ++=+，∵225314a b ab +==，，∴()25321481a b +=+⨯=，∴9a b +=±，∵0a >，0b >，∴9a b +=；②∵()2222a b a b ab +=+-，∴()()2222222222a b a b ab a ab b ab a b ab +=+-=++-=-+，∴()2222a b ab a b +-=-，∵225314a b ab +==，，∴5321425-⨯=，∴()225a b -=，∴5a b -=±，∵0a >，0b >，a b>∴5a b -=，∴()()229545a b a a b b -⨯-＝＋＝＝．【点拨】本题考查了完全平方式和平方差公式的几何意义，熟练公式法是解题的关键．举一反三：【变式1】图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式()()22a b a b +-，，ab 之间的等量关系为___________．(3)运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且5mn =，4m n -=，试求m n +的值．【答案】(1)a b -，()2a b -或()24a b ab +-(2)()()22a b a b +--4ab =(3)±6【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于()2a b +、()2a b -、ab 的等式；（3）根据（2）中结论即可解题．解：（1）图中阴影部分边长为a b -，则阴影部分的面积为()2a b -或()24a b ab +-故答案为：a b -；()2a b -或()24a b ab +-；（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：方法一：阴影部分为边长()a b =-的正方形，故面积()()()2a b a b a b =--=-；方法二：阴影部分面积a b =+为边长的正方形面积-四个以a 为长、b 为宽的4个长方形面积()24a b ab =+-；∴22()4()a b ab a b +-=-；即()()22a b a b +--4ab =，故答案为：()()224a b a b ab +--=；（3）由（2）得，()()224m n m n mn +--=，∴()22420m n +-=，∴m n +=±6．【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得22()4()a b ab a b +-=-是解题的关键．【变式2】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为a b +的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：；(2)如果图中的a 、(0)b a b >>满足2270a b +=，15ab =，求a b +的值；(3)已知22(9)(1)124x x ++-=，求(9)(1)x x +-．【答案】(1)()2222a b a ab b +=++；(2)10；(3)12．【分析】（1）依据该图形的总面积为2()a b +或222a ab b ++可得结果；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，将2270a b +=，15ab =可求得2()a b +即a b +的值；（3）设9x a +=，1x b -=，则(9)(1)10a b x x -=+--=，依据222()2a b a b ab -=+-代入计算可求得12ab =即可求出(9)(1)x x +-．（1）解：该图形的总面积为：2()a b +或222a ab b ++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，∴当2270a b +=，15ab =时，2()70215100a b +=+⨯=，∴10010a b +=；（3）设9x a +=，1x b -=，∴(9)(1)10a b x x -=+--=，则2222(9)(1)x x a b ++-=+，∵222()2a b a b ab -=+-，10a b -=，22124a b +=，∴1001242ab =-，∴12ab =，∴(9)(1)12x x +-=．【点拨】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．【类型四】因式分解➽➼直接进行因式分解✮✮因式分解的应用7、因式分解．(1)2123mn n -;(2)228168a ab b -+【答案】(1)()34n m n -(2)28()a b -【分析】（1）利用提公因式进行分解，即可解答；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．解：（1）()223143mn n n m n =--；（2）228168a ab b -+228(2)a ab b =-+28()a b =-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．举一反三：【变式1】因式分解：(1)322363a a b ab -+．(2)2()16()a x y y x -+-【答案】(1)()23a a b -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）提取公因式3a ，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）将()y x -变形为()x y --，提取公因式()x y -，再根据平方差公式分解因式．（1）解：原式()2232a a ab b =-+()23a a b =-；（2）解：原式()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-【点拨】本题考查了综合提公因式与公式法分解因式，熟练掌握常用因式分解的方法是解题的关键．【变式2】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()()2222222424222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+．②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．仿照以上方法分解因式：(1)22441x x y +-+；(2)268x x -+．【答案】(1)()()2121x y x y +++-(2)()()24x x --【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将原式先变形为2268691x x x x -++-=-，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．（1）解：22441x x y +-+22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =+++-；（2）解：268x x -+2691x x =-+-()231x =--()()3131x x =-+--()()24x x =--．【点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．8、利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：(1)因式分解：244x x -+=________．(2)填空：①当2x =-时，代数式244x x ++=_______；②当x =________时，代数式2690x x -+=．③代数式2820x x ++的最小值是________．(3)拓展与应用：求代数式226828a b a b +-++的最小值．【答案】(1)2(2)x -(2)①0②3③4(3)3【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；（2）①将2x =-代入求解即可；②解方程2690x x -+=，即可获得答案；③将代数式变形为2(4)4x ++，根据非负数的性质即可确定答案；（3）将代数式226828a b a b +-++变形为22(3)(4)3a b -+++，根据非负数的性质即可确定答案．（1）解：2244(2)x x x -+=-．故答案为：2(2)x -；（2）①当2x =-时，244x x -+2(2)4(2)4=--⨯-+0=；②∵2690x x -+=，∴2(3)0x -=，∴当3x =时，代数式2690x x -+=；③∵2820x x ++2(4)4x =++，又∵2(4)0x +≥，∴当4x =-时，代数式2820x x ++的最小值是4．故答案为：①0；②3；③4；（3）解：∵原式22698163a ab b =-+++++22(3)(4)3a b =-+++，又∵2(3)0a -≥，(4)0b +≥，∴原式3≥，代数式226828a b a b +-++的最小值是3．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．举一反三：【变式1】仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n -+=++则()22433x x m x n x n-+=+++∴343n m n+=-⎧⎨=⎩解得：7n =-，21m =-∴另一个因式为()7x -，m 的值为-21．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值；(2)已知二次三项式26x x p --有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值．【答案】(1)另一个因式()1x +，a 的值为5(2)另一个因式为()35x -，p 的值为15【分析】（1）设另一个因式是()x b +，则()224=33x x m x x b b -++++，根据对应项的系数相等即可求得b 和k ．（2）设另一个因式是()3x m +，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m 和p ．（1）解：设另一个因式为()x b +()()265x x a x x b ++=++则()22655x x a x b x b++=+++∴565b b a+=⎧⎨=⎩解得：1b =，5a =另一个因式()1x +，a 的值为5（2）解：设另一个因式为()3x m +，得()()26323x x p x m x --=++，则()2266923x x p x m x m--=+++∴9213m m p+=-⎧⎨=-⎩解得：5m =-，15p =∴另一个因式为()35x -，p 的值为15．【点拨】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键．【变式2】（1）计算：20232022(2)(2)-+-；（2）一个长方形的长与宽分别为a ，b ，若该长方形的周长为14，面积为5，求2332363ab a b a b ++的值．【答案】（1）20222-；（2）105【分析】（1）逆用同底数幂的乘法公式进行运算即可；（2）根据长方形的周长为14，面积为5，得出()214a b +=，5ab =，然后对2332363ab a b a b ++进行分解因式，最后整体代入求值即可．解：（1）20232022(2)(2)-+-()()()20222022222=-⨯-+-20222022222=-⨯+()2022212=-+⨯20222=-；（2）∵长方形的周长为14，面积为5，∴()214a b +=，5ab =，即7a b +=，5ab =，2332363ab a b a b++()2232ab b ab a =++()2=+3ab a b=⨯⨯357=．105【点拨】本题主要考查了幂的运算，分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，完全平方公式，注意整体代入思想的应用．。

《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系； 2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则； 3. 会用公式法分解因式；4. 综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号. 要点四、公式法 1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21x x +-＝0，求3223x x ++的值．【思路点拨】观察题意可知21x x +=，将原式化简可得出答案．【答案与解析】解：依题意得：21x x +=， ∴3223x x ++，＝3223x x x +++，＝22()3x x x x +++，＝23x x ++，＝4；【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--，＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（）A ．229a y+B ．229a y-+C ．229a y-D ．229a y--【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x yx x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317- 【答案】解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯- ＝1000×366 ＝366000． 4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++；（2）222xy x y ---（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x y x y ---=-++=-+（3）()()22224222x xyy x xy y -+-+＝()()24222x xy yx y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全．举一反三：【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A ．21x + B ．221x x +- C ．21x x ++ D ．244x x ++【答案】D ；5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x xxx +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答．【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++②()()271234y y x x -+=--【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2．（1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；（2）指出A 与C 哪个大？说明理由．解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-，＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．【巩固练习】一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（）． A ．()()22422m n m n m n -=+- B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=-- D ．()224529m m m --=--2. 把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（）A ．()4a a -B ．()()22a a +-C ．()()22a a a +-D ．()224a -- 3. 下列多项式能分解因式的是（） A ．22x y +B ．22x y--C ．222x xy y-+-D ．22x xy y-+4. 将2m()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（）A ．()2a -()2m m - B ．()()21m a m -+ C ．()()21m a m -- D ．()()21m a m --5. 下列四个选项中，哪一个为多项式28102x x -+的因式？（）A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋2 6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（）A.－15B.－2C.8D.2 7. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（）A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a - 8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+；⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二.填空题9.分解因式：()241x x -- ＝________.10.把23x x c ++分解因式得：23x x c ++＝()()12x x ++，则c 的值为________.11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________．12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________. 13.把()()2011201222-+-分解因式后是___________.14.把多项式22ax ax a --分解因式，下列结果正确的是_________.15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________.16.把2221x y y ---分解因式结果正确的是_____________. 三.解答题 17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---；（2）2292416a ab b -+；（3）21840ma ma m --.18. 已知10a b +=，6ab =，求：（1）22a b +的值；（2）32232a b a b ab -+的值． 19.已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式()5x +，且17m n +=，试求m 、n 的值．20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成()()219x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，请将原多项式分解因式．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式. 2. 【答案】A ；【解析】()244a a a a -=-. 3. 【答案】C ；【解析】A ．不能分解；B ．2222()x y x y --=-+，不能分解；C ．()2222x xy y x y -+-=--，故能够分解；D ．不能分解．4. 【答案】C ；【解析】2m()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】A ；【解析】将28102x x -+进行分解因式得出()()281024122x x x x -+=--，进而得出答案即可．6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)28x x x x -+=+-. 7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦.8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解. 二.填空题9. 【答案】()22x -；【解析】()()22241442x x x x x --=-+=-.10.【答案】2；【解析】()()21232x x x x ++=++.11.【答案】1；【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y+-=+-=-==⎡⎤⎣⎦.12.【答案】0；【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=. 13.【答案】20112；【解析】()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=.14.【答案】()()21a x x -+；【解析】22ax ax a --＝()()2(2)21a x x a x x --=-+.15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=.16.【答案】()()11x y x y ++--；【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．三.解答题 17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--；（2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()2218401840202ma ma m m a a m a a --=--=-+. 18.【解析】解：∵10a b +=，6ab =，则（1）()2222a b a b ab +=+-＝100－12＝88；（2）()()2322322224a b a b ab ab a ab b ab a b ab ⎡⎤-+=-+=+-⎣⎦＝6×（100－24）＝456． 19.【解析】解：设另一个因式是x a +，则有()()5x x a ++＝()255x a x a +++＝2x mx n ++∴5a m +=，5a n =，这样就得到一个方程组5517a ma nm n +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得2107a n m =⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴m 、n 的值分别是7、10． 20.【解析】解：设原多项式为2ax bx c ++（其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0）．∵()()()22219210922018x x x x x x --=-+=-+， ∴a ＝2，c ＝18；又∵()()()2222426821216x x x x x x --=-+=-+， ∴b ＝－12．∴原多项式为221218x x -+，将它分解因式，得()()2222121826923x x x x x -+=-+=-．。

因式分解单元分类总复习-2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

《因式分解》单元分类总复习考点一因式分解知识总结：1.因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算（故：将因式分解的结果乘出来可以用来检验因式分解的正误）2.因式分解基本步骤：一“提”→提取公因式（公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式；提公因式一定要一次提完）二“套”→套用乘法公式（两项想平方差公式、三项想完全平方公式）3.分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底【例题典析】1．（2021春•拱墅区校级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．x3﹣xy2＝x（x﹣y）2B．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2C．x2+4x﹣4＝x（x+4）﹣4D．4x2+2xy+y2＝（2x+y）2【分析】根据因式分解的概念进行逐项分析解答即可．（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）【解答】解：A、x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），是因式分解不完全，故这个选项不符合题意；B、﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，是因式分解，故这个选项符合题意；C、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故这个选项不符合题意；D、4x2+4xy+y2＝（2x+y）2，左右两边不相等，所以因式分解错误，故这个选项不符合题意．故选：B．2．（2021春•罗湖区校级期末）下列各式从左到右因式分解正确的是（）A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y）B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．x2﹣4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．【解答】解：A、2x﹣6y+2＝2（x﹣3y+1），故原式分解因式错误，不合题意；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故原式分解因式错误，不合题意；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故原式分解因式错误，不合题意；D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），正确．故选：D．3．（2020春•绍兴期中）下列多项式可以用平方差公式进行因式分解的有（）①﹣a2+b2；②x2+x+；③x2﹣4y2；④（﹣m）2﹣（﹣n）2；⑤﹣121a2+36b2；⑥﹣s2+2s．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】直接利用平方差公式分别分解因式得出答案．【解答】解：①﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），可以用平方差公式进行因式分解；②x2+x+＝（x+）2，不可以用平方差公式进行因式分解；③x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），可以用平方差公式进行因式分解；④（﹣m）2﹣（﹣n）2＝（m+n）（m﹣n），可以用平方差公式进行因式分解；⑤﹣121a2+36b2＝（6b﹣11a）（6b+11a），可以用平方差公式进行因式分解；⑥﹣s2+2s＝﹣s（s﹣4），不可以用平方差公式进行因式分解；故选：C．4．下列多项式能分解因式的是（）A．﹣m2﹣n2B．m2+2m+1C．m2﹣m+D．m2﹣n【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可．【解答】解：A．不能分解因式，故本选项不符合题意；B．能用完全平方公式分解因式，故本选项符合题意；C．不能分解因式，故本选项不符合题意；D．不能分解因式，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2021秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；故选：B．6．（2021秋•黄石港区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a ﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+a C．（a﹣1）2﹣a+1D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】根据因式分解的意义求解即可．【解答】解：A、原式＝（a+1）（a﹣1），故A不符合题意；B、原式＝a（a+1），故B不符合题意；C、原式＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）＝（a﹣2）（a﹣1），故C符合题意；D、原式＝（a+1）2，故D不符合题意；故选：C．8．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解．（2）先提公因式，再运用完全平方公式．（3）先运用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．9．（2021春•长清区期末）因式分解：（1）mx2﹣my2；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【分析】（1）直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（a﹣b），进而分解因式即可．【解答】解：（1）mx2﹣my2＝m（x2﹣y2）＝m（x+y）（x﹣y）；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．10．（2021春•北仑区期中）分解因式：（1）4x2﹣；（2）3a﹣6a2+3a3．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣＝（2x﹣）（2x+）；（2）3a﹣6a2+3a3＝3a（1﹣2a+a2）＝3a（1﹣a）2．考点二因式分解方法拓展知识总结：分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。

因式分解期末知识点专项复习

第三章因式分解复习1.因式分解定义（①左边是多项式；②右边是积的形式；③右边的因式是整式）要点梳理：1. 把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的_________，也叫将多项式__________；2. 因式分解的过程和的过程正好______：前者是把一个多项式化为几个整式的______，后者是把几个整式的______化为一个________.命题角度1 因式分解的概念例1、下列从左到右的变形中是因式分解的有例2、①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．针对训练：下列各式从左边到右边是因式分解的 .①x2-x=x(x-1) ② a(a-b)=a2-ab ② (a+3)(a-3)=a2-9② a2-2a+1=a(a-2)+1② x2-4x+4=(x-2)2针对训练：检验下列因式分解是否正确．(1)a3－ab＝a(a2－b)； (2)x2－x－6＝(x－2)(x－3)；(3)2a2－3ab－2b2＝(2a＋b)(a－2b)； (4)9m2－6mn＋4n2＝(3m－2n)2.命题角度2 因式分解与整式乘法的关系例1．把多项式x2＋mx＋6因式分解得(x－3)(x＋n)，则m＝．【针对训练】如果多项式x2－mx－35因式分解为(x－5)(x＋7)，那么m的值为2.提公因式（把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是a+b+c，即ma+mb+mc=m（a+b+c））要点梳理：1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的________，简称多项式的________.2. 公因式的确定：(1)系数：取多项式各项整数系数的；(2)字母：取多项式各项的字母；(3)各字母的指数：取次数最的．命题角度1 公因式的识别（几个多项式的公共的因式）例1．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是【针对训练】下列各组多项式中，没有公因式的是( )A．ax－bx和by－ay B．3－9y和6y2－2yC．x2＋y2和x＋y D．a－b和2a2－2ab命题角度2 提单项式公因式法因式分解（从系数、字母以及指数等方面确定公因式）例2．将多项式m2－m因式分解，结果正确的是( )A．m(m－1) B．(m＋1)(m－1) C．m(m＋1)(m－1) D．－m(m－1)【针对训练】1把下列各式因式分解：(1)ab＋ac＝； (2)a2b－2ab2＋ab＝．2．边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为．3．因式分解：3a2b－6ab＋9b＝．4．把多项式－16x3＋40x2y提出一个公因式－8x2后，另一个因式是．5．把下列多项式因式分解：(1)ab2＋ab； (2)3x2－6xy＋x；(3)12a2b3－8a3b2－16ab4；(4)－24x3－12x2＋28x.命题角度3 多项式公因式（整体思想）例1．将3x(a－b)－9y(b－a)因式分解，应提的公因式是( ) A．3x－9y B．3x＋9y C．a－b D．3(a－b)针对训练：1.将多项式(x＋2)(x－2)＋(x－2)提取公因式(x－2)后，余下的部分是命题角度2 提多项式公因式因式分解2．将m2(a－2)＋m(a－2)因式分解的结果是( )A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m－1) C．m(a－2)(m＋1) D．m(2－a)(m－1) 【针对训练】：把下列多项式因式分解：(1)7(a－1)＋x(a－1)；(2)3(a－b)2＋6(b－a)；(3)18(a－b)2－12b(b－a)2；(4)(2a＋b)(2a－b)－3a(2a＋b)．命题角度3 提公因式法因式分解的应用例1．把多项式18m3n2(m＋n2)＋24m2n3(m＋n2)因式分解的结果是．针对训练：1．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b的值为．2．先将代数式因式分解，再求值：(x－2)2－6(2－x)，其中x＝－2.3.已知x＋y＝5，x－y＝－3，则x(x－y)－y(y－x)＝．4．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于．3.公式法（平方差）含有两项，且这两项异号平方项a2－b2＝(a＋b)(a－b)命题角度1 判断用平方差公式进行因式分解例1．下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是()A．4x2＋1 B．－m2＋1 C．－a2－b2D．a2－b3针对训练：1.下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是()A．－a2－4b2B．－1＋25a2 C.116－9a2D．－a4＋1命题角度2 平方差公式因式分解3．因式分解：(1)a3－4a； (2)a4－116b4；(3)9(m＋n)2－(m－n)2 (4)9a2(x－y)＋4b2(y－x)．(5)25x2y2－1； (6)x4－16.命题角度3 利用平方差公式因式分解解决实际问题4.已知x2－y2＝16，x＋y＝2，则x－y＝．5．在一个边长为12.75 cm的正方形内剪去一个边长为7.25 cm的正方形，求剩余部分的面积．3.公式法（完全平方公式）特点：(1)多项式是三项式；(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍．a2 ＋2ab＋b2＝(a＋b)2命题角度1 用完全平方公式进行因式分解1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )A．4x2－1 B．4x2＋4x－1 C．x2－xy＋y2D．x2－x＋1 42．若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式因式分解，则常数m的值是．3．若多项式x2－mxy＋9y2能因式分解成(a±b)2的形式，则m的值是 . 2．计算：1252－50×125＋252＝3．因式分解：(1)m2－10m＋25；(2)4x2－2x＋14；(3)(x－y)2－6(x－y)＋9.(4)81a2＋16b2－72ab；(5)－a2＋6ab－9b2；(6)a2b2－4ab＋4；(7)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.命题角度2 先提公因式后运用完全平方公式因式分解1．因式分解：(1)－2a3＋12a2－18a； (2)6xy2－9x2y－y3.命题角度3 综合运用平方差公式和完全平方公式因式分解1．因式分解：(1)(x2＋9)2－36x2； (2)y2＋2y＋1－x2(3)9x2－3x＋14； (4)－4x2＋12xy－9y2 ；(5)a 4＋2a 2b ＋b 2 ； (6)x 4－2x 2＋1；(7)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2； (8)(a 2＋4)2－16a 2.专项练习1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）221()()1x y x y x y -+=+-+；（2）2(2)(1)2x x x x -+=--；（3）232632x y xy xy =⋅；（4）29696x y xy y xy x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 2、判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a 2－9b 2＝(a ＋3b)(a －3b)； (2)3y(x ＋2y)＝3xy ＋6y 2；(3)(3a －1)2＝9a 2－6a ＋1； (4)4y 2＋12y ＋9＝(2y ＋3)2；3.分解因式8ab(a -b)3-12a(a -b)2时，应提取的公因式是( )A.8aB.4ab(a-b)3C.4ab(a-b)2D.4a(a-b)24.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A.a 2+1 B.a 2-6a+9 C.x 5+5y D.x 2-5y5.添加一项，能使多项式9x 2+1构成完全平方式的是( ) A.9x B.-9x C.9x4 D.-6x6.计算：852-152=( )A.70B.700C.4 900D.7 0007. a 4b -6a 3b+9a 2b 分解因式的正确结果是( )A.a 2b(a 2-6a+9)B.a 2b(a+3)(a -3)C.b(a 2-3)2D.a 2b(a -3)28.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4-■=(x 2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A.16，2B.8，1C.24，3D.64，89、已知2ab =时，3a b -=-时，则2332a b a b -的值为（）A ．12-B ．12C ．6-D ．610．若多项式x 2﹣3（m ﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m 的值为（）A ．6或﹣2B ．﹣2C ．6D ．﹣6或2 二、填空题9.多项式9x 2y -15xy -6y 的公因式是_____________.10.一个多项式因式分解的结果是(x+2)(x －3)，那么这个多项式是_____________.11.已知x 、y 是二元一次方程组23,245x y x y -=+=⎧⎨⎩的解，则代数式x 2－4y 2的值为_____________. 三、解答题12、把下列各式因式分解：（1）()()32x a b y b a --- ；（2）()()242252y x x y -+-；（3）4x 2－16 ；（4） 16 － 125 m 2（5）a 3b －ab 3； (6) a 4－ b 4；（7）()()22324a b a b +-- （8）2ax 2－8a ；（9）2221x xy y -+- ；（10）16x 2 + 24x + 9；（11）－x 2 + 4xy - 4y 2 (12) 3ax 2 + 6axy + 3ay 2；(13) (a + b)2 - 12(a + b) + 36； (14) 342 + 34×32 + 162.13、n 为整数，证明：（2n +1）2－1能被8整除．14.已知a－2b=12，ab=2，求-a4b2+4a3b3-4a2b4的值.15、a，b，c是ABC的三边，且有2241029a b a b+=+-（1）若c为整数，求c的值.（2）若ABC是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.16.下面是某同学对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解的过程．解：设a2-4a=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（a2-4a+4）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？___________;（填“彻底”或“不彻底”）（2）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________;（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.17．分解因式x 2+3x +2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．请利用这种方法，分解因式2x 2﹣3x ﹣2＝_____．（1）232x x --；（2）210218x x ++；18.阅读材料对式子223x x +-可以变化如下：原式2222113(21)4(1)4x x x x x =++--=++-=+-此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：（1）分解因式：243x x -+（2）无论x 取何值，代数式222019x x -+总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值．。

《因式分解》复习课件

放映结束感谢各位的批评指导！
谢谢！
让我们共同进步
=56(56+44)
=(101+99)(101-99)
=56×100
=200×2
=5600
=400
二.多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)=_m____
变式：用因式分解说明257-512能被120整除.
三.整体法求值
若m+n=6,mn=8，则m2n+mn2=_4_8__
变式：若2a-b=2，则6+8a-4b=_1_4__
3.当a、b为何值时，代数式a2+b2 +2a–4b+6
的值最小？最小值是多少？
通过复习这节课你有那些新的收获与感受?
说出来与大家一起分享！
1.将下列各式因式分解： (1). x2y-2xy2+y3 (2).(m+n)3-4(m+n)
2.已知a-b=2,ab=4，则a3b-2a2b2+ab3的值为多少？
( 4)9x2n+3-27xn+1
2ab
-m2n2
2x（x+y）
9xn+1
(5) p(y-x) - q(x-y)
y-x
1.公因式确定（1）系数：取各系数的最大公约数；（2）字母：取各项相同的字母；（3）相同字母的指数：取最低指数。
提公因式法：
公因式可以是数字、字母、单项式，也可以是多项式
若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=__
解：∵9x2+kxy+36y2是完全平方式
∴kxy=±2·3x·6y=±36xy ∴k=±36

《因式分解》全章复习与巩固(提高)巩固练

【巩固练习】一.选择题1. 下列式子变形是因式分解的是（）A ．()25656x x x x -+=-+B ．()()25623x x x x -+=--C ．()()22356x x x x --=-+D ．()()25623x x x x -+=++2. 已知：△ABC 的三边长分别为a b c 、、，那么代数式2222b c ac a -+-的值（）A.大于零B.等于零C.小于零 D 不能确定3．已知31216x x -+有一个因式是4x +，把它分解因式后应当是（）A ．2(4)(2)x x +- B ．2(4)(1)x x x +++ C ．2(4)(2)x x ++D ．2(4)(1)x x x +-+4．若()()2x a x b x px q ++=++，且0p >，0q <，那么a b ，必须满足条件()．A.a b ，都是正数B. a b ，异号，且正数的绝对值较大C.a b ，都是负数D. a b ，异号，且负数的绝对值较大5.（2015•贺州）把多项式4x 2y﹣4xy 2﹣x 3分解因式的结果是（）　A ．4xy （x﹣y ）﹣x 3B ．﹣x （x﹣2y ）2　C ．x （4xy﹣4y 2﹣x 2）D ．﹣x （﹣4xy+4y 2+x 2）6．将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有 ( )①； ②； ③； ④；⑤； ⑥A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7. 已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解成()()8ax b x c ++，其中,,a b c 均为整数，则a b c ++=（）A ．－12B ．－32C ．38D ．728. 将3223x x y xy y --+分组分解，下列的分组方法不恰当的是（）A. 3223()()x x y xy y -+-+ B. 3223()()x xy x y y -+-+C. 3322()()x y x y xy ++-- D. 3223()x x y xy y --+ 二.填空题9.（2015春•滨江区期末）因式分解：16m 4﹣8m 2n 2+n 4= ．10. 分解因式：()()229a b a b +--＝_____________.11.已知2226100m m n n ++-+=，则mn ＝．12.分解因式：()()223a a a +-+＝__________.13．若32213x x x k --+有一个因式为21x +，则k 的值应当是_________.14.把多项式22ac bc a b -+-分解因式的结果是__________.15.已知5,3a b ab +==，则32232a b a b ab -+＝．16.分解因式：（1）4254x x -+＝________；（2）3322a m a m am +--＝________.三.解答题17.求证：791381279--能被45整除．18.（2015春•焦作校级期中）已知x 2+x=1，求x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015的值．19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：________.（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出22252a ab b ++因式分解的结果，画出你的拼图．20.下面是某同学对多项式()()642422+-+-x x x x ＋4进行因式分解的过程：解：设yx x =-42原式＝()()264y y +++ （第一步）＝2816y y ++ （第二步）＝()24+y（第三步）＝()2244+-x x （第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）A ．提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()122222++--x x x x 进行因式分解.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】A.()25656x x x x -+=-+右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；B.()()25623x x x x -+=--是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；C.()()22356x x x x --=-+是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；D.()()25623x x x x -+=--，故本选项错误．2. 【答案】C ；【解析】()()()222222a ac c b a c b a c b a c b -+-=--=-+--，因为a b c 、、为三角形三边长，所以0,0a b c a b c +->--<，所以原式小于零.3. 【答案】A【解析】代入答案检验.4. 【答案】B ；【解析】由题意00a b ab +><，，所以选B.5. 【答案】B ；【解析】解：4x 2y﹣4xy 2﹣x 3=﹣x （x 2﹣4xy+4y 2）=﹣x （x﹣2y ）2，故选：B ．6. 【答案】C ；【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式1x -.7.【答案】Ａ；　【解析】原式＝()()()()131719311123131788x x x x x ---+=--，∵可以分解成()()8ax b x c ++，∴13,17,8a b c ==-=-∴a b c ++=－12．8. 【答案】D ；【解析】A 、B 各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C 第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式x y +，所以分组合理，D 第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.二.填空题9. 【答案】（2m﹣n ）2（2m+n ）2；【解析】解：16m 4﹣8m 2n 2+n 4=（4m 2﹣n 2）2=（2m﹣n ）2（2m+n ）2．故答案为：（2m﹣n ）2（2m+n ）2．10.【答案】()()422a b a b ++；【解析】()()()()()()22933a b a b a b a b a b a b +--=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＝()()4224a b a b ++＝()()422a b a b ++．11.【答案】－3；【解析】()()22222610130,1,3m m n n m n m n ++-+=++-==-=.12.【答案】()()14a a -+；【解析】()()223a a a +-+＝234a a +-＝()()14a a -+．13.【答案】－6；【解析】由题意，当12x =-时，322130x x x k --+=，解得k ＝－6.14.【答案】()()a b a b c -++；【解析】22ac bc a b -+-＝()()()c a b a b a b -++-＝()()a b a b c -++．15.【答案】39；【解析】原式＝()()()2224353439ab a b ab a b ab ⎡⎤-=+-=⨯-⨯=⎣⎦.16.【答案】()()()()1122x x x x +-+-；()()2a m a m -+；【解析】()()()()()()422254141122x x x x x x x x -+=--=+-+-；()()332222a m a m am a a m m a m +--=---()()()()222a m a m a m a m =--=-+.三.解答题17.【解析】证明：原式＝1499132827269939333-⨯-=--＝()2623331--＝262435345⨯=⨯．所以能被45整除．18.【解析】解：∵x 2+x=1，∴x 2=1﹣x ，x 2﹣1=﹣x ，∴x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015=x 2（x 2﹣1）+x 3﹣x 2﹣x+2015=x 2（﹣x ）+x 3﹣x 2﹣x+2015=﹣（x 2+x ）+2015=﹣1+2015=2014．即x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015=2014．19.【解析】解：（1）①长方形的面积＝221a a ++；长方形的面积＝()21a +；②()22211a a a ++=+；（2）①如图，可推导出()2222a ab b a b ++=+；②()()2225222a ab b a b a b ++=++．20.【解析】解：（1）C ；（2）不彻底；()42x -；（3）设22x x y -=，原式＝()22121y y y y ++=++()()()22421211y x x x =+=-+=-.。

初三第一章因式分解复习

(5)(x(2)(x-y)²(x+y) y)²(x-2) (1)-2xy(4-3xy+x) (4)(x-y)²
(3)-(x-y)²

3.公式法（使用之前能提公因式先提公因式）
（1）平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b) 使用条件：平方 - 平方的形式（两项且互为相反数，某个数的平方） a，b可以是数、单项式、多项式使用前先变形成平方的形式（2）完全平方的公式 a²+2ab+b²=(a+b)² 使用条件：二次三项式（三项）首尾两项是符号相同的平方的形式中间项是两数乘积的2倍 ④按照“先两头后中间”化成公式形式
例题3 注意变号规律
(1) (a-b)²n -(b-a)²n 因式分解 (1)-4m²+25n² (3)4x5-64x (2)169（--b)²
1 2
(2) (a-b)²n-1 -(b-a)²n-1

(5)2x²-
1 2x
(4)5652x11-4352x11
(6)-x²-4y²+4xy (9)(x²+1)²-4x(x²+1)+4x²

3b(a²+9b²)² (1)(5n+2m)(5-2m) (5)1/2x(4x-1) (3)4x(x+2)(x(7)a (2)4(12a+b)(a+12b) 2)(x²+4) 4 (4)1430000 (6)-(x(8)(2x+1)²(2x 2y)² -1)² (9)(x-1)

(2)(2x-y+z)(2x-y-z)
(3)(a+1)(a-1)(a-2b) (4)(x-y-1)(x-y+3)

因式分解综合复习ppt课件

首选二项式平方差公式三项式完全平方公式四项式或四项以上分组分解法22或31注意
分解因式综合复习
1
知识点1：什么叫因式分解？把一个多项式写成几个整式的乘积的方式，叫做把这个多项式分解因式．
例以下变形能否是因式分解.
A ( x 1)( x 1) x2 1,
B x3 2x 1 x(x2 2) 1
C 2 x 2 2 y2 2( x 2 y2 ),
2
D x 2 x(1 )
x
2
E 18a3bc=3a2b·6ac
知识点2：分解因式与多项式乘法关系
mambmc
m(abc)
a2 b2 因式分解 (ab)(ab)
a22abb2 整式乘法 (a b ) 2
a22abb2
(a b)2
3.普通步骤〔1〕确定应提取的公因式；
〔2〕多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
〔3〕把多项式写成这两个因式的积的方式。
5
例1 用提公因式法将以下各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).
x3
(2)3x(a-b)+2y(b-a)
+ (b-a)
=3x(a-b)-2y(a-b) - (a-b)
=(a(-ab-)b()3x-2y) 把以下各式分解因式：〔 x －y〕3 －〔 x －y〕
(2)4p(1-q)3+2(q-1)2
6
因式分解的根本方法二:运用公式法 1 熟记公式及其特点〔1〕平方差公式,:a2-b2=(a+b)(a-b) 〔2〕完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2

因式分解全章教案和练习题

因式分解全章教案和练习题第一章：因式分解的基本概念教学目标：1. 理解因式分解的含义和意义。

2. 掌握因式分解的基本方法和步骤。

教学内容：1. 因式分解的定义和作用。

2. 提公因式法：找出多项式的公因式，并进行提取。

3. 分解因式：将多项式分解为两个或多个因式的乘积。

教学方法：1. 采用讲解法，讲解因式分解的基本概念和方法。

2. 利用例题进行讲解和示范，让学生跟随老师一起进行因式分解。

教学步骤：1. 导入新课，介绍因式分解的概念和意义。

2. 讲解提公因式法，让学生理解并掌握提取公因式的步骤。

3. 讲解分解因式的方法，让学生理解并掌握分解因式的步骤。

4. 进行课堂练习，让学生运用所学知识进行因式分解。

教学评价：1. 课堂练习的完成情况。

2. 学生对因式分解的基本概念和方法的理解程度。

第二章：提公因式法教学目标：1. 掌握提公因式法的基本步骤。

2. 能够运用提公因式法进行因式分解。

教学内容：1. 提公因式法的步骤：找出多项式的公因式，进行提取。

2. 提公因式法的应用：对多项式进行因式分解。

教学方法：1. 采用讲解法，讲解提公因式法的步骤和应用。

2. 利用例题进行讲解和示范，让学生跟随老师一起进行提公因式法。

教学步骤：1. 回顾上一章的内容，复习因式分解的基本概念。

2. 讲解提公因式法的步骤，让学生理解并掌握提取公因式的步骤。

3. 讲解提公因式法的应用，让学生理解并掌握如何运用提公因式法进行因式分解。

4. 进行课堂练习，让学生运用所学知识进行提公因式法。

教学评价：1. 课堂练习的完成情况。

2. 学生对提公因式法的基本步骤和应用的理解程度。

第三章：十字相乘法教学目标：1. 掌握十字相乘法的基本步骤。

2. 能够运用十字相乘法进行因式分解。

教学内容：1. 十字相乘法的步骤：找出多项式的两个因式的乘积，进行相乘。

2. 十字相乘法的应用：对多项式进行因式分解。

教学方法：1. 采用讲解法，讲解十字相乘法的步骤和应用。

因式分解全章复习

因式分解全章复习
一.测验讲解: 将下列各式分解因式
1. 2(x21)x(x21)
2. x4 2x2 1
2021/1/4
2
二.学习目标：
1.通过复习全面梳理因式分解的知识 2.能够灵活的运用所学的方法进行多项式的因式分解
Байду номын сангаас
2021/1/4
3
三.指导自学
问题1：某同学在进行因式分解时，所得的结果为法
3 . 2 x 1 2
在实数范围内分解因式
4. x4 16
2021/1/4
8
六.落实检测分解因式：
1. 3x2 6x 9
2. 16x4 1
2021/1/4
9
2021/1/4
10
谢谢观赏
1. x2 3
2. 5x2 2
例2：求证：当n为整数时，两个连续奇数的
平方差
是8的倍数
(2n1)2(2n1)2
2021/1/4
6
例3：已知：
求
和
,
,
的x值22xyy225 x22xyy2 9
， xy
xy
，
2021/1/4
7
五.当堂训练分解因式：
1. 3x3 12x2 12x
2. 1 x2 2 2
，你认为他的结论正确吗？请说出你的看
问题2：因式分解要分到不能分为止是因式分解的原则，那么，你能说说多项式从次数上有哪些规律一
般不可能一次分解完
(x2 1)4
2021/1/4
4
问题3：你能用学过的知识归纳一下对多项式因式分解时应该从哪些方面去确定方法
2021/1/4
5
四.教师讲解
例1：在实数范围内分解因式