等分除与包含除的区分
北师大版小学数学六年级上册第六单元分析
六比的认识单元学习目标1.经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义及其与除法、分数的关系，感受比在生活中的广泛应用。
2.会运用商不变的规律或分数的基本性质化简比，并解决一些简单的实际问题。
3.经历与他人交流算法的过程，能运用比的意义，解决按比进行分配的实际问题。
4.在解决问题的过程中，初步养成乐于思考、勇于质疑的学习习惯。
单元学习内容的前后联系在小学阶段，分数的认识大致分为三个阶段：第一阶段初步认识分数，侧重理解分数的份数定义，即从把整体平均分后部分与整体的数量关系上认识分数；第二阶段分数的再认识，侧重理解分数的商的定义，即分数表示两个整数相除的商；第三阶段理解分数的比的定义，即分数表示两个整数的比，所以，比的认识也是对分数认识的丰富。
本单元就是第三阶段，借助比的认识，发展学生对除法和分数的认识，沟通知识间的内在联系，加强对现实生活中数量关系的理解和认识，进一步完善认知结构，为以后进一步学习比例以及其他有关方面的知识打好基础。
单元学习内容分析本单元的学习，是建立在学生已学过的分数乘（除）法的意义和计算、分数的意义及基本性质以及分数与除法的关系的基础上进行的，这些知识都是学生学习本单元内容的直接基础。
本单元学习的主要内容有：比的意义、化简和应用。
组织本单元学习内容的思路如下。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。
1.提供多种情境和方式，让学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程比是数学中的一个重要的概念，而学生理解比的意义往往比较困难。
为此，教科书提供了大量的与学生已有经验密切联系的情境，引发学生的思考与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。
究竟比的必要性表现在哪里？长方形像不像的问题是引入比的现实来源，长方形的形状特征可以用它的长和宽这两个对等的量来刻画，就是这两个量的比。
所以，比是用来刻画事物不可度量的属性的。
如行走的快慢、水果的贵贱，蜜水的甜度等都是不可度量的，但它们都可以用两个可以度量的对等的量来刻画或记录，这就是学习比的必要性。
联通核心知识,促进迁移创生——例谈分数除法教学的实践策略
□—福 %与回声联通核心知识，促进迀移创生一例谈分数除法教学的实践策略/文I张宓菁当学生遇到一个新的问题时，将已有的经验与未 知的问题间建立一定关联，从而打幵新知与经验之间 的通道，建构属于自己的知识结构，这个过程就是迁 移。
围绕小学运算领域的内容，我们不难发现，几乎 所有的it•算都可以用迁移来解决。
如何让学生基于一 定的情境，通过自主探索，充分运用迁移的认知规律 在理解算理、创新算法？笔者以分数除法为例来谈几 点思考。
一、善用情境——经验助迁移分数除法若单独出现，学生或许会感到无从下 手，但是，如果能结合具体的情境，伴随着生活经 验的支撑，便能很好地理解。
比如，一般来说，分 数除法教学的第一个例子都是分数除以整数。
苏教 版教材是通过将^升饮料平均分给2个小朋友，每人 喝了 ^升的^来呈现。
类似这样的算式，分数除以整 数可以转化为分数乘几分之•，这个转化主要依赖 平均分在其中所发挥的作用。
情境的运用能起到很 好的直观支持，学生通过分一分、画一画，可以将 其中的道理与之前解决问题的经验很好地联系起来，迁移自然而然发生。
然而，遇到类似4+ 2 +|整数除以分数或者2 4 2分数除以分数的情况，等分除的意义很难直接迁移，用来解释其算理，这时包含除的意义就便于学生理 解。
苏教版教材选用的情境是4个橙子从每人分2个、每人分1个、每人分^个，逐步从整数除以分数过渡迁移，因为1个橙子可以分给2个人，那么4个橙子就可以分给8个人，所以4+|=4X2,也比较容易解释算理，便于归纳计算方法。
然而，对于同一个算式而言，它事实上可以代表不同的模型，以2 +|为例来看，至少可以有以4 2下儿种情况。
包含模型：^里舍儿个4 2等分模型：求--个数，使它的丄正好是乞2 4面积模型：一个长方形的面积是I长是宽4 2是多少？当然，我们也可以把同样的算式置于同一个情境 素材之中，以更加贴近儿童的生活实际，让学生在相 似的情境中体悟其中的不同。
“等分除”和“包含除”引发的教学思考
“等分除”和“包含除”引发的教学思考作者：吴润洪来源：《小学教学参考(数学)》2019年第05期我校一位青年教师在讲授青岛版教材二年级下册“表内除法”时，有两道题让他犯难了。
题一：请画图表示12[÷]3。
以下是学生的几种典型画法：画法1：画12个圆圈，将每4个圈作1堆，共分为3堆。
画法2：画12个圆圈并将它们分为4堆，每堆3个。
画法3：画12个圆圈，3个3个圈起来。
单看画法1和画法2，更像乘法算式的图例，完全没有除法算式的痕迹。
如果判学生错，可课本上又有既可列出乘法算式又可列出除法算式的图示。
形如这样的“双关图”，课本上随处可见，这揭示了乘法与除法之间的互逆关系，那么学生这样作图也无可厚非。
题二：15[÷]3不但能表示将15等分成（）份，每份是（），而且能表示15里面有（）个（）。
按照参考答案，第一层含义学生很容易想到，第二层含义理应是15里面包含（5）个（3），而非（3）个（5），多数学生在此处栽跟头。
就算教师细致解析后，仍有不少学生受乘法含义的负迁移影响，认为原式解读为15里面包含有3个5或5个3都说得通。
针对此争议，教师也是各执一词。
一、两种分法引起的分歧观点一：之所以出现上述分歧，归咎于教师教学时没有教会学生分辨“等分除”和“包含除”。
教师应沿用旧版教材的做法，将“等分除”和“包含除”分开讲授，而且要让学生严格区分，做到泾渭分明，绝不含糊其辞，这样分歧就会消除。
观点二：既然新教材没有将“等分除”和“包含除”区别开来，那么在教学中教师也不应自找麻烦，给学生增加学习负担。
因此对于题一，各种画法均无不可，不同画法刚好体现了学生个性;题二中的“另类”填法，也有一定的合理性，不应全盘否定。
二、产生分歧的根本原因教师之所以相持不下，症结就在于教学重点不一致;而学生的回答千差万别，也归因于对除法的含义理解有偏差。
因此，笔者认为有必要管控分歧，统一意见，进一步厘清“除法的含义”的教学思路。
《小学数学教材中的大道理》读后感
《小学数学教材中的大道理》读后感《小学数学教材中的大道理》读后感1 张奠宙等人所著的《小学数学教材中的大道理》，是一本探讨小学数学中核心概念的文集，也是一本深入浅出的、平易近人的教师的案头书。
教材是根据学科课程标准系统阐述学科内容的教学用书，是教师教学与学生学习的依据。
相信老师们都有这样的感受：尽管小学数学教材难度不大，但要真正教好并非易事，因为教材中的许多知识点具有丰富的数学背景和内涵。
如何在课堂上用通俗易懂的语言解释给学生，同时做到“混合不错”，一直困扰着广大小学数学教师——真可谓“小”数学中也有“大”道理。
书中直面教学中的两个基本问题——“教什么”和“如何教”，以现代数学观点、批判性视角对现行教材内容编排进行评述，不仅对一线教师理解教材具有启发作用，更对推进小学数学教材建设作出深入思考。
它系统梳理了小学数学中的核心概念，指出日常教学中易混淆、易忽视之处，为一线教师合理使用教材、改进教学提供了宝贵建议；它汇聚了数十位数学教育界专家学者、资深教研员、一线教师的智慧与力量，为促进一线教师提升教育理论素养、改进教学实践水平提供全面丰富的指导。
很多时候我们对教材的教学内容和内容的呈现方式有质疑，会怀疑是否教材本身就存在问题，部分疑问可以通过《教师用书》和网络查询等得以解惑。
读《小学数学教材中的大道理》后我们可以解开教材中的一个一个谜团，比如方程意义这一课，张教授指出教科书上写“方程是含有字母的一种等式”是可以的，反过来认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了，“含有字母的等式叫方程”不能当作严格的定义来看待，如果非要拿它当作基本出发点判断是非，硬要人们承认X=1是方程之类，恐怕是没有意义的自我折腾。
一个对象的定义最好能够帮助人们进行理解。
正如认识一个人，光靠一张照片是不够的，最好有一份简历。
书中也指出了我们数学教材中的很多不足，比如教材在除法、分数、比部分编写忽视了包含除。
在分数的意义开始出示两副图让学生理解分数是在实际度量和平均分中产生的，但是教材在后续的编排中只强调了“平均分”却忽视了“度量”，始终没有回答“剩余绳子不足一节，怎么记”等等。
新课标人教版小学数学二年级下册教材分析
从上面的教材我们可以看出例1主要是建立平均分的概念。而例2就主要是让学生探索平均分的多种方法。可以一个一个分，可以两个两个分，也可以3个3个分等等，像这样让学生经历多种方式平均分的过程，这是以前我们教材中是没有的。
在新课程实施的开始阶段，“解决问题”是一个很值得探索的内容，其许多问题的产生和解决，需要实验教师进一步探索与实践。
第二单元表内除法（一）
1、主要内容
2、具体特点和教学建议。
（1）突出了概念教学。
这里涉及到两个概念“平均分”“除法”，以往教材把平均分和除法结合起来放在一个课时中完成。而我们现在实验教材中把除法认识分为两个层次，一是建立平均分的概念12－17页，二是在建立平均分的基础上引出除法的概念18－22。
学生提的问题可能多种多样，有需要一步计算解答的，也有需要两步计算解答的。对于用一步计算解决的，可以当时就让学生解答；对于两步计算解决的可以暂时留下，为学习新知识做好准备。教学实践中，有时会出现学生的提问不着边际，不能较快提出有价值的数学问题，这时需要我们加强提问指导，让学生逐步理解怎样发现问题、怎样提出问题。
本单元三个例题教学的总体思路应该是一致的，但在知识目标把握上应各有侧重。例1在学生分步解答的基础上，重点要引导学生用综合算式来列式计算。例2中第一次出现了“小括号”，也是本册教材中唯一的一次，重在让学生通过大量的计算练习来体验、感受、发现小括号的作用。教学时，在分步列式的基础上，可以先让学生尝试改写成综合算式，以引发矛盾冲突，再组织讨论，让学生在具体的问题情境中明确使用“小括号”的必要性和使用方法。
除法的初步认识精讲复习
每份
份数
总数
求３个２相加
２×３＝６（只）
9
包含除
总数
小红要写40个大字，每天写8个，
需要写几天？
每份数
份数 40里面包含着几个8
40 8 = 5（天）
10
总数
等分除
Байду номын сангаас
植树节要种56棵 每行要种几棵？
，要种8行，
份数
每份数
把56平均分成8份，求每份是几。
56 8 = 7（棵）
11
除法
等分除法
(平均分）
大家好
1
除法的初步认识
（复 习 课）
2
除法
等分除法
(平均分）
包含除法
(圈一圈）
把12个苹果平均分成3份， 每份4个。
12 ÷ 3 ＝ 4
总数 分数 每份数
12个苹果，每3个一份， 可以分成4份。
12 ÷ 3 ＝ 4
总数 每份数 份数
3
活动一：讲故事，认识“等分除”和“包含除”
除法
等分除法
(平均分）
总数÷份数=每份数
包含除法
(圈一圈）
总数÷每份数=份数
12
活动三：我挑战，我快乐！
13
每辆车上有2只小动物，3辆车上共有（ 6 ）只小动物。
2 3 = 6（只）
6只小动物坐3辆车，平均每辆车上有（ 2 ）只小动物。
6 3 = 2（只）
6只小动物，每2只小动物坐一辆车，需要（ 3 ）辆车。
6 2 = 3（只）
36 9 = 4（页）
6
等分除
总数
小明有16个
，平均分给4个小
朋友，每个小朋友分几个？
小学数学表现性任务设计研究——以“认识除法”为例
㊀㊀㊀１３７㊀㊀小学数学表现性任务设计研究小学数学表现性任务设计研究㊀㊀㊀ 以 认识除法 为例Һ康㊀泰㊀（甘肃省武威市武威第二十中学，甘肃㊀武威㊀７３３００８）㊀㊀ʌ摘要ɔ新课改的不断推行促使培养学生的学科核心素养成为小学数学教学的主要目标，这就意味着教师应对教学目标㊁教学内容㊁教学评价等方面进行系统改革，并设计表现性任务辅助学生对新课知识进行深入研究，为学生数学核心素养的形成与发展助力．文章以 认识除法 为例，对小学数学表现性任务的方案设计进行探析，先确定表现性任务目标，然后明确表现性任务的出发点，设计多元化的表现性任务，并制订相应的表现性评价量规，最后利用系统化评价贯彻落实 教 学 评 一体化理念，为提高学生的数学核心素养奠定基础．ʌ关键词ɔ 认识除法 ；小学数学；表现性任务表现性任务是让学生在不同情境中灵活利用已有知识与技能解决实际问题，从而收到相应的学习成果和建构反应的任务．高质量的表现性任务可以完善教学结构，同时能帮助学生发现不同知识点之间的关联性，有利于其提高学习效率． 认识除法 是小学数学中的重要一课，教师应结合课程内容㊁核心素养以及学生的基本学情设计系统化的表现性任务，帮助学生加强对除法概念㊁意义㊁运算方法等内容的理解与应用，从而彰显表现性任务对提高学生数学核心素养的积极作用．一㊁锚定素养，确定单元表现性任务目标（一）分解核心素养：细化运算能力在小学数学 认识除法 的教学过程中，教师在制订表现性任务之前要从核心素养出发细化单元目标．其中，运算能力是每名学生都应具备的．教师在对运算能力这一核心素养形成一定了解后，应将它与 认识除法 的内容加以整合，使数学素养变得更加具体，成为具有操作性的单元目标．具体来说，在算法方面，学生要能用乘法口诀准确求商，并可以根据题意列出除法算式；在算理方面，学生要能在具体情境下用语言转述㊁动手画图㊁列举算式等方法表示平均分的过程和结果；在优化算法方面，学生要能理解并阐述除法结果的意义及它的合理性，并在众多解决方案中选择较为简便的算法．对运算能力的详细分析可使学生明确本课的学习目标，也为教师提供了设计表现性任务的多元思路，保证了后续活动的顺利开展．（二）基于核心素养确定单元表现性任务目标完成对运算能力的解读后，教师便能确定单元表现性任务目标，具体内容如下：（１）让学生经历用平均分的方法解决简单实际问题的过程，知道平均分的过程和结果可以用除法算式来表示，对除法的含义形成初步认知，能正确读㊁写除法算式，知道算式中各部分的名称；（２）使学生经历在简单的平均分问题中抽象出除法算式的过程，能结合具体情境写出相应的除法算式，并简述它的实际含义，进一步发展学生的数学思维，培养其解决实际问题的能力；（３）使学生在独立思考与合作探究中体会除法与现实生活的关联性，以此提高他们对数学的兴趣以及学好数学的信心．在目标的指引下，教师明确了本单元教学的主要内容和制订表现性任务的基本路径，为各项任务的有序实施打下了坚实的基础．二㊁分析学情，明确表现性任务的出发点（一）学生视角：分析现有水平表现性任务设计不仅要求教师要明确单元教学目标，还要结合学生的基本学情进行针对性分析，使表现性任务更加符合班级学生的认知特点，以此满足学生的发展需求．为了更好地了解学生的实际情况，教师可以制订一份课前检测试题，具体内容如下．１．用乘法口诀求商．８ː４＝㊀㊀㊀２４ː６＝㊀㊀㊀４０ː８＝１４ː２＝３５ː５＝１６ː４＝２．用除法解决实际问题．（１）一共有架飞机．（㊀㊀）＝（架）（２）每３架飞机编成一组，可编成组．㊀㊀㊀㊀１３８㊀ː＝（组）（３）平均编成６组，每组有架飞机．ː＝（架）３．对除法含义的理解：用你喜欢的方法算出除法算式１２ː６的答案，并用图示表示你的思考过程．教师根据课前检测情况便能初步了解学生在用乘法口诀求商㊁对除法意义理解㊁解决实际问题等方面存在的问题，然后可以此为依据调整表现性任务，使其更具指向性．（二）结构化视角：重构整体框架通过对教材内容进行深入研究，教师可以确定 表内除法（一） 这一单元分为 除法的初步认识 和 用２ ６的乘法口诀求商 两个部分； 表内除法（二） 这一单元分为 用７ ９的乘法口诀求商 和 解决简单的实际问题 两个部分．教师应把 对除法的意义理解 作为单元教学目标重组课程内容，将以上两个单元合并为 认识除法 ，帮助学生从多角度㊁深层次地理解除法的含义．教师从结构化视角出发重构单元框架后，可新增一节启发课，让学生围绕 我心目中的除法 这个话题谈一谈自己在学习了加法㊁减法㊁乘法的基础上对除法形成的认识，使他们对新课内容产生强烈的好奇心和求知欲．全新的单元框架将 用２ ６的乘法口诀求商 和 用７ ９的乘法口诀求商 两个部分整合在一起，便于学生将它们串联起来研究算理，对除法意义形成更加深刻的理解．除此之外，原本教材中 等分除 包含除 等内容也被拆分为三节探索课，教师可根据学生的认知特点和重点知识设计多元化的表现性任务，让学生在实践中掌握平均分的深层次内涵．三㊁基于理解，设计表现性任务（一）表现性任务的设计路径在小学数学课堂中设计表现性任务离不开真实情境的辅助，教师只有让学生感受到解决问题的必要性，学生才能对本课学习产生强烈的欲望．教师要秉持由整体到部分的原则，循序渐进地呈现表现性任务．另外，教师在设计表现性任务的同时可以制订相应的表现性评价量规，以此了解学生对除法知识的掌握情况，从而及时调整后续的教学活动，真正做到 以评促教 ．例如，在 均分物品我最行 板块增加 比较两种除法 的任务．第一个教学环节是自主画图，表达想法，表现性任务是用画图的方式表示９ː３＝３的含义，评价量规是能否画出两种不同的图示．第二个教学环节是展示交流，促进理解，表现性任务是将学生的作品展示在大屏幕上，让学生理解两种除法的含义，分别是情境不同，但算式相同，分法相同，算式相同，但含义不同，相应的分法也不同，评价量规是学生是否理解两种不同的图示以及是否理解同一图示可以表示不同的情境含义．第三个教学环节是独立创编，深化理解，表现性任务有两个：一是选择合适的条件，自主提出问题并解答；二是与同桌交流该问题是等分除还是包含除．其评价量规是能否给出正确答案，并准确区分两种除法的意义和应用方式．（二）表现性任务的设计要素１．任务设计要体现学习平均分的必要性教师在制订表现性任务时要体现学习平均分的必要性，让学生在任务驱动下理解除法的意义，提升学习效率．以 等分除 为例，本课教学目标是让学生体会平均分过程的多样性，教师可设计如下的表现性任务：王师傅去超市买了３６颗草莓，你能帮助他把这些草莓平均分给办公室的其他４个同事吗？把分草莓的过程记录到表１中．表１同事１同事２同事３同事４用去颗数剩余颗数第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次合㊀计与教材内容相比，此题包含的数据较大，学生不能口算答案，需要严格按照表格中的提示进行尝试．这一过程不仅充分体现出平均分的过程性和必要性，也让学生在自主探究中加强了对 认识除法 有关内容的理解与运用，彰显了表现性任务对提高学生数学核心素养的重要影响．２．任务设计要体现素养目标的进阶性教师在设计表现性任务时应秉持循序渐进的原则，让学生从基础任务做起，在由浅入深的探究中增强思维的深刻性，体现素养目标的进阶性．这样的设计方式符合小学生的基本学情．每个学生的数学基础不相同，并且受成长环境㊁智力发育㊁学习方法等因素的影响，学生之间存在较大的差异性，统一的表现性任㊀㊀㊀１３９㊀㊀务根本无法满足所有学生的学习需求．所以，教师制订表现性任务时要秉持进阶性理念，利用多元化问题调动学生的探究热情，保证教学目标的顺利实现．以 用乘法口诀求商 为例，教师可设计四个子任务，分别是：（１）４只熊猫平均分２４根竹子，每只熊猫能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（２）６只熊猫平均分２４根竹子，每只熊猫能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（３）６只熊猫平均分２６根竹子，每只熊猫最多能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（４）你帮熊猫分了三次竹子，有哪些感受？这三次经历有什么相同点和不同点？前两个子任务对应的是无余数的除法，学生会发现用乘法口诀同样可以解决除法问题．第三个子任务对第一个任务做出了细微调整，变成有余数的除法问题，使学生意识到有余数除法和没有余数除法在计算方法上没有区别．最后一个子任务具有总结性质，让学生掌握了用乘法口诀求商的基本方法，充分体现出运算的一致性．四㊁细化水平，制订表现性评价量规学生的数学基础各不相同，对表现性任务的完成度也会存在一定差异．对此，教师在制订表现性评价量规时必须同步于具体任务，经过分层设计提高评价的科学性和系统性．例如，在 均分物品我最行 的教学中，表现性任务是围绕除法意义进行设计的．为了考虑全体学生的学习感受，教师可以制订４个层次的评价量规，具体内容如表２所示．表２水平层次认知进阶点层次一掌握平均分的含义层次二用列算式㊁画图等方式表示平均分层次三理解 等分除 和 包含除 的含义层次四明确 等分除 和 包含除 的异同其中，层次一是指学生能准确判断平均分，知道它意味着每份要分得一样多；层次二是指学生能结合图示列举平均分的算式，并说出式子中各部分的含义；层次三是指学生能用算式㊁画图㊁语言等方式表示平均分的含义，并能在不同语境下说出算式中的总数㊁份数以及对应的每份数；层次四是指学生能在理解除法算式含义的基础上正确区分 等分除 和 包含除 ，知道它们的相同点在于都是平均分，并且都可以用除法表示．另外，评价量规不仅要点评学生的学习成果，还要关注他们的学习过程，主要涉及其在学习过程中展现的情感态度，如是否认真聆听组内成员发言㊁是否根据他人发言提供个性化意见㊁是否虚心接受他人提出的建议等．五㊁ 教 学 评 一体化，将评价贯穿始终教 学 评 一体化强调教师教学㊁学生学习与教学评价三个环节的紧密结合．为了保证数学教学质量，教师在学生完成表现性任务的过程中要贯穿这一理念，将教学和评价深度融合起来，使各个层次的学生都可以在过程性评价中加深对除法的认识．所以，在表现性任务评价中，教师要将意义理解作为目标导向，为学生搭建个性化的学习支架，使各个层次学生的数学素养均得到提升．例如，在解决前文提到的 王师傅分草莓 这一任务时，学生表现出来的数学水平各不相同，教师可为他们设计具有针对性的学习路径：首先，按照自己的想法记录平均分３６个草莓可能出现的情况，具体方法可以是画图㊁列算式㊁语言转述等；其次，让学生与同桌或其他小组成员互相分享学习成果，按照评价量规进行自评与互评；再次，通过多元化的点评让学生不断优化自己的解题思路与方法，并养成良好的反思习惯；最后，让学生用更具难度的方法完成其他表现性任务，达到深度学习的目的． 教 学 评 一体化理念的运用让各个层次的学生都能得到一定进步，有利于转变学生对数学学科的态度，使他们在反思与优化中提高学习效率，从而顺利完成各项表现性任务，为今后的全方位发展做好铺垫．结㊀语综上所述，在意义理解导向下，为了提高小学数学表现性任务的实效性，教师可以学科核心素养为切入点，根据 认识除法 相关知识制订单元表现性任务的目标和具体内容，以锻炼学生的运算能力．与此同时，教师应提高对评价的重视程度，将 教 学 评 一体化理念贯穿课堂始终，为学生指明学习的具体方向，全面发展学生数学核心素养的同时凸显表现性任务的重要价值．ʌ参考文献ɔ［１］刘贤虎．基于理解的小学数学教学表现性评价［Ｊ］．中小学教师培训，２０２３（２）：３３－３７．［２］刘琳娜，刘加霞．素养导向的数学表现性任务：内涵㊁功能及教学实施［Ｊ］．小学数学教师，２０２２（１１）：１３－１８，２．［３］郝瑞亚．小学数学表现性任务设计初探［Ｊ］．教育视界，２０２２（２９）：２４－２６．。
论小学数学教材中等分除、包含除的关系
论小学数学教材中等分除、包含除的关系作者：佘丹来源：《教育周报·教育论坛》2019年第33期在小学阶段，关于除法和分数的教学中，我们最常用的情境就是“平均分物”，例如：（1）把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘放几个？列式为 12÷4=3（个）（2）把12个竹笋分给一些人，每人分3个，可以分给几个人？列式为 12÷3=4（个）这两道题是不同意义的除法，在总数是12的前提下，问题1是知道平均放在4个盘子里，即知道分的份数，用除法计算出每份是多少，我们称之为“等分除”;问题2则是知道每份是多少以后，求平均分到了几个盘子里，即总数里包含了多少份，我们称之为“包含除”。
这两种除法是同一个“平均分物”数学模型所产生的，地位平等。
而所谓除法，是乘法的逆运算，是指“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
”我们再回头看分竹笋的情境中，竹笋总数=份额×盘数。
参与平均分的盘数和每盘的数量，是构成竹笋总数这一乘积的两个平等因数。
这样一来，从除法意義上来讲，等分除和包含除，是同一个情境里的两类互相依存的除法问题，或者说他们是一对双胞胎，关系密不可分。
又例如四年级数学教材中所学的的这个数量关系式：总价=单价×数量这两个基本关系都涉及到两个平等的因数相乘，两个基本关系式的变化形式有单价=总价÷数量数量=总价÷单价这两个变式就是等分除和包含除，可以看出两类除法在解决问题中的应用也是均衡的。
首先，等分除和包含除在数学教材和教学中的地位是平等的。
以下是等分除和包含除在人教版教材中的编排，我将教材中的例题进行了归类，总结起来，7道例题9个问题中有4个等分除和5个包含除。
基本上两种除法在除法的运用中，地位是平等的。
我认为我们现在使用的这套人教版教材对于两类除法的处理就很好，如二年级下册教材23页中的例题，将两种除法编排在同一页，进行对比区分，并发现他们之间的联系，这样处理就很好地帮学生理解两者。
除法小棒教学是什么数学思想
除法小棒教学是什么数学思想除法有两种意义，因此本课我分了两个课时进行教学，将两种意义分开教学。
孩子们都比较喜欢动手操作，对自己动手操作得到的结论印象也更深刻些，所以为孩子们准备了小棒作为学具，第一课时是除法的第一种意义，等分除法。
孩子们在学习平均分的时候，已经了解了平均分的多种方法，让孩子们分组将12平均分成4份，孩子们在组内操作都很活跃，选择了自己比较喜欢的方式，达到平均分成4份的目的，紧接着就引入除法算式，将12平均分成4份可以写成除法算式12÷4，这种除法的意义孩子们掌握的很好，也知道了把一个总数平均分成几份可以用除法来做。
除法有两种意义，因此本课我分了两个课时进行教学，将两种意义分开教学。
孩子们都比较喜欢动手操作，对自己动手操作得到的结论印象也更深刻些，所以为孩子们准备了小棒作为学具，第一课时是除法的第一种意义，等分除法。
孩子们在学习平均分的时候，已经了解了平均分的多种方法，让孩子们分组将12平均分成4份，孩子们在组内操作都很活跃，选择了自己比较喜欢的方式，达到平均分成4份的目的，紧接着就引入除法算式，将12平均分成4份可以写成除法算式12÷4，这种除法的意义孩子们掌握的很好，也知道了把一个总数平均分成几份可以用除法来做。
但是引入第二课时除法第二种意义的教学时，难题出现了，孩子们对于20个竹笋，每4个放一盘，能放5盘的结论能轻易得出，但是却不甚理解这种包含除法的意义，可能受了第一意义根深蒂固的影响，在我要求说出包含除法的意义时，不少学生仍是用了第一种除法意义。
因此我结合例题对例题所给的数学信息及得到的结论各个数字的意义都又做了详细的解释，并找很多孩子对数字代表的意义，20是竹笋的总数，4是每一份的个数即每份数，我们所求出来的就是可以分成的.5份，并就把20每4个分一份，可以分成5份的意义让孩子们反复理解记忆，大部分的孩子有了思想的转变，能够分析出题目所给的信息每几个为一份求份数的可以用除法计算。
《除法的初步认识》教学案例
《除法的初步认识》教学案例作者：刘茂来源：《科学导报·学术》2020年第29期【案例背景】本课为西师版小学数学二年级上册第五章第二节的内容，这一课主要涉及到了除法的基本认识。
在之前的数学学习之中，学生已经通过学习的进行对乘法相关的知识进行了掌握，这给除法的初步认识打下了基础。
且除法作为小学数学的基本内容，学生在课下可能早已对其有所认识，但学生对除法的具体概念没有一个清晰的认知。
为了课程的有序进行，在课下做了详实的准备。
【案例主题】本课为小学生初步接触除法的内容，在其中教学的重点为让学生了解“平均分”的含义，达成学生表达能力的培养。
而为了达成此教学目标，就需要能有效的对学生进行引导和调动。
为了达成此目的，我在本课的教学中通过故事情节的构建，创建了一系列教学活动，使学生可以通过教学活动的参与，了解并掌握平均分的意义和方法。
在教学中，将尝试着对包含除和等分除进行合并教学。
主要观点在于：不对两种分法进行区分，认为“不管如何划分，只要每份分得的数目同样多，都是平均分”【案例描述】片段一：教师借助多媒体对学生展示情景师：妈妈给了小明6个苹果，如果每天吃两个，那么能吃几天呢？请同学们思考一下，如果想不清楚可以在纸上画一画。
生（通过思考和操作）：每天吃两个，可以吃三天。
师：如果小明改变了主意，决定每天吃3个，那小明可以吃几天呢？生：两天师：为什么每天吃两个可以吃三天，若每天吃三个的话只能两天了呢？生：因为每天吃三个苹果的话，就会比两个苹果多吃一个。
师：老师再问大家，如果小明每天决定吃1、2、3、4、5、6个的话，你们能知道他能吃几天么。
请大家讨论下。
生：每天吃1个、2个、3个、6个时，小明能吃6天、3天、2天、1天，4个和5个的苹果不够。
师：那如果小明再向妈妈要几个苹果的话，他最少要向妈妈要几个苹果才刚好够他吃呢？生：每天吃四个时，小明要再要2个苹果，每天吃5个时，小明要再要4个苹果。
师：在刚才讨论的过程中，小明每天吃1个、2个、3个的请况下，刚好可以在整天数吃完吗，这种情况下，就可以认为是“平均分”，即将6个苹果按照天数进行均分。
重梳理,促思维—以人教版二年级下册表内除法、有余数的除法整理与复习为例
重梳理，促思维—以人教版二年级下册表内除法、有余数的除法整理与复习为例古代伟大教育家孔子先生曰：“温故而知新!”可见“复习”有巩固知识和为学习新知识做铺垫的作用。
在这里“知新”更重要的是通过“温故”对知识有更进一步的理解与体会，找到知识间的联系和差异，形成知识系统，把握知识本质，获得对未来学习预判的方法，渗透猜想、推理、归纳等数学思想，可见复习课尤其重要。
接下来就如何循序渐进地培养学生梳理知识的能力，使知识点条理化、系统化、结构化，形成技能、发展数学思维提出一些策略和措施。
一、注重知识结构，借助教材梳理知识。
低年级的学生年龄小，不具备独立梳理单元知识的能力，而要梳理有联系的几个单元更是难上加难。
教师要教会学生借助教材进行知识梳理。
首先要教会学生翻看目录，再根据目录中所对应的页码查找到需要整理的知识，对小标题或重点的概念、关键内容画一画、圈一圈，接着将知识分块成点。
比如：借助目录学生会发现本册书除法内容所占比例最高，分为表内除法（一），表内除法（二）以及有余数的除法三大内容。
而表内除法（一）又分为“含义”和“求商”两大部分，再细分又可以分成“平均分的含义”、“除法的含义”，“2~6的乘法口诀求商”以及“解决问题”四个部分；而表内除法（二）只涉及到“求商”和“解决问题”两个部分，可由表内除法（一）迁移至此；而到了有余数的除法单元无非涉及到的仍是“含义”，“计算”“解决问题”，实际上是表内除法的延伸。
接着再引导学生对每一个例题进行分析，了解每个例题的主要内容和涉及的知识点，然后让学生尝试将知识点在草稿本上罗列出来，引导对比、寻找知识点间的联系和差异，再根据知识的共性进行分类。
这样可以培养学生的分类意识，体会知识间的内在联系，初步学会整理知识的方法。
二、关注个体差异，借助图表使知识结构化。
根据学生的个体差异，让他们选择自己喜欢的整理方式,如:提纲式、框架图、树形图、思维导图等，尽可能展示多元的思维和做法，实现对知识的个性化占有。
包含分和等分对比
平均分——包含分 圈一圈
除法计算
作业：完成我爱写作业第10页。
3 有12个桃子，每只小猴分3个桃子，可以分给几只小猴？
3
3 12 ÷ 3 = 4（只）
总
每
份
数
份 数
数
口答：可以分给4只小猴。 聪明的小朋友，谢谢你的帮助。
3
12 ÷ 3 = 4（只）
总
每
份
数
份
数
数
口答：可以分给4只猴子。
对比上面的式子，你 知道下面式子各部分 表达的含义是什么吗？
5 读一读，圈一圈。 （1）10÷2=5 （2）15÷3=5
先读一读除法算式，根据除法算式，动手圈 一圈，并说一说算式中每个数表示的意思。
分法一：10÷2=5 海 每份 螺 份数 总的 数海 螺 数
分法二：10÷2=5 海 份每 螺 数份 总的 数海 螺 数
读作：10除以2等于5
分法一： 15÷3=5 总 每份 数 份数 数
...
12 ÷ 总 数
...
3= 每 份 数
...
4（只） 份 数
平均分方法一：等分 平均分方法二：包含分 重点：虽然等分，包含分方法不同，但都是平均分。只要
是平均分，可以用除法算式来解答。
被除数÷除数=商
包含分：除法练习
1.我会填。
8里面有（ 4）个2 列式：8÷ 2 =4
15里面有（ 3）个5 列式：15÷ 5 =3
等分：除法练习
请学生根据图片猜一猜小精灵想怎样分橘子？
8÷2=4（个） √ 8÷4=2（盘）
小精灵列出了两个算 式，说说哪个算式对 呢？为什么？
等分与包含分对比练习先说一ຫໍສະໝຸດ 图意，再写除法算式。6÷3=2
分数除法计算法则的多元理解角度
“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”这个法则是怎么得出的？为什么“颠倒相乘”后能简化分数除法计算？为什么整数除法中直接除以除数，而到了分数除法中要乘它的倒数？倒数的本质是什么？这一系列问题困扰着学生及一线教师。
下面我借助除法的意义、乘法和除法之间的关系逐层理解和分析分数除法计算法则，再从群论角度深入分析、探究分数除法计算法则的内在原理。
一、从除法的意义角度理解分数除法计算法则除法的意义是理解除法算理的基础，除法有两类意义模型：等分除和包含除。
下面分别利用等分除和包含除解释和推导为什么分数除法中会出现“颠倒相乘”的计算方式、为什么“颠倒相乘”后能简化计算，进而理解分数除法计算法则。
（一）利用包含除解释分数除法计算法则成立的原因。
张奠宙教授指出“分数除法对包含除的需求特别强烈”。
对于整数除以分数，即a ÷n m，根据包含除的意义，1中有m n 个n m，则a 中有a ×m n 个n m ，所以a ÷n m =a ×m n。
在上述过程中，m n 的意义是1中n m 的个数。
这可以作为分数除法计算中“颠倒相乘”现象的一种朴素解释。
（二）利用等分除解释分数除法计算法则成立的原因。
除数为整数的等分除模型是一个平均分的过程，即知道整体后求每个部分的大小；除数为分数的等分除模型则是一个逆向分析过程。
对于分数除以分数，即b a ÷n m，借助等分除的意义，将单位“1”平均分成m 份，n 份是b a，所以b a ÷n m 求的是单位“1”。
也可以先由b a ÷n 求出1份，由于单位“1”是m 份，所以单位“1”是b a ÷n ×m =b a ×m n 。
所以b a ÷n m =b a ×m n 。
在上述过程中，分子、分母颠倒即可实现b a和单位“1”之间关系的转换，同时实现从除法计算到乘法计算的过渡。
怎样区分“等分”与“包含分”
怎样区分“等分”与“包含分”
李晓君;刘夏芳（指导老师）
【期刊名称】《数学大世界》
【年(卷),期】2009(000)001
【摘要】今天数学课上，刘老师给我们讲了一个小故事。
有一对双胞胎，姐妹俩长得一模一样。
很多小朋友分不清她俩谁是“等分”，谁是“包含分”，常常把她俩搞错，惹得她俩生气，互相争吵不休。
后来她俩商量了一个好办法：各人介绍自己的特征，好让小朋友区别、掌握。
【总页数】1页(P26)
【作者】李晓君;刘夏芳（指导老师）
【作者单位】广东省清远市佛冈县第一小学二（5）班;不详
【正文语种】中文
【中图分类】G611
【相关文献】
1.“等分除”or“包含除”——余数概念教学引入方式的比较分析 [J], 岳德明
2.“等分除”or“包含除”——余数概念教学引入方式的比较分析 [J], 岳德明
3.二等分、三等分……中的规律 [J], 于红香
4.二等分、三等分……中的规律 [J], 于红香（江苏）
5.\"等分除\"和\"包含除\"引发的教学思考 [J], 吴润洪
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分母为什么不能为0
分母为什么不能为0
当我们强调“分母不能为0，否则没有意义”时,学生的内心是否会有这样的疑问：“分母为什么不能为0？为什么当分母为0，就没意义了？”
数学是合理的。
作为数学老师，怎么才能说清楚呢？
数学知识具有严密的逻辑性，知识与知识之间紧密联系，具有一致性。
因而要说清“分母不能为0”的道理，我们可以从整数入手，先明白分数与除法之间的关系：
分数可以看作两个数相除，分数的分子相当于被除数，分数的分母相当于除数，分数线相当于除号，分数与除法的关系可以表示为：被除数÷除数＝被除数/除数，用字母表示为：a÷b ＝a/b（b≠0）。
为什么b≠0？其实，分母不能为0与除法中除数不能为0的道理是一致的。
首先，从除法的意义而言。
等分除：a÷0表示“将a平均分成0份，每份是多少？”，“平均分成0份”显然没有意义；
包含除：a÷0表示“每0个为一份，一共可以分成几份？”，这里的“每0个为一份”实际上就是没有分。
所以在除法的意义上，分母不可能是0。
其次，从除法与乘法的关系而言。
除法是乘法的逆运算，即“商×除数＝被除数”。
数学 名词解释
数学名词概念数:用来表示“多少”或“第几”的叫做数，它是数学上最基本的概念之一。
数的概念是在人类生产和生活的实践中逐步行程和发展起来的。
数字：用来记数的符号叫做数字。
在数学中常用的有中国数字和阿拉伯数字两种。
阿拉伯数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0叫做阿拉伯数字，它们是现在世界上各国通用的数字。
自然数：在数物体的过程中，数出的0、1、2、3、4、……都叫自然数。
基数和序数：当一个自然数被用来表示事物数量多少的时候，通常称为基数，当一个自然数被用来表示事物次序的时候，通常称为序数。
整数：自然数也称整数。
数字值：数字本身所表示的值叫做数字值。
位置值：数字本身与其位置结合起来所表示的值叫做位置值。
数位：写数时，按照一定的顺序，把各个计数单位排列在一定的位置上，各个不同的计数单位所占的位置叫做数位。
在整数数位顺序表中的个位、十位、百位……都是数位。
位数：一个整数含有数位的数目叫做位数。
整十数：整十数是特殊的两位数，也就是个位是0的两位数。
高位：在一个数里，某一位左边的数位是这一个及右边的数位的高位。
左边第一位是这个数的最高位。
低位：在一个数里，某一位右边的数位是这一位及左边的数位的低位，右边第一位是这个数的最低位。
数级：我国习惯上把多位数按四位分级，即从个位起，每四个数位算作一级。
个、十、百、千位是个级，万、十万、百万、千万是万级，亿、十亿、百亿、千亿位是亿级。
个级，万级，亿级等叫做数级。
准确数：在实际生活中有些量需要用和实际情况完全符合的数来表示，这些数叫做准确数。
近似数：有一些量，实际不可能或不需要用准确数表示，取与原来实际数很接近的一个数，这个数叫做近似数。
加法：把两个数合并在一起，求一共是多少的运算方法，叫做加法。
进位加法：在加法运算中，如果某一数位上的两个或几个数相加满10，要向前一位进1，这种方法叫做进位，含有进位的加法叫做进位加法。
减法：减法就是已知两个加数的和与其中的一个加法，求另一个加数的运算。
《表内除法1》课后教学反思1
表内除法（一）教学反思用2、3、4、5的乘法口诀求商教学反思本册数学第四单元表内除法（一）学习内容已经结束，经过一些练习，发现学生计算方面已经很熟练，正确率也很高，但是如果碰到没有出示具体的情境，像24除以4等于6这样的题目，问一问：这个除法算式表示的意思是什么？我班有百分之四十的孩子只能说出一个意思，有百分之二十的孩子答不出。
我疑惑不解，课堂教学时，我根据具体的情境图把所遇到的除法算式所表示的意思讲解的很透彻，看似孩子们也明白了，但现在怎么这样啊！我请教了一些老教师和同组的数学老师，她们给我的答案是这个年龄段的孩子会有一些这样的情况，离开了具体的情境，就不知怎么表达除法的意义了。
除法分为等分除法和包含除法两种。
等分除法是把一个整体平均分成若干份，求每份是几；包含除法是把一个整体每几个分一份，求平均分成了几份。
在作业中现实情况是这样的：孩子们遇到等分除法是说时容易做时难；遇到包含除法是做时容易说时难。
我想：是不是我在教学时淡化了对孩子概念的渗透？由于我们使用的是北师大版的教材，这个教材的特点是每节课都是在一个具体的情境中学习新知，根据情境图理解算理；练习题设计的也是这样的，几乎每一题都是看图写算式。
学生在课堂上能根据图意写出算式，理解意义。
反思我的教学过程也是遵循这样的特点，很少离开情景让孩子说说算式所表示的意义，这样的结果使我想到教学也要举一反三，多做变式练习，不要只看到一些表面的现象，要多揣摩教材编写者的意图，教学时注意培养孩子的各种能力：观察力、想象力、语言表达能力等等。
教学注重学习过程与方法的指导，注意渗透一些数学思想，教会孩子学习的方法，这些很重要。
表内除法（二）教学反思用6、7、8、9的乘法口诀求商教学反思《表内除法一》除了学习除法的含义之外，还学习了用2、3、4、5的乘法口诀求商。
虽然都是用乘法口诀求商的学习，本册教材为了分散难度，分成了第四和第八两个单元来教学，但是，其知识内在的、本质的联系是相通的，或者可以说是一致的。
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列式：８÷２＝４
等分除：已知总数和份数求每份数；
包含除：已知总数和每份数求份数。 实用文档
练习巩固
填空：
12÷4=3表示 （
）
还表示（
）
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小结
这节课你有什么收获？你还有什么 不清楚的地方？提出来，我们共同解决。
等分除与包含除的区分
正兴镇小学 杨承益
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考考你
８÷２表示把（ ）平均 分成（ ）份，每份是（ ）； 还表示８里面有（ ）个 （ ）。
实用文档
展示对比 。 ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（2）个（4） ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是（4）；
还表示８里面有（4）个（2）。
实用文档
实用文档
引导绘图理解
一、均分除
二、包含除
表示把８平均分成２份， 每份是４
表示把８按每份２个 平均分，可以分４份， 即８里面有４个２
列式：÷２＝４
发现：同样一个除法算式，表示的意义有两个，
一个是等分除，一个是包含除。 实用文档
引导绘图理解
一、等分除
二、包含除
表示把８平均分成２份， 每份是４
除数2和商4都有
说一说你是怎样想的？
实用文档
展示对比
× ×。 ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（2）个（4） ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是（4×）；
还表示８里面有（4）个（2）。
对比发现：前一种解法的最后两个空是错误的。
谁是完全正确的？你能交流一下你是如何
分析解题的吗？