等分除与包含除的区分
“等分除”和“包含除”引发的教学思考
“等分除”和“包含除”引发的教学思考作者：吴润洪来源：《小学教学参考(数学)》2019年第05期我校一位青年教师在讲授青岛版教材二年级下册“表内除法”时，有两道题让他犯难了。
题一：请画图表示12[÷]3。
以下是学生的几种典型画法：画法1：画12个圆圈，将每4个圈作1堆，共分为3堆。
画法2：画12个圆圈并将它们分为4堆，每堆3个。
画法3：画12个圆圈，3个3个圈起来。
单看画法1和画法2，更像乘法算式的图例，完全没有除法算式的痕迹。
如果判学生错，可课本上又有既可列出乘法算式又可列出除法算式的图示。
形如这样的“双关图”，课本上随处可见，这揭示了乘法与除法之间的互逆关系，那么学生这样作图也无可厚非。
题二：15[÷]3不但能表示将15等分成（）份，每份是（），而且能表示15里面有（）个（）。
按照参考答案，第一层含义学生很容易想到，第二层含义理应是15里面包含（5）个（3），而非（3）个（5），多数学生在此处栽跟头。
就算教师细致解析后，仍有不少学生受乘法含义的负迁移影响，认为原式解读为15里面包含有3个5或5个3都说得通。
针对此争议，教师也是各执一词。
一、两种分法引起的分歧观点一：之所以出现上述分歧，归咎于教师教学时没有教会学生分辨“等分除”和“包含除”。
教师应沿用旧版教材的做法，将“等分除”和“包含除”分开讲授，而且要让学生严格区分，做到泾渭分明，绝不含糊其辞，这样分歧就会消除。
观点二：既然新教材没有将“等分除”和“包含除”区别开来，那么在教学中教师也不应自找麻烦，给学生增加学习负担。
因此对于题一，各种画法均无不可，不同画法刚好体现了学生个性;题二中的“另类”填法，也有一定的合理性，不应全盘否定。
二、产生分歧的根本原因教师之所以相持不下，症结就在于教学重点不一致;而学生的回答千差万别，也归因于对除法的含义理解有偏差。
因此，笔者认为有必要管控分歧，统一意见，进一步厘清“除法的含义”的教学思路。
《小学数学教材中的大道理》读后感
《小学数学教材中的大道理》读后感《小学数学教材中的大道理》读后感1 张奠宙等人所著的《小学数学教材中的大道理》，是一本探讨小学数学中核心概念的文集，也是一本深入浅出的、平易近人的教师的案头书。
教材是根据学科课程标准系统阐述学科内容的教学用书，是教师教学与学生学习的依据。
相信老师们都有这样的感受：尽管小学数学教材难度不大，但要真正教好并非易事，因为教材中的许多知识点具有丰富的数学背景和内涵。
如何在课堂上用通俗易懂的语言解释给学生，同时做到“混合不错”，一直困扰着广大小学数学教师——真可谓“小”数学中也有“大”道理。
书中直面教学中的两个基本问题——“教什么”和“如何教”，以现代数学观点、批判性视角对现行教材内容编排进行评述，不仅对一线教师理解教材具有启发作用，更对推进小学数学教材建设作出深入思考。
它系统梳理了小学数学中的核心概念，指出日常教学中易混淆、易忽视之处，为一线教师合理使用教材、改进教学提供了宝贵建议；它汇聚了数十位数学教育界专家学者、资深教研员、一线教师的智慧与力量，为促进一线教师提升教育理论素养、改进教学实践水平提供全面丰富的指导。
很多时候我们对教材的教学内容和内容的呈现方式有质疑，会怀疑是否教材本身就存在问题，部分疑问可以通过《教师用书》和网络查询等得以解惑。
读《小学数学教材中的大道理》后我们可以解开教材中的一个一个谜团，比如方程意义这一课，张教授指出教科书上写“方程是含有字母的一种等式”是可以的，反过来认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了，“含有字母的等式叫方程”不能当作严格的定义来看待，如果非要拿它当作基本出发点判断是非，硬要人们承认X=1是方程之类，恐怕是没有意义的自我折腾。
一个对象的定义最好能够帮助人们进行理解。
正如认识一个人，光靠一张照片是不够的，最好有一份简历。
书中也指出了我们数学教材中的很多不足，比如教材在除法、分数、比部分编写忽视了包含除。
在分数的意义开始出示两副图让学生理解分数是在实际度量和平均分中产生的，但是教材在后续的编排中只强调了“平均分”却忽视了“度量”，始终没有回答“剩余绳子不足一节，怎么记”等等。
小学阶段数学全部名词概念和知识要点
小学阶段数学全部名词概念和知识要点【数学】数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。
它是一门内容非常丰富、分支学科纵横交织的基础学科。
目前，小学数学的内容，除了精选一些传统的算术内容外，还适当地增加了部分代数、几何及统计方面的内容，并渗透了一些现代数学的及统计方面的思想。
【算术】算术是数学的一个分支，小学数学教材的主要内容是算术部分的知识。
它是一门研究数的性质、关系及运算的学科，主要包括整数、小数、分数、百分数、比和比例等内容。
【数】用来表示“多少”或“第几”的叫做数，它是数学上最基本的概念之一。
数的概念是在人类生产和生活的实践中逐渐形成和发展起来的。
【数字】用来记数的符号叫做数字。
在数学中常用的有中国数字和阿拉伯数字两种。
【中国数字】中国数字是我国汉字中常用的数字。
有大写和小写两种。
大写：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿……等。
小写：O、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……等。
【阿拉伯数字】1、2、3、4、5、6、7、8、9、0叫做阿拉伯数字，它们是现在世界上各国通用的数字。
【数数】数数也叫做计数，也就是数物体的个数。
当我们想知道某一物体的数量时，总是手指着一个一个的物体，口念着自然数里的1、2、3、4…等等，和所指的物体一一对应。
只要是不遗漏，也不重复，数到最后一个物体所对应的那个数就是数的结果。
这个过程就叫做数数。
【自然数】在数物体的个数的过程中，数出的0，1，2、3.4…都叫做自然数。
“1”是自然数的单位。
任何自然数都是由若干个＂1”组成的。
自然数有无限多个。
0是最小的自然数，但是没有最大的自然数。
【自然数列】从“0＂起，把自然数按照从小到大的顺序排列起来，就得到一列数：0、1、2、3、4、5..……这个依次排列着的全体自然数的集合，叫做自然数列。
在自然数列中，排在最前面的一个自然数是“0＂，并且每个自然数都有且只有一个后继数（紧挨在后面的数）。
除法的初步认识精讲复习
每份
份数
总数
求３个２相加
２×３＝６（只）
9
包含除
总数
小红要写40个大字，每天写8个，
需要写几天？
每份数
份数 40里面包含着几个8
40 8 = 5（天）
10
总数
等分除
Байду номын сангаас
植树节要种56棵 每行要种几棵？
，要种8行，
份数
每份数
把56平均分成8份，求每份是几。
56 8 = 7（棵）
11
除法
等分除法
(平均分）
大家好
1
除法的初步认识
（复 习 课）
2
除法
等分除法
(平均分）
包含除法
(圈一圈）
把12个苹果平均分成3份， 每份4个。
12 ÷ 3 ＝ 4
总数 分数 每份数
12个苹果，每3个一份， 可以分成4份。
12 ÷ 3 ＝ 4
总数 每份数 份数
3
活动一：讲故事，认识“等分除”和“包含除”
除法
等分除法
(平均分）
总数÷份数=每份数
包含除法
(圈一圈）
总数÷每份数=份数
12
活动三：我挑战，我快乐！
13
每辆车上有2只小动物，3辆车上共有（ 6 ）只小动物。
2 3 = 6（只）
6只小动物坐3辆车，平均每辆车上有（ 2 ）只小动物。
6 3 = 2（只）
6只小动物，每2只小动物坐一辆车，需要（ 3 ）辆车。
6 2 = 3（只）
36 9 = 4（页）
6
等分除
总数
小明有16个
，平均分给4个小
朋友，每个小朋友分几个？
论小学数学教材中等分除、包含除的关系
论小学数学教材中等分除、包含除的关系作者：佘丹来源：《教育周报·教育论坛》2019年第33期在小学阶段，关于除法和分数的教学中，我们最常用的情境就是“平均分物”，例如：（1）把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘放几个？列式为 12÷4=3（个）（2）把12个竹笋分给一些人，每人分3个，可以分给几个人？列式为 12÷3=4（个）这两道题是不同意义的除法，在总数是12的前提下，问题1是知道平均放在4个盘子里，即知道分的份数，用除法计算出每份是多少，我们称之为“等分除”;问题2则是知道每份是多少以后，求平均分到了几个盘子里，即总数里包含了多少份，我们称之为“包含除”。
这两种除法是同一个“平均分物”数学模型所产生的，地位平等。
而所谓除法，是乘法的逆运算，是指“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
”我们再回头看分竹笋的情境中，竹笋总数=份额×盘数。
参与平均分的盘数和每盘的数量，是构成竹笋总数这一乘积的两个平等因数。
这样一来，从除法意義上来讲，等分除和包含除，是同一个情境里的两类互相依存的除法问题，或者说他们是一对双胞胎，关系密不可分。
又例如四年级数学教材中所学的的这个数量关系式：总价=单价×数量这两个基本关系都涉及到两个平等的因数相乘，两个基本关系式的变化形式有单价=总价÷数量数量=总价÷单价这两个变式就是等分除和包含除，可以看出两类除法在解决问题中的应用也是均衡的。
首先，等分除和包含除在数学教材和教学中的地位是平等的。
以下是等分除和包含除在人教版教材中的编排，我将教材中的例题进行了归类，总结起来，7道例题9个问题中有4个等分除和5个包含除。
基本上两种除法在除法的运用中，地位是平等的。
我认为我们现在使用的这套人教版教材对于两类除法的处理就很好，如二年级下册教材23页中的例题，将两种除法编排在同一页，进行对比区分，并发现他们之间的联系，这样处理就很好地帮学生理解两者。
《小学数学教材中的大道理》读后感
《小学数学教材中的大道理》读后感《小学数学教材中的大道理》读后感1本书针对目前教材中概念教学部分存在的问题、缺失，以及如何改进，进行了深入的思考。
整本书分五个部分，共27个课题，每个课题聚焦一个核心概念，由“原始文稿”、“一线回声”和“数方夜谈”三篇文章组成。
其中“原始文稿”是张奠宙先生针对教材中存在的问题撰写的评论，是关于核心概念的理解，这一板块属于思辨层面；“一线回声”是一线教师结合自己的教学实践和体悟，评述先生的文章，或赞成或反对，很多文章附了教学案例实践先生的观点，这一板块属于实践层面；“数方夜谈”是先生、高校教师、教研员和一线老师之间的交流和对话，对核心概念进一步理解与探讨，对实践层面进一步思考和追问，属于理论与实践综合层面。
一个主题，三篇文章，从不同的侧面对小学数学的核心概念深度剖析。
精彩分享：1、除法和分数教学，最常用的情境是“平均分物”。
例如，将一些饼干平均分给小朋友。
这一数学模型涉及两种除法，俗称“等分除”和“包含除”。
但是我国的除法教学和教材编写，都畸形地偏向等分除，以致形成了片面的思维定势，这对于培养学生分析问题和解决问题的能力非常不利。
2、所谓除法，是指“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算”。
这两个因数的地位平等。
例如，在分饼干的情境中，饼干总数=人数×份额。
参与平均分的'人数和每人分得的数量，是构成饼干总数这一乘积的两个地位平等的因素。
这样一来，从除法的意义进行分析，等分除和包含除乃是同一个情境里两类互相依存的除法问题。
可以说二者是一对“孪生兄弟”，彼此密切相关。
3、如果我们随意问学生：“什么时候要用除法？”多半的回答只是把一些东西平均分给几个人，除一下，就知道每人分得多少了。
这就是说，绝大多数学生把除法等同于等分除了。
一对“孪生兄弟”，偏爱一个。
读后感悟：第一次认识“等分除”和“包含除”，并不是在课本里，而是在教学除法时，办公室老师一起讨论时从前辈们口中听来的。
包含分和等分对比
平均分——包含分 圈一圈
除法计算
作业：完成我爱写作业第10页。
3 有12个桃子，每只小猴分3个桃子，可以分给几只小猴？
3
3 12 ÷ 3 = 4（只）
总
每
份
数
份 数
数
口答：可以分给4只小猴。 聪明的小朋友，谢谢你的帮助。
3
12 ÷ 3 = 4（只）
总
每
份
数
份
数
数
口答：可以分给4只猴子。
对比上面的式子，你 知道下面式子各部分 表达的含义是什么吗？
5 读一读，圈一圈。 （1）10÷2=5 （2）15÷3=5
先读一读除法算式，根据除法算式，动手圈 一圈，并说一说算式中每个数表示的意思。
分法一：10÷2=5 海 每份 螺 份数 总的 数海 螺 数
分法二：10÷2=5 海 份每 螺 数份 总的 数海 螺 数
读作：10除以2等于5
分法一： 15÷3=5 总 每份 数 份数 数
...
12 ÷ 总 数
...
3= 每 份 数
...
4（只） 份 数
平均分方法一：等分 平均分方法二：包含分 重点：虽然等分，包含分方法不同，但都是平均分。只要
是平均分，可以用除法算式来解答。
被除数÷除数=商
包含分：除法练习
1.我会填。
8里面有（ 4）个2 列式：8÷ 2 =4
15里面有（ 3）个5 列式：15÷ 5 =3
等分：除法练习
请学生根据图片猜一猜小精灵想怎样分橘子？
8÷2=4（个） √ 8÷4=2（盘）
小精灵列出了两个算 式，说说哪个算式对 呢？为什么？
等分与包含分对比练习先说一ຫໍສະໝຸດ 图意，再写除法算式。6÷3=2
教育论文：小学二年级学生用除法解决问题的典型错误与解决对策
教育论文：小学二年级学生用除法解决问题的典型错误与解决对策【摘要】二年级学生学习表内除法时，主要体会除法运算的含义，以及用除法运算解决简单的实际问题。
学生经常出现“除法运算与其他运算混淆”“条件信息与问题混淆”“等分除与包含除混淆”等典型错误。
教学时，可以通过“由点到面，梳理四则运算之间的意义关系”“凸显数量关系，从理解意义到提炼结构”“立足关联，重视数学模型建立”等对策为学生答疑解惑。
【关键词】除法；解决问题；典型错误；对策除法是重要的四则运算之一。
二年级学生学习表内除法时，要体会除法运算的含义，并学习用除法运算解决简单的实际问题。
从教材编排来看，“除法的初步认识”分为两个层次。
一是通过“每份同样多”的实例和活动情境，帮助学生建立“平均分”的概念。
教材通过让学生参与平均分的活动, 认识平均分的两种不同情况：等分和包含。
二是在建立“平均分”概念的基础上引出除法运算的含义。
除法运算包括“等分除”和“包含除”两种情况。
然而，由于二年级学生初学除法运算的含义，他们在用除法解决实际问题时，经常会出现“除法运算与其他运算混淆” ”条件信息与问题混淆” “等分除与包含除混淆”等典型错误。
可基于学生的这些错误，有针对性地提出相应的对策。
【错误类型一】思维定式，造成除法运算与其他运算混淆图1是检测练习中的一组题目，解决问题中既有乘法，又有除法与减法。
学生在一年级学习了加法和减法，二年级上册的学习内容主要是乘法，二年级下册的学习内容主要是除法。
在解决问题中情境的相似性容易让学生产生思维定式，造成运算混乱。
如图1中，学生解决第（4）题时就用了除法运算。
这说明其对除法含义理解不透彻，对四则运算意义没能很好地进行辨析。
图1【对策】由点到面，梳理四则运算之间的意义关系教材中“除法”是通过“直观或操作一文字叙述一算式” 的方式编排的。
在实际教学中教师需要根据学情进行调整，让学生在理解除法含义的基础上，整体构建加减乘除四则运算之间的联系。
分数除法计算法则的多元理解角度
“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”这个法则是怎么得出的？为什么“颠倒相乘”后能简化分数除法计算？为什么整数除法中直接除以除数，而到了分数除法中要乘它的倒数？倒数的本质是什么？这一系列问题困扰着学生及一线教师。
下面我借助除法的意义、乘法和除法之间的关系逐层理解和分析分数除法计算法则，再从群论角度深入分析、探究分数除法计算法则的内在原理。
一、从除法的意义角度理解分数除法计算法则除法的意义是理解除法算理的基础，除法有两类意义模型：等分除和包含除。
下面分别利用等分除和包含除解释和推导为什么分数除法中会出现“颠倒相乘”的计算方式、为什么“颠倒相乘”后能简化计算，进而理解分数除法计算法则。
（一）利用包含除解释分数除法计算法则成立的原因。
张奠宙教授指出“分数除法对包含除的需求特别强烈”。
对于整数除以分数，即a ÷n m，根据包含除的意义，1中有m n 个n m，则a 中有a ×m n 个n m ，所以a ÷n m =a ×m n。
在上述过程中，m n 的意义是1中n m 的个数。
这可以作为分数除法计算中“颠倒相乘”现象的一种朴素解释。
（二）利用等分除解释分数除法计算法则成立的原因。
除数为整数的等分除模型是一个平均分的过程，即知道整体后求每个部分的大小；除数为分数的等分除模型则是一个逆向分析过程。
对于分数除以分数，即b a ÷n m，借助等分除的意义，将单位“1”平均分成m 份，n 份是b a，所以b a ÷n m 求的是单位“1”。
也可以先由b a ÷n 求出1份，由于单位“1”是m 份，所以单位“1”是b a ÷n ×m =b a ×m n 。
所以b a ÷n m =b a ×m n 。
在上述过程中，分子、分母颠倒即可实现b a和单位“1”之间关系的转换，同时实现从除法计算到乘法计算的过渡。
小学数学教材中的大道理读后感(4篇)
小学数学教材中的大道理读后感（4篇）学校数学教材中的大道理读后感1本书针对目前教材中概念教学部分存在的问题、缺失，以及如何改良，进行了深化的思索。
整本书分五个部分，共27个课题，每个课题聚焦一个核心概念，由“原始文稿”、“一线回声”和“数方夜谈”三篇文章组成。
其中“原始文稿”是张奠宙先生针对教材中存在的问题撰写的评论，是关于核心概念的理解，这一板块属于思辨层面；“一线回声”是一线老师结合自己的教学实践和体悟，评述先生的文章，或赞成或反对，许多文章附了教学案例实践先生的观点，这一板块属于实践层面；“数方夜谈”是先生、高校老师、教研员和一线老师之间的沟通和对话，对核心概念进一步理解与探讨，对实践层面进一步思索和追问，属于理论与实践综合层面。
一个主题，三篇文章，从不同的侧面对学校数学的核心概念深度剖析。
第一次熟悉“等分除”和“包含除”，并不是在课本里，而是在教学除法时，办公室老师一起商量时从前辈们口中听来的。
对于除法运算的引入，传统教材中人为地将除法划分为“等分除”和“包含除”这两种类型。
现行教材中没有再进行刻意的分类，而事实上，无论是哪一种，他们都表示将整体分成若干相等的部分。
至于是求份数还是每一份是多少就有了“等分除”和“包含除”的区分。
我自认为在教学除法的意义时将两种状况讲得很清晰，在当时的练习检测中也并未消失太大的问题，可是一段时间之后，尤其是在学习分数之后，问题一点点出现出来。
前几天教学“分数与除法”时，我问同学：“你是怎么理解除法的？”他们的回答很全都：平均分。
我追问：“举个例子说说？”孩子们的回答更全都了：把20个苹果平均分给4个小伴侣，每人分几个？一盒铅笔有12只，平均分给3个人，每人能分到几只铅笔几乎全部的孩子列举的都是“等分除”，这又是怎么回事呢？想了想，一方面就像书中提到的，教材呈现的问题多侧重于“等分除”，另一方面，可能也有老师平常的言语示意，我们自己也倾向于“等分除”更好理解和表达。
除法小棒教学是什么数学思想
除法小棒教学是什么数学思想除法有两种意义，因此本课我分了两个课时进行教学，将两种意义分开教学。
孩子们都比较喜欢动手操作，对自己动手操作得到的结论印象也更深刻些，所以为孩子们准备了小棒作为学具，第一课时是除法的第一种意义，等分除法。
孩子们在学习平均分的时候，已经了解了平均分的多种方法，让孩子们分组将12平均分成4份，孩子们在组内操作都很活跃，选择了自己比较喜欢的方式，达到平均分成4份的目的，紧接着就引入除法算式，将12平均分成4份可以写成除法算式12÷4，这种除法的意义孩子们掌握的很好，也知道了把一个总数平均分成几份可以用除法来做。
除法有两种意义，因此本课我分了两个课时进行教学，将两种意义分开教学。
孩子们都比较喜欢动手操作，对自己动手操作得到的结论印象也更深刻些，所以为孩子们准备了小棒作为学具，第一课时是除法的第一种意义，等分除法。
孩子们在学习平均分的时候，已经了解了平均分的多种方法，让孩子们分组将12平均分成4份，孩子们在组内操作都很活跃，选择了自己比较喜欢的方式，达到平均分成4份的目的，紧接着就引入除法算式，将12平均分成4份可以写成除法算式12÷4，这种除法的意义孩子们掌握的很好，也知道了把一个总数平均分成几份可以用除法来做。
但是引入第二课时除法第二种意义的教学时，难题出现了，孩子们对于20个竹笋，每4个放一盘，能放5盘的结论能轻易得出，但是却不甚理解这种包含除法的意义，可能受了第一意义根深蒂固的影响，在我要求说出包含除法的意义时，不少学生仍是用了第一种除法意义。
因此我结合例题对例题所给的数学信息及得到的结论各个数字的意义都又做了详细的解释，并找很多孩子对数字代表的意义，20是竹笋的总数，4是每一份的个数即每份数，我们所求出来的就是可以分成的.5份，并就把20每4个分一份，可以分成5份的意义让孩子们反复理解记忆，大部分的孩子有了思想的转变，能够分析出题目所给的信息每几个为一份求份数的可以用除法计算。
小学低学段的学具分类和使用方法
这时教师该怎么应对呢？师：大家应该看过很多关于战争的影片，敌我交战时，如果我方兵力不足该怎么办？生1：向盟军借兵。
师：那被减数个位上的0不够减了，向谁借呢？生2：要向十位借1当10。
师：借兵是要订立合约的，我们日常借了别人的财物，也是要打借条的，那数字之间的借位怎么“打借条”呢？我们是这样做的，在被借走的数字上点个圆点充当借条，表示这个数字出借了“1”个计数单位给下级单位了，明白吗？师：这个“借条”要打在出借方的头上，确认借走“1”了才能打借条。
在教学“四则混合运算先算小括号里面的”这一规则时，笔者同样使用了打比方的方法：计算就像穿衣服，要先穿内衣，再穿外套。
学生们一下子就记住这一规则了。
四、运用比方将难操作的知识可操作化对于一些稍复杂的、与生活脱节的抽象问题，学生难以理解，而如果能恰当地运用打比方，则可以将问题以另一种可读的方式呈现出来。
比如教学“平均分”的时候，需要学生辨析包含除和等分除：把15颗蜜枣每3颗分1份，能够分成几份？把15颗蜜枣平均分成3份，每份有几颗？在这两种分法中，第一种分法是包含除，学生接受、理解较快。
对于第二种等分除，总是有学生倒因为果、偷换概念，无意识地运用第一种分法口算出结果，即5颗为一份，分成3份。
那怎样才能让学生正确处理平均分的问题呢？笔者提点学生：“15颗蜜枣就像是15张扑克牌，有3个人打扑克牌，就得将牌平均分成3份，现在你们会发牌了吗？”学生齐答：“会！”就这样，通过打比方，他们很快掌握了等分除的分法——一个一个地分，每人分到一个后再循环。
在学习加减法的简便算法时，计算“134-98= 134-100+2”，学生始终搞不清楚为何要加100后又减去2，认为这样多此一举。
笔者解释：“可以把这道题看作在超市购物付款。
妈妈带了134元现金，去超市买了98元的日用品，她付给收银员100元（此时剩余的钱应是134-100=34（元）），收银员找回2元（此时剩余的钱应是34+2=36（元）），即先减100，然后将多减去的2退补回来。
北师大版小学数学六年级上册第六单元分析
六比的认识单元学习目标1.经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义及其与除法、分数的关系，感受比在生活中的广泛应用。
2.会运用商不变的规律或分数的基本性质化简比，并解决一些简单的实际问题。
3.经历与他人交流算法的过程，能运用比的意义，解决按比进行分配的实际问题。
4.在解决问题的过程中，初步养成乐于思考、勇于质疑的学习习惯。
单元学习内容的前后联系在小学阶段，分数的认识大致分为三个阶段：第一阶段初步认识分数，侧重理解分数的份数定义，即从把整体平均分后部分与整体的数量关系上认识分数；第二阶段分数的再认识，侧重理解分数的商的定义，即分数表示两个整数相除的商；第三阶段理解分数的比的定义，即分数表示两个整数的比，所以，比的认识也是对分数认识的丰富。
本单元就是第三阶段，借助比的认识，发展学生对除法和分数的认识，沟通知识间的内在联系，加强对现实生活中数量关系的理解和认识，进一步完善认知结构，为以后进一步学习比例以及其他有关方面的知识打好基础。
单元学习内容分析本单元的学习，是建立在学生已学过的分数乘（除）法的意义和计算、分数的意义及基本性质以及分数与除法的关系的基础上进行的，这些知识都是学生学习本单元内容的直接基础。
本单元学习的主要内容有：比的意义、化简和应用。
组织本单元学习内容的思路如下。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。
1.提供多种情境和方式，让学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程比是数学中的一个重要的概念，而学生理解比的意义往往比较困难。
为此，教科书提供了大量的与学生已有经验密切联系的情境，引发学生的思考与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。
究竟比的必要性表现在哪里？长方形像不像的问题是引入比的现实来源，长方形的形状特征可以用它的长和宽这两个对等的量来刻画，就是这两个量的比。
所以，比是用来刻画事物不可度量的属性的。
如行走的快慢、水果的贵贱，蜜水的甜度等都是不可度量的，但它们都可以用两个可以度量的对等的量来刻画或记录，这就是学习比的必要性。
小学数学表现性任务设计研究——以“认识除法”为例
㊀㊀㊀１３７㊀㊀小学数学表现性任务设计研究小学数学表现性任务设计研究㊀㊀㊀ 以 认识除法 为例Һ康㊀泰㊀（甘肃省武威市武威第二十中学，甘肃㊀武威㊀７３３００８）㊀㊀ʌ摘要ɔ新课改的不断推行促使培养学生的学科核心素养成为小学数学教学的主要目标，这就意味着教师应对教学目标㊁教学内容㊁教学评价等方面进行系统改革，并设计表现性任务辅助学生对新课知识进行深入研究，为学生数学核心素养的形成与发展助力．文章以 认识除法 为例，对小学数学表现性任务的方案设计进行探析，先确定表现性任务目标，然后明确表现性任务的出发点，设计多元化的表现性任务，并制订相应的表现性评价量规，最后利用系统化评价贯彻落实 教 学 评 一体化理念，为提高学生的数学核心素养奠定基础．ʌ关键词ɔ 认识除法 ；小学数学；表现性任务表现性任务是让学生在不同情境中灵活利用已有知识与技能解决实际问题，从而收到相应的学习成果和建构反应的任务．高质量的表现性任务可以完善教学结构，同时能帮助学生发现不同知识点之间的关联性，有利于其提高学习效率． 认识除法 是小学数学中的重要一课，教师应结合课程内容㊁核心素养以及学生的基本学情设计系统化的表现性任务，帮助学生加强对除法概念㊁意义㊁运算方法等内容的理解与应用，从而彰显表现性任务对提高学生数学核心素养的积极作用．一㊁锚定素养，确定单元表现性任务目标（一）分解核心素养：细化运算能力在小学数学 认识除法 的教学过程中，教师在制订表现性任务之前要从核心素养出发细化单元目标．其中，运算能力是每名学生都应具备的．教师在对运算能力这一核心素养形成一定了解后，应将它与 认识除法 的内容加以整合，使数学素养变得更加具体，成为具有操作性的单元目标．具体来说，在算法方面，学生要能用乘法口诀准确求商，并可以根据题意列出除法算式；在算理方面，学生要能在具体情境下用语言转述㊁动手画图㊁列举算式等方法表示平均分的过程和结果；在优化算法方面，学生要能理解并阐述除法结果的意义及它的合理性，并在众多解决方案中选择较为简便的算法．对运算能力的详细分析可使学生明确本课的学习目标，也为教师提供了设计表现性任务的多元思路，保证了后续活动的顺利开展．（二）基于核心素养确定单元表现性任务目标完成对运算能力的解读后，教师便能确定单元表现性任务目标，具体内容如下：（１）让学生经历用平均分的方法解决简单实际问题的过程，知道平均分的过程和结果可以用除法算式来表示，对除法的含义形成初步认知，能正确读㊁写除法算式，知道算式中各部分的名称；（２）使学生经历在简单的平均分问题中抽象出除法算式的过程，能结合具体情境写出相应的除法算式，并简述它的实际含义，进一步发展学生的数学思维，培养其解决实际问题的能力；（３）使学生在独立思考与合作探究中体会除法与现实生活的关联性，以此提高他们对数学的兴趣以及学好数学的信心．在目标的指引下，教师明确了本单元教学的主要内容和制订表现性任务的基本路径，为各项任务的有序实施打下了坚实的基础．二㊁分析学情，明确表现性任务的出发点（一）学生视角：分析现有水平表现性任务设计不仅要求教师要明确单元教学目标，还要结合学生的基本学情进行针对性分析，使表现性任务更加符合班级学生的认知特点，以此满足学生的发展需求．为了更好地了解学生的实际情况，教师可以制订一份课前检测试题，具体内容如下．１．用乘法口诀求商．８ː４＝㊀㊀㊀２４ː６＝㊀㊀㊀４０ː８＝１４ː２＝３５ː５＝１６ː４＝２．用除法解决实际问题．（１）一共有架飞机．（㊀㊀）＝（架）（２）每３架飞机编成一组，可编成组．㊀㊀㊀㊀１３８㊀ː＝（组）（３）平均编成６组，每组有架飞机．ː＝（架）３．对除法含义的理解：用你喜欢的方法算出除法算式１２ː６的答案，并用图示表示你的思考过程．教师根据课前检测情况便能初步了解学生在用乘法口诀求商㊁对除法意义理解㊁解决实际问题等方面存在的问题，然后可以此为依据调整表现性任务，使其更具指向性．（二）结构化视角：重构整体框架通过对教材内容进行深入研究，教师可以确定 表内除法（一） 这一单元分为 除法的初步认识 和 用２ ６的乘法口诀求商 两个部分； 表内除法（二） 这一单元分为 用７ ９的乘法口诀求商 和 解决简单的实际问题 两个部分．教师应把 对除法的意义理解 作为单元教学目标重组课程内容，将以上两个单元合并为 认识除法 ，帮助学生从多角度㊁深层次地理解除法的含义．教师从结构化视角出发重构单元框架后，可新增一节启发课，让学生围绕 我心目中的除法 这个话题谈一谈自己在学习了加法㊁减法㊁乘法的基础上对除法形成的认识，使他们对新课内容产生强烈的好奇心和求知欲．全新的单元框架将 用２ ６的乘法口诀求商 和 用７ ９的乘法口诀求商 两个部分整合在一起，便于学生将它们串联起来研究算理，对除法意义形成更加深刻的理解．除此之外，原本教材中 等分除 包含除 等内容也被拆分为三节探索课，教师可根据学生的认知特点和重点知识设计多元化的表现性任务，让学生在实践中掌握平均分的深层次内涵．三㊁基于理解，设计表现性任务（一）表现性任务的设计路径在小学数学课堂中设计表现性任务离不开真实情境的辅助，教师只有让学生感受到解决问题的必要性，学生才能对本课学习产生强烈的欲望．教师要秉持由整体到部分的原则，循序渐进地呈现表现性任务．另外，教师在设计表现性任务的同时可以制订相应的表现性评价量规，以此了解学生对除法知识的掌握情况，从而及时调整后续的教学活动，真正做到 以评促教 ．例如，在 均分物品我最行 板块增加 比较两种除法 的任务．第一个教学环节是自主画图，表达想法，表现性任务是用画图的方式表示９ː３＝３的含义，评价量规是能否画出两种不同的图示．第二个教学环节是展示交流，促进理解，表现性任务是将学生的作品展示在大屏幕上，让学生理解两种除法的含义，分别是情境不同，但算式相同，分法相同，算式相同，但含义不同，相应的分法也不同，评价量规是学生是否理解两种不同的图示以及是否理解同一图示可以表示不同的情境含义．第三个教学环节是独立创编，深化理解，表现性任务有两个：一是选择合适的条件，自主提出问题并解答；二是与同桌交流该问题是等分除还是包含除．其评价量规是能否给出正确答案，并准确区分两种除法的意义和应用方式．（二）表现性任务的设计要素１．任务设计要体现学习平均分的必要性教师在制订表现性任务时要体现学习平均分的必要性，让学生在任务驱动下理解除法的意义，提升学习效率．以 等分除 为例，本课教学目标是让学生体会平均分过程的多样性，教师可设计如下的表现性任务：王师傅去超市买了３６颗草莓，你能帮助他把这些草莓平均分给办公室的其他４个同事吗？把分草莓的过程记录到表１中．表１同事１同事２同事３同事４用去颗数剩余颗数第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次合㊀计与教材内容相比，此题包含的数据较大，学生不能口算答案，需要严格按照表格中的提示进行尝试．这一过程不仅充分体现出平均分的过程性和必要性，也让学生在自主探究中加强了对 认识除法 有关内容的理解与运用，彰显了表现性任务对提高学生数学核心素养的重要影响．２．任务设计要体现素养目标的进阶性教师在设计表现性任务时应秉持循序渐进的原则，让学生从基础任务做起，在由浅入深的探究中增强思维的深刻性，体现素养目标的进阶性．这样的设计方式符合小学生的基本学情．每个学生的数学基础不相同，并且受成长环境㊁智力发育㊁学习方法等因素的影响，学生之间存在较大的差异性，统一的表现性任㊀㊀㊀１３９㊀㊀务根本无法满足所有学生的学习需求．所以，教师制订表现性任务时要秉持进阶性理念，利用多元化问题调动学生的探究热情，保证教学目标的顺利实现．以 用乘法口诀求商 为例，教师可设计四个子任务，分别是：（１）４只熊猫平均分２４根竹子，每只熊猫能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（２）６只熊猫平均分２４根竹子，每只熊猫能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（３）６只熊猫平均分２６根竹子，每只熊猫最多能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（４）你帮熊猫分了三次竹子，有哪些感受？这三次经历有什么相同点和不同点？前两个子任务对应的是无余数的除法，学生会发现用乘法口诀同样可以解决除法问题．第三个子任务对第一个任务做出了细微调整，变成有余数的除法问题，使学生意识到有余数除法和没有余数除法在计算方法上没有区别．最后一个子任务具有总结性质，让学生掌握了用乘法口诀求商的基本方法，充分体现出运算的一致性．四㊁细化水平，制订表现性评价量规学生的数学基础各不相同，对表现性任务的完成度也会存在一定差异．对此，教师在制订表现性评价量规时必须同步于具体任务，经过分层设计提高评价的科学性和系统性．例如，在 均分物品我最行 的教学中，表现性任务是围绕除法意义进行设计的．为了考虑全体学生的学习感受，教师可以制订４个层次的评价量规，具体内容如表２所示．表２水平层次认知进阶点层次一掌握平均分的含义层次二用列算式㊁画图等方式表示平均分层次三理解 等分除 和 包含除 的含义层次四明确 等分除 和 包含除 的异同其中，层次一是指学生能准确判断平均分，知道它意味着每份要分得一样多；层次二是指学生能结合图示列举平均分的算式，并说出式子中各部分的含义；层次三是指学生能用算式㊁画图㊁语言等方式表示平均分的含义，并能在不同语境下说出算式中的总数㊁份数以及对应的每份数；层次四是指学生能在理解除法算式含义的基础上正确区分 等分除 和 包含除 ，知道它们的相同点在于都是平均分，并且都可以用除法表示．另外，评价量规不仅要点评学生的学习成果，还要关注他们的学习过程，主要涉及其在学习过程中展现的情感态度，如是否认真聆听组内成员发言㊁是否根据他人发言提供个性化意见㊁是否虚心接受他人提出的建议等．五㊁ 教 学 评 一体化，将评价贯穿始终教 学 评 一体化强调教师教学㊁学生学习与教学评价三个环节的紧密结合．为了保证数学教学质量，教师在学生完成表现性任务的过程中要贯穿这一理念，将教学和评价深度融合起来，使各个层次的学生都可以在过程性评价中加深对除法的认识．所以，在表现性任务评价中，教师要将意义理解作为目标导向，为学生搭建个性化的学习支架，使各个层次学生的数学素养均得到提升．例如，在解决前文提到的 王师傅分草莓 这一任务时，学生表现出来的数学水平各不相同，教师可为他们设计具有针对性的学习路径：首先，按照自己的想法记录平均分３６个草莓可能出现的情况，具体方法可以是画图㊁列算式㊁语言转述等；其次，让学生与同桌或其他小组成员互相分享学习成果，按照评价量规进行自评与互评；再次，通过多元化的点评让学生不断优化自己的解题思路与方法，并养成良好的反思习惯；最后，让学生用更具难度的方法完成其他表现性任务，达到深度学习的目的． 教 学 评 一体化理念的运用让各个层次的学生都能得到一定进步，有利于转变学生对数学学科的态度，使他们在反思与优化中提高学习效率，从而顺利完成各项表现性任务，为今后的全方位发展做好铺垫．结㊀语综上所述，在意义理解导向下，为了提高小学数学表现性任务的实效性，教师可以学科核心素养为切入点，根据 认识除法 相关知识制订单元表现性任务的目标和具体内容，以锻炼学生的运算能力．与此同时，教师应提高对评价的重视程度，将 教 学 评 一体化理念贯穿课堂始终，为学生指明学习的具体方向，全面发展学生数学核心素养的同时凸显表现性任务的重要价值．ʌ参考文献ɔ［１］刘贤虎．基于理解的小学数学教学表现性评价［Ｊ］．中小学教师培训，２０２３（２）：３３－３７．［２］刘琳娜，刘加霞．素养导向的数学表现性任务：内涵㊁功能及教学实施［Ｊ］．小学数学教师，２０２２（１１）：１３－１８，２．［３］郝瑞亚．小学数学表现性任务设计初探［Ｊ］．教育视界，２０２２（２９）：２４－２６．。
数的结构分析(精)
數的結構分析單位量與單位數四則運算中，不論是整數、分數或小數，只有在單位量都相同之下，才對單位數進行運算。
以下分別舉例說明之。
一、 加法：所謂的加法，就是相同單位，兩數合併後重新點算。
1. 整數加法：以7加8為例。
7和8的單位量都是1，7單位數為7個1組成，8單位數為8個1組成。
兩數的單位量都是1，因為單位量相同，所以可以合併為15。
2. 分數加法：以14 加23 為例。
14 是將1切成4份佔1份，即1個14 ，所以14的單位量為14 ，單位數為1。
同樣的，23 的單位量為13。
單位數為2，兩數的單位量不同，無法進行加法運算，因此我們必須先將兩數重新等分（即通分），找到共同的單位量。
即將13 和14 通分，每個14分成3份，則原來的1就變成12等份，原14 佔12等份中的3等份，即312 （單位量112 ，單位數3）。
同樣的，把每個13分成4份，則原來的1就變成12份，原23 佔12份中的8份，即812 （單位量112，單位數8）。
如此兩數的單位量都變成112 後，單位數3和8即可進行合併，重新點算得11個112 ，寫成1112。
兩數的單位量並非只有一個共同單位，也可分為24、48等份，只要是兩數共同等份都可以。
不過為了計算方便，我們習慣選擇最小等份（即最小公倍數）。
1. 小數加法：以0.4加0.14為例。
0.4的單位量0.1，單位數4；0.14的單位量 0.01，單位數14。
兩數的單位量不同，所以必須重新等。
找到共同的單位量。
0.4的單位量為110，因此，我們必須將其切成10份，每份就變成1100，如此原來的單位數4，在100份中，就變成佔40份；原來的單位數14，則佔14份。
兩數找到共同等份後，就可以合併為0.54。
減法：相同單位中，從某數中拿走某定量後，重新點算。
1.整數減法。
以10減4為例。
10的單位量1，單位數10；4的單位量1，單位數4。
兩數單位量相同，所以可直接進行拿去的動作，剩下6個單位數，單位量1。
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正兴镇小学 杨承益
８÷２表示把（ ）平均分成 （ ）份，每份是（ ）；还表示 ８里面有（ ）个（ ）。
。 ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（2）个（4） ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（4）个（2）。
说一说你是怎样想的？
× ×。 ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（2）个（4） ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是 ×
（4）；还表示８里面有（4）个（2）。
谁是完全正确的？你能交流一下你是如何 分析解题的吗？
一、均分除
二、包含除
表示把８平均分成２份， 每份是４
表示把８按每份２个 平均分，可以分４份， 即８里面有４个２
发现：同样一个除法算式，表示的意义有两个， 一个是等分除，一个成２份， 每份是４
除数2和商4都有
表示把８按每份２个 两个身份，既可 平均分，可以分４份， 以做份数，也可 即８里面有４个２ 以做每份数。
等分除：已知总数和份数求每份数； 包含除：已知总数和每份数求份数。
练习巩固
填空：
12÷4=3表示 （
）
还表示（
）
小结
这节课你有什么收获？你还有什么 不清楚的地方？提出来，我们共同解决。
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！