等分除包含除比较
北师大版小学数学六年级上册第六单元分析
六比的认识单元学习目标1.经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义及其与除法、分数的关系，感受比在生活中的广泛应用。
2.会运用商不变的规律或分数的基本性质化简比，并解决一些简单的实际问题。
3.经历与他人交流算法的过程，能运用比的意义，解决按比进行分配的实际问题。
4.在解决问题的过程中，初步养成乐于思考、勇于质疑的学习习惯。
单元学习内容的前后联系在小学阶段，分数的认识大致分为三个阶段：第一阶段初步认识分数，侧重理解分数的份数定义，即从把整体平均分后部分与整体的数量关系上认识分数；第二阶段分数的再认识，侧重理解分数的商的定义，即分数表示两个整数相除的商；第三阶段理解分数的比的定义，即分数表示两个整数的比，所以，比的认识也是对分数认识的丰富。
本单元就是第三阶段，借助比的认识，发展学生对除法和分数的认识，沟通知识间的内在联系，加强对现实生活中数量关系的理解和认识，进一步完善认知结构，为以后进一步学习比例以及其他有关方面的知识打好基础。
单元学习内容分析本单元的学习，是建立在学生已学过的分数乘（除）法的意义和计算、分数的意义及基本性质以及分数与除法的关系的基础上进行的，这些知识都是学生学习本单元内容的直接基础。
本单元学习的主要内容有：比的意义、化简和应用。
组织本单元学习内容的思路如下。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。
1.提供多种情境和方式，让学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程比是数学中的一个重要的概念，而学生理解比的意义往往比较困难。
为此，教科书提供了大量的与学生已有经验密切联系的情境，引发学生的思考与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。
究竟比的必要性表现在哪里？长方形像不像的问题是引入比的现实来源，长方形的形状特征可以用它的长和宽这两个对等的量来刻画，就是这两个量的比。
所以，比是用来刻画事物不可度量的属性的。
如行走的快慢、水果的贵贱，蜜水的甜度等都是不可度量的，但它们都可以用两个可以度量的对等的量来刻画或记录，这就是学习比的必要性。
“等分除”和“包含除”引发的教学思考
“等分除”和“包含除”引发的教学思考作者：吴润洪来源：《小学教学参考(数学)》2019年第05期我校一位青年教师在讲授青岛版教材二年级下册“表内除法”时，有两道题让他犯难了。
题一：请画图表示12[÷]3。
以下是学生的几种典型画法：画法1：画12个圆圈，将每4个圈作1堆，共分为3堆。
画法2：画12个圆圈并将它们分为4堆，每堆3个。
画法3：画12个圆圈，3个3个圈起来。
单看画法1和画法2，更像乘法算式的图例，完全没有除法算式的痕迹。
如果判学生错，可课本上又有既可列出乘法算式又可列出除法算式的图示。
形如这样的“双关图”，课本上随处可见，这揭示了乘法与除法之间的互逆关系，那么学生这样作图也无可厚非。
题二：15[÷]3不但能表示将15等分成（）份，每份是（），而且能表示15里面有（）个（）。
按照参考答案，第一层含义学生很容易想到，第二层含义理应是15里面包含（5）个（3），而非（3）个（5），多数学生在此处栽跟头。
就算教师细致解析后，仍有不少学生受乘法含义的负迁移影响，认为原式解读为15里面包含有3个5或5个3都说得通。
针对此争议，教师也是各执一词。
一、两种分法引起的分歧观点一：之所以出现上述分歧，归咎于教师教学时没有教会学生分辨“等分除”和“包含除”。
教师应沿用旧版教材的做法，将“等分除”和“包含除”分开讲授，而且要让学生严格区分，做到泾渭分明，绝不含糊其辞，这样分歧就会消除。
观点二：既然新教材没有将“等分除”和“包含除”区别开来，那么在教学中教师也不应自找麻烦，给学生增加学习负担。
因此对于题一，各种画法均无不可，不同画法刚好体现了学生个性;题二中的“另类”填法，也有一定的合理性，不应全盘否定。
二、产生分歧的根本原因教师之所以相持不下，症结就在于教学重点不一致;而学生的回答千差万别，也归因于对除法的含义理解有偏差。
因此，笔者认为有必要管控分歧，统一意见，进一步厘清“除法的含义”的教学思路。
等分除包含除比较练习
把5个苹果平均分给10个人吃， 每人吃几个？
5 ÷10=半个 答：每人吃半个。
等分除
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看图列式
平均分给 3 人，每人分( )4块。 12 ÷ 3 = 4(块) 等分除
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看图列式
图片告诉了 你什么？
共有8只苹果。每个篮子放2只。 可以放几个篮子？
8÷2 = 4（个） 包含除
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看图列式
图片告诉了 你什么？
共有9串。每3串是一份。 可以分成几份？ 9÷3 = 3（份）
按题意列式
有10个圆片，每人分2个，可 以分给（ ）5人。
10÷2=5（人） 包含除
有6个苹果，每人分3个，可 以分给（ 2）人。
6÷3=2（个） 包含除
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按题意列式
5个人一共做了20张贺卡。平 均每人做几张？
20÷5= 4（张） 等分除 第一小组每人捐2元钱，一共捐 了12元。第一小组有多少人?
平均分给
每猴分2个
每只猴分几个？ 等分除
可以分给几只猴？ 包含除
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看图列式
图片告诉了 你什么？
共有12个西瓜。有3个篮子。 平均每个篮子分几个西瓜？
12÷3 = 4（个） 等分除
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看图列式
图片告诉了 你什么？
共有6条鱼。 有2个篮子。 平均每个篮子放几条鱼？
6÷2 = 3（条） 等分除
包含除
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看图列式
平均每人分4块，可以分给( 3)人。 12 ÷ 4 = 3(人) 包含除
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二年级第四册第四单元《表内除法(二)》集体备课定稿正规版
二年级第四册第四单元《表内除法(二)》集体备课定稿(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）二年级第四册第四单元《表内除法（二）》集备定稿一、单元教学目标：（一）总目标1、知识目标：（1）能比较熟练地用6～9的乘法口诀进行表内除法的口算。
（2）能根据一个乘法算式写出相应的两个除法算式，知道乘法与除法的互逆关系。
（3）巩固除法的两种含义：①等分除：把一个数平均分成几份，每份是多少。
② 包含除：一个数里面有几个另一个数。
2、能力目标：（1）在具体的情景中，能正确的选择乘法或除法解决生活中的实际问题。
（2）一分钟准确做对8道口算题。
（3）培养估算的意识。
3、情感目标：（1）通过学习，学生经历了在具体情景中除法含义的运算过程，增强了应用数学的意识，体会到数学与生活的密切联系。
（2）激发学生主动获取新知识的学习兴趣，培养学生认真分析、思考的良好学习习惯。
（二）课时子目标第一课时：用7、8、9的乘法口诀求商教学目标：1、引导学生利用已有的知识经验自主探索出用7、8、9的乘法口诀求商的方法，经历求商的过程，掌握用乘法口诀求商的一般方法；2、通过学生自主探索、合作交流、培养学生的语言表达能力，分析、判断能力；3、引导学生在议中学，激发学生的学习兴趣。
第二课时解决问题1、通过学生动手摆一摆，进一步理解“一个数是另一个数的几倍”的含义，体会数量之间的相依关系。
2、引导学生根据“倍”的概念和除法的含义，分析、推理、探究“求一个数是另一个数的几倍”实际问题的一般解决方法，初步学会用转化的方法来解决简单的实际问题。
3、使学生学会用自己的语言表达解决问题的大致过程和结果。
4、培养学生把独立思考和合作交流相结合的良好学习习惯。
二、单元知识结构图：用6-9的乘法口诀求商用乘法口诀求商用表内乘法口诀求商乘法与除法的互逆关系等分除除法进一步巩固除法的两种意义包含除运用除法意义解决实际问题三、教学重点剖析：第一课时教学重点：学生掌握用7、8、9的乘法口诀求商的方法。
数学名词解释
数学名词概念数:用来表示“多少”或“第几”的叫做数，它是数学上最基本的概念之一。
数的概念是在人类生产和生活的实践中逐步行程和发展起来的。
数字：用来记数的符号叫做数字。
在数学中常用的有中国数字和阿拉伯数字两种。
阿拉伯数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0叫做阿拉伯数字，它们是现在世界上各国通用的数字。
自然数：在数物体的过程中，数出的0、1、2、3、4、……都叫自然数。
基数和序数：当一个自然数被用来表示事物数量多少的时候，通常称为基数，当一个自然数被用来表示事物次序的时候，通常称为序数。
整数：自然数也称整数。
数字值：数字本身所表示的值叫做数字值。
位置值：数字本身与其位置结合起来所表示的值叫做位置值。
数位：写数时，按照一定的顺序，把各个计数单位排列在一定的位置上，各个不同的计数单位所占的位置叫做数位。
在整数数位顺序表中的个位、十位、百位……都是数位。
位数：一个整数含有数位的数目叫做位数。
整十数：整十数是特殊的两位数，也就是个位是0的两位数。
高位：在一个数里，某一位左边的数位是这一个及右边的数位的高位。
左边第一位是这个数的最高位。
低位：在一个数里，某一位右边的数位是这一位及左边的数位的低位，右边第一位是这个数的最低位。
数级：我国习惯上把多位数按四位分级，即从个位起，每四个数位算作一级。
个、十、百、千位是个级，万、十万、百万、千万是万级，亿、十亿、百亿、千亿位是亿级。
个级，万级，亿级等叫做数级。
准确数：在实际生活中有些量需要用和实际情况完全符合的数来表示，这些数叫做准确数。
近似数：有一些量，实际不可能或不需要用准确数表示，取与原来实际数很接近的一个数，这个数叫做近似数。
加法：把两个数合并在一起，求一共是多少的运算方法，叫做加法。
进位加法：在加法运算中，如果某一数位上的两个或几个数相加满10，要向前一位进1，这种方法叫做进位，含有进位的加法叫做进位加法。
减法：减法就是已知两个加数的和与其中的一个加法，求另一个加数的运算。
新课标人教版小学数学二年级下册教材分析
从上面的教材我们可以看出例1主要是建立平均分的概念。而例2就主要是让学生探索平均分的多种方法。可以一个一个分，可以两个两个分，也可以3个3个分等等，像这样让学生经历多种方式平均分的过程，这是以前我们教材中是没有的。
在新课程实施的开始阶段，“解决问题”是一个很值得探索的内容，其许多问题的产生和解决，需要实验教师进一步探索与实践。
第二单元表内除法（一）
1、主要内容
2、具体特点和教学建议。
（1）突出了概念教学。
这里涉及到两个概念“平均分”“除法”，以往教材把平均分和除法结合起来放在一个课时中完成。而我们现在实验教材中把除法认识分为两个层次，一是建立平均分的概念12－17页，二是在建立平均分的基础上引出除法的概念18－22。
学生提的问题可能多种多样，有需要一步计算解答的，也有需要两步计算解答的。对于用一步计算解决的，可以当时就让学生解答；对于两步计算解决的可以暂时留下，为学习新知识做好准备。教学实践中，有时会出现学生的提问不着边际，不能较快提出有价值的数学问题，这时需要我们加强提问指导，让学生逐步理解怎样发现问题、怎样提出问题。
本单元三个例题教学的总体思路应该是一致的，但在知识目标把握上应各有侧重。例1在学生分步解答的基础上，重点要引导学生用综合算式来列式计算。例2中第一次出现了“小括号”，也是本册教材中唯一的一次，重在让学生通过大量的计算练习来体验、感受、发现小括号的作用。教学时，在分步列式的基础上，可以先让学生尝试改写成综合算式，以引发矛盾冲突，再组织讨论，让学生在具体的问题情境中明确使用“小括号”的必要性和使用方法。
除法的初步认识精讲复习
每份
份数
总数
求３个２相加
２×３＝６（只）
9
包含除
总数
小红要写40个大字，每天写8个，
需要写几天？
每份数
份数 40里面包含着几个8
40 8 = 5（天）
10
总数
等分除
Байду номын сангаас
植树节要种56棵 每行要种几棵？
，要种8行，
份数
每份数
把56平均分成8份，求每份是几。
56 8 = 7（棵）
11
除法
等分除法
(平均分）
大家好
1
除法的初步认识
（复 习 课）
2
除法
等分除法
(平均分）
包含除法
(圈一圈）
把12个苹果平均分成3份， 每份4个。
12 ÷ 3 ＝ 4
总数 分数 每份数
12个苹果，每3个一份， 可以分成4份。
12 ÷ 3 ＝ 4
总数 每份数 份数
3
活动一：讲故事，认识“等分除”和“包含除”
除法
等分除法
(平均分）
总数÷份数=每份数
包含除法
(圈一圈）
总数÷每份数=份数
12
活动三：我挑战，我快乐！
13
每辆车上有2只小动物，3辆车上共有（ 6 ）只小动物。
2 3 = 6（只）
6只小动物坐3辆车，平均每辆车上有（ 2 ）只小动物。
6 3 = 2（只）
6只小动物，每2只小动物坐一辆车，需要（ 3 ）辆车。
6 2 = 3（只）
36 9 = 4（页）
6
等分除
总数
小明有16个
，平均分给4个小
朋友，每个小朋友分几个？
小学数学表现性任务设计研究——以“认识除法”为例
㊀㊀㊀１３７㊀㊀小学数学表现性任务设计研究小学数学表现性任务设计研究㊀㊀㊀ 以 认识除法 为例Һ康㊀泰㊀（甘肃省武威市武威第二十中学，甘肃㊀武威㊀７３３００８）㊀㊀ʌ摘要ɔ新课改的不断推行促使培养学生的学科核心素养成为小学数学教学的主要目标，这就意味着教师应对教学目标㊁教学内容㊁教学评价等方面进行系统改革，并设计表现性任务辅助学生对新课知识进行深入研究，为学生数学核心素养的形成与发展助力．文章以 认识除法 为例，对小学数学表现性任务的方案设计进行探析，先确定表现性任务目标，然后明确表现性任务的出发点，设计多元化的表现性任务，并制订相应的表现性评价量规，最后利用系统化评价贯彻落实 教 学 评 一体化理念，为提高学生的数学核心素养奠定基础．ʌ关键词ɔ 认识除法 ；小学数学；表现性任务表现性任务是让学生在不同情境中灵活利用已有知识与技能解决实际问题，从而收到相应的学习成果和建构反应的任务．高质量的表现性任务可以完善教学结构，同时能帮助学生发现不同知识点之间的关联性，有利于其提高学习效率． 认识除法 是小学数学中的重要一课，教师应结合课程内容㊁核心素养以及学生的基本学情设计系统化的表现性任务，帮助学生加强对除法概念㊁意义㊁运算方法等内容的理解与应用，从而彰显表现性任务对提高学生数学核心素养的积极作用．一㊁锚定素养，确定单元表现性任务目标（一）分解核心素养：细化运算能力在小学数学 认识除法 的教学过程中，教师在制订表现性任务之前要从核心素养出发细化单元目标．其中，运算能力是每名学生都应具备的．教师在对运算能力这一核心素养形成一定了解后，应将它与 认识除法 的内容加以整合，使数学素养变得更加具体，成为具有操作性的单元目标．具体来说，在算法方面，学生要能用乘法口诀准确求商，并可以根据题意列出除法算式；在算理方面，学生要能在具体情境下用语言转述㊁动手画图㊁列举算式等方法表示平均分的过程和结果；在优化算法方面，学生要能理解并阐述除法结果的意义及它的合理性，并在众多解决方案中选择较为简便的算法．对运算能力的详细分析可使学生明确本课的学习目标，也为教师提供了设计表现性任务的多元思路，保证了后续活动的顺利开展．（二）基于核心素养确定单元表现性任务目标完成对运算能力的解读后，教师便能确定单元表现性任务目标，具体内容如下：（１）让学生经历用平均分的方法解决简单实际问题的过程，知道平均分的过程和结果可以用除法算式来表示，对除法的含义形成初步认知，能正确读㊁写除法算式，知道算式中各部分的名称；（２）使学生经历在简单的平均分问题中抽象出除法算式的过程，能结合具体情境写出相应的除法算式，并简述它的实际含义，进一步发展学生的数学思维，培养其解决实际问题的能力；（３）使学生在独立思考与合作探究中体会除法与现实生活的关联性，以此提高他们对数学的兴趣以及学好数学的信心．在目标的指引下，教师明确了本单元教学的主要内容和制订表现性任务的基本路径，为各项任务的有序实施打下了坚实的基础．二㊁分析学情，明确表现性任务的出发点（一）学生视角：分析现有水平表现性任务设计不仅要求教师要明确单元教学目标，还要结合学生的基本学情进行针对性分析，使表现性任务更加符合班级学生的认知特点，以此满足学生的发展需求．为了更好地了解学生的实际情况，教师可以制订一份课前检测试题，具体内容如下．１．用乘法口诀求商．８ː４＝㊀㊀㊀２４ː６＝㊀㊀㊀４０ː８＝１４ː２＝３５ː５＝１６ː４＝２．用除法解决实际问题．（１）一共有架飞机．（㊀㊀）＝（架）（２）每３架飞机编成一组，可编成组．㊀㊀㊀㊀１３８㊀ː＝（组）（３）平均编成６组，每组有架飞机．ː＝（架）３．对除法含义的理解：用你喜欢的方法算出除法算式１２ː６的答案，并用图示表示你的思考过程．教师根据课前检测情况便能初步了解学生在用乘法口诀求商㊁对除法意义理解㊁解决实际问题等方面存在的问题，然后可以此为依据调整表现性任务，使其更具指向性．（二）结构化视角：重构整体框架通过对教材内容进行深入研究，教师可以确定 表内除法（一） 这一单元分为 除法的初步认识 和 用２ ６的乘法口诀求商 两个部分； 表内除法（二） 这一单元分为 用７ ９的乘法口诀求商 和 解决简单的实际问题 两个部分．教师应把 对除法的意义理解 作为单元教学目标重组课程内容，将以上两个单元合并为 认识除法 ，帮助学生从多角度㊁深层次地理解除法的含义．教师从结构化视角出发重构单元框架后，可新增一节启发课，让学生围绕 我心目中的除法 这个话题谈一谈自己在学习了加法㊁减法㊁乘法的基础上对除法形成的认识，使他们对新课内容产生强烈的好奇心和求知欲．全新的单元框架将 用２ ６的乘法口诀求商 和 用７ ９的乘法口诀求商 两个部分整合在一起，便于学生将它们串联起来研究算理，对除法意义形成更加深刻的理解．除此之外，原本教材中 等分除 包含除 等内容也被拆分为三节探索课，教师可根据学生的认知特点和重点知识设计多元化的表现性任务，让学生在实践中掌握平均分的深层次内涵．三㊁基于理解，设计表现性任务（一）表现性任务的设计路径在小学数学课堂中设计表现性任务离不开真实情境的辅助，教师只有让学生感受到解决问题的必要性，学生才能对本课学习产生强烈的欲望．教师要秉持由整体到部分的原则，循序渐进地呈现表现性任务．另外，教师在设计表现性任务的同时可以制订相应的表现性评价量规，以此了解学生对除法知识的掌握情况，从而及时调整后续的教学活动，真正做到 以评促教 ．例如，在 均分物品我最行 板块增加 比较两种除法 的任务．第一个教学环节是自主画图，表达想法，表现性任务是用画图的方式表示９ː３＝３的含义，评价量规是能否画出两种不同的图示．第二个教学环节是展示交流，促进理解，表现性任务是将学生的作品展示在大屏幕上，让学生理解两种除法的含义，分别是情境不同，但算式相同，分法相同，算式相同，但含义不同，相应的分法也不同，评价量规是学生是否理解两种不同的图示以及是否理解同一图示可以表示不同的情境含义．第三个教学环节是独立创编，深化理解，表现性任务有两个：一是选择合适的条件，自主提出问题并解答；二是与同桌交流该问题是等分除还是包含除．其评价量规是能否给出正确答案，并准确区分两种除法的意义和应用方式．（二）表现性任务的设计要素１．任务设计要体现学习平均分的必要性教师在制订表现性任务时要体现学习平均分的必要性，让学生在任务驱动下理解除法的意义，提升学习效率．以 等分除 为例，本课教学目标是让学生体会平均分过程的多样性，教师可设计如下的表现性任务：王师傅去超市买了３６颗草莓，你能帮助他把这些草莓平均分给办公室的其他４个同事吗？把分草莓的过程记录到表１中．表１同事１同事２同事３同事４用去颗数剩余颗数第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次第（㊀㊀）次合㊀计与教材内容相比，此题包含的数据较大，学生不能口算答案，需要严格按照表格中的提示进行尝试．这一过程不仅充分体现出平均分的过程性和必要性，也让学生在自主探究中加强了对 认识除法 有关内容的理解与运用，彰显了表现性任务对提高学生数学核心素养的重要影响．２．任务设计要体现素养目标的进阶性教师在设计表现性任务时应秉持循序渐进的原则，让学生从基础任务做起，在由浅入深的探究中增强思维的深刻性，体现素养目标的进阶性．这样的设计方式符合小学生的基本学情．每个学生的数学基础不相同，并且受成长环境㊁智力发育㊁学习方法等因素的影响，学生之间存在较大的差异性，统一的表现性任㊀㊀㊀１３９㊀㊀务根本无法满足所有学生的学习需求．所以，教师制订表现性任务时要秉持进阶性理念，利用多元化问题调动学生的探究热情，保证教学目标的顺利实现．以 用乘法口诀求商 为例，教师可设计四个子任务，分别是：（１）４只熊猫平均分２４根竹子，每只熊猫能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（２）６只熊猫平均分２４根竹子，每只熊猫能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（３）６只熊猫平均分２６根竹子，每只熊猫最多能分到多少根？用圈㊁画㊁写等方法展示你的答案．（４）你帮熊猫分了三次竹子，有哪些感受？这三次经历有什么相同点和不同点？前两个子任务对应的是无余数的除法，学生会发现用乘法口诀同样可以解决除法问题．第三个子任务对第一个任务做出了细微调整，变成有余数的除法问题，使学生意识到有余数除法和没有余数除法在计算方法上没有区别．最后一个子任务具有总结性质，让学生掌握了用乘法口诀求商的基本方法，充分体现出运算的一致性．四㊁细化水平，制订表现性评价量规学生的数学基础各不相同，对表现性任务的完成度也会存在一定差异．对此，教师在制订表现性评价量规时必须同步于具体任务，经过分层设计提高评价的科学性和系统性．例如，在 均分物品我最行 的教学中，表现性任务是围绕除法意义进行设计的．为了考虑全体学生的学习感受，教师可以制订４个层次的评价量规，具体内容如表２所示．表２水平层次认知进阶点层次一掌握平均分的含义层次二用列算式㊁画图等方式表示平均分层次三理解 等分除 和 包含除 的含义层次四明确 等分除 和 包含除 的异同其中，层次一是指学生能准确判断平均分，知道它意味着每份要分得一样多；层次二是指学生能结合图示列举平均分的算式，并说出式子中各部分的含义；层次三是指学生能用算式㊁画图㊁语言等方式表示平均分的含义，并能在不同语境下说出算式中的总数㊁份数以及对应的每份数；层次四是指学生能在理解除法算式含义的基础上正确区分 等分除 和 包含除 ，知道它们的相同点在于都是平均分，并且都可以用除法表示．另外，评价量规不仅要点评学生的学习成果，还要关注他们的学习过程，主要涉及其在学习过程中展现的情感态度，如是否认真聆听组内成员发言㊁是否根据他人发言提供个性化意见㊁是否虚心接受他人提出的建议等．五㊁ 教 学 评 一体化，将评价贯穿始终教 学 评 一体化强调教师教学㊁学生学习与教学评价三个环节的紧密结合．为了保证数学教学质量，教师在学生完成表现性任务的过程中要贯穿这一理念，将教学和评价深度融合起来，使各个层次的学生都可以在过程性评价中加深对除法的认识．所以，在表现性任务评价中，教师要将意义理解作为目标导向，为学生搭建个性化的学习支架，使各个层次学生的数学素养均得到提升．例如，在解决前文提到的 王师傅分草莓 这一任务时，学生表现出来的数学水平各不相同，教师可为他们设计具有针对性的学习路径：首先，按照自己的想法记录平均分３６个草莓可能出现的情况，具体方法可以是画图㊁列算式㊁语言转述等；其次，让学生与同桌或其他小组成员互相分享学习成果，按照评价量规进行自评与互评；再次，通过多元化的点评让学生不断优化自己的解题思路与方法，并养成良好的反思习惯；最后，让学生用更具难度的方法完成其他表现性任务，达到深度学习的目的． 教 学 评 一体化理念的运用让各个层次的学生都能得到一定进步，有利于转变学生对数学学科的态度，使他们在反思与优化中提高学习效率，从而顺利完成各项表现性任务，为今后的全方位发展做好铺垫．结㊀语综上所述，在意义理解导向下，为了提高小学数学表现性任务的实效性，教师可以学科核心素养为切入点，根据 认识除法 相关知识制订单元表现性任务的目标和具体内容，以锻炼学生的运算能力．与此同时，教师应提高对评价的重视程度，将 教 学 评 一体化理念贯穿课堂始终，为学生指明学习的具体方向，全面发展学生数学核心素养的同时凸显表现性任务的重要价值．ʌ参考文献ɔ［１］刘贤虎．基于理解的小学数学教学表现性评价［Ｊ］．中小学教师培训，２０２３（２）：３３－３７．［２］刘琳娜，刘加霞．素养导向的数学表现性任务：内涵㊁功能及教学实施［Ｊ］．小学数学教师，２０２２（１１）：１３－１８，２．［３］郝瑞亚．小学数学表现性任务设计初探［Ｊ］．教育视界，２０２２（２９）：２４－２６．。
论小学数学教材中等分除、包含除的关系
论小学数学教材中等分除、包含除的关系作者：佘丹来源：《教育周报·教育论坛》2019年第33期在小学阶段，关于除法和分数的教学中，我们最常用的情境就是“平均分物”，例如：（1）把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘放几个？列式为 12÷4=3（个）（2）把12个竹笋分给一些人，每人分3个，可以分给几个人？列式为 12÷3=4（个）这两道题是不同意义的除法，在总数是12的前提下，问题1是知道平均放在4个盘子里，即知道分的份数，用除法计算出每份是多少，我们称之为“等分除”;问题2则是知道每份是多少以后，求平均分到了几个盘子里，即总数里包含了多少份，我们称之为“包含除”。
这两种除法是同一个“平均分物”数学模型所产生的，地位平等。
而所谓除法，是乘法的逆运算，是指“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
”我们再回头看分竹笋的情境中，竹笋总数=份额×盘数。
参与平均分的盘数和每盘的数量，是构成竹笋总数这一乘积的两个平等因数。
这样一来，从除法意義上来讲，等分除和包含除，是同一个情境里的两类互相依存的除法问题，或者说他们是一对双胞胎，关系密不可分。
又例如四年级数学教材中所学的的这个数量关系式：总价=单价×数量这两个基本关系都涉及到两个平等的因数相乘，两个基本关系式的变化形式有单价=总价÷数量数量=总价÷单价这两个变式就是等分除和包含除，可以看出两类除法在解决问题中的应用也是均衡的。
首先，等分除和包含除在数学教材和教学中的地位是平等的。
以下是等分除和包含除在人教版教材中的编排，我将教材中的例题进行了归类，总结起来，7道例题9个问题中有4个等分除和5个包含除。
基本上两种除法在除法的运用中，地位是平等的。
我认为我们现在使用的这套人教版教材对于两类除法的处理就很好，如二年级下册教材23页中的例题，将两种除法编排在同一页，进行对比区分，并发现他们之间的联系，这样处理就很好地帮学生理解两者。
小学数学二年级下册《第二单元 表内除法(一)》单元教案
本单元内容是在学生初步认识乘法和掌握表内乘法口诀的基础上教学的,重点是让学生在平均分的活动中,体会和认识除法的含义。
本单元内容包括“除法的初步认识”和“用2~6的乘法口诀求商”两部分。
第一部分主要是让学生通过实践活动认识平均分,知道平均分的具体操作过程;第二部分主要让学生在认识平均分的基础上认识除法的含义。
本单元内容创设了许多平均分的实践活动,让学生通过具体操作解决生活中平均分的问题,深刻体会平均分的意义;在充分体验的基础上,引入除法算式,并把它与平均分的具体操作过程和结果联系起来,从而使学生初步理解除法的意义,进而在乘除混存的情境中,能够识别情境,直观操作,并列出相应的乘法或除法算式,体会乘法与除法的区别,进一步理解除法的意义;在理解除法意义的基础上,学生要学会用乘法口诀求商,并在除法运算中,逐步摆脱对实物操作的依赖,加强抽象思维,同时在运用乘、除法解决实际问题的过程中,深入地体会乘法与除法的区别与联系,为进一步学习乘法口诀及除法打好基础。
本节课是在学生已经初步了解了乘法的意义,会运用乘法口诀的基础上进行教学的。
日常生活中学生已经接触到平均分,只是没有上升到理论层面,这些都为学习本单元内容奠定了基础。
1.强调对除法意义的体验。
除法运算的本质就是平均分,教材在引入和建立除法算式前,安排了平均分活动,就是为了让每个学生都体验并掌握平均分的具体操作过程,充分体会平均分的意义。
学生明白除法算式是平均分具体操作过程的算式表示方式,并体会这是生活问题数学化的过程,也就认识到了除法的意义。
2.让学生经历把一些物体平均分的活动过程,体会平均分的操作方法,初步理解除法的含义,体会除法和乘法的联系,能正确读、写除法算式,知道除法算式中各部分的名称。
3.教学方式上要采取乘、除有分有合的策略,这样有利于学生体会乘法与除法的区别与联系,并且教师要指导学生先弄清两者的区别再体会它们的联系,也就是先分化再贯通1.设置平均分的操作活动,为认识除法积累丰富的实践经验。
单位化思想视角下的除法运算本质与教学建议
单位化思想视角下的除法运算本质与教学建议作者：刘加霞孙海燕来源：《教学与管理(小学版)》2021年第09期摘要单位化是问题解决的策略，也是重要数学思想。
其核心是“确定‘谁’是单位”并通过“操作单位”解决问题。
单位化思想贯穿小学数学始终，但对除法学习的价值被忽视。
包含除的本质就是单位化，即数出“被除数里有多少个除数”，同样地等分除也蕴含单位化思想。
二者是除法的基本模型，不可顾此失彼。
除法意义教学要设计“较复杂的平均分情境”，对比分析等分除与包含除的异同，将包含除运用到分数认识与分数除法中。
关键词单位化思想等分除包含除一般地，人们在问题解决时，为了规范地、统一地度量某类对象，需要约定统一的量度标准以便于表达、交流与运用。
在比较或度量某些事物时，往往设定一个或多个标准量作为度量单元（即单位或单位体系），有意识地用“单位”来量化研究对象，旨在简化问题解决的思维过程，这种解决问题的思维策略称之为“单位化思想”。
单位化思想就是用统一的“单位（单位体系）”刻画概念、阐明思维过程，强化对概念的理解与应用，使思维过程变得清晰有序[1]。
单位化思想贯穿小学数学的始终。
但在除法学习中未得到足够重视，尤其当下教材、教学中淡化了“包含除”，不重视包含除也导致分数除以分数的算理较难理解[2]。
一、单位化思想对学习自然数除法的价值分析除法建立在平均分基础上，从平均分的过程来看有两个不同模型，通常称为“等分除”与“包含除”。
包含除中的单位化思想较为明显，等分除中好像不明显，但实际上“平均分”过程中的每一步（例如2个一份地分）都是按照“标准”分配，所以，单位化思想在这两种除法中都具有重要价值。
1.除法意义的两个模型相互依存乘法的基本模型是“每份数×分数=积”，进一步抽象为“因数×因数=积”，对应不同的现实模型。
作为乘法的逆运算，除法被定义为“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算”，所以相应的除法有两种模型：一种是已知总数和每份数，求份数，例如：求15里面有几个5，这是“包含除”，对应的除法算式是15÷5=3，单位化思想最为明显。
二年级解决问题教学反思
二年级解决问题教学反思一、加法和减法的应用类。
1. 在教学“求比一个数多几或少几的数是多少”的解决问题时，发现学生对数量关系理解困难。
- 解析：这一类型的问题对于二年级学生来说较为抽象。
例如“小红有12朵花，小明比小红多3朵，小明有多少朵花？”，学生需要理解“比……多”这个数量关系，在教学中应多通过实物演示、画图等直观方法帮助学生理解。
如可以用小棒代表花，先摆出小红的12朵，再摆出比12朵多3朵的小棒，让学生直观看到小明花的数量是12 + 3 = 15朵。
2. 关于连加、连减解决问题，学生容易在计算过程中出错。
- 解析：二年级学生计算能力还在逐步发展。
例如“树上有20个苹果，先摘了5个，又摘了3个，树上还剩多少个苹果？”列算式为20 - 5 - 3。
学生可能在计算顺序上混淆或者计算时粗心。
教学中要强调从左到右的计算顺序，并且加强计算练习，可以通过一些有趣的计算游戏提高学生的计算准确性。
3. 当解决问题中有多余信息时，学生难以辨别。
- 解析：如“小明有15元钱，他去商店买文具。
一支铅笔2元，一个笔记本5元，他买了2支铅笔后还剩多少钱？”这里“一个笔记本5元”就是多余信息。
学生往往会被多余信息干扰，因为他们还缺乏对问题关键信息的筛选能力。
教学时要引导学生认真读题，分析问题所求，找出与问题相关的信息。
二、乘法和除法的应用类。
4. 在乘法解决问题教学中，学生对乘法意义理解不透彻导致列式错误。
- 解析：例如“每组有3个小朋友，有4组小朋友，一共有多少个小朋友？”这是求4个3相加是多少，应该用乘法3×4 = 12。
但有些学生可能会用加法3+4 = 7。
这是因为他们没有真正理解乘法是求几个相同加数的和的简便运算。
教学中可以通过对比加法和乘法算式，让学生明白乘法的意义。
5. 除法解决问题中，对于平均分的两种情况（等分除和包含除）学生容易混淆。
- 解析：比如“把12个苹果平均分给3个小朋友，每个小朋友分几个？”这是等分除，算式为12÷3 = 4；“12个苹果，每个小朋友分3个，可以分给几个小朋友？”这是包含除，算式为12÷3 = 4。
包含分和等分对比
平均分——包含分 圈一圈
除法计算
作业：完成我爱写作业第10页。
3 有12个桃子，每只小猴分3个桃子，可以分给几只小猴？
3
3 12 ÷ 3 = 4（只）
总
每
份
数
份 数
数
口答：可以分给4只小猴。 聪明的小朋友，谢谢你的帮助。
3
12 ÷ 3 = 4（只）
总
每
份
数
份
数
数
口答：可以分给4只猴子。
对比上面的式子，你 知道下面式子各部分 表达的含义是什么吗？
5 读一读，圈一圈。 （1）10÷2=5 （2）15÷3=5
先读一读除法算式，根据除法算式，动手圈 一圈，并说一说算式中每个数表示的意思。
分法一：10÷2=5 海 每份 螺 份数 总的 数海 螺 数
分法二：10÷2=5 海 份每 螺 数份 总的 数海 螺 数
读作：10除以2等于5
分法一： 15÷3=5 总 每份 数 份数 数
...
12 ÷ 总 数
...
3= 每 份 数
...
4（只） 份 数
平均分方法一：等分 平均分方法二：包含分 重点：虽然等分，包含分方法不同，但都是平均分。只要
是平均分，可以用除法算式来解答。
被除数÷除数=商
包含分：除法练习
1.我会填。
8里面有（ 4）个2 列式：8÷ 2 =4
15里面有（ 3）个5 列式：15÷ 5 =3
等分：除法练习
请学生根据图片猜一猜小精灵想怎样分橘子？
8÷2=4（个） √ 8÷4=2（盘）
小精灵列出了两个算 式，说说哪个算式对 呢？为什么？
等分与包含分对比练习先说一ຫໍສະໝຸດ 图意，再写除法算式。6÷3=2
数学名词解释
数学名词概念数:用来表示“多少”或“第几”的叫做数，它是数学上最基本的概念之一。
数的概念是在人类生产和生活的实践中逐步行程和发展起来的。
数字：用来记数的符号叫做数字。
在数学中常用的有中国数字和阿拉伯数字两种。
阿拉伯数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0叫做阿拉伯数字，它们是现在世界上各国通用的数字。
自然数：在数物体的过程中，数出的0、1、2、3、4、……都叫自然数。
基数和序数：当一个自然数被用来表示事物数量多少的时候，通常称为基数，当一个自然数被用来表示事物次序的时候，通常称为序数。
整数：自然数也称整数。
数字值：数字本身所表示的值叫做数字值。
位置值：数字本身与其位置结合起来所表示的值叫做位置值。
数位：写数时，按照一定的顺序，把各个计数单位排列在一定的位置上，各个不同的计数单位所占的位置叫做数位。
在整数数位顺序表中的个位、十位、百位……都是数位。
位数：一个整数含有数位的数目叫做位数。
整十数：整十数是特殊的两位数，也就是个位是0的两位数。
高位：在一个数里，某一位左边的数位是这一个及右边的数位的高位。
左边第一位是这个数的最高位。
低位：在一个数里，某一位右边的数位是这一位及左边的数位的低位，右边第一位是这个数的最低位。
数级：我国习惯上把多位数按四位分级，即从个位起，每四个数位算作一级。
个、十、百、千位是个级，万、十万、百万、千万是万级，亿、十亿、百亿、千亿位是亿级。
个级，万级，亿级等叫做数级。
准确数：在实际生活中有些量需要用和实际情况完全符合的数来表示，这些数叫做准确数。
近似数：有一些量，实际不可能或不需要用准确数表示，取与原来实际数很接近的一个数，这个数叫做近似数。
加法：把两个数合并在一起，求一共是多少的运算方法，叫做加法。
进位加法：在加法运算中，如果某一数位上的两个或几个数相加满10，要向前一位进1，这种方法叫做进位，含有进位的加法叫做进位加法。
减法：减法就是已知两个加数的和与其中的一个加法，求另一个加数的运算。
分数除法计算法则的多元理解角度
“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”这个法则是怎么得出的？为什么“颠倒相乘”后能简化分数除法计算？为什么整数除法中直接除以除数，而到了分数除法中要乘它的倒数？倒数的本质是什么？这一系列问题困扰着学生及一线教师。
下面我借助除法的意义、乘法和除法之间的关系逐层理解和分析分数除法计算法则，再从群论角度深入分析、探究分数除法计算法则的内在原理。
一、从除法的意义角度理解分数除法计算法则除法的意义是理解除法算理的基础，除法有两类意义模型：等分除和包含除。
下面分别利用等分除和包含除解释和推导为什么分数除法中会出现“颠倒相乘”的计算方式、为什么“颠倒相乘”后能简化计算，进而理解分数除法计算法则。
（一）利用包含除解释分数除法计算法则成立的原因。
张奠宙教授指出“分数除法对包含除的需求特别强烈”。
对于整数除以分数，即a ÷n m，根据包含除的意义，1中有m n 个n m，则a 中有a ×m n 个n m ，所以a ÷n m =a ×m n。
在上述过程中，m n 的意义是1中n m 的个数。
这可以作为分数除法计算中“颠倒相乘”现象的一种朴素解释。
（二）利用等分除解释分数除法计算法则成立的原因。
除数为整数的等分除模型是一个平均分的过程，即知道整体后求每个部分的大小；除数为分数的等分除模型则是一个逆向分析过程。
对于分数除以分数，即b a ÷n m，借助等分除的意义，将单位“1”平均分成m 份，n 份是b a，所以b a ÷n m 求的是单位“1”。
也可以先由b a ÷n 求出1份，由于单位“1”是m 份，所以单位“1”是b a ÷n ×m =b a ×m n 。
所以b a ÷n m =b a ×m n 。
在上述过程中，分子、分母颠倒即可实现b a和单位“1”之间关系的转换，同时实现从除法计算到乘法计算的过渡。
2017.2.17等分除包含除比较
4、 有24只，如果每3只小猪住一间房， 一共需要（ 8 ）间房。 算式：24÷3＝ 8 （间） 5、一共有36个土豆，小老鼠每次运9个 土豆，要运（ 4 ）次才能运完。 算式：36÷9＝ 4 （次）
每条船上有 3 人，4 条船上共有( 1)2人。
3 × 4 =12
12人坐 4 条船，平均每条船上有( )人。
□6 ÷ □3 = □2 （根）
14个气球，每人分2个，可以分 给（7 ）人。
□14 ÷ □2 = □7 （人）
列算式。 1、 一共有12个西瓜 （1）每只小猴子搬2个西瓜，需要（ 6 ） 只小猴子。 算式： 12÷2＝6 （只）
（2）有6只小猴子来搬西瓜，每只小猴 子搬（ 2 ）个。 算式： 12÷6＝2（个）
12 ÷ 4 = 3
12人，每 3 人坐一条船，需要( )条船。
12 ÷ 3 = 4
看图写算式。
请你写出乘法算式和除法算式。 5×3 = 15 15÷5 = 3
2 + 2 + 2 + 2 = 8 =2
12 = 4 + 4 + 4
=4
把8平均分成2份，每份是（ ）。
Hale Waihona Puke 每（ 3）个一份，分成（5 ）份，
□15 ÷□3 ＝□5 （份）
12÷3=4 (份）
（1）6个同学拍皮球，每组有3人，分成几组？
□6 ÷ □3 = □2 （组）
（2）6个同学拍皮球，平均分成了2组，每 组有几人？
□6 ÷ □2 = □3 （人）
6根萝卜平均分给3只小兔，每只小 兔分（2 ）根。
2、16个珠子。 （1）平均分成2串，每串有（ 子。
）个珠
（2）如果把这些珠子每8个串成一串， 可以串（ ）串。
小学低学段的学具分类和使用方法
这时教师该怎么应对呢？师：大家应该看过很多关于战争的影片，敌我交战时，如果我方兵力不足该怎么办？生1：向盟军借兵。
师：那被减数个位上的0不够减了，向谁借呢？生2：要向十位借1当10。
师：借兵是要订立合约的，我们日常借了别人的财物，也是要打借条的，那数字之间的借位怎么“打借条”呢？我们是这样做的，在被借走的数字上点个圆点充当借条，表示这个数字出借了“1”个计数单位给下级单位了，明白吗？师：这个“借条”要打在出借方的头上，确认借走“1”了才能打借条。
在教学“四则混合运算先算小括号里面的”这一规则时，笔者同样使用了打比方的方法：计算就像穿衣服，要先穿内衣，再穿外套。
学生们一下子就记住这一规则了。
四、运用比方将难操作的知识可操作化对于一些稍复杂的、与生活脱节的抽象问题，学生难以理解，而如果能恰当地运用打比方，则可以将问题以另一种可读的方式呈现出来。
比如教学“平均分”的时候，需要学生辨析包含除和等分除：把15颗蜜枣每3颗分1份，能够分成几份？把15颗蜜枣平均分成3份，每份有几颗？在这两种分法中，第一种分法是包含除，学生接受、理解较快。
对于第二种等分除，总是有学生倒因为果、偷换概念，无意识地运用第一种分法口算出结果，即5颗为一份，分成3份。
那怎样才能让学生正确处理平均分的问题呢？笔者提点学生：“15颗蜜枣就像是15张扑克牌，有3个人打扑克牌，就得将牌平均分成3份，现在你们会发牌了吗？”学生齐答：“会！”就这样，通过打比方，他们很快掌握了等分除的分法——一个一个地分，每人分到一个后再循环。
在学习加减法的简便算法时，计算“134-98= 134-100+2”，学生始终搞不清楚为何要加100后又减去2，认为这样多此一举。
笔者解释：“可以把这道题看作在超市购物付款。
妈妈带了134元现金，去超市买了98元的日用品，她付给收银员100元（此时剩余的钱应是134-100=34（元）），收银员找回2元（此时剩余的钱应是34+2=36（元）），即先减100，然后将多减去的2退补回来。
等分除与包含除的区分
表示把８平均分成２份， 每份是４
表示把８按每份２个 平均分，可以分４份， 即８里面有４个２
发现：同样一个除法算式，表示的意义有两个， 一个是等分除，一个是包含除。
一、等分除
二、包含除
表示把８平均分成２份， 每份是４
除数2和商4都有
表示把８按每份２个 两个身份，既可 平均分，可以分４份， 以做份数，也可 即８里面有４个２ 以做每份数。
一等分除表示把8平均分成2份每份是4二包含除表示把8按每份2个平均分可以分4份即8里面有4个2等分除
等分除与包含除的区分
正兴镇小学 杨承益
８÷２表示把（ ）平均分成 （ ）份，每份是（ ）；还表示 ８里面有（ ）个（ ）。
。 ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（2）个（4） ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（4）个（2）。
说一说你是怎样想的？
× ×。 ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（2）个（4） ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是 ×
（4）；还表示８里面有（4）个（2）。
谁是完全正确的？你能交流一下你是如何 分析解题的吗？
一、均分除
二、包含除
等分除：已知总数和份数求每份数； 包含除：已知总数和每份数求份数。
练习巩固
填空：
12÷4=3表示 （
）ห้องสมุดไป่ตู้
还表示（
）
小结
这节课你有什么收获？你还有什么 不清楚的地方？提出来，我们共同解决。
知识回顾 Knowledge Review
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12人坐 4 条船，平均每条船上有( )人。
12 ÷ 4 = 3
12人，每 3 人坐一条船，需要( )条船。
12 ÷ 3 = 4
看图写算式。
请你写出乘法算式和除法算式。 5×3 = 15
15÷5 = 3
2 +2 +2 +2 =8 12 = 4 + 4
+
=2 =4
4
8里面有（ ）个2.
把8平均分成2份，每份是（ ）。
每（ 3 ）个一份，分成（5 ）份， 5 15 □÷□＝□（份 ） 3
12÷3=，分成几组？
3 2 6 □ ÷ □ = □（组）
（2）6个同学拍皮球，平均分成了2组，每
组有几人？
2 3 6 □ ÷ □ = □（人）
算式： 12÷6＝ 2 （捆）
4、 有24只，如果每3只小猪住一间房， 一共需要（ 8 ）间房。
算式： 24÷3＝ 8 （间） 5、一共有36个土豆，小老鼠每次运9个
土豆，要运（ 4 ）次才能运完。 算式： 36÷9＝ 4 （次）
每条船上有 3 人，4 条船上共有( 12 )人。
3 × 4 =12
2、16个珠子。
（1）平均分成2串，每串有（ ）个珠
子。
（2）如果把这些珠子每8个串成一串， 可以串（ ）串。
3、有12根小棒。
（1）平均分成3捆，每捆（4 ）根。 算式： 12÷3＝ 4 （根） （2）每2根分一捆，能分（ 6 ）捆。
算式： 12÷2＝ 6 （捆）
（3）每6根分一捆，能分（ 2 ）捆。
6根萝卜平均分给3只小兔，每只小 兔分（2 ）根。
6 3 2 □ ÷ □ = □（根）
14个气球，每人分2个，可以分 给（ 7 ）人。
14 2 7 □ ÷ □ = □（人）
列算式。 1、 一共有12个西瓜 （1）每只小猴子搬2个西瓜，需要（ 6 ） 只小猴子。 算式： 12÷2＝6 （只）
（2）有6只小猴子来搬西瓜，每只小猴 子搬（ 2 ）个。 算式： 12÷6＝2（个）