“关联速度”模型

“关联速度”模型

模型建构：

【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度

【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。

这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。

“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。

模型典案：

【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图

示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小

为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法

物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。与车相连的端点的

实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮

边缘顺时针转动。 将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如

图2所示。根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。

所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。 【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。物理意义很明显。这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运

动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。 解法二：位移微元法

如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，

显然，△s 1＝△s·cos θ

θcos 1t

s t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义t

s v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。 所以，物体M 上升速度的大小为v /=v cos θ。

这种方法从理论上揭示了运动效果分解法的本质。

【点评】这是一种数学的方法。这种方法提示了“运动效果分解法”的本质，不失为一图2

图3

图1

种很好的方法。这种方法常常借助三角函数来求解。

解法三：功能关系法

不计滑轮、绳子质量及一切摩擦，由功能关系可知，在汽车前行牵引物体上升的过程中，汽车对绳子的拉力F所做的功W（对应功率设为P）等于绳子对物体拉力F’所做的功W’（对应功率设为P’）

设作用时间（相等）为△t，则

F＝F/，W＝W/，故

t

W

t

W

∆

'

=

∆

，P＝P’

又因为P＝Fv cosθ，P’＝F/v/

以上几式联立解得物体上升速度的大小为v/＝v cosθ

【点评】这种方法从功能关系上揭示了“运动效果分解法”的本质。可以说是一种特别好理解的物理方法。这类问题从解法上常常与“功能关系”、“动能定理”联系起来，增加了题目的内涵。

【典案2】如图4所示，小船用绳索通过定滑轮牵引，设水对小船阻力不变，在小船以速度v匀速靠岸的过程中拉绳的速度v/应怎样变化？

〖解析〗由题中已知条件，小船的实际运动是以速度v沿水平方向的匀速直线运动，可将其分解为绕滑轮转动和沿绳方向的直线运动

如图5所示，根据平行四边形法则画出小船运动的矢量图

已知小船的速度为v，是题中所给的直接条件，因此我们可以直接求出拉绳的速度。

可得v/=vcosθ，并且逐渐变小。

【典案3】如图6所示，两细棒a、b交叉放置在一平面内，a棒绕O点以角速度ω逆时针转动，b棒固定，O点离b棒距离为d。某一时刻a、b棒的夹角θ，此时交叉点A的速度是多少？

〖解析〗根据题意，我们可以看出，a、b的交叉点A相对于b棒做直线运动，而交叉点A相对于棒a做向O点的运动，与此同时，A点又随棒a做旋转运动。

因此，我们可以把某时刻交叉点A沿b棒的运动分解为：

沿a棒径向的直线运动和切向的圆周运动。

而A的实际速度是径向速度v x和切向速度v y的合速度。

如图7所示，根据平行四边形法则画出A运动的矢量图。

题中给出a棒转动的角速度为ω，并未直接给出速度，因此我们要根据这个间接条件来

图4 图5

图6 图7

求a 棒转动的线速度。我们求出的线速度也是切线方向的速度，而A 点的速度为径向和切向的合速度，还需要再转化。

v y ＝ω·OA ，OA ＝θsin d ，v ＝θsin y v 因此，v ＝θ

ω2sin d 〖点评〗解此题的关键是掌握好径向和切向运动，有时一个直线运动分解为一个直线运动（径向运动）和一个圆周运动（切向运动），会使问题简单化。

【典案4】如图8所示，跨过定

滑轮的轻绳两端的物体A 和B 的质

量分别为M 和m ，物体A 在水平

面上。A 由静止释放，当B 沿竖直

方向下落h 时，测得A 沿水平面运

动的速度为v ，这时细绳与水平面的

夹角为θ，试分析计算B 下降h 过

程中，地面摩擦力对A 做的功？（滑

轮的质量和摩擦均不计）

〖解析〗把物体A 、B 看成一个整体，对该系统进行受力分析。

B 下降过程中，B 的重力做正功mgh ，摩擦力对A 做负功，设为W f 。

由于A 与水平面间的正压力是变化的，又不知动摩擦因数、W f 不能用功的定义求得，只能通过动能定理来求解W f 。

A 的实际运动沿速度v 的方向，它可以分解为分别是沿绳方向和绕滑轮转动两个分运动；

根据第1步的分析和平行四边形法则，画出如图9的矢量图；

由图9中可知，v 1为绳的速度，也就是该时刻物体B 的瞬时速度，v 1＝vcosθ。

对系统列动能定理表达式： mgh －W f ＝

21Mv 2＋21mv 12 可得W f ＝mgh －21Mv 2－2

1m （vcosθ）2 〖点评〗此题是一道综合题，它涉及到了变力做功，动能定理这两个方面的知识，有一定的难度。但关键点是利用运动合成与分解的知识求出速度，才能列出动能定理表达式。由此可见，学好运动的合成与分解是至关重要的。

【典案5】如图10所示，某人与一平直公路的垂直距离h ＝50m ，有一辆汽车以速度v 0＝10m/s 沿此公路从远处驶来，当人与汽车相距L ＝200m 时，人开始匀速跑动，若人想以最小的速度赶上汽车，人应沿与v 0成多大角度的方向以多大的速度跑动？

〖解析〗方法一：物理方法 本题主要考查巧选参考系，应用运动的合成与分解研

究相遇极值问题。 如图11所示，以汽车为参照系，人相对于汽车的合运

动v 合的方向如图中虚线OP 所示，人相对于地面的运动速度为v ，由图可知，要使v 最小，v 的方向显然应垂直于

OP 连线方向，设汽车运动方向（即v 0方向）与OP 连线夹角为θ，

则tan θ＝h L ＝14 。 图8 图9 图11

－v v

v 合

O

P θ v 0

L h

图10

v 0