材料力学第8章-弯曲剪应力分析及弯曲中心的概念
剪力中心和扭转中心
扭转中心的概念
扭转中心是指仅在扭转荷载作用下，杆件截面绕以转 动的转过程见《薄壁杆 件的弯曲与扭转》。
性质
当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲；如只通过弯曲 中心不平行于主惯性轴，则为斜弯曲。
纯弯曲
弯扭组合
斜弯曲（双向弯曲）
截面弯曲中心的确定方法
Qy X 0 QxY0 qds
0
l
I y I y I xy I x X0 2 I I I x y xy Y I xy I y I x I x 2 0 I I I x y xy
其中：
分别令 Qy 0， Qx 0 ，得到两个方 程，求得 X 0 、Y0 ，其中剪力流方程见 式（2-15）
根据弯曲中心的性质，将截面上剪力向某点转化，当 转化后的力中没有力偶时，该点即为截面的弯曲中心。
一般情况： 取形心为坐标原点，假设截面上的剪力流ｑ，根据静力等效条件（无扭转， 对弯曲中心取矩为零，将弯曲中心上的力简化到形心轴处，弯矩为Qy*XoQx*Yo，截面上应力流对形心点取矩，其值与前者相等）
常见截面的弯曲中心
由多个狭长相交矩形组成的截面的弯曲中心
谢谢观看！
Qy X 0 QxY0
I b xtds x 0 b I y ytds 0
扇性惯性积
截面弯曲中心位置的一些简单规律
（a）有对称轴的截面，弯曲中心在对称轴上； （b）双轴对称截面和点对称截面（如Z形截面），弯曲中 心与截面形心重合； （c）由矩形薄板相交于一点组成的截面，弯曲中心在交点 处，这是由于该种截面受弯时的全部剪力流都通过此交点， 故总合力也必通过此交点。
弯曲中心、剪切中心、扭转中心
《弯曲剪应力》课件
研究趋势：未来，弯曲剪应力的研究将更加注重多学科交叉、多尺度研究，以及与工程实 践的结合。
应用前景：弯曲剪应力的研究在工程领域具有广泛的应用前景，如结构设计、材料选择、 疲劳寿命预测等。
弯曲剪应力研究的重要成果与突破
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弯曲剪应力的应用：弯曲剪应力在工程设计中具有重要意义，如 桥梁、建筑等结构设计中需要考虑弯曲剪应力的影响。
03
弯曲剪应力的作用
弯曲剪应力对材料的影响
弯曲剪应力会导致材料产生变形和断裂 弯曲剪应力的大小和方向会影响材料的强度和刚度 弯曲剪应力对材料的疲劳寿命有重要影响 弯曲剪应力对材料的塑性变形和弹性变形有影响
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弯曲剪应力
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01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 弯曲剪应力的概念 弯曲剪应力的作用 弯曲剪应力的应用 弯曲剪应力的研究进展 弯曲剪应力的未来展望
01
添加目录项标题
02
弯曲剪应力的概念
剪应力的定义
剪应力：物体在受到剪切力作 用时，在剪切面上产生的应力
剪切力：作用在物体表面上的 力，使物体产生剪切变形
添加标题
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20世纪初，英国科学家泰勒对弯 曲剪应力进行了深入研究，提出 了泰勒公式
21世纪初，中国科学家钱伟长对 弯曲剪应力进行了深入研究，提 出了钱伟长公式
弯曲剪应力研究的现状与趋势
研究现状：弯曲剪应力的研究已经取得了一定的成果，包括理论分析、实验研究和数值模 拟等方面。
弯曲剪应力在智能结构中的应用： 提高结构的稳定性和可靠性，降 低维护成本
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
材料力学弯曲应力知识点总结
材料力学弯曲应力知识点总结弯曲应力是材料力学中重要的概念之一，它描述了材料在受到弯曲力作用时所承受的内部力状态。
了解和掌握弯曲应力的知识对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
本文将对材料力学中弯曲应力的相关知识点进行总结。
一、弯曲应力的基本概念弯曲应力是指在材料受到弯曲作用时，在横截面上单位面积所承受的力的大小，通常用σ表示。
弯曲应力的大小与施加在材料上的弯曲力以及截面形状和尺寸有关。
二、弯矩和截面性质1. 弯矩：在弯曲过程中，作用在材料上的弯曲力会产生一个力矩。
弯矩的大小等于力矩除以截面法线距离。
弯矩的单位通常是N·m。
2. 惯性矩和截面模量：惯性矩描述了截面抵抗变形的能力，通常用I表示。
截面模量描述了材料在弯曲过程中的刚度，通常用W表示。
惯性矩和截面模量与截面的形状和尺寸有关。
三、材料的截面形状对弯曲应力的影响材料的截面形状对弯曲应力有着重要的影响，以下是几种常见截面形状的弯曲应力分析：1. 矩形截面：矩形截面的弯曲应力呈线性分布，最大弯曲应力出现在截面内边缘。
2. 圆形截面：圆形截面的弯曲应力均匀分布，在截面上的任意一点的弯曲应力都相同。
3. T型截面：T型截面的弯曲应力最大出现在截面顶部和底部的交接处。
4. I型截面：I型截面的弯曲应力主要集中在截面中轴线部分。
四、弯曲应力与应变的关系弯曲应力和应变之间的关系可以通过杨氏模量进行描述。
弯曲应力和应变的关系可以用以下公式表示：σ=M*y/I，其中M为弯矩，y为截面的纵向距离，I为截面的惯性矩。
五、弯曲应力的计算方法根据弯曲应力的定义和性质，可以采用以下方法来计算弯曲应力：1. 等效应力法：将弯矩和弯曲力矩转化为等效应力，然后根据截面形状计算弯曲应力。
2. 梁理论：基于材料的截面形状和尺寸，使用梁理论来计算弯曲应力。
通过计算截面的惯性矩和截面模量来获得弯曲应力。
六、弯曲应力的影响因素弯曲应力受到以下因素的影响：1. 弯曲力的大小和方向2. 材料的弹性模量3. 材料的截面形状和尺寸4. 材料的力学性质和力学行为5. 材料的应变率和应变历史七、弯曲应力的应用弯曲应力在工程设计和分析中具有广泛的应用，例如：1. 结构设计：通过对材料的弯曲应力进行分析，可以确定结构的合理尺寸和截面形状，以满足设计要求。
(精品)材料力学课件：弯曲应力
危险点： a 点处: 纯剪切
c , d 点处: 单向应力
b 点处: , 联合作用
18
二、梁的强度条件
• 弯曲正应力强度条件：
max
M Wz
max
[ ]
max：最大弯曲正应力
[] ：材料单向应力许用应力
•弯曲切应力强度条件：
max
F SS z ,max I z
max
[ ]
max ： 最大弯曲切应力 [] ： 材料纯剪切许用应力
FS
(y)
横截面两侧边缘的各点： //侧边； 一般梁横截面窄而高；
yz
假设 (y)的
分布形式
横截面上各点： //侧边， 沿截面宽度方向均匀分布
y
4
利用分离体平衡来求横截面上的切应力( q 0 的情况)
M
M+dM
(y)
FS
FS
F1
z dA F2
dx
b
y
dx
F1
dA
x方向平衡： F1 ( y) b dx F2
Fs
x
t
z
dx y
dx
(s)
F1
'(s)
F2
S
10
工字形与盒形等薄壁梁的弯曲切应力：
工字形梁的弯曲切应力 腹板： //腹板侧边，均匀分布。
b/2
b/2
翼缘： //翼缘侧边，均匀分布。
翼缘 分析方法：分离体平衡
h0/2 h/2 h/2
h0/2
FS 腹板
C
z
( y) FS Sz ( )
Iz b 翼缘：
h2 ) (h2
4 y2 )]
盖板与腹板的交接处：
应力分布较复杂，有应力集中现象
[PPT]材料力学课件之弯曲应力
![[PPT]材料力学课件之弯曲应力](https://img.taocdn.com/s3/m/e793bed90b1c59eef9c7b47c.png)
1.计算公式 2.分布规律
s M.y
Iz
横截面上任一点处的正应力大小，与该点至中性轴的距
离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分 布。中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。
3.正应力公式讨论：
1）适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围小变 形时的等截面直杆。
2）在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精 确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式为近似
M z
(s dA) y
A
Ey2 dA E
A
y2dA EIz M
A
依此确定正应力计算公式。
3.弯曲中心的确定
P
M x A (t dA)d力臂 0,
O
依此确定x轴到杆轴的距离e。
z
ts
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必
x
须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，
y
若是横向力，还必须过弯曲中心。
P
zP
M
V
s
x
y
翼缘上t1VA 2Iz;单肢合力为V1。腹板上t
VS
z
;合力为V
P
bI z
M x A (t dA)d力臂 0
e e V1h
V
6-6 考虑材料塑性时的极限弯矩
s
ss
ss
ss ss
ss
ss
理想弹塑性材料的
s图
弹性极限 分布图
塑性极限 分布图
全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。
]
时,
D
1.67
D1
Wz3
D3
32
(1- 0.8 4 )
2.75Wz1
刚心、质心、剪切中心,扭转中心,弯曲中心
刚心和质心
剪切中心，扭转中心，弯曲中心
今天看了本书 《结构稳定和稳定内力》 李存权编的，书中第113页提到了这个问题 ： 1.截面的剪力中心得跟截面扇性几何特性联系起来，剪力中心即主扇性极点，使扇性 静矩，扇性惯性矩和扇性惯性积等于零的极点称为主扇性极点。 2.杆件横向荷载通过剪力中心，则杆件只有弯曲而无扭转，否则，杆件将同时发生弯 曲和扭转。荷载通过剪力中心，截面不发生扭转，既扭角为0，那么当杆件承受扭矩 作用而扭转的时候，根据位移互等定理，剪力中心将无线位移，因此剪力中心在杆件 只受扭矩时就成为扭转中心。 3.剪力流理论认为，剪力流沿截面中心线分布，因此对于具有对称轴的截面，其剪力 中心必定位于对称轴上。 综上所述： 剪切中心跟扭转中心是两个截然不同的概念，只有纯扭的时候两个中心才会重合。而 实际情况中，纯扭的现象近乎不发生。所以这两个中心肯定是不会重合的。 套用剪切中心的定义，是否我也可以那么定义扭转中心，即扭转惯性矩，静力矩均为 零时候的极点称为扭转中心。同样的弯曲中心是否也可以理解为抗弯惯性矩等均为0 的点为弯曲中心，这个是否跟弯曲时候的中性轴可以联系起来记呢？还有就是曲线桥 中的不动点跟扭转中心的定义跟区别？
Ix
Iy
I
2 xy
Y0
I xy I y I x I x
Ix
Iy
I
2 xy
其中：
Ix
Iy
b
xtds
0
b ytds
0
扇性惯性积
当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲；如只通过弯曲中心不
平行于主惯性轴，则为斜弯曲。
y
y
y
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第8章 剪应力分析
2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；
3．确定梁内横截面上的最大切应力；
4．画出横截面上的切应力流。
知识点：弯曲切应力公式的应用、切应力流
难度：难
解答：
1．图（a）：
kN
， kN
剪力与弯矩图如图（b）、（c）；
2．形心C位置
MPa
MPa
3． m3
MPa
4．切应力流如图（e）。
（A）下移且绕点O转动；
（B）下移且绕点C转动；
（C）下移且绕z轴转动；
（D）下移且绕 轴转动。
知识点：弯曲中心、薄壁截面梁产生平面弯曲的加载条件
难度：一般
解答：
正确答案是D。
8－19试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。
知识点：横向弯曲时梁横截面上的切应力流、弯曲切应力分析方法
难度：难
解答：
（A）细长梁、横截面保持平面；
（B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布；
（C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面；
（D）弹性范围加载，横截面保持平面。
知识点：弯曲时梁横截面上切应力分析
难度：易
解答：
正确答案是B。
公式 推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力 则要求弯曲正应力公式成立；另外推导时在 时，应用了 沿截面宽度均匀分布假设。
难度：难
解答：
正确答案是D。
8－21简支梁受力与截面尺寸如图所示。试求N－N截面上a、b两点的铅垂方向的切应力以及腹板与翼缘交界处点c的水平切应力。
知识点：弯曲切应力公式的应用、切应力流
难度：难
解答：
FQ = 120kN，形心C位置。
弯曲剪应力弯曲中心ppt课件
校核梁的强度的一般流程
计算横截面形心位置以确定中性轴 计算横截面关于中性轴的惯性矩
确定可能产生最大正 应力的截面及其弯矩
确定可能产生最大切 应力的截面及其剪力
用公式计算最大正应力
或 max
Mmaxymax Iz
max
Mmax Wz
用公式计算最大切应力
或 max
QmaxS Izb
max
k
Q A
根据许用应力校核强度
～
L h
结论 一般细长梁的横截面上弯曲正应力几乎总比 弯曲切应力高出一个数量级。
脆性材料
[σ –]
[σ +] [τ]
塑性材料
[σ +][σ –] [τ]
结论
在一般细长梁中，弯曲正应力是引起破坏 的主要原因。
在短粗梁、薄壁杆件、层合梁、抗剪能力 较弱的复合材料梁中，弯曲切应力是引起破坏 的值得重视的因素。
25 100
25 25
100
先求支反力
例 画出如图结构的 剪力弯矩图，并求梁 中横截面上的最大拉 应力和最大切应力。
mB0 3 R C 1 ( 4 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 2 ) 0
RC0.5 kN
C 处支反力实际方向向下
mB0 3 R B 1 ( 4 0 .5 ) ( 0 .5 2 ) 0 RB2.5 kN
1.2 3 (10 z0 )10 2 MPa
翼板中的最大切应力出 现在 z = 10 处
max1.23MPa
z 腹板中坐标为 y 处的面积对中性 轴的静矩
y x S 2 22 00 2 2 0 4 2 2 0 0 2 2 4 y 0 21 2 0 2 2 4 y 0 F
6.2 弯曲切应力
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
材料力学课件4_弯曲应力_浙江大学
弯矩图：
qa2
C
1 2
qa2
B
A处，集中力偶MA，跳跃。 AC段: q<0，凹向上 抛物线， MC=0， A处极值
BC、BD段: q=0，FS正负，斜直线， B处， FB致尖角。
讨论：P143- 习题4-5,6,7
4-6(b)：
FS：(kN)
2
1
3
2m 1m
M：(kN•m) 2
2kN/m
0.25
（3）内力变化的规律
y
q(x)
q
Fs xM
M+dM
F1
平衡
F2
dx Fs+dFs
Fy Fs (Fs dFs ) qdx 0
dFs q dx
MC
M
dM
M
Fsdx
qdx
dx 2
0
dM dx
Fs
剪力等于零处弯矩达到极值
积分
x2
x2
ΔFs qdx ， M Fsdx
x1
x1
q 均布力
4-7(b)： M：(kN•m)
1kN 5kN 2kN
40 2m 2m 2m
FS：(kN)
40kN•m 20kN
20
20kN
2. 刚架与曲杆的内力
刚架——不同取向的杆件刚性连接而成的结构 平面刚架——所有杆件轴线位于同一平面的刚架
曲杆——轴线为曲线的杆件 平面曲杆——轴线为平面曲线的杆件
内力：
刚架、曲杆——轴力、扭矩、剪力和弯矩 平面刚架与曲杆（外力也作用在该平面内）
BC：M Fa (L x) L
例4-4 简支梁，集中力偶Me，AC=a，BC= b， AB=L。 试作剪力与弯剪力图
材料力学弯曲应力课件
材料力学弯曲应力课件曲在工程中的应用。
这是一个厂房，这是一个大梁，这个吊车可以在这个大梁上运动。
对于这样一个问题，我们可以把它简化成一个简支梁，这个吊车的移动呢可以处理成一个移动荷载。
那么对于这个移动荷载而言，它所导致的应力如何计算行车移动时，它的应力如何变化这就是本章的内容之一。
我们再看看这个图片，这是我们拍摄的汽车的下部分，大家注意一些这个部分，这是就是汽车的板簧，它的模型就是这个样子，可以看成好几个钢板的组合，那么，为什么要设计成这个样子呢它有什么优点呢这也是本章要解决的问题。
这是一个运动员，撑杆跳，对吧。
大家常常见到，利用这个杆的助力，人可以跳的更高。
我们可以处理成这样一个模型。
她在跳高的过程中，杆就发生了弯曲。
那么，这个时候，跳杆横截面上的应力和杆曲率半径有什么关系这个杆在什么情况下才满足强度要求大家看看这个场面，对于这个场面，我们截面几何性质那章提到过，都是薄壁杆件，那么薄壁杆件有弯曲正应力和弯曲切应力，专门有一小节来讲解它的弯曲切应力，看看这些切应力有什么特点如何避免薄壁杆件的强度失效这也是本章的问题这个大家都熟悉，著名的比萨斜塔。
对于这个结构，初步计算，我们可以简化成这样一个均质圆筒，那么它有哪些变形效应它的危险截面、危险点在哪儿如何计算其应力这也是本章可以解决的问题。
因此，本章所涉及的问题是比较广的。
基本内容那么本章到底需要同学们掌握哪些内容呢1、熟练张博横截面上弯曲正应力和弯曲切应力的分布规律，并能正确熟练的进行梁的强度分析。
2、熟悉提高梁强度的主要措施。
、正确理解薄壁杆件横截面上弯曲切应力的分布规律，了解弯曲中心的概念。
4、熟悉掌握梁在组合变形中的应力的计算方法。
第一、第四条是很重要的。
这是以后大家经常需要处理的问题。
基本概念平面弯曲首先我们来看弯曲正应力。
在这章具体内容介绍之前呢，我们先介绍一些概念。
关于梁弯曲的基本概念。
梁的平面弯曲。
什么是梁的平面弯曲呢这是一个悬臂梁，截面是矩形截面，那么这个横截面就有一个中心对称轴，整个梁就存在一个对称面，如果我们的所有的外荷载都作用在这个平面之内，比如外荷载是这样的，那么发生变形后，梁的轴线仍然在这个平面内，像这样的弯曲，我们就叫做平面弯曲。
材料力学第8章-弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
前提
1. 基于弯曲正应力的分析结果——承认纯弯 正应力公式在横向弯曲时依然成立。
Mzy
Iz
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
前提
2. 因为薄壁截面杆的内壁和外壁都没有力作 用，应用剪应力互等定理，横截面上的剪应力作 用线必然沿着横截面周边的切线方向。
薄壁截面梁的弯曲中心
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
TSINGHUA UNIVERSITY
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
梁弯曲时横截面上的剪应力分析 实心截面梁的弯曲剪应力公式 薄壁截面梁的弯曲中心 结论与讨论
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
薄壁杆件弯曲时为什么会发生扭转现象？ 外力的作用线通过哪一点就不会发生扭转？ 这一点的位置怎样确定？
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
通过考察微段的局部平衡确定剪应力流的方向
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横向弯曲时，梁的横截面上不仅有弯矩，而 且还有剪力。与剪力相对应的，梁的横截面上将 有剪应力。
分析弯曲剪应力的方法有别于分析弯曲正应 力的方法。
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
分析模型－开口薄壁截面梁
弯曲应力材料力学解析PPT学习教案
力
s T max
M max Iz
y1
=
2500 111108
5.16 102
116.2 106 Pa
116.2MPa
截面上缘受最大压应力
弯曲应 力
s C max
M max Iz
y2
2500 111108
1.84 102
41.4 106
Pa
41.4MPa
第7页/共27页
例 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计 弯曲应
(B
b)h2 ]
t min
FQ 8I zb
(BH2
Bh2 )
第12页/共27页
弯曲应 力
7.2.3 圆形截面梁
t max
FQ
S
* z
Izb
FQd 3 /12y (d 4 / 64)d
4 3
FQ A
式 中 ： A为 圆 截面 面积
对 于 等 直 杆 ，最大 切应力 的统一 表达式 为：
弯曲应 力
例7-5 螺栓压板夹紧装置如图所示。已知板长 3a=150mm，压板材料的弯曲许用应力为[σ]=140MPa 。试确定压板传给工件的最大允许压紧力F。
解：压板可简化为图所示的外伸梁
作弯矩图如图所示。最大弯矩在截面B上
Mma MB Fa
Iz
3 x2 3 12
1.4 23 12
1.07cm4
Wz
O曲率中心
dq
M
m1 m2
y O1 a1
n1 dx
O2 dq
a2' a2 dl n2
sy M e2
e1
m2 x
2.物 理 关 系 (虎 克定 律)
弯曲正应力、剪应力、剪力流、剪切中心
对薄壁开口截面，由于剪力流的合力形成一扭矩，这样截面不仅发生弯曲，还有
扭矩，当截面剪力Q作用于B点时，弯曲发生在主惯性平面（x y平面内弯曲），
必须将其移到主惯性平面，通过移轴产生附加力矩QZb，必然有一点该附加力矩
正好与剪力流产生的扭矩平衡。该点为弯曲中心（或称剪切中心），此时截面只
弯不扭。
y
y
l
Qy X 0 QxY0
qds
0
分别令 Qy 0 Qx ，0
得到两个方X程0 ，Y求0 得
、
中剪力流方程见式（2-15）
， ，其
由此可得弯曲中心计算公式。
X 0
Iy
I y I xy I x
Ix
Iy
I
2 xy
Y0
I xy I y I x I x
y2
z
b
根据剪应力互等定理，除 了平行ｙ轴的剪应力分量外， 还有与翼缘长边平行的剪应力 分量。
让我们取顶面翼缘右边部 分的应力来讨论：
腹板剪应力
M
QS
* Z
IZd
其中
S
* Z
为所求点处横线以外面积对
中性轴的面积矩（求面积ｙ为的函数，
面积矩为ｙ的二次函数，则腹板剪应力 hu
分布为二次抛物线分布 ，max 处）。
r
作业： 试求薄壁半圆形 横截面的剪切中
r z
o、c
心
32
2) 4
8 (r
32
2) 4
r 3
代入得： Qy (1 cos ) 再由 q
r
可求剪力流：
材料力学弯曲知识点总结
材料力学弯曲知识点总结材料力学是研究物质力学性质和力学行为的一门学科，其中弯曲是一个重要的研究方向。
本文将对材料力学中的弯曲知识点进行总结，包括弯曲的定义、应力、应变和杨氏模量等内容。
1. 弯曲的定义弯曲是指在作用力或力矩的作用下，物体发生形状的变化，使其变曲或曲度改变的现象。
在材料力学中，弯曲是指材料在受到外力作用下，产生弯曲应变和弯曲应力的行为。
2. 弯曲应力弯曲应力是指在材料发生弯曲时，单位面积上的内力。
在弯曲过程中，材料上的各点受到不同程度的拉伸或压缩，产生弯曲应力。
弯曲应力与外力以及横截面形状和尺寸有关。
3. 弯曲应变弯曲应变是指材料在受到弯曲作用时，单位长度上的变形量。
弯曲应变正比于弯曲的曲率半径和材料的长度，与材料的刚度有关。
4. 应力和应变的关系根据胡克定律，应力和应变之间存在线性关系。
在弯曲过程中，弯曲应力和弯曲应变近似满足线性关系，可以用杨氏模量来表示。
杨氏模量是材料的一个重要力学参数，可以衡量材料的刚度。
5. 计算弯曲应力和应变的公式在弯曲现象中，可以通过一些公式来计算弯曲应力和应变。
其中，弯曲应力的计算公式为σ = (M*y) / I，弯曲应变的计算公式为ε = (M*y) / (E*I)。
其中，M为弯矩，y为离中性轴的距离，I为惯性矩，E为杨氏模量。
6. 中性轴和惯性矩在材料弯曲过程中，中性轴是指曲率最小的轴线，即弯曲位置上的轴线。
惯性矩则是材料承受弯矩时，各点离中性轴距离的平方乘以截面积后的积分，用来量化材料的抗弯刚度。
7. 材料弯曲的应用材料弯曲的特性使其具有广泛的应用，比如在工程结构中的材料选择和设计中，弯曲强度和刚度是重要的考虑因素之一。
此外，弯曲还可用于制造各种曲线形状的构件和装饰品。
综上所述，材料力学中的弯曲是一种重要的力学行为，涉及到弯曲应力、弯曲应变和杨氏模量等知识点。
弯曲应力和应变的计算可以通过公式来完成，中性轴和惯性矩是描述材料弯曲过程中位置和抗弯刚度的重要概念。
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 - 剪应力分析
工程力学（静力学与材料力学）习题第8章 剪应力分析8－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载；（B ）等截面圆轴；（C ）等截面圆轴与椭圆轴；（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。
正确答案是 。
8－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。
设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。
试判断下列结论的正确性。
（A ）max 1τ＞max 2τ；（B ）max 1τ＜max 2τ；（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ；（D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。
正确答案是 。
8－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。
关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）234)1(α-；（B ）)1()1(2234αα--；（C ）)1)(1(24αα--；（D ）)1/()1(2324αα--。
正确答案是 。
8－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。
圆轴尺寸如图所示。
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。
关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。
正确答案是 。
8－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。
圆轴受扭后，已知横截面上点)4/(d a a =ρ的切应变s γγ=a ，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的γτ-关系，可以推知横截面上的切应力分布。
试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。
正确答案是 。
8－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。
材料力学：切应力公式的应用----弯曲中心概念
截面形状 圆 形 矩 形 槽 钢
工字钢
Wz
0.125d 0.167h (0.27 ~ 0.31)h (0.27 ~ 0.31)h
A
3）根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字
形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即： 若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中 性轴靠近上端。如下图：
③如截面是由中线交于一点的几个狭长矩形组成 ：此交点就是弯曲中心。
四. 提高梁承载能力的措施
max
M mzmax Izb
一)、合理安排梁的受力，减小弯矩。
F/L
A
B
Mmax = FL / 8
F/L
Mmax=FL/ 40
0.2L
0.2L
合理安排梁的受力，减小弯矩。
F
Mmax=PL / 4
F
A L/2
L/2 B
F/2 L/4
F/2 L/4
Mmax = FL / 8
二)、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。
合理截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面模量大的截面。
1）放置方式：
Wz左 h 1, 竖放比横放要好。
Wz右 b
WZ
左
bh2 6
WZ
右
hb2 6
2）抗弯截面模量/截面面积
三. 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析 切应力公式的应用----弯曲中心概念
平面弯曲的条件： 横向力与形心主轴平行且通过弯曲中心。 对于一般常见的薄壁截面，为了找到它们的弯曲中心。
可掌握以下几条规律：
①具有两个对称轴或反对称轴的截面:弯曲中心与形心重合。
②具有一个对称轴的截面：弯曲中心必在对称轴上。
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材料力学
(8)
2018年8月3日
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材料力学
上一章
基础篇之八
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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薄壁构件弯曲时的特有现象
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
微段局部的截取方法是－从自由表面开始到所要求剪应力的点。
自由表面
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考察微段局部的受力与平衡
自由表面
A*
´
Fx=0 FN*+d FN*－FN* － ( d x)=0
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
分析模型－开口薄截面梁
FQ
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以开口薄壁截面梁为分析模型，分析横向弯 曲时梁横截面上的剪应力，然后将所得到的结果 推广到实心截面梁。
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
下一章
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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工程结构中的薄壁构件
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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薄壁截面梁的弯曲中心
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第8章 弯曲剪应力分析与 弯曲中心的概念
Chapter 8 Analysis of shear stress in bending and the bending center of a thin walled beams under bending
在上述前提下，分析弯曲剪应力的方法 就是平衡的方法。
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
分析弯曲剪应力的平衡方法-平衡对象
确定横截面上任意点 处的剪应力－先从梁上 截取dx微段； 以微段的局部作为平 衡对象；
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微段局部的截取方法 是－从自由表面开始到 所要求剪应力的点。
上述前提下分析弯曲剪应力的方法
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基于弯曲正应力的分析结果——承认纯弯正应力公式 在横向弯曲时依然成立。
因为薄壁截面杆的内壁和外壁都没有力作用，应用剪 应力互等定理，横截面上的剪应力作用线必然沿着横截面 周边的切线方向。 对于开口薄壁截面梁，由于壁厚很薄，因而可以假定 横截面上的剪应力沿着厚度方向均匀分布。
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
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梁弯曲时横截面上的剪应力分析
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
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纯弯曲情形下，梁的横截面只有弯矩一个内 力分量，与之对应的，梁的横截面上只有正应力。 横向弯曲时，梁的横截面上不仅有弯矩，而 且还有剪力。与剪力相对应的，梁的横截面上将 有剪应力。 分析弯曲剪应力的方法有别于分析弯曲正应 力的方法。
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
分析弯曲剪应力的平衡方法平衡方程与剪应力表达式
A*
* dFN dx
* dFN d x dA A*
前提
1. 基于弯曲正应力的分析结果——承认纯弯 正应力公式在横向弯曲时依然成立。
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Mz y Iz
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
前提
2. 因为薄壁截面杆的内壁和外壁都没有力作 用，应用剪应力互等定理，横截面上的剪应力作 用线必然沿着横截面周边的切线方向。
FQ
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
前提
3. 对于开口薄壁截面梁，由于壁厚很薄，因 而可以假定横截面上的剪应力沿着厚度方向均匀 分布。
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
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梁弯曲时横截面上的剪应力分析 实心截面梁的弯曲剪应力公式 薄壁截面梁的弯曲中心 结论与讨论
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
分析弯曲剪应力的平衡方法平衡方程与剪应力表达式
A*
FN dFN FN dx 0
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´
* dFN dx
* ——由弯矩M产生的正应力σx组成 FN * * FN dFN ——由弯矩M+dM产生的正应力σx+ dσx组成 * dFN ——由弯矩dM产生的正应力dσx组成