三角形内角和第二课时

结论：三角形的外角和等于360°
P183习题7.7
1.通过自主学习，理解三角形外角的两个性质。
2.通过合作学习，能利用三角形外角的性质解决 实际问题。
分组分享活动一：自主学习
阅读教材P181第一段并回答以下问题： （1）什么叫外角？ （2）把图7-17的其他外角表示出来。
分组分享活动一：合作探究
阅读书本P181的两个关于外角的定理，小组合作思考怎 样根据我们所学知识推导这两个定理？
2
·
D
B
·
C
这里是运用了公 ∵ AD平分∠EAC(已知) 理“同位角相等 1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义) ，两直线平行” 2 得到了证实. ∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行)
分组分享活动四：尝试提高
已知:如图,在△ABC中,点D是AC边上的点, A 点P在BC. D 求证:∠BPC ＞∠A. P 证明:∵∠BPC是△PCD的一个外角（外 角的定义） ∴ ∠BPC ＞∠PDC.（三角形的一 B 个外角大于任何一个和它不相邻的内 角） ∵∠ PDC是△ABD的一个外角 （外角的定义） ∴ ∠PDC ＞ ∠A .（三角形的一个 外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴ ∠BPC ＞∠A.
外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴ ∠BPC ＞∠A.
分组分享活动四：巩固练习
已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角。 A 那么， ∠1、∠2、∠3的和是多少度？ 2 证明：∵ ∠1 +∠4=180°(平角的定义) 5 ∠2 +∠5=180° ∠3 +∠6=180° 1 6 4 又∵ ∠4+ ∠5 + ∠6= 180° B C (三角形内角和定理) 3 ∴ ∠1+ ∠2+ ∠3 +∠4 +∠5+∠6=3× 180°（等式性质） ∴ ∠1+∠2 +∠3=540 ° - 180°= 360°
请作出相关图形，
写出已知、求证、证明过程
定理1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和． 已知： 如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证：∠1= ∠2+ ∠3 证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180° （三角形内角和定理） 3 即∠2+ ∠3= 180°-∠4 B 又∵ ∠1+ ∠4= 180°(平角的定义) 即∠1 = 180°-∠4 ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换) A
·
D
B
·C
例题是运用了定 理“内错角相等, 两直线平行”得 ∵ AD平分∠EAC(已知) 1 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义) 到了证实.
1 ∴∠C= ∠EAC(等式性质) 2 2
∴∠DAC=∠C(等量代换) ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
还有其它方法吗？
例1 已知:如图在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B=∠C. E 求证：AD∥BC. A 证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) 1 ∴∠B= ∠EAC(等式性质)
2 41
C
D
证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角．
A 已知： 如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证：∠1> ∠2, ∠1> ∠3
3
2
1
B
C
D
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和） ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
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推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和。 几何语言∵ ∠1是△ABC的一个外角. ∴ ∠1= ∠2+ ∠3 推论2：三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个内角。
C
变式训练： 已知:如图,P是△ABC内一点,连接PB，PC 点D是AC边上的点,点P在BC. A 求证:∠BPC ＞∠A. D 证明:延长BP，交AC于点D. P ∵∠BPC是△PCD的一个外角（外 角的定义） ∴ ∠BPC ＞∠PDC.（三角形的一 B
C
个外角大于任何一个和它不相邻的内 角）
∵∠ PDC是△ABD的一个外角 （外角的定义） ∴ ∠PDC ＞ ∠A .（三角形的一个
A
45°
解：∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知) 100° ∠DCA=100°(已知) B C D ∠A=45°(已知) ∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) 又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角意义) ∴ ∠ACB=80°(等式的性质)
例1 已知:如图，在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B=∠C. E 求证：AD∥BC. A 证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知)
几何语言∵ ∠1是△ABC的一个外角 ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3 由公理、定理直接得出的真命题叫做推论。
1、 求下列各图中∠1的度数。
120°
35° 60°
1
1
1
50°
45°
2、 求各图中∠1的度数
100 o
1
60 o 60°
55°
1
P183 随堂练习1
1、已知：如图所示,在△ABC中,外角 ∠DCA=100°,∠A=45°. 求：∠B和∠ACB的大小.