2021年高三考前热身训练试题数学理
高三数学下学期考前热身训练试题 理 试题
雅礼中学2021届高三数学下学期考前热身训练试题 理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共8页。
时量120分钟。
满分是150分。
第I 卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，那么复数34i i-=( ) (A)43i -- (B)43i -+ (C)43i + (D)43i -I R =，集合{}3log ,3A y y x x ==>，{B x y == ，那么( ) (A)A B ⊆ (B)A B A = (C)A B =Φ (D) ()IA B ≠Φ ()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,那么向量AB 在CD 方向上的投影为〔 〕A B C ．D ． f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，那么f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数5.战国时人们已经知道通过观察水的结冰与否来推知气温下降的程度。
例如，?吕氏春秋·慎大览·察今?就记载道：“见瓶中之冰而知天下之寒。
〞这种做法被后世人们所认可，汉代的?子·兵略训?就有几乎同样的记载：“见瓶中之水，而知天下之寒暑〞，这是因为，通过观察瓶中水结冰或者冰融化，确实可以大致知道气温的寒暖变化。
直到比利时人南怀仁〔F.Verbiest,1623~1688〕于清顺治十六年〔1659〕来华，他著述的关于温度计的一本小册子?验气图说?于1671年刊行，温度计的神秘面纱才被逐渐的在中华大地揭开.某旅游城为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面表达不正确的选项是( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温根本一样D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，那么1a ＋3b的最小值是( ) A ．2 3 B.203 C ．4 D.163 1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD 的正视图与俯视图如下图，那么其侧视图的面积为( )A.22B.21C.42D.418.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )9.A B 、是球O 的球面上两点，=2AOB π∠,C 为该球面上的动点，假设三棱锥O ABC -体积的最大值为323，那么球O 的外表积为 〔 〕 A.64π B.2563π C.256π A.643π 10．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常4.8两诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两诱发这种疾病的频率为0.16．将频率视为概率，某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，那么他还能继续饮酒2.4两不诱发这种疾病的概率为〔 〕A ．78B ．56C ．34D ．202111．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点A ，B ，假设1:3:4AF AB =，223BF AF =，那么双曲线C 的离心率是〔 〕ABCD ．512.设函数()24sin 2(,)33π3g θθππθ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，．假设0αβ⋅<，且()()0g g αβ+=，那么βα-的取值范围为〔 〕A ．(π,)3πB ．π,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2π,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2π,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
2021年高三数学热身(最后一模)试题 理
2021年高三数学热身（最后一模）试题 理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则 ( )[)),0(.2,1.)4,0(.)2,0(.+∞D C B A答案：C2．已知复数满足,则复数对应的点在（ ）上 直线 直线 直线 直线答案：C3．已知命题，使；命题，都有.给出下列结论： ① 题是真命题 ②命题是假命题 ③命题是真命题 ④命题是假命题 其中正确的是（ ） ②④②③③④①②③答案：B4．已知实数执行如图所示的流程图，则输出的不小于的概率为( )103.52.94.31.D C B A 答案：A5．函数的图像与函数的图像（ ） 有相同的对称轴但无相同的对称中心 有相同的对称中心但无相同的对称轴 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 既无相同的对称中心也无相同的对称轴 答案：A6． 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）答案：A7.已知点，抛物线（）的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若则的值等于（ ）O xy4.1.21.41.DCBA答案：D解析：5:1:),0,4(=∴=MNKMMKMFaF ，则8.已知是内一点，且，，若、、的面积分别为、、，则的最小值是（）20.81.16.9.DCBA答案：C9.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,27.2,25.27,25.25,0.DCBA答案：D10. 已知实数满足其中是自然对数的底数 , 则的最小值为（）18.12.10.8.DCBA答案：A解析：∵实数满足，，点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．考查曲线上和直线平行的切线，，求出上和直线平行的切线方程，，解得切点为该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，故的最小值为．故选A．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为答案：解析：由三视图知，三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直，将此三棱锥补成长方体，它们有共同的外接球，ππ29422923322222==∴=++=RSR12.在 的二项展开式中，的系数为____________. 答案：13.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：亩）分别为________． 答案：解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为亩，总利润万元，则目标函数y x y y x x z 9.0)9.063.0()2.1455.0(+=-⨯+-⨯=线性约束条件为即，做出可行域，求得平移直线可知直线经过点即时，取得最大值. 14.将这个数平均分成组，则每组的个数都成等差数列的分组方法的种数是 答案：解析：设3组中每组正中间的数分别且，则， 而，故所有可能取的值为此时相对应的分组情况是());8,7,6(),9,5,1(),4,3,2();9,8,7(),6,4,2(),5,3,1();9,7,5(),8,6,4(,3,2,1);9,8,7(),6,5,4(),3,2,1(故分组方法有种.15.如果的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”. 给出下列命题：①函数具有“性质”；②若奇函数具有“性质”，且，则；③若函数具有“性质”， 图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减,在上单调递增； ④若不恒为零的函数同时具有“性质”和 “性质”，且函数对，都有成立，则函数是周期函数. 其中正确的是(写出所有正确命题的编号)．答案：①③④三、解答题，本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间 上的最小值． 解析：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 12sin 232cos 21cos 2322cos )(2++--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π132cos 12sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=πx x x所以函数的最小正周期为.由,可解得 所以单调减区间是（Ⅱ）由（Ⅰ）得1)32cos(1)3)3(2cos()(+-=++-=πππx x x g 因为,所以 所以, 因此，即的取值范围为.17.（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得分，答错不答都得分，已知甲队人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分． （Ⅰ）求随机变量的分布列及其数学期望;（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为的条件下，甲队比乙队得分高的概率． （1）的可能取值为41213141213241213143)1(;241213141)0(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξP P43)3(;2411213143213241213243)2(⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξξP P 的分布列为1223413241124112410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（2）设“甲队和乙队得分之和为”为事件,“甲队比乙队得分高”为事件则 31313241313224113241)(213223333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C C C A P18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中， 四边形是直角梯形，,是的中点. （Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 解析：（Ⅰ）PC AC ABCD AC ABCD PC ⊥∴⊂⊥,,平面平面.2,2,4==∴===BC AC CD AD AB,又PBC EAC EAC AC 平面平面平面⊥∴⊂ .0 1 2 3（Ⅱ）如图，以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则。
高考数学理科热身模拟考试卷试题
卜人入州八九几市潮王学校东北师大附中2021年高考数学理科热身模拟考试卷202本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，考试时间是是120分钟。
第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，有 一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，复数=-)3(2i i〔〕〔A 〕i +3 〔B 〕i +-3〔C 〕i -3〔D 〕i --32．设集合{}N M ,2111,21 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=≤-=x x N x x M=〔〕〔A 〕{1-x ＜}1≤x 〔B 〕{1-x ＜x ＜1}〔C 〕{1-x ≤}3x 1=<或x〔D 〕{1-x ≤＜}3≤x3．等差数列{a n }中，已各则,4,16375==+a a a 9a =〔〕〔A 〕8〔B 〕12〔C 〕24〔D 〕25 4．m =－1是直线0)12(=-+y m mx 与直线063=-+my x 垂直的〔〕〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件5．由1，2，3，4，5组成没有重复数字且不能被5整除的五位数一共有 〔〕〔A 〕24个〔B 〕48个〔C 〕96个〔D 〕144个6．点),(y x M 在过A 〔3，0〕、B 〔1，1〕两点的直线上，那么y x93+的最小值为〔〕〔A 〕32〔B 〕63〔C 〕9〔D 〕127．正三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA=23，那么正三棱锥S －ABC 外接球的外表积是 〔〕〔A 〕π12〔B 〕π32〔C 〕π36〔D 〕π488．在同一平面直角坐标系中，函数221+=-x y 的图象按向量)2,1(--=a 平移后得函数)(x f y =的图像，函数)(x g y =与)(x f y =的图象关于x 轴对称，那么函)(x g y =解析式是〔〕〔A 〕x x g 2)(-=〔B 〕x x g -=2)(〔C 〕42)(2--=-x x g〔D 〕42)(2+-=--x x g9．设定义域、值域为R 的单调函数)(x f y =的反函数为)(1x fy -=，且2)()(=-+=x f x f y 那么)3()1(11--+-ff的值是〔〕〔A 〕－4〔B 〕2〔C 〕－2〔D 〕010．双曲线15422=-y x 的左顶点为A ，右焦点为F 2，过F 2作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为B ，直线AB 与双曲线的右准线交于点T ，假设TB AT λ=，那么λ等于〔〕〔A 〕21 〔B 〕2 〔C 〕31 〔D 〕311．设函数θ≤=0,)(3若x x f ＜4π时，)1()tan (m f m f -+⋅θ ＞0恒成立，那么实数m 的取值范围是〔〕〔A 〕〔0，1〕〔B 〕〔∞-，0〕〔C 〕〔∞-，1〕〔D 〕〔∞-，21〕 12．锐角△ABC 中，假设A=2B ，那么ba的取值范围是〔〕〔A 〕〔1，2〕 〔B 〕〔1，3〕 〔C 〕〔2,2〕〔D 〕〔,23〕第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。
高三数学热身试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学热身试卷〔理科〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．设全集U={x|e x＞1}，函数f〔x〕=的定义域为A，那么∁U A为〔〕A．〔0，1] B．〔0，1〕C．〔1，+∞〕D．恒成立，那么a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕 B．〔﹣1，1〕C．〔﹣1，+∞〕D．〔1，+∞〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．〕11．向量，假设，那么=．12．某工厂消费A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=．13．某几何体的三视图如下列图，那么它的外表积是．14．假设的展开式中常数项为43，那么．15．对于函数y=f〔x〕，假设存在区间，同时满足以下条件：〔1〕f〔x〕在上是单调的；〔2〕当定义域是时，f〔x〕的值域也是，那么称是该函数的“和谐区间〞．假设函数f〔x〕=﹣〔a ＞0〕存在“和谐区间〞，那么实数a的取值范围是．三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共75分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕16．函数f〔x〕=2sin〔π﹣x〕cosx+2cos2x+a﹣1．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕假设f〔x〕在区间上的最大值与最小值的和为2，求a的值．17．某高考HY新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3〞的构成形式，第一个“3〞是语文、数学、外语，每门总分值是150分，第二个“3〞由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门总分值是100分，高考录取成绩卷面总分总分值是750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生〞记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进展调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3人数 5 25 20〔I〕从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；〔II〕从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；〔III〕将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y≥2〞的概率．18．在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2〔如图1〕．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P〔如图2〕．〔1〕求证：A1E⊥平面BEP；〔2〕求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．19．数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．椭圆C：=1〔a＞b＞0〕，O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ〔i〕求证：为定值；〔ii〕求△OPQ面积的取值范围．21．函数f〔x〕=lnx+﹣1，a∈R．〔1〕假设关于x的不等式f〔x〕≤x﹣1在上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．2021年高考数学热身试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．设全集U={x|e x＞1}，函数f〔x〕=的定义域为A，那么∁U A为〔〕A．〔0，1] B．〔0，1〕C．〔1，+∞〕D．．应选：A．2．复数z的一共轭复数为，假设为纯虚数，那么|z|=〔〕A．2 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi，那么=a﹣bi，化简，再根据纯虚数的定义即可得到a2+b2=1【解答】解：设z=a+bi，那么=a﹣bi，∴z•=a2+b2，∴===，∵为纯虚数，∴a2+b2=1，∴|z|=1，应选：D3．函数f〔x〕=，那么f〔f〔1〕〕+f〔log3〕的值是〔〕A．7 B．2 C．5 D．3【考点】3T：函数的值．【分析】根据函数解析式，先求f〔0〕，然后求出f〔f〔0〕〕，再求出f〔〕即可求解【解答】解：由题意可得，f〔1〕=log21=0，f〔f〔1〕〕=f〔0〕=90+1=2f〔〕=+1=+1=5∴=7应选A4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术〞，执行该程序框图，假设输入的a，b分别为16，28，那么输出的a=〔〕A．0 B．2 C．4 D．14【考点】EF：程序框图．【分析】由循环构造的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，那么b变为28﹣16=12，由b＜a，那么a变为16﹣12=4，由a＜b，那么，b=12﹣4=8，由a＜b，那么，b=8﹣4=4，由a=b=4，那么输出的a=4．应选：C．〕①假设p∧②＜r＜2+〔y+5〕2=r2〔r＞0〕上恰好有两个点到直线4x﹣3y=2的间隔等于l，那么p是q的必要不充分条件；③假设p：x≤1，q：＜1，那么￢p是q的充分不必要条件．④设随机变量X服从正态分布N〔3，7〕，假设P〔X＞C+1〕=P〔X＜C﹣1〕，那么C=7．A．①③B．③④C．①②D．②③【分析】①，假设p∧②，求得圆心到直线的间隔为5，又圆〔x﹣3〕2+〔y+5〕2=r2〔r＞0〕上恰好有两个点到直线4x﹣3y=2的间隔等于l，半径r的取值范围是4＜r＜6，即可断定；③，假设＜1，⇒x＞1或者x＜0；假设x＞1⇒，故￢p是q的充分不必要条件．④，随机变量X服从正态分布N〔3，7〕，那么其正态分布曲线关于直线x=3对称，当P〔X＞C+1〕=P〔X＜C ﹣1〕时，C+1+C﹣1=6，那么C=3．【解答】解：对于①，假设p∧对于②为5，又圆〔x﹣3〕2+〔y+5〕2=r2〔r＞0〕上恰好有两个点到直线4x﹣3y=2的间隔等于l，故半径r 的取值范围是4＜r＜6那么p是q的必要不充分条件，故正确．对于③，假设＜1，⇒x＞1或者x＜0；∵￢p：x＞1⇒，故￢p是q的充分不必要条件，故正确．对于④，随机变量X服从正态分布N〔3，7〕，那么其正态分布曲线关于直线x=3对称，当P〔X＞C+1〕=P〔X＜C﹣1〕时，C+1+C﹣1=6，那么C=3．故错．应选：D6．P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，那么黄豆落在△PBC内的概率是〔〕A．B．C．D．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义；CF：几何概型．【分析】根据向量加法的平行四边形法那么，结合一共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO 的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得此题之答案．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，那么∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的间隔等于A到BC的间隔的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==应选C7．设x，y满足约束条件，假设目的函数z=abx+y〔a＞0，b＞0〕的最大值为11，那么a+b的最小值为〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【考点】7C：简单线性规划．【分析】根据的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目的函数z=abx+y〔a＞0，b＞0〕的最大值为11，求出a，b的关系式，再利用根本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图4个顶点是〔0，0〕，〔0，1〕，〔，0〕，〔2，3〕，由图易得目的函数在〔2，3〕取最大值35，即11=2ab+3，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．应选：B．8．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，那么AB=〔〕A．10 B．20 C．30 D．40【考点】LW：直线与平面垂直的断定．【分析】设BC=x，那么AB=x，AD=2x，BD=，由此利用余弦定理能求出AB．【解答】解：设BC=x，∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∴∠BAC=∠ACB=45°，∠BAD=60°，∠ABC=∠ABD=90°，∴AB=x，AD=2x，BD=，∵∠BCD=120°，CD=40，∴cos120°=，解得x=40或者x=﹣20〔舍〕．∴AB=40．应选：D．9．中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公一共焦点，且左、右焦点分别为F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．假设|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，那么e1•e2的取值范围是〔〕A．〔，+∞〕B．〔，+∞〕C．〔，+∞〕D．〔0，+∞〕【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，〔m＞n〕，由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，〔c＜5〕，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，〔m＞n〕，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．假设|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，〔c＜5〕，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，那么有＞．那么e1•e2的取值范围为〔，+∞〕．应选：A．10．设函数，假设不等式g〔x2〕＞g〔ax〕对一切x∈恒成立，那么a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕 B．〔﹣1，1〕C．〔﹣1，+∞〕D．〔1，+∞〕【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】根据函数g〔x〕的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，得到关于a，x的不等式组，解出即可．【解答】解：∵，∴g〔x〕是偶函数，在递减，由g〔x2〕＞g〔ax〕对一切x∈恒成立，得x2＜|ax|在〔0，1]恒成立，即|a|＞|x|max在〔0，1]恒成立，解得：a＞1或者a＜﹣1，应选：A．二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．〕11．向量，假设，那么=10．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由利用向量一共线的坐标运算求得m，再由向量垂直的坐标运算求得．【解答】解：∵，∴由，得﹣m﹣4=0，即m=﹣4．∴，那么=2×7+1×〔﹣4〕=10．故答案为：10．12．某工厂消费A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=81．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，∴由题意得，解得m=81，故答案为：8113．某几何体的三视图如下列图，那么它的外表积是7+．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图复原原几何体，可得该几何体为三棱锥，底面ABC为等腰三角形，底边AB=2，高CD=2，侧棱PA⊥底面ABC，PA=2．然后求解三角形得答案．【解答】解：由三视图复原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面ABC为等腰三角形，底边AB=2，高CD=2，侧棱PA⊥底面ABC，PA=2．在等腰三角形ABC中，由CD=2，AD=1，得AC=BC=，PB=2，PC=3．在△PBC中，可得cos∠PBC=．∴sin∠PBC=．那么三棱锥的外表积为S=×=7+．故答案为：7+．14．假设的展开式中常数项为43，那么21．【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质．【分析】利用〔1﹣〕n的展开式的项与x+3的一次项相乘，展开式的常数项与x+3的常数项相乘，即可得到的展开式中常数项为43，即可求出n的值，再根据定积分的计算法那么计算即可【解答】解：〔1﹣〕n的展开式的通项为C n r〔﹣2〕r x，由题意可得：3C n0〔﹣2〕0+C n2〔﹣2〕2=43，解得n=5，那么2xdx=x2|=25﹣4=21，故答案为：21．15．对于函数y=f〔x〕，假设存在区间，同时满足以下条件：〔1〕f〔x〕在上是单调的；〔2〕当定义域是时，f〔x〕的值域也是，那么称是该函数的“和谐区间〞．假设函数f〔x〕=﹣〔a＞0〕存在“和谐区间〞，那么实数a的取值范围是0＜a＜1．【考点】3E：函数单调性的判断与证明；34：函数的值域．【分析】由条件知函数f〔x〕在〔0，+∞〕和〔﹣∞，0〕上分别单调递增，根据和谐区间的定义解方程组，即可．【解答】解：由题意可得函数在区间是单调递增的，∴⊆〔﹣∞，0〕或者⊆〔0，+∞〕，那么f〔m〕=m，f〔n〕=n，故m、n是方程f〔x〕=x的两个同号的不等实数根，即，即方程ax2﹣〔a+1〕x+a=0有两个同号的实数根，∵mn=，故只需△=〔a+1〕2﹣4a2＞0，解得＜a＜1，∵a＞0，∴0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共75分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕16．函数f〔x〕=2sin〔π﹣x〕cosx+2cos2x+a﹣1．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕假设f〔x〕在区间上的最大值与最小值的和为2，求a的值．【考点】HW：三角函数的最值；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】〔I〕利用倍角公式与和差公式可得：函数f〔x〕=2+a．可得f〔x〕的最小正周期T．〔II〕由x∈，可得≤2x+≤，可得∈．进而得出答案．【解答】解：〔I〕函数f〔x〕=2sin〔π﹣x〕cosx+2cos2x+a﹣1=sin2x+cos2x+a=2+a．∴f〔x〕的最小正周期T==π．〔II〕∵x∈，∴≤2x+≤，∴∈．∴f〔x〕∈．∴a﹣1+a+2=2，解得a=．17．某高考HY新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3〞的构成形式，第一个“3〞是语文、数学、外语，每门总分值是150分，第二个“3〞由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门总分值是100分，高考录取成绩卷面总分总分值是750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生〞记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进展调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3人数 5 25 20〔I〕从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；〔II〕从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；〔III〕将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y≥2〞的概率．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CF：几何概型．【分析】〔Ⅰ〕计算“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等〞为事件A，利用对立事件的概率公式计算选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率值；〔Ⅱ〕由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；〔Ⅲ〕计算所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生人数，求出相应的频率，根据n次HY 重复实验恰有k次发生的概率，求出对应的概率值．【解答】解：〔Ⅰ〕记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等〞为事件A，那么，所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为；…〔Ⅱ〕由题意可知X的可能取值分别为0，1，2；那么.，，；…从而X的分布列为：X 0 1 2p数学期望为；…〔Ⅲ〕所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，相应的频率为，由题意知，Y～；…所以事件“Y≥2〞的概率为．…18．在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2〔如图1〕．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P〔如图2〕．〔1〕求证：A1E⊥平面BEP；〔2〕求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的断定；MR：用空间向量求平面间的夹角．【分析】〔1〕利用线面垂直的断定定理即可证明A1E⊥平面BEP；〔2〕建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．【解答】解：不妨设正三角形ABC的边长为3．〔1〕在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2．…而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．…〔2〕由〔1〕知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF．以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…．…∴．…，…，．…，．…，．…因为二面角B﹣A1P﹣F为钝角，．…19．数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】〔I〕设递增的等比数列{a n}的公比为q＞1，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4．解得a1=1，a4=8，可得q3=8，解得q，即可得出．〔II〕S n==2n﹣1．可得b n=+〔﹣1〕n n=+〔﹣1〕n n．通过分类讨论即可得出．【解答】解：〔I〕设递增的等比数列{a n}的公比为q＞1，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4．解得a1=1，a4=8，∴q3=8，解得q=2．∴a n=2n﹣1．〔II〕S n==2n﹣1．∴b n==+〔﹣1〕n n=+〔﹣1〕n n．∴n=2k〔k∈N*〕，数列{b n}的前n项和T n=++…+〔〕+﹣1+2﹣3+…﹣〔n﹣1〕+n=1﹣+．n=2k﹣1〔k∈N*〕，数列{b n}的前n项和T n=1﹣+﹣n．=1﹣﹣．20．椭圆C：=1〔a＞b＞0〕，O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ〔i〕求证：为定值；〔ii〕求△OPQ面积的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K3：椭圆的HY方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】〔Ⅰ〕利用条件求出a=2，b=1，得椭圆方程．〔Ⅱ〕i〕当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l OP：y=kx，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕联立直线与椭圆方程，求出PQ坐标，然后求解为定值．当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，验证即可．ii〕当OP，OQ斜率都存在且不为0时，表示△OPQ面积，利用根本不等式求解面积的范围即可．【解答】解：〔Ⅰ〕由题意椭圆C：=1〔a＞b＞0〕，O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π，可得c=，2b=a，a2=b2+c2，得a=2，b=1，得椭圆方程为：…〔Ⅱ〕i〕当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l OP：y=kx，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕由消y得，同理得，故…当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，得综上得，得证．…〔未讨论斜率这扣1分〕ii〕当OP，OQ斜率都存在且不为0时，=又所以…..当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S△OPQ=1综上得…〔未讨论斜率这扣1分〕21．函数f〔x〕=lnx+﹣1，a∈R．〔1〕假设关于x的不等式f〔x〕≤x﹣1在上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】〔1〕由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在，假设g〔x〕在上存在极值，那么或者，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：〔1〕f〔x〕≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在；〔2〕g〔x〕==+﹣，x∈，求导g′〔x〕=+﹣=，设h〔x〕=2x﹣xlnx﹣2a，h′〔x〕=2﹣〔1+lnx〕=1﹣lnx，由h′〔x〕=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′〔x〕＞0，当e＜x≤e2，h′〔x〕＜0，且h〔1〕=2﹣2a，h〔e〕=e﹣2a，h〔e2〕=﹣2a，显然h〔1〕＞h〔e2〕，假设g〔x〕在上存在极值，那么或者，当，即1＜a＜时，那么必定存在x1，x2∈，使得h〔x1〕=h〔x2〕=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h〔x〕，g′〔x〕，g〔x〕的变化如表，x 〔1，x1〕x1〔x1，x2〕x2〔x1，e2〕h〔x〕﹣0 + 0 ﹣g′〔x〕﹣0 + 0 ﹣g〔x〕↓极小值↓极小值↓当1＜a＜时，g〔x〕在上的极值为g〔x1〕，g〔x2〕，且g〔x1〕＜g〔x2〕，由g〔x1〕=+﹣=，设φ〔x〕=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，那么φ′〔x〕=lnx＞0，∴φ〔x〕在〔1，e〕上单调递增，φ〔x〕=φ〔1〕=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g〔x1〕＞0，当1＜a＜，g〔x〕在上的极值g〔x2〕＞g〔x1〕＞0，当，即0＜a≤1时，那么必定存在x3∈〔1，e2〕，使得h〔x3〕=0，易知g〔x〕在〔1，x3〕上单调递增，在〔x3，e2]上单调递减，此时，g〔x〕在上的极大值时g〔x3〕，即g〔x3〕＞g〔e2〕=＞0，当0＜a≤1时，g〔x〕在上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g〔x〕在上存在极值，且极值都为正数，。
2021-2022年高三下学期第二次考前冲刺热身试卷 数学(理) 含答案
2021-2022年高三下学期第二次考前冲刺热身试卷 数学（理） 含答案本试卷共三道大题，共150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．（1）若集合 ，那么（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）（2）已知实数满足,11⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤y y x xy 则目标函数的最大值为（ ）．（A ） （B ）（C ）4（D ）（3）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出的值为（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）{}{}22,230,x A y y B x x x x R ===-->∈第（3）题（4）已知等差数列的公差,且成等比数列,若是数列的前项的和,则的最小值为（）．（A）（B）（C）（D）（5）已知,,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）（6）已知双曲线与抛物线共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为，则的值是（）．（A）（B）（C）4（D）（7）设且，，，则的大小关系是（）．（A）（B）（C）（D）（8）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上，若，则实数的取值范围为（）．（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分﹒把答案填在题中横线上．（9）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第象限．（10）几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是．第（10）题（11）如图，⊙是以为直径的圆，点在圆上，在和中，，，的延长线与的延长线交于点,若，，则的长为．第（11）题（12）已知二项式的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，展开式中的系数等于 ．（13）在锐角△中，分别为角所对的边，且，＝,且△的面积为,则= ． （14）在矩形中，为矩形内一点，且若),,(R ∈+=μλμλ则的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若函数与的图象关于直线对称，求当时的最大值．（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(Ⅱ)用，分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．（17）（本小题满分13分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.（Ⅰ）求证://平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）试在线段上确定一点，使得与所成的角是.（18）（本小题满分13分）已知数列的前项和*)(2211N n a S n n n ∈+⎪⎭⎫⎝⎛--=-，数列满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值．（19） （本小题满分14分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且与椭圆有相同离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且椭圆上存在点，满足，（为坐标原点），求实数取值范围．（20） （本小题满分14分）已知函数.(Ⅰ) 若,证明:函数是上的减函数；(Ⅱ) 若曲线在点处的切线与直线平行,求的值； (Ⅲ) 若，证明:(其中是自然对数的底数).数学（理）第二次冲刺热身参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． （1）A . 提示：{}{}13,0-<>=>=x x x B y y A 或 （2）C . 提示：相交于点 ，∴．（3）B . 提示： 73,4;9,2;1,1======S x S x S x（4）A ．提示：)0(2),12()2(112113123≠=∴+=+=d d d a a d a a a a 得到由．得到 ．所求的式子4219)1(32)1(11622≥-+++=+⨯-++n n n n ． （5）C ．提示：,:,31:a x a x q x x p -<>-<>或或 a x a q x p ≤≤-⌝≤≤-⌝∴:,13:，由已知得，． （6）D ．提示：由抛物线的焦点①设公共点1,21),,(00000=∴=+∴x x y x P ，代入到抛物线方程得到， 从而② 得到42,222,223222=-∴-=-=b e b a ．（7）B ．提示：提示：11110,1,1,0,22a b a b a b a b>>+=∴<<<<<． 011log log ,1log,1011<-=>=-==<<∴z ba z ab y x bbab且．． （8）C ．提示：令()22()(),()().22x x g x f x g x f x -=--=--得到，为奇函数．又，单调递增，而由奇函数性质得到上单调递增. 已知，且，2)(2)2()2(22a a f a a f -≥---∴． 解得．二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分． （9）三． 提示：．（10） 提示： 几何体是一个半圆锥与一个四棱锥的组合体，设圆锥的体积为，四棱锥的体积为，高为，则2112232V h π⨯==⨯⨯=，．（11） 提示：连接，得．又，．有90OCA ACD CAD ACD ∴∠+∠=∠+∠=． ，的切线．于是，．由E E CAB ECB ∠=∠∠=∠,，得到△与△相似． ． 已知为⊙的直径，则是直角． 在中，由勾股定理，解得．（12）．提示：令，得，即，．361,2,13522r rr T --==∴=． （13）2sin sin ,sin 0sin A C A A C =≠∴=． 在锐角△中，1.sin 6322C S ab C ab π===∴=． 由余弦定理，，即．．（14）．提示：以A 为原点AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系则(0,0),(1,0),A B C D ．设，则(,),(1,0),(0,3)AP x y AB AD ===．代入),,(R ∈+=μλμλ整理得又因为2201,03.4x y xy ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪+=⎪⎩x y λ∴=+≤=（当且仅当时取得最大值）． 三、解答题：本大题6小题，满分80分．（15） 本题满分13分． 解：（Ⅰ）=sincoscossincos46464x x x πππππ-- ---------------------2分= = ．---------------------4分故的最小正周期为842==ππT．-----------------------------------6分 (Ⅱ)在的图象上任取一点，它关于的对称点---7分 由题设条件，点在的图象上，从而 ()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=-- = =-------------------10分当时，， ------------------------------------------11分 因此在区间上的最大值为233cos3)0()(max ===πg x g .--------13分 （16） 本题满分13分．解：(Ⅰ)依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为． 设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，------------------------1分则．这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率278)32()31()(22242==C A P ．………………4分 (Ⅱ) 的所有可能取值为0,2,4． …………………………………………5分 由于与互斥，与互斥，， …………………………………………7分1340(2)()()81P P A P A ξ==+=， …………………………………………9分 2417(4)()()81P P A P A ξ==+=． …………………………………………11分 所以的分布列是0 2 48114881174814022780)(=⨯+⨯+⨯=ξE ． ………………………13分 （17） 本题满分13分． 解: (Ⅰ)记与的交点为，连接， ∵四边形是矩形，分别是的中点，∴四边形是平行四边形，∴∥．…………………………2分 ∵平面，平面，∴∥平面．……………………4分（Ⅱ） 建立如图所示的空间直角坐标系则点的坐标分别是，（0,0,1）,点的坐标分别是,，∴． …………………………………5分 ∵,,AF AB AD AB ADAF A ⊥⊥=，∴平面．∴ 为平面的法向量．…………………………………6分又∵NE DB ⋅=（-(NE NF ⋅=-cos60=（18） 本题满分13分．解：（Ⅰ）在中，令，可得，．当时，，所以 1111()2n n n n n n a S S a a ---=-=-++．即111112+(),2212n n n n n n n a a a a ----==+． 而 ，所以．即当时，，又，所以，数列是首项和公差均为1的等差数列． ……………………………4分 于是，所以． ……………………………6分（Ⅱ）因为，所以22211(2)2n n c c n n n n +==-⋅++． ……………………………8分 111111111111(1)()()()()132435112212n T n n n n n n =-+-+-++-+-=+---++++． ……………………………10分由，得，即．又单调递减，，∴的最大值为4． …………………………13分（19） 本题满分14分．解：（I）由已知可22,c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得． …………………………3分 所求椭圆的方程． …………………………4分（II ）建立方程组消去，整理得0224)21(222=-+++m kmx x k ． )21(8)22)(21(416Δ222222m k m k m k -+=-+-=∴．由于直线直线与椭圆交于不同的两点，，有．① ………………………………6分当时，易知点关于原点对称，则；……………………9分 当时，易知点不关于原点对称，则．此时，由，得12121(),1(),Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即224,(12)2.(12)Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩…………11分 点在椭圆上，∴2])21(2[2])21(4[2222=+++-k m k km λλ．………………12分 化简得22222)21()21(4k k m +=+λ．)21(4,0212222k m k +=∴≠+λ ．②由①②两式可得022,42≠<<-∴<λλλ且．综上可得实数的取值范围是． ………………………14分（20） 本题满分14分．解：(Ⅰ)当时,函数的定义域是，…………………1分, ………………………2分 令，()()()2211111x g x x x x '=-=-+++．当时，．故是上的减函数，所以．所以,函数是上的减函数． ……………………………5分(Ⅱ)由题意知，，即，． …………………………… 6分令()()ln 1,11a t a a a a=--<-， 则()()211011t a a a '=+>--． ……………………………8分故是上的增函数,又，因此是的唯一零点，即方程有唯一实根，所以．………………………10分 (Ⅲ)因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1x x x x x x -+==---， 故原不等式等价于． ………………………11分由(Ⅰ)知,当时,是上的减函数， 故要证原不等式成立,只需证明:当时, ． ………………………12分令，则,是上的增函数,所以，即，故．即()()ln e 11ln 1e 1e 1x x x x x x -++>=--． ………………………14分K26262 6696 暖24029 5DDD 川9)24476 5F9C 徜28856 70B8 炸30727 7807 砇},6z32959 80BF 肿。
2021年高三数学理高考冲刺之热身考试题 含答案
2021年高三数学理高考冲刺之热身考试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1、设全集R，{|(2)0},{|ln(1)},=-<==-则（）A x x xB x y xA． B． C． D．2、已知复数z的实部为，虚部为2，则= （）A． B． C． D．3、已知，则“”是“恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4、函数（）A．是偶函数，且在上是减函数； B．是偶函数，且在上是增函数；C．是奇函数，且在上是减函数； D．是奇函数，且在上是增函数；5、已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A. B. C. D.6、图1是某市参加xx年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A. 60B. 48C. 42D. 368、称为两个向量间的距离。
若满足：① ②； ③对任意的恒有，则 （ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）9、某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容量为___________ 10、设满足约束条件,则的 最大值是_________.11 、已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥的体积为 . 12、若23*0123(1)()n n n x a a x a x a x a x n N -=++++⋅⋅⋅+∈，且，则13、数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，第k 行的第s 个数（从左数起）记为。
2021-2022年高三高考考前热身考试 数学理 含答案
2021年高三高考考前热身考试数学理含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题组出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为( )A. B. C. D.2.已知是各项均为正数的等比数列，，则A.20B.32C.80D.3.若集合，集合，则是“”( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②一个命题的逆命题正确，此命题的否命题不一定正确；③线性回归方程必过点；④设随机变量且，则实数⑤，使得成立其中错误的个数是( )A.1B.2C. 3D.45. 如右图，已知为如图所示的程序框图输出的结果，二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 ( )A． B． C． D．6. 已知函数，则，，的大小关系为( )A． B．C．D．7. 已知点是圆内任意一点，点是圆上任意一点，则实数 ( )A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数8.建立从集合到集合的所有函数，从中随机的抽取一个函数，其值域是B的概率为( )A. B. C. D.9．设满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为( )A． B． C． D．10．如图，在等腰梯形中，，且，设=，∈(0，)，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，设的大致图像是( )二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11.已知上的投影为 .12.某实心机械零件的三视图如右图所示，则该机械零件的体 积为 。
13.在直角三角形中，，过作边的高， 有下列结论。
请利用上述结论，类似 地推出在空间四面体中，若，点到平面的高为，则 .14．某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食 指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到xx 时，对应的指头是 (填指头的名称)．三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。
福建省芗城中学2021届高考数学前热身理试卷
2021届高三年高考热身考试理科数学试题一、选择题（此题10小题，每题5分，共50分。
每题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
） 1. 假设复数z 知足i 45i z =- (其中i 为虚数单位)，那么复数z 为（ ） A ．54i - B ．54i -+ C ．54i + D ．54i -- 2．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}8221|{<<=x x B ，那么A B 等于（ ） A ．(2,12)B ．(2,3)C ．(1,3)-D ．(1,12)-3．以下说法正确的选项是（ ）A ．假设“p q Λ”为假命题，那么p ，q 均为假命题B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”D ．在ABC ∆中，假设A 是最大角，那么“222sin sin sin B C A +<”是“ABC ∆为钝角三角形”的充要条件4．设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，以下四个命题中正确的选项是（ ）A ．假设b a ,与α所成的角相等，那么b a //B ．假设α//a ，β//b ，βα//，那么b a //C ．假设α⊥a ，β⊥b ，βα⊥，那么b a ⊥D ．假设α⊂a ，β⊂b ，b a //，那么βα// 5．二项式1()nxx的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，那么展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．－56B ．－35C ． 35D ．566．设0a >且1a ≠，命题p ：函数()xf x a =在R 上是增函数 ，命题q ：函数3()(2)g x a x =-在R 上是减函数，那么p 是q 的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件7．双曲线221()my x m -=∈R 与椭圆2215y x +=有相同的核心，该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．3y x =±C ．13y x =±D ．3y x =±8．已知平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD ==60DAB ∠=︒, 那么→→⋅AB AC 等于（ ）A ．1B ．3C ．2D ．239.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，假设互不相等的实数123x x x 、、知足 123()()()f x f x f x ==，那么123x x x ++的取值范围是（ ）A ．]6311(，B ．），（326320C ．2026]33（，D ．），（631110．设函数)(x f y =的概念域为D ，假设关于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，那么称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述概念，可取得⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ） A ．8054- B ．4027- C ．4027 D ．8054 二、填空题（此题5小题，每小题4分,共20分。
2021年高三考前热身试题数学理
2021年高三考前热身试题数学理注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分．2．请将填空题与选择题的解答全部填写在答题卷上，写在本试卷上答题无效．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．如果事件相互独立，那么．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1、已知i为虚数单位，复数z=(1+ai)(1-i)对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A、(-1,+)B、(-,1)C、(-1,1)D、(-1,0)1解：z=(1+ai)(1-i)=1+a+(a-1)i ,从而1+a>0,a-1<0解得：-1<a<1.选C2、命题“，”的否定是（ C ）A．，≥0 B．，C．，≥0 D．，2解：选C3、若为等差数列的前n项和，且满足，，则的值是（）A、20B、24C、36D、723解：可得4a2=4,a2=1,同理，a3=2,公差d=1. =8a4=8(a3+d)=24.选B4、函数是（B ）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的偶函数C、最小正周期为的奇函数D、最小正周期为的偶函数4解：=-cos2x,选B.5、一个空间几何体的正视图，侧视图如下图，图中的单位为cm，六边形是正六边形，则这个空间D B正视图 侧视图A 、B 、C 、D 、5解：易知几何体是正六棱柱。
府视图是一长方形，长为5，宽为正六边形的中位线4。
面积为20cm 2.选D 。
6、曲线y=2x-x 3在x=-1处的切线为L ，则点P(4,-2)到直线L 的距离为( )A. B. C. D.6解：先求得切线方程为：x+y+2=0.代入点到线距离公式得：d=,选B.7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=60A 、 B 、C 、D 、7解：不妨设BD=1，则AB=2，从而由射影定理得:AB 2=BD*BC ，BC=3.1131()4444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+，选A 8A 、 B 、 C 、1或-5 D 、18解：画图易得一三角形时，三个交点分别为(-2,2),(a,a+4),(a,-a),其中a>-2.由面积可得18=（2a+4）(a+2),得a+2=3(负舍)。
2021年高三考前热身考数学理试题 含答案
2021年高三考前热身考数学理试题 含答案一、选择题 1．设全集，，则A ．B ．C ．D ． 2.已知是纯虚数是虚数单位），则实数的值为A. B.1 C. 2 D.3．运行如图1的程序框图，则输出s 的结果是 A. B. C. D.4．将函数y ＝cos2x 的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为 A ．y ＝sinx B ．y ＝－cos4x C ．y ＝sin4xD ．y ＝cosx5．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12 y2356根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程中的的值为，则记忆力为14的同学的判断力约为A ．7B ．C ．8D ． 6．把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A ．B ．C ．D ．7．已知圆C ：的圆心为抛物线的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为A ．B ．C ．D ．8．已知定义在上的函数 则（A ）函数的值域为（B ）当（）时，函数的图象与x 轴围成的面积为2（C ）关于x 的方程（）有2n ＋4个不相等的实数根 （D ）存在实数，使得不等式成立4二、填空题(一)必做题:9．等比数列的各项均为正数，，且成等差数列，则的前5项和为．10．已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是．11.已知变量满足约束条件, 则的最大值是__________.12．在的展开式中，的系数为．13．已知是的中线，若，，则的最小值是．(二)选做题:14.(坐标系与参数方程选做题)已知C的参数方程为(为参数)，C在点（0，3）处的切线为，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 .15.(几何证明选讲选做题)如图，在Rt△ABC中，∠C= 90o，E为AB上一点，以BE为直径作圆O与AC相切于点D．若AB：BC=2:1, CD=，则圆O的半径长为．三、解答题:16.(本小题满分12分)在中，C-A=，sinA=．（1）求sinC的值；（2）若BC=，求的面积．17.( 本小题满分12分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。
2021-2022年高三考前热身(一)数学(理)试题 含答案
2021-2022年高三考前热身（一）数学（理）试题 含答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、（理）不等式的解集是 。
2、（理）若复数（为虚数单位），则3、设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则4、（理）函数的值域是 .5、若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.6、（理）圆锥曲线的方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点、，则弦长等于 .7、在相距2千米的、两点处测量目标，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则、两点之间的距离是 千米。
8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为9、在二项式的展开式中，常数项的值是，则= .10、如图的程序框图运行后输出的结果是________.11、（理）如果随机变量的概率分布律由下表给出：设，则12、当时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 ．13、已知的外接圆的圆心为，则 ．14、在数列中，如果对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：①若数列满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列； ②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．其中所有真命题的序号是 .二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案。
考生第10题必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、若，且，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）A B C D16、．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A ．B ．C ．D ．17、设等差数列的前项和为，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，18、直线与函数22,,()42,x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
21届高三理科数学热身考试试卷答案
热身考试理科数学参考答案1.选D.{|0,1}A x x x =≤≥或，{|1}B x x =≤，A B =R .2.选B.211i z i i==++, 1z i =−. 3.选B.程序的作用是将x y z 、、中的最大值赋给x .4.选D.由题设知12b a =，2c a==. 5.选B.由题设知3128a a −++=，74a =. 6.选B.2225381111(4)(2)(7)2a a a a d a d a d d a d =⇒+=++⇒=，即102d d a ==或，因为10a ≠，若10a =，则0d =，即3580a a a ===，与358,,a a a 成等比数列矛盾，所以1102d a =或. 7.选B. 读图可知空气质量优良的频率应为37，这周的平均AQI 应超过100，前三天AQI 的方差应小于后四天AQI 的方差.8.选 C.2cos sin y x x x '=−，当2x π=时，则1y =，2y π'=−，直线l 的函数表达式为2()124f x x ππ=−++，因为()12f π=，所以点(,1)2π在直线l 上；因为(2)0f <，所以点(2,0)在直线l 下方；因为()1f π>−，所以点(,1)π−在直线l 上方；因为(1)f π<−，所以点(1,)π−在直线l 下方. 9.选D. 由题意可得()max 3A f x ==，函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=，22T πω∴==，即()()3sin 2f x x ϕ=+，由于函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫− ⎪⎝⎭对称，则()212k k Z πϕπ⎛⎫⨯−+=∈ ⎪⎝⎭，可得()6k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，0k ∴=，6π=ϕ，所以，()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52266x πππ≤+≤，所以函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，A 错误； 由553sin 23sin 012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得函数()f x 的图象不关于直线512x π=对称，B 错误；16.填①②. ①：延长1DD 至G 使得11DD D G =，易知G F C 、、和G E A 、、均三点共线，故直线1AE CF DD 、、共点；②：由①知直线AE CF 、共面，记为平面α，其中BK K α=，且K AE ∉，由异面直线判定定理知直线AE BK 、为异面直线；③：四面体ABFE 的体积即E ABF V −三棱锥，而1122ABF S ∆=⋅=，点E 到底面ABF 的距离为点1A 到平面11ABC D的距离的一半，即1224⋅=，故111342126E ABF V −=⋅⋅=≠三棱锥；④：假设存在点N 在线段AB 上使得直线//AE 平面NFC ，由线面平行性质定理知过AE 的平面α与平面NFC 交于直线CF ，应满足AE CF //，这与①中结论矛盾，故假设错误，即不存在满足题设的点N . 17.解：(1)由散点图判断，d y c x =+更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程.……4分 (2)令1u x=，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于81821()()7.0498.9578.960.787()i ii ii u u y y d u u ==−⋅−==≈≈−∑∑， ……8分 所以 3.638.9570.269 1.22c y d u =−⋅=−⨯≈，……10分 所以y 关于u 的线性回归方程为 1.228.96y u =+，所以y 关于x 的回归方程为8.961.22y x =+. ……12分18.解：(1)由23B π=，得3A C π+=，cos()cos cos sinsin AC A C A C +=−，即1cos cos sin sin 2A C AC =−.又∵2cos cos 3A C=，∴1sin sin 6A C =. ……2分∵sin sin a c A C ===，∴a A =，c C =. ……4分 ∴11sin sin 4sin sin sin 22ABC S ac B A C B A B C ==⋅⋅⋅=△14623=⨯⨯=. ……6分(2)由余弦定理，2222cos b a c ac B =+−，∴226a c ac =++，即2()6a c ac +−=. ……8分假设111a c +=能成立，∴a c ac +=，代入上式，∴2()6a c ac +−=，∴2()()60a c a c +−+−=，∴3a c +=或-2（舍）. ……10分 此时3ac =，联立3,3,a c ac +=⎧⎨=⎩消去c 有2330a a −+=，此方程30∆=−<，无解. ∴111a c+=不成立. ……12分19.解：(1)证明：连接PM ，在Rt PAB ∆中，PB =，4PC =，所以2PA =.因为点M 是AB 的中点，所以2BM PM ==. ……1分 在BMC ∆中，3MBC π∠=，2BM =，4BC =，由余弦定理，有CM =，所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥. ……3分 在PMC ∆中，2PM =，CM =4PC =满足222PC CM PM =+，所以PM CM ⊥. ……5分 又AB PM M =，AB PM ⊂、平面PAB ，所以CM ⊥平面PAB . ……6分(2)以点M 为坐标原点，以MB 、MC 为x 轴、y 轴正方向，如图建立空间直角坐标系(右手系)，则()0,0,0M，(0,C，(4,D −，(2,N −，因为CM ⊥平面PAB .设(),0,p p P x z ， 在PAB ∆中，P PA PB z AB⋅==2PM =，得1P x =−，所以(P −. ……8分 设平面PMD 的一个法向量为(),,m x y z =，直线PN 与平面PMD 所成角为θ.因为0(1,0,3),(0m MP MP MD mMD ⎧⋅==−=−⎨⋅=⎩，则，即040x x ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩，，取1z =，所以(3,2,1)m =. ……10分而(1,23,3)PN=−−，有|||4sin |cos ,|8||||m PN m PN m PN θ⋅=〈〉===⋅， 所以直线PN 与平面PMD 所成的角的正弦值为8. ……12分20.解：(1)由对称性可知直线l 的倾斜角为4π， ……1分 设直线l 的方程为1y x =+，与24x y =联立消y 得2440x x −−=. ……2分由0∆>，设11(,)A x y，22(,)B x y ，22(,)D x y −，有124x x +=，124x x =−. ……3分而||(AD x ==2(x = ……4分故||2AD =⨯=……5分(2)设直线l 的方程为(1)y k x =+，与24x y =联立消y 得2440x kx k −−=，由题设知0k >，则216()0k k ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y −，有124x x k +=，124x x k =−. ……7分 而CA CD ⋅=11221212(,)(,)()()x y k x y k x x y k y k −⋅−−=−+−−23121212()()(1)44x x kx kx k x x k k =−+=−=−+， ……9分设3()44f k k k =−+，则()12(33f k k k '=−+−，当03k <<时，()0f k '>；当3k >时，()0f k '<，故max ()(3f k f =. ……10分由对称性知ABD ∆外接圆的圆心为y 轴与线段AB 中垂线的交点，取k =，则线段AB 中点坐标为2(,33，中垂线方程为233y x −=−，令0x =，有83y =，故所求圆心坐标为8(0,3+. ……12分21.解：(1)当0x <时，有()1x F x e x =−−，而()10xF x e '=−<，则()F x 单调递减，即()(0)0F x F >=，故此时()F x 无零点； ……1分 当0x ≥时，有()2ln(1)F x x x =+−，而21()1=11x F x x x −'=−++， 当01x ≤<时，有()0F x '>，则()F x 单调递增，即()(0)0F x F ≥=，故此时()F x 有一个零点0； ……2分 当1x ≥时，有()0F x '≤，则()F x 单调递减，而(1)2ln 210F =−>，且(3)4ln 230F =−<，由零点存在定理及()F x 的单调性可知：存在唯一0(1,)x ∈+∞满足0()0F x =，故此时()F x 有一个零点0x ； ……4分 综上，函数()F x 有2个零点. ……5分(2)由题设知()f x 的图象是在(,)−∞+∞上的一条连续不断的曲线，故()G x 也是，又有()()()()G x f x f x G x −=−−=−，即()G x 为奇函数. ……6分 由()G x 的图象关于原点对称，知()G x 既无极大值点，也无极小值点， 故()G x 在(0,)+∞为单调函数. ……7分当0x >时，有()ln(1)1x G x a x e −=+−+，而()1x a G x e x −'=++， 由上可知应满足任意0x >，有()0G x '≤成立或者任意0x >，有()0G x '≥成立，……8分即任意0x >，有1x x a e +≤−或者任意0x >，有1x x a e+≥−. ……9分 设1()x x h x e +=−，而()0x x h x e'=>，即()h x 在(0,)+∞单调递增， 有1(0)()lim ()0x h h x h x →+∞−=<<=. ……11分故1a ≤−或0a ≥. ……12分22.解：(1)因为4sin 0ρθ+=，所以24sin 0ρρθ+=，所以C 的直角坐标方程为2240x y y ++=，即()2224x y ++=. ……2分 由1,1x m y m =−⎧⎨=+⎩(m 为参数)消去参数得2y x −=， 即直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ−=. ……4分(2) 因为OAB A B OEF E F S OA OB S OE OF ρρρρ∆∆⋅==⋅，而4sin ,4sin(),2A B πραρα=−=−+ 2222,,cos sin cos()sin()E F ππρραααα==−+−+ ……6分 所以4sin 4cos (cos sin )(cos sin )4OAB OEF S S αααααα∆∆⋅−⋅+= 2sin(2)cos(2)sin(4)ααα=⋅=， ……8分 因为(0,)4πα∈，所以sin(4)(0,1]α∈，即OAB OEF S S ∆∆(0,1]∈. ……10分23.解：(1)即解不等式|3|2|1|1x x x −−++≥.当1x <−时，由()|3|2|1|321251x x x x x x x −−++=−+++=+≥得21x −≤<−； ……1分 当13x −≤≤时，由()|3|2|1|321211x x x x x x x −−++=−−++=−+≥得10x −≤≤； ……2分 当3x >时，由()|3|2|1|32150x x x x x x −−++=−−++=−<得无解；……3分 综上()1f x ≥的解集为[]2,0−. ……4分(2)因为,,(0,)a b c ∈+∞，3a b c ++=， 所以1323993()33()abc abc abc a b c ab bc ca abc ≤=≤++=++. ……7分 由于251,()21,13,5,3,x x f x x x x +<−⎧⎪=−+−≤≤⎨⎪−>⎩，则其图象如下所以()f x 最大值为3，即max 9()abc f x ab bc ca≤++, ……9分 所以x ∃∈R ，对,,(0,)a b c ∀∈+∞，+3a b c +=， 不等式9()abc f x ab bc ca ≤++成立． ……10分。
高三数学热身练试题 理 试题
新安县第一高级中学2021届高三数学热身练试题 理制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．集合(){},|1A x y y x ==-，(){},|1B x y y x ==-+，那么AB = ( )A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．(){}1,02．假设复数2a ＋2i1＋i (i 为虚数单位，a∈R)是纯虚数，那么复数2a ＋2i 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．,a b 为实数，那么“2ab b >〞是“0a b >>〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．一个几何体的三视图如下图〔图中网格小正方形的边长为1〕，那么该几何体的体积为〔 〕A ．82B ．32C ．162D ．165．执行如图的程序框图，假设输出S 的值是55，那么判断框内应填入〔 〕A ．9?n ≥B ．10?n ≥C ．11?n ≥D ．12?n ≥6．抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，假设5PF =，那么PKF ∆的面积为〔 〕A ．4B ．5C ．8D ．107．设,x y 满足约束条件0,20,0,x y x y a x -≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩且3z x y =+的最大值为8，那么a 的值是〔 〕A ．16-B ．6-C ．2-D ．28．函数()21,021,0x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，设()()2g x kf x x x =++〔k 为常数〕，假设()102018g =，那么()10g -等于〔 〕A ．1998B ．2038C ．－1818D ．－22189．如图，函数()()3cos f x x ωφ=+0,02πωφ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的局部图象与x 轴的一个交点为,06A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y 轴的交点为30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，那么函数()f x 图象上的弧线AB 与两坐标所围成图形的面积为〔 〕A ．34B ．32C ．334D ．310．在?周易?中，长横“〞表示阳爻，两个短横“〞表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，一共有328=种组合方法，这便是?系辞传?所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦〞.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦〞，就是两个八卦的叠合，即一共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦〞中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是〔 〕 A ．17 B ．516 C ．916 D ．5811．在ABC ∆中，6A π=，ABC ∆的面积为2，那么2sin sin sin 2sin sin C BC B C++的最小值为〔 〕 A ．32 B ．334 C ．32 D ．5312．函数()3sin f x x x =+，()()11,0,2ln 1,0,x x g x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩假设关于x 的方程()()0f g x m +=有两个不等实根12,x x ，且12x x <，那么21x x -的最小值是〔 〕A ．2ln2-B ．32ln 22-C ．42ln 23- D ．32ln2-第二卷〔一共60分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13．假设13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，那么展开式中的常数项是 ．14．正ABC ∆的边长为2，假设2AC CE =，那么BA BE •等于 ．15．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，那么该棱柱体积的最大值为 ．16．如图，有一块半径为20米，圆心角23AOB π∠=的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD ，弓形CMD ，扇形AOC 和扇形BOD 〔其中AOC BOD ∠=∠〕．某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜．预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50元/米2，30元/米2,40元/米2．为使预计日总效益最大，COD ∠的余弦值应等于 ．三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．等差数列{}n a 满足()212,n n a n n k k R +=++∈． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，,3,22AB BC AB BC AD ⊥===，E 为CD 的中点，PB AE ⊥．〔1〕证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； 〔2〕假设,PB PD PC =与平面ABCD 所成的角为4π，求二面角B PD C --的余弦值．19．某大力推广纯电动汽车，对购置用户按照车辆出厂续驶里程R 的行业HY ，予以地方财政补贴．其补贴HY 如下表：2021年底随机调査该1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如下图.用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题： 〔1〕求该纯电动汽车2021年地方财政补贴的均值；〔2〕某企业统计2021年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：〔同一组数据用该区间的中点值作代表〕.桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台． 该企业现有两种购置方案：方案一：购置100台直流充电桩和900台交流充电桩； 方案二：购置200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2021年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润．〔日利润=日收入-日维护费用〕20．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 为E 的上顶点，12F PF ∆的内切圆面积为3π． 〔1〕求E 的方程；〔2〕过1F 的直线1l 交E 于点,A C ，过2F 的直线2l 交E 于,B D ，且12l l ⊥，求四边形ABCD 面积的取值范围．21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()x g x e ex =-． 〔1〕当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；〔2〕假设()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线12,C C 的直角坐标方程；〔2〕设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的间隔 ．23．选修4-5：不等式选讲函数()f x x a a =--+，()2124g x x x =-++． 〔1〕解不等式()6g x <；〔2〕假设对任意的1x ∈R ，存在2x ∈R ，使得()()12g x f x -=成立，务实数a 的取值范围．2021年普通高等招生全国统一考试试卷答案一、选择题1-5: DBBDC 6-10: ABAAB 11、12：CD 二、填空题13. 15. 12三、解答题17. 解：〔1〕〔法一〕由()212n n a n n k +=++，令1,2,3n =， 得到12331021,,234k k ka a a +++===∵{}n a 是等差数列，那么2132a a a =+，即202321324k k k+++=+解得：1k =-由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+ ∵10n +≠，∴21n a n =-〔法二〕∵{}n a 是等差数列，公差为d ，设()()111n a a d n dn a d =+-=+- ∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d +=++-=++- ∴22112dn a n a d n n k ++-=++对于*n N ∀∈均成立 那么1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1k =-，21n a n =-〔2〕由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+-- ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭11111111111111112323525722121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭2222121n n nn n n +=+=++ 18.〔1〕证明：由ABCD 是直角梯形，3,22AB BC AD ===， 可得2,,23DC BCD BD π=∠==从而BCD ∆是等边三角形，3BCD π∠=，BD 平分ADC ∠∵E 为CD 的中点，1DE AD ==，∴BD AE ⊥ 又∵,PB AE PB BD B ⊥⋂=，∴AE ⊥平面PBD ∵AE ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD 〔2〕法一：作PO BD ⊥于O ,连OC ,∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ⋂平面ABCD BD = ∴PO ⊥与平面平面ABCD∴PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成的角，4PCO π∠=，又∵PB PD =,∴O 为BD 中点,,3OC BD OP OC ⊥== 以,,OB OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()()()(1,0,0,3,0,1,0,0,3B C D P - ()(0,3,3,1,0,3PC PD =-=--，设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =， 由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得33030z x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1z =得()3,1,1n =-，又平面PBD 的一个法向量为()0,1,0m =， 设二面角B PD C --为θ，那么15cos 551n m n mθ⋅===⨯⋅ 所求二面角B PD C --的余弦值是55. 解法二：作PO BD ⊥于点O ,连OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ⋂平面ABCD BD = ∴PO ⊥ 平面ABCD∴PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成的角4PCO π∠=,又∵PB PD =,∴O 为BD 中点，,3OC BD OP OC ⊥==作OH PD ⊥于点H ,连CH ,那么PD ⊥平面CHO ，那么PD HC ⊥， 那么CHO ∠为所求二面角B PD C --的平面角由3OC =，得32OH =,∴152CH =,∴5cos 5CHO ∠=. 19.〔1〕依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2021年地方财政补贴的平均数为30.240.5 4.50.3 3.95⨯+⨯+⨯=(万元) 〔2〕由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：假设采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为 3010049006600⨯+⨯=(辆〕可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为()2560000.26600.85001008090040000⨯⨯+⨯-⨯-⨯=0(元〕假设采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为 3020044007600⨯+⨯=(辆〕可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为2560000.270000.376000.55002008040045500()⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=(元)20.解：〔1〕设12F PF ∆内切圆的半径为r ，那么23r ππ=，得3r 设椭圆E 的焦距122F F c =，那么()12122F PF S c b bc ∆=⋅⋅=，又由题意知122PF PF a +=， 所以()12121212F PF S PF PF F F r ∆=⋅++⋅=())133222a c a c ⋅+=+，)3a c bc +=，结合2ce a==及222a b c =+，解得2,1a b c ===， 所以E 的方程为22143x y +=.〔2〕设直线,AC BD 的交点为M ，那么由12MF MF ⊥知，点M 的轨迹是以线段12F F 为直径的圆，其方程为221x y +=. 该圆在椭圆E 内，所以直线,AC BD 的交点M 在椭圆E 内，从而四边形ABCD 面积可表示为12S AC BD =⋅⋅. ①当直线AC 与坐标轴垂直时，12S AC BD =⋅⋅22122262b a b a =⋅⋅==.②当直线AC 与坐标轴不垂直时，设其方程为()10x ty t =-≠，设()()1122,,,A x y C x y ， 联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，其中()()()()222643491441t t t ∆=--⨯+⨯-=+， 12122269,3434t y y y y t t -+==++， 所以()2212134t AC t +==+.由直线BD 的方程为11x y t =-+，同理可得()2222112112143134t t BD t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 所以()()()()()222222221211217211234433443t t t S t t t t +++=⋅⋅=++++()()()2222721311411t t t +=⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦ ()()()222222227217211121111211t t t t t +==⎛⎫+++--++ ⎪++⎝⎭.令()21,0,11m m t =∈+，所以222211121211m m t t ⎛⎫-++=-++ ⎪++⎝⎭， 令()()212,0,1g m m m m =-++∈，所以()4912,4g m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，从而288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.综上所述，四边形ABCD 面积的取值范围是288,649⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.解：法一：〔1〕当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-， 令()ln 2p x x ax =-，()1122axp x a x x-'=-=①(],0a ∈-∞时，()0p x '>，∴()p x 在()0,+∞单调递增，不符合题意；②()0,a ∈+∞时，令()0p x '>，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()p x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；令()0p x '<，1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，∴()p x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；令1ln 2102p a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，∴10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又因为()120p a =-<，22111ln 0442p a a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且211124a a <<，所以10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2ln f x x x ax x =--有两个极值点.即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个. 法二：〔1) 〕当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-， 所以()2ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解， 即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个. ∵()21ln xm x x -'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减.()m x 有极大值1e又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<. 当1,2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或者12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个； 当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图象的交点有2个；综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.〔2〕函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2f x x ax b '=-+， 所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即 ln 220x x e ax a e +-+->，令()ln 22x t x x e ax a e =+-+-，∴()12x t x e a x'=+- 设()12x x e a x ϕ=+-，()21x x e x ϕ'=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在()1,+∞单调递增，即()t x '在()1,+∞单调递增， ∴()()112t x t e a ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥， 所以()ln 22x t x x e ax a e =+-+-在()1,+∞单调递增； ∴()()10t x t >=成立 当12e a +>，因为()t x '在()1,+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<，()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->， 所以存在()01,ln 2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立； 所以实数a 的取值范围为()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.22．解：〔1〕曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=，曲线2C 的极坐标方程可以化为：1sin cos 22ρθρθ+⋅=，所以曲线2C 的直角坐标方程为：40x +-=； 〔2〕因为点E 的坐标为()4,0，2C 的倾斜角为56π,所以2C的参数方程为：4212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕， 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：2242024t t ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得：()22160t t -+=，判别式0∆>，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E 点间隔为1. 23．解：〔1〕由21246x x -++<①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-，即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+++<，得56<，即122x -<<；③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <，即1324x ≤<；综上，不等式()6g x <解集是93,44⎛⎫-⎪⎝⎭. 〔2〕对任意的1x ∈R ，存在2x ∈R ，使得()()12g x f x -=成立，即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()f x x a a =--+，知()(],f x a ∈-∞， 由()2124g x x x =-++≥()()21245x x --+=，且等号能成立， 所以()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-，即a 的取值范围为[)5,-+∞. 制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
福建省厦门双十中学2021届高三数学热身考试试卷 理 新人教A版
2021双十中学热身卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的]1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，那么()U NM = ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 3.以下结论错误．．的是( ) A.命题“若2340x x --=，那么4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分没必要要条件C.已知命题p “若0m >，那么方程20x x m +-=有实根”,那么命题p 的否定p ⌝为真命题D.命题“若220m n +=，那么00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”4．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，那么其前3项的和S 3的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞5. 执行如下图的程序框图，假设输出结果为3，那么可输入的实数x 值的个数为( ) A.1B.2C.3D.46.为了解儿子身高与其父切身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝1767．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，取得的图象是( )8. 已知方程|x –2n|-k x =0（*n N ∈）在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．1021k n <≤+ B ．0<k ≤121n + C ．121n +≤k ≤121n + D ．1021k n <<+9. 如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2AA 1=4，点O 是底面ABCD 的中心， 点E 是A 1D 1的中点，点P 是底面ABCD 上的动点，且到直线OE 的距离等于1， 关于点P 的轨迹，以下说法正确的选项是（ ） A.离心率为22的椭圆 B.离心率为12的椭圆 C.一段抛物线 D.半径等于1的圆10.已知集合M=N={0，1，2，3}，概念函数f ：M →N ，且点A （0，f （0）），B （i ，f （i ）），C （i+1，f （i+1）），（其中i=1，2）．假设△ABC 的内切圆圆心为P ，且知足()PA PC PB R λλ+=∈，那么知足条件的ABC ∆有（ ） A ． 10个B ． 12个C ． 18个D ． 24个二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分。
2021年高三数学考前适应性考试 理
2021年高三数学考前适应性考试理注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的每小题5分，共60分）１．已知集合则为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.复平面内，复数，则复数的共轭复数对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．已知是两个不同的平面．则“平面∥平面”成立的一个充分条件是（A）存在一条直线（B）存在一个平面（C）存在一条直线（D）存在一个平面4．下列命题正确的有①用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；②命题:“”的否定:“”；③设随机变量服从正态分布N(0, 1),若，则；④回归直线一定过样本点的中心（）。
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．设各项为正的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为A． B. C. D.27．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为A ．B ．C ．D ．8．函数(其中)的图象如右图所示，为了得到的图象，可以将的图象 A ．向左平移个单位长度 B ．向左平移个单位长度 C ．向右平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度 9．某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：， ，， 则输出的函数是 A ． B ． C ． D ． 10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有 A ．36种 B.24种 C.16种 D. 12种11．已知函数在区间(0,1)内任取两个实数p,q ，且p≠q，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A ． B ． C ． D ．12．如图，已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F2P 与y 轴交于点A ，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q ，若|PQ|=1,则双曲线的离心率是 A ． 3 B ． C ． D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13 已知，则的展开式中的常数项是 （用数字作答）. 14.在中，，,则=______________.15.设满足约束条件若目标函数的最大值是12， 则的最小值是16.已知函数，当时，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤当时， 其中正确的是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
高三数学热身考试试题 理含解析 试题
HY中学2021届高三数学热身考试试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日第一卷〔一共60分〕一、单项选择题，，那么( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：先化简集合，再按选项依次验证可解.详解：因为集合，所以应选C.点睛：此题主要考察集合的交、并、补运算，在解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或者其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(为虚数单位)的一共轭复数( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法那么，将复数化为最简形式，可求其一共轭复数，得到正确选项.详解：,,应选C.点睛：此题主要考察复数的四那么运算及一共轭复数的概念，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3.命题“假如，那么〞的逆否命题是( )A. 假如，那么B. 假如，那么C. 假如，那么D. 假如，那么【答案】C【解析】此题考察逆否命题的定义。
对于“假设那么〞形式的命题，其逆否命题为“假设那么〞。
应选C。
中，是的中点，假设，那么( )A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】分析：首先将图画出来，再分别将用表示出来，建立等量关系，求解的值.详解：因为，所以，即，因此，解得，所以，应选D.点睛：该题主要考察平面向量根本定理，涉及到的知识点有平行四边形的对角线向量、向量加法的三角形法那么、一共线向量的表示等问题，需要注意在解题推导过程中运算的准确性.的前项为，且，，那么( )A. 90B. 100C. 110D. 120【答案】A【解析】分析：是等比数列，因此把两等式相除可化简.详解：设公差为，，∴，，，，∴，应选A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以互相转化，如是等差数列，那么是等比数列，如是等比数列且均为正，那么是等差数列.6.，那么点在直线的右下方是是双曲线的离心率的取值范围为的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当点在直线的右下方时，那么，所以双曲线的离心率；反过来，当双曲线的离心率的取值范围为时，由知，所以点在直线的右下方，故点在直线的右下方是双曲线的离心率的取值范围为的充要条件。
2021-2022年高三下学期第三次考前冲刺热身试卷 数学(理) 含答案
本试卷共三道大题，共150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求． (1) 设集合,≤,则( ).(A) (B) (C) (D)(2) 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-+-+，，，03002k y kx y y x 且目标函数的最大值是,则等于( ).(A) (B) (C) (D) (3) 某程序框图如图所示,其中N *,若程序运行后,输出的 结果是( ).(A) (B) (C) (D)(4) 函数(,且)有且仅有两个零点的充要条件是( ).(A) (B) (C) (D) (5) 如图,在半径为的圆中,,为的中点,的延长线交圆于点,则线段的长为( ).(A) (B) (C) (D)•BCD OA≥ ≤≥(6) 已知离心率为的双曲线()的两条渐近线与抛物线()的准线分别交于、两点,是坐标原点.若△的面积为,则抛物线的方程为( ). (A) (B) (C) (D)(7) 已知为R 上的减函数,则满足的实数的取值范围是( ). (A) (B) (C) (D)(8) 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=.1,ln ,1,34)(2x x x x x x f 若≥,则的取值范围是( ). (A) (B) (C) (D)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分﹒把答案填在题中横线上． (9) i 是虚数单位,复数满足,则 .(10) 一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),为 cm ³.(11) 由曲线、直线和及轴围成的封闭图形的面积等于 .(12) 在的展开式中,的系数为. (13) 在△中,内角的对边分别为,若,,则角的值为 .(14) 如图,在三角形中,,,为≤ 侧视图俯视图A边上的点,且,则 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(15) (本小题满分13分)已知函数23cos23sin 2)33cos()33cos()(xx x x x f +π-+π+=,R . (Ⅰ) 求函数的最小正周期；(Ⅱ) 求函数在区间上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)某单位举行联欢活动,每名职工均有一次抽奖机会,每次抽奖都是从甲箱和乙箱中各随机摸取1个球,已知甲箱中装有3个红球, 5个绿球,乙箱中装有3个红球, 3个绿球, 2个黄球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖；若都是绿球,则获得二等奖；若只有1个红球,则获得三等奖；若1个绿球和1个黄球,则不获奖.(Ⅰ) 求每名职工获奖的概率；(Ⅱ) 设为前3名职工抽奖中获得一等奖和二等奖的次数之和,求的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图,在四棱锥中,平面,且底面为直角梯形,, .已知,.(Ⅰ) 求证:平面平面；(Ⅱ) 设为上的点,且,求证:平面；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角的余弦值.D CB APM(18) (本小题满分13分)在数列中,,其前项和满足0)2()12(222=+--+-n n S n n S n n. (Ⅰ) 求的通项公式； (Ⅱ) 若,求.(19) (本小题满分14分)已知椭圆的离心率,为椭圆上的点.(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂直平分线过定点,求实数的取值范围.(20) (本小题满分14分)设函数.(Ⅰ) 当时,求的最大值；(Ⅱ) 令,,其图象上任意一点处的切线的斜率≤恒成立,求实数的取值范围；(Ⅲ) 当时,方程有唯一实数解,求正实数的值.数学（理）第三次冲刺热身参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．(1) A 提示：因为,≤≤,所以≤.故选择(A) .(2) B 提示：如图,当时,可行域是一个开放区域,不存在最大值,故,由解得代入,解得.故选择(B).(3) D 提示：程序运行后,变量的取值为等差数列,依次为,对应的取值为该等差数列的前项和(4) B 提示：函数(,且)有且仅有两个零点等价于函数与函数(,且)有且仅有两个交点,由函数图象可知.故选择(B).(5) C 提示：如图,延长交圆于点,在Rt △中,,,则,而,,由相交弦定理,得5355155=⨯=⋅=AC EC BC CD .故选择(C).(6) C 提示：由已知可得双曲线的两条渐近线为,抛物线的准线为,则、两点的纵坐标分别为,,,依题意,则有,由双曲线的离心率为,可得,故,则,故.故选择(C).(7) D 提示：由为R 上的减函数,得,当时,不等式恒成立,当时,不等式的解为,综上可得或.故选择(D).(8) A 提示：当≤时,≤,所以≥化为≥,即≥. 因为≤, 所以≤恒成立, 即≥；当时, ,所以≥化为≥恒成立,由函数图象可知≤, 综上,当≤≤时,不等式≥恒成立,故选择(A) .二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分． (9) 提示：i 32i25i 2i 25i 25)i 2)(i 2(+=-+=⇔-=-⇔=--z z z . (10) 提示：由三视图可以判断该几何体是一个“柱”体,是由一个底面半径为4的圆柱“挖去”一个底面半径为2的圆柱所得.其体积为•BCD OAEπ=⨯⨯π-⨯⨯π=124241444122V (cm ³). (11) 提示：如图,所求面积为：.(12) 提示：由二项式定理,得61411723731712)2()(---+⋅⋅=⋅=r rr rr r r x C x x C T ,令,得,所以展开式中的系数为.(13) 提示：由2)4sin(2cos sin =+π=+B B B ,得,而,故,由正弦定理,得212222sin sin =⨯==bBa A ,由,得,故. (14) 提示：以,为一组基底,则有3132)(3131+=++=+=+=,6561)(6565+=++=+=+=,故319109109194)6561)(3132(=+--=++=⋅AC AB AC AB AE AD . 三、解答题：本大题6小题，满分80分． (15) 本题满分13分．(Ⅰ) 解: 因为)23(2sin )3sin 3sin 3cos 3(cos )3sin 3sin 3cos 3(cos )(x x x x x x f +π+π+π-π= )43sin(23sin 3cos π+=+=x x x .所以,的最小正周期.(Ⅱ) 解: 因为在区间上单调递增,在区间上单调递减. ,,.所以,在区间上的最大值为,最小值为. (16) 本题满分13分．(Ⅰ) 解:设表示“从甲箱中摸出1个绿球”, 表示“从乙箱中摸出1个黄球”, 依题意,没获奖的事件为,其概率3258285)()()(=⨯=⋅=⋅B P A P B A P , 每名职工获奖为其对立事件,其概率32273251)(1)(=-=⋅-=⋅B A P B A P . (Ⅱ) 解:每名职工获得一等奖或二等奖的概率为,随即变量的所有可能取值为.则k k kC k X P --==33)831()83()(,.所以,随即变量的分布列为随即变量的数学期望895123512251215120)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . (17) 本题满分13分．如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得,,,,.(Ⅰ) 证明:∵,,, ∴,. ∵,∴平面. ∵平面,∴平面平面. (Ⅱ) 证明:∵,∴点的坐标为. ∴,.设平面的法向量为,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+,03231,03232z y x z y 令,可得, ∵, ∴,即. ∵平面, ∴平面.(Ⅲ) 解: 设平面的法向量为,∵,,则有 令,可得.由(Ⅱ)可知平面的法向量为,∴36322,=⋅=⋅⋅=〉nm nm n m .即二面角的余弦值为. (18) 本题满分13分．(Ⅰ) 解:由0)2()12(222=+--+-n n S n n S n n,得, 由,可知,故.当≥时,12)]1(2)1[()2(221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n ； 当时,,符合上式,则数列的通项公式(N *). (Ⅱ) 解:依题意,, 则1122)41()1(222--⋅-=-=n n n n n b ,N *. 设, 故132414342410--+++++=n n n T , 而.两式相减,得)4134(3141411)41(14141414113111122-----+-=----=--++++=n n n n n n n n n T ,故.(19) 本题满分14分．(Ⅰ) 解:依题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨=+,11924222b a a 解得 故椭圆的方程为. (Ⅱ) 解:设,,由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,13422b kx y y x 消去, 得01248)34(222=-+++b kbx x k ,依题意0)124)(43(4)8(222>-+-=∆b k kb , 即, 而,则,所以线段的中点坐标为.因为线段的垂直平分线的方程为. 所以在直线上, 即)61344(134322-+--=+k kb k k b . 故,则有, 所以,故. 解得或.所以实数的取值范围是.(20) 本题满分14分．(Ⅰ) 解:依题意,可知函数的定义域为.当时,,xx x x xx f 2)1)(2(21211)('-+-=--=,令,解得或(舍去). 当时,,单调递增；当时,,单调递减.所以的极大值即为的最大值. (Ⅱ) 解:依题意,,, 则有≤在上恒成立, 所以≥.当时,取得最大值,所以≥. (Ⅲ) 解:当时,,因为方程有唯一实数解,即有唯一实数解, 设,则. 令,得.因为,,所以(舍去),.当时,,单调递减；当时,,单调递增； 当时,,取得最小值.因为有唯一解,所以.则即所以.因为,所以.令,则,因为当时,,是增函数,所以至多有一解.因为,所以方程的解为,即,解得.23303 5B07 嬇31787 7C2B 簫35636 8B34 謴36976 9070 遰28130 6DE2 淢22326 5736 圶27237 6A65 橥A32957 80BD 肽S39739 9B3B 鬻33404 827C 艼32233 7DE9 緩39655 9AE7 髧。
2021年全国高考考前热身联考试卷(理科)(全国ⅰ卷)
2021年全国高考考前热身联考试卷（理科）（全国Ⅰ卷）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（5分）已知集合U＝R，集合A＝，则（）A．∁U A⊆∁U B B．A⊆∁U B C．A∪B＝U D．（∁U A）∪B＝U 2．（5分）若在复平面内，复数4﹣3i，﹣1﹣3i，3+i所对应的点分别为A，B，C，则△ABC 的面积为（）A．12B．10C．8D．63．（5分）国家统计局2021年1月的统计数据显示，我国2010﹣2019年未成年人犯罪人数所占比重如图所示，则下列说法不一定正确的是（）A．我国2010﹣2018年未成年人犯罪比重持续下降B．与2010年相比，2019年未成年人犯罪比重下降4.19个百分点C．我国2019年我国未成年人犯罪的人数多于2018年我国未成年人犯罪的人数D．2010﹣﹣2019年我国未成年人犯罪人数所占比重的中位数为3.91%4．（5分）已知声音强弱的等级f（x）单位：（dB）由声音强度x（单位：W/m2）决定．科学研究发现，f（x）与lgx成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为100W/m2声音强弱的等级为140dB；某动物发出的鸣叫，声音强度为1W/m2，声音强弱的等级为120dB．若某声音强等级为90dB，则声音强度为（）W/m2A．0.001B．0.01C．0.1D．15．（5分）如图所示网格纸中小正方形的边长均为1，向量如图所示，若从A，B，C，D 中任选两个点作为向量，的始点与终点，则的最大值为（）A．8B．6C．4D．26．（5分）对于n∈N*有如下4个数列：（1）a n＝sin nπ；（2）a n＝3n﹣4；（3）a n＝；（4）a n＝n+（﹣1）n•．其中满足条件a2n﹣1＜a2n+1，a2n＜a2n+2，a2n﹣1＜a2n的个数为（）A．2B．3C．47．（5分）若不等式2x+1﹣2＜ax的解集中有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）函数在上的所有零点之和为（）A．B．C．5πD．9．（5分）若两个相同的正四面体关于其中一个正四面体的中心对称且一个正四面体的表面积为，记这两个正四面体形成的公共区域为Ω，则Ω的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，不过原点且斜率为2的直线l与抛物线C交于M，N，若∠MFN＝90°，则|MF|•|NF|＝（）A．60B．50C．40D．2511．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点E在线段CC1上，平面α过线段AA1的中点以及点B1，E，现有如下说法：（1）∃λ∈[0，1]，使得BE⊥B1E；（2）若，则平面α截长方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面为平行四边形；（3）若λ＝0，AB＝2，则平面α截长方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的面积为．以上说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．312．（5分）已知∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得，若a2+b2≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若4a2，a5，6成等差数列，且成等比数列．则S n＝．15．（5分）厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替交替之势．为了备战2021年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为．16．（5分）已知双曲线的一个顶点恰为圆的圆心，且双曲线C1的一条渐近线与圆C2交于A，B两点，若点B恰为线段OA（点O为坐标原点）上靠近A的三等分点，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为．（1）若，求sin B sin C的值；（2）求的最值．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，点B1在平面ABC的投影与点C重合，点E为线段B1C的中点．（1）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1；（2）求二面角E﹣AA1﹣C的余弦值．19．（12分）动车和BRT（快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下所示：满意程度30岁以下30﹣50岁50岁及50以上乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT满意5051001010020一般201540202025不满意5020102020（1）若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率；（2）记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差；（3）以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率，若从所有乘客中随机抽取4人，记年龄在30~50岁的乘客人数为X，求X的布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆的焦距为，四个顶点围成的四边形的面积为4，过右焦点F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，且A（x0，y0）满足．（1）证明：x0＞0；（2）过点A且与l垂直的直线l'过点P（x P，0），Q（0，y Q），若△OPQ（点O为坐标原点）的面积与△P AF的面积相等，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝m2x2e x﹣1﹣（x+1）lnx，m＞0．（1）若m＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x不等式f（x）≥mx在（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围（参考数据ln2≈0.69）．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为＝2，其中θ∈[0，π]．（1）写出直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；（2）已知点P，Q分别在曲线C以及直线l上，且|PQ|的最小值为，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x+4|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞6的解集；（2）已知函数g（x）＝f（x）﹣|x+2|的最小值为A，若正数m，n满足3m+4n＝A，求的最小值．2021年全国高考考前热身联考试卷（理科）（全国Ⅰ卷）参考答案与试题解析一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（5分）已知集合U＝R，集合A＝，则（）A．∁U A⊆∁U B B．A⊆∁U B C．A∪B＝U D．（∁U A）∪B＝U 【解答】解：∵A＝{x|x+3＞4}＝{x|x＞1}，B＝{y|y≥2}，U＝R，∴∁U A＝{x|x≤1}，∁U B＝{y|y＜2}，∴∁U A⊆∁U B，A⊈∁U B，A∪B≠U，（∁U A）∪B≠U．故选：A．2．（5分）若在复平面内，复数4﹣3i，﹣1﹣3i，3+i所对应的点分别为A，B，C，则△ABC 的面积为（）A．12B．10C．8D．6【解答】解：依题意，A（4，﹣3），B（﹣1，﹣3），C（3，1），在复平面内作出△ABC的图形如图所示，所以△ABC的面积为S＝×5×4＝10,故选：B．3．（5分）国家统计局2021年1月的统计数据显示，我国2010﹣2019年未成年人犯罪人数所占比重如图所示，则下列说法不一定正确的是（）A．我国2010﹣2018年未成年人犯罪比重持续下降B．与2010年相比，2019年未成年人犯罪比重下降4.19个百分点C．我国2019年我国未成年人犯罪的人数多于2018年我国未成年人犯罪的人数D．2010﹣﹣2019年我国未成年人犯罪人数所占比重的中位数为3.91%【解答】解：A:由图知我国2010﹣2018年未成年人犯罪比重持续下降，∴A正确，B:与2010年相比，2019年未成年人犯罪比重下降为6.78%﹣2.59%＝4.19%，∴B正确，C:由于所有犯罪的人数未知，虽然2019年未成年人犯罪人数所占比重大于2018年，但无法确定2019年我国未成年人犯罪的人数是否多于2018年我国未成年人犯罪的人数，∴C错误，D:2010﹣﹣2019年我国未成年人犯罪人数所占比重的中位数为＝3.91%,∴D正确．故选：C．4．（5分）已知声音强弱的等级f（x）单位：（dB）由声音强度x（单位：W/m2）决定．科学研究发现，f（x）与lgx成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为100W/m2声音强弱的等级为140dB；某动物发出的鸣叫，声音强度为1W/m2，声音强弱的等级为120dB．若某声音强等级为90dB，则声音强度为（）W/m2A．0.001B．0.01C．0.1D．1【解答】解：由题意可设f(x)＝klgx+b,将(100,140),(1,120)代入，可得,解得,∴f(x)＝10lgx+120,令90＝10lgx+120,解得x＝0.001,故选：A．5．（5分）如图所示网格纸中小正方形的边长均为1，向量如图所示，若从A，B，C，D 中任选两个点作为向量，的始点与终点，则的最大值为（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：若，则；若，则，若，则，故选：B．6．（5分）对于n∈N*有如下4个数列：（1）a n＝sin nπ；（2）a n＝3n﹣4；（3）a n＝；（4）a n＝n+（﹣1）n•．其中满足条件a2n﹣1＜a2n+1，a2n＜a2n+2，a2n﹣1＜a2n的个数为（）A．2B．3C．4【解答】解：∵a n＝sin nπ，∴a n＝0，∴a2n﹣1＜a2n+1，a n＜a2n+2，a2n﹣1＜a2n均不满足，故（1）错误，∵a n＝3n﹣4，∴a n为递增数列，又∵2n+1＞2n﹣1，2n+2＞2n，2n＞2n﹣1，∴a2n﹣1＜a2n+1，a n＜a2n+2，a2n﹣1＜a2n均满足，故（2）正确，，n为奇数和n为偶数时，∵a n为递增数列，∴a2n﹣1＜a2n+1，a n＜a2n+2，又∵22n﹣1＜52n，∴a2n﹣1＜a2n，故（3）正确，当n为奇数，，a n为递增数列，当n为偶数，，a n为递增数列，∵＝，∴a2n﹣1＜a2n，故（4）正确，故正确的为(2)(3)(4)，正确的个数为3个，故选：B．7．（5分）若不等式2x+1﹣2＜ax的解集中有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设g(x)＝2x+1﹣2；f(x)＝ax,显然当a≤0时，在（0，+∞）g（x）＞f（x）恒成立，即不等式2x+1﹣2＜ax没有正整数解，当a＞0时，g（x）与f（x）的大致图象如图所示，两个函数的图象均过原点，则原不等式的解集中的两个正整数解必然是x＝1和x＝2，所以，即，解得3＜a≤，所以实数a的取值范围是（3，].故选：D．8．（5分）函数在上的所有零点之和为（）A．B．C．5πD．【解答】解：令，可得，即cos(2x+)＝﹣，在上，2x+∈[0，4π]，∴y＝cos(2x+)的图象和直线y＝﹣有4个交点，且这4个交点关于直线2x+＝2π对称，即这4个交点关于直线x＝π﹣＝对称，故这4个交点的横坐标之和为4×＝，故选：B．9．（5分）若两个相同的正四面体关于其中一个正四面体的中心对称且一个正四面体的表面积为，记这两个正四面体形成的公共区域为Ω，则Ω的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设正四面体的棱长为a，则其表面积S＝，得a＝，设正四面体底面外接圆的半径为r，则r＝，则正四面体的高为h＝，可得正四面体ABCD的体积为＝，根据几何体的对称性，重叠部分的体积为正四面体A﹣BCD的体积减去4个尖端的小棱锥的体积（4个体积相等），其中每个小锥体积为V A﹣BCD．故公共部分的体积为．故选：C．10．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，不过原点且斜率为2的直线l与抛物线C交于M，N，若∠MFN＝90°，则|MF|•|NF|＝（）A．60B．50C．40D．25【解答】解：设直线，联立方程组，可得y2﹣2y﹣4b＝0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则有，又∠MFN＝90°，所以,即(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2＝0，所以，即，解得b＝6，b＝0（舍），则有x1+x2＝13,x1x2＝36，所以|MF|•|NF|＝(x1+1)(x2+1)＝x1x2+(x1+x2)+1＝50．故选：B．11．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点E在线段CC1上，平面α过线段AA1的中点以及点B1，E，现有如下说法：（1）∃λ∈[0，1]，使得BE⊥B1E；（2）若，则平面α截长方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面为平行四边形；（3）若λ＝0，AB＝2，则平面α截长方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的面积为．以上说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：（1）以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设AB＝a，则B（a，a，0）、B1（a，a，2a）、E（0，a，2λa），，若BE⊥B1E，则＝0,解得，故（1）正确；过P作PQ∥B1E交DD1于点Q，设Q（0，0，t），，，因为B1E∥PQ，可设，则k＝1，∴t﹣a＝2λa﹣2a，即t＝(2λ﹣1)a，当时，，此时点Q在棱DD1上，且有，故四边形B1EQP为平行四边形，故（2）正确；设截面交棱AD于点M，连接PM、CM，∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，平面B1PE∩平面BB1C1C＝B1C，平面B1PE∩平面AA1D1D＝PM，∴PM∥B1C，由图可知，∠AMP＝∠BCB1，则，故，∴M为AD的中点，则M(1,0,0)、P（2，0，2）、C（0，2，0）、B1（2，2，4），可得,,,,取PC中点N，连接MN，则MN⊥PC，且,,∵,故PC⊥PB1，故,∴截面面积为，故（3）正确，故选：D．12．（5分）已知∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得，若a2+b2≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]【解答】解：设，g(x)＝x4+ax3+bx2+ax+3，则，故当x∈（0,3）时，f′(x)＜0,f(x)单调递减，当x∈（3，+∞）时，f′(x)＞0,f(x)单调递增，∴当x＝3时，f（x）取得最小值f（3）＝2，依题意，只需g(x)min≤2即可，即x4+ax3+bx2+ax+1＝0有实数解，∵x≠0，∴，令，则t2+at+b﹣2＝0在(﹣∞，﹣2]∪[2，+∞)上有实数解，将（a，b）看作直线ta+b+t2﹣2＝0上的点，，则，令，则，∴，则．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为﹣4．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．联立，解得A（﹣4，4），化z＝3x+2y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若4a2，a5，6成等差数列，且成等比数列．则S n＝n2．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由4a2，a5，6成等差数列，可得2（a1+4d）＝4（a1+d）+6，又a2，，a14成等比数列，可得S9＝a2a14，即9a1+36d＝（a1+d）（a1+13d），且9a1+36d≥0，解得a1＝1，d＝2，或a1＝﹣，d＝（舍去），则S n＝n+．故答案为：n2．15．（5分）厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替交替之势．为了备战2021年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为．【解答】解：厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，基本事件总数n＝＝84,事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”包含的基本事件的个数：m＝＝60，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为：P＝＝＝．故答案为：．16．（5分）已知双曲线的一个顶点恰为圆的圆心，且双曲线C1的一条渐近线与圆C2交于A，B两点，若点B恰为线段OA（点O为坐标原点）上靠近A的三等分点，则双曲线的离心率为．【解答】解：根据题意可得双曲线C1的右顶点为圆C2的圆心(,0)，所以a＝,设双曲线C1的渐近线y＝x与圆C2的交点A(x1,y1),B(x2,y2),联立,得(5+b2)x2﹣10x+25﹣5b2＝0,所以x1+x2＝﹣①,x1x2＝②,因为点B恰为线段OA（点O为坐标原点）上靠近A的三等分点，所以＝,即x1＝x2③,把③分别代入①②，得(x2)2＝()2,x22＝,两式相除，得＝()2×,解得b2＝7,所以c2＝a2+b2＝12,所以e＝＝＝，故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为．（1）若，求sin B sin C的值；（2）求的最值．【解答】解：（1）∵BC边上的高为，∴＝＝2，∴，∴，又，∴，∴sin B sin C＝；（2）∵，∴sin A＝2sin B sin C，＝＝＝＝＝2sin A+2cos A＝，A＝时取最大值为2，又＝2，当b＝c时取等号，即最小值为2，∴的最大值为2，最小值为2．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，点B1在平面ABC的投影与点C重合，点E为线段B1C的中点．（1）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1；（2）求二面角E﹣AA1﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵点B1在平面ABC的投影与点C重合，∴B1C⊥平面ABC，∴B1C⊥AB，又∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴AB⊥平面AB1C，而AB⊂平面ABB1A1，∴平面AB1C⊥平面ABB1A1；（2）解：如图，以C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB1所在直线为y轴建立如图所示空间直角坐标系．不妨令AB＝AC＝1，则，在Rt△B1CB中，＝1，∴E（0，0，），A（1，0，0），B（1，1，0），B1（0，0，1），，，，设平面EAA1的一个法向量为，由，取x＝1，得；设平面AA1C的一个法向量为，由，取y1＝1，得．∴cos ＜＞＝．由图可知，二面角E﹣AA1﹣C的平面角为锐角，∴二面角E﹣AA1﹣C 的余弦值为．19．（12分）动车和BRT（快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下所示：满意程度30岁以下30﹣50岁50岁及50以上乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT满意5051001010020一般201540202025不满意5020102020（1）若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率；（2）记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差；（3）以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率，若从所有乘客中随机抽取4人，记年龄在30~50岁的乘客人数为X，求X的布列及数学期望．【解答】解：（1）由题意可得，抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率为；（2）由题意可知，样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分为，方差为；（3）由题意可知，1名乘客年龄在30~50岁的概率为,则X~B(4,),X的可能取值为0,1,2,3,4，所以P(X＝k)＝，所以X的分布列为：X01234P故E(X)＝4×＝．20．（12分）已知椭圆的焦距为，四个顶点围成的四边形的面积为4，过右焦点F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，且A（x0，y0）满足．（1）证明：x0＞0；（2）过点A且与l垂直的直线l'过点P（x P，0），Q（0，y Q），若△OPQ（点O为坐标原点）的面积与△P AF的面积相等，求直线l的方程．【解答】解：（1）证明：由题可得2c＝2,解得c＝,四个顶点连接构成的四边形面积为×2a×2b＝4,又因为a2＝b2+c2,所以a＝2，c＝,b＝1,所以椭圆的方程为+y2＝1,设直线l的方程为y＝k(x﹣),M(x1,y1),N(x2,y2),且k≠0,联立直线方程与椭圆方程可得(1+4k2)x2﹣8k2x+12k2﹣4＝0,所以x1+x2＝,x1x2＝,y1+y2＝k(x1+x2)﹣2k＝,因为＝,所以A为MN的中点，所以x0＝＝＞0,(2)由（1）知，A(,),因为l′⊥l,且l′过点A，所以直线l′的方程为y+＝﹣(x﹣),分别令x＝0,y＝0，解得x P＝,y Q＝,由面积相等结合图像可得x P|y Q|＝(﹣x P)|y0|,所以＝(﹣)•,整理得27k2＝3+3k2,解得k＝±,所以直线l的方程为x﹣4y﹣＝0或x+4y﹣＝0．21．（12分）已知函数f（x）＝m2x2e x﹣1﹣（x+1）lnx，m＞0．（1）若m＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x不等式f（x）≥mx在（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围（参考数据ln2≈0.69）．【解答】解：（1）若m＝1，则f（x）＝x2e x﹣1﹣（x+1）lnx，∴f′（x）＝，∴f′（1）＝1，又f（1）＝1，∴y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x；（2）依题意，m2x2e x﹣1﹣（x+1）lnx﹣mx≥0，令x＝1，得m≥1，下面证明m≥1时符号要求．令t（m）＝m2x2e x﹣1﹣（x+1）lnx﹣mx，①当，即时，t′（m）＝2mx2e x﹣1﹣x≥0，∴t（m）≥t（1）＝x2e x﹣1﹣（x+1）lnx﹣x，令k（x）＝x2e x﹣1﹣（x+1）lnx﹣x，得k′（x）＝，令n（x）＝，n′（x）＝≥．当x＞0时，n′（x）＞0，从而k′（x）单调递增，又k′（1）＝0，∴当0＜x＜1时，k′（x）＜0，k（x）在（0，1）上单调递减，当x＞1时，k′（x）＞0，k（x）在（1，+∞）上单调递增，∴k（x）min＝k（1）＝0，得证；②当＞1，即xe x﹣1＜时，由关于m的二次函数t（m）的图象开口向上可知，t（m）≥t（）＝．下面只要证4e x﹣1（x+1）lnx+1≤0，由xe x﹣1＜，且y＝xe x﹣1在（0，+∞）上单调递增，记，得x∈（0，x0），又（1﹣ln2）e（1﹣ln2）﹣1＜，∴x0＞1﹣ln2，又4e x﹣1（x+1）lnx+1≤4e x﹣1（x+1）（x﹣1）+1＝4x2e x﹣1﹣4e x﹣1+1＜2x﹣4e x﹣1+1，令p（x）＝2x﹣4e x﹣1+1，则p′（x）＝2﹣4e x﹣1，∴当x∈（0，x0）时，p（x）在（0，1﹣ln2）上单调递增，在（1﹣ln2，x0）上单调递减，p（x）≤p（1﹣ln2）＝1﹣2ln2＜0，得证．当0＜m＜1时，令m2x2e x﹣1﹣（x+1）lnx﹣mx≥0中的x＝1，可知m2﹣m≥0不恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[1，+∞）．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为＝2，其中θ∈[0，π]．（1）写出直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；（2）已知点P，Q分别在曲线C以及直线l上，且|PQ|的最小值为，求m的值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为2x+3y﹣2m＝0，根据，转换为2ρcosθ+3ρsinθ﹣2m＝0．（2）曲线C的极坐标方程为＝2，其中θ∈[0，π]．整理得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ＝4，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为（α为参数）．（2）设曲线C上的点P（2cosθ，sinθ），则点P到直线l的距离d＝＝；当m≥0时，，解得m＝，当m＜0时，，解得m＝﹣．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x+4|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞6的解集；（2）已知函数g（x）＝f（x）﹣|x+2|的最小值为A，若正数m，n满足3m+4n＝A，求的最小值．【解答】解：（1）依题意，|2x+4|+|x﹣3|＞6．当x＜﹣2时，﹣2x﹣4+3﹣x＞6，解得当﹣2≤x≤3时，2x+4+3﹣x＞6，解得x＞﹣1故﹣1＜x≤3当x＞3时，2x+4﹣3+x＞6解得，故x＞3综上所述不等式的解集为（2）依题意得，g（x）＝f（x）﹣|x+2|＝|x+2|+|x﹣3|≥5当且仅当﹣2≤x≤3等号成立故3m+4n＝5，3m+1+2（2n+1）＝8，则当且仅当2（2n+1）2＝（3m+1）2时等号成立，故的最小值为．。
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图２224C1B 1A 1C BA 2021年高三考前热身训练试题数学理第一部分选择题（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数满足. 设，则( )A ．1B ．2C ．3D ．42.为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）的10组值，并画成散点图如图1，则其回归方程可能是（ ） A . B.C. D. 3.已知集合22{(,)|2},{(,)|2}A x y x y B x y x y =+==+≤，设，则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件4．如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( ) A ．16 B ． C ． D ．5．如图3，的边OM 上有四点，ON 上有三点，则以为顶点的三角形个数为（ ） A ．30 B ．42 C ．54 D ． 566. 定义某种运算,运算原理如图4所示,则式子:的值是（ ）A. 5B. 6C. 7 D . 8图1MNO A1A2A3A4B1B2B3图3 输出×(+1)输出×(–1)开始 输入两个数和 是否7．为定义在上的可导函数，且对于恒成立,e 为自然对数的底， 则（ ） A ． B ． C ． D ． 8．如下图：（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是（ ）A ．① ③ B. ①④ C. ② ③ D. ②④第二部分非选择题（110分）二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分。
（一）必做题（9～13题）9．已知等差数列的前10项之和为30，前20项之和为100，则= . 10.已知函数的部分图像如图所示，若在矩形OACD 内随机取一点，则该点落在图中阴影部分的概率是________.11．已知定义在R 上的奇函数满足时，，若，则= 。
12.若点P 在曲线C 1：上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是 ．13.一科研人员研究、两种菌.已知在任何时刻、两种菌的个数乘积为定值.为便于研究,科研人员用来记录菌个数的资料,其中为菌的个数,则下列说法： ①；②若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多了10个；③假设科研人员将菌的个数控制为5万个,则此时.其中正确的序号为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、15题选做一题，若两题都作答，只按第一题评分.14.（极坐标、参数方程选做题）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为．则经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角．．坐标方程．．．．为_____________． 15、（几何证明选讲选做题）如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O上过点P 的切线PA 相交于点A ，若切线AP 长为，则圆O 的直径长为 。
(1)(2)(3)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量与共线，其中A 是的内角。
（1） 求角A 的大小；（2）若BC=2，求面积S 的最大值．17、（本小题满分12分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B 两个项目可供选择：111投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0< p <1)和1 p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X(次)与X 2的关系如下表所示：（2）求X 2的分布列；（3）若E(X 1)< E(X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2， BC =AD =1，CD =．（1）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（3）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．19（本小题满分14分）如图所示，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点Q 为抛物线上一动点，的最小值为5. （1）求抛物线方程；（2）已知过点的直线与抛物线相交于、两点，、分别是该抛物线在、两点处的切线，、分别是、与直线的交点．求直线的斜率的取值范围并证明=． 20．（本小题满分14分）PABCD QM已知定义在上的函数和数列满足下列条件： ，，当且时，且． 其中均为非零常数．（1）若数列是等差数列，求的值； （2）令，若，求数列的通项公式；（3）试研究数列为等比数列的条件，并证明你的结论．21.（本小题共14分）定义：设函数y=f(x)在（a,b ）内可导，若函数y=f(x) 在(a,b)内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f(x)是（a,b ）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）.已知函数（1）证明函数是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数的图像； (2)对x 1，x 2∈R +，根据所画下凸函数图像特征指出与的大小关系； （3）当n 为正整数时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．记，若，证明： ．广东实验中学xx 届高三考前热身训练数学（理科）试题参考答案1解析：可表示以（0，2）为圆心；以1为半径的圆，由圆的几何意义易知m=3,n=1,故选C.2. 解析：由散点图可知商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）具有负线性相关的关系，易知选B.3.解析：集合A 是圆上的点构成的集合，圆与直线相切并位于其左下方，由平面区域与逻辑知识易得选A. 4． 解析：其侧视图是长宽为4的矩形，故选D.5．解析:42131414231324343538=++=--C C C C C C C C C ，故选B.6. 解析：8)13(2)11(23212=-⨯++⨯=⊗+⊗=，故选D.7．解析答案： A 8．解析答案： C 9. 解析：14,70......2832011201211=+=+∴=+++a a a a a a a10． 解析：的周期为图中阴影部分的面积==，矩形OACD 故该点落在图中阴影部分的概率是11．解析：是一个以8为周期的函数，故012.解析：由双曲线定义可得：（|PQ |－| PR | ）max =10)1(132min max =--+=-PC PC PR PQ13.解析：③14.解析：两个圆的直角坐标方程为，所求直线的方程为. 15、解析：P DMz ，，易得为等腰三角形，且0060M 2POA 30M =∠=∠=∠∆POM 2OP 32AP 90APO 0===∠，可得，又,所以圆O 的直径长为4.16解析：17、解：（1）由题意得：解得：.……3分（2）X 2 的可能取值为.…………4分()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，…………5分()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，…………7分.…………8分 所以X 2的分布列为:X 24.1211.7620.40P p (1-p) p 2+(1-p)2p (1-p)（3）由（2）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦. ………………11分因为E(X 1)< E(X 2)，所以.所以.当选择投资B 项目时，的取值范围是.…12分18解：证明：（1）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．∵BC ∥AD 且BC =AD ，即BCAQ ． (2)分∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA ……3分∵ MN 平面MQB ，PA 平面MQB ，∴ PA // 平面MBQ ．……4分（2）∵AD // BC ，BC =AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．……6分又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴BQ ⊥平面PAD ．……7分∵BQ 平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．……8分另证：AD // BC ，BC =AD ，Q 为AD 的中点 ∴ BC // DQ 且BC = DQ ， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．……5分 ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．∵ PA =PD ， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ．……7分 ∵ AD 平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．……8分（2） 解法一:由M 作PQ 的平行线交CQ 于E 点，由E 点作BC 的平行线交BQ 于F ，连接MF ，则二面角M -BQ -C 的平面角为=30°……10分……11分 ……12分 ，∴ ．……14分解法二：∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ．（不证明PQ ⊥平面ABCD 直接建系扣1分）如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．……9分 则平面BQC 的法向量为；……10分 ，，，．……11分 设，则，，∵，∴ ，∴11t x t y z t⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪+⎩ …12分在平面MBQ 中，，，∴ 平面MBQ 法向量为．……13分∵二面角M -BQ -C 为30°， ，∴ ．……14分19解：（1）设抛物线的准线为，过Q 作，过R 作，由抛物线定义知，…………1分 (折线段大于垂线段)，当且仅当三点共线取等号. …3分 由题意知,故抛物线的方程为：…………5分（3） 由已知条件可知直线的斜率存在且不为0，设直线，…………6分 则，……①…………7分依题意，有或；…………8分 由，…………9分所以抛物线在处的切线的方程为 ：，即．…………10分 令，得．…………11分 同理，得．…………12分注意到、是方程①的两个实根，故，即，…………13分从而有，因此，．…………14分 20．解：（1）由已知，，得 ……………1分由数列是等差数列，得 ……………2分 所以，，，得．………………………3分 （2）由，当时，且可得： 当时，)()()()(12111≠-=⋅⋅⋅=-=----a a k a a k a f a f n n n n n ……………4分所以，当时，，………………………5分因此，数列是一个公比为的等比数列其通项．………………6分（3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当时，数列是等差数列， 所以是数列为等比数列的必要条件． ………………………………7分 解答二：写出充分条件，如或等，并证明 ……………… 7分 解答三：是等比数列的充要条件是……………………7分 充分性证明： 若，则由已知，得，所以，是等比数列．………………………8分 必要性证明：若是等比数列，由（2）知，111212121)()()(a a a a a a a a b b b n n n n -=-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++--，．……………………9分 当时，．上式对也成立，所以，数列的通项公式为： ．………………10分所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，．…………………………………11分 当时，． 上式对也成立，所以， ……………………12分所以，． …………………………………………13分 即，等式对于任意实数均成立．所以，．…………14分21. 解：（1）函数的定义域为，故函数是定义域内的下凸函数, .......2分 易知函数在 .......3分 故其图像如下图所示. …………………….4分 （2）由下凸函数的图像特征可知： 故（当且仅当时取=号）………………….6分 （3）()[135(21)][(2)(4)(6)(2)],nnS n N N N N =++++-+++++，.......7分32424 (4)4)(121+=++++=∴--n n n n S ．.......8分，故证明即证.......9分（证法一）数学归纳法ⅰ)当时，由（2）知命题成立． ⅱ）假设当( k ∈N *)时命题成立， 即若，则．.......10分 当时， ，，…，，满足 ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（2）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 ，命题成立．所以当 时命题成立．.......13分由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若，则 ．即有 ． ………14分 （证法二）若， 那么由（2）可得1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- (10)分1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++………11分1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-………12分12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-………13分121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---．即有 ． ………14分24632 6038 怸39004 985C 顜34455 8697 蚗34008 84D8 蓘29990 7526 甦z26587 67DB 柛'q S33115 815B 腛o。